第3章 图形的平移与旋转(随堂反馈)-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年八年级下册数学（北师大版·新教材）

第三章图形的平移与旋转 1图形的平移 第1课时平移的概念、性质及作图 当堂练习 1.下列四个图形中，不能通过其中一个四边形平移得到的是 ) X◇◇◇ 米 A B D 2.如图，将△DEF平移得到△ABC,BC,DF交于点O,则∠C的对应角和DE的对应 边分别是 ( ) A.∠F,AC B.∠BOD,AB C.∠F,AB D.∠BOD,AC D 3 cm- B C E (第2题图) (第3题图) (第4题图) 3.如图，在△ABC中，BC=3cm。将△ABC沿BC方向平移4cm得到△DEF,点C的对 应点是点F,则BF的长为cm。 4.如图，直径为2cm的圆O,平移3cm得到圆O2,则图中阴影部分的面积为cm。 5.如图，在正方形网格中将△ABC向右平移4个单位长度得到△A'B'C'。 (1)画出△A'B'C'; (2)连接AA',BB',则这两条线段之间的关系是 ·20· 第2课时沿x轴或y轴方向一次平移的坐标变化 当堂练习 1.在平面直角坐标系中，点P(2,一4)向右平移4个单位长度后的坐标是 ) A.(2,0) B.(2,-8) C.(6,-4) D.(-2,-4) 2.在平面直角坐标系中，点P(1,3)向下平移2个单位长度后的坐标是 ( A.(1,2) B.(0,1) C.(1,5) D.(1,1) 3.如图，在平面直角坐标系中，△ABC位于第一象限，点A的坐标是(4,3).把△ABC向左 平移6个单位长度，得到△A1BC,则点B,的坐标是 A.(-2,3) B.(3,-1) C.(-3,1) B D.(-5,2) 第3课时 沿x轴或y轴方向两次平移的坐标变化 当堂练习 1.在平面直角坐标系中，把点P(2,3)先向下平移3个单位长度，再向左平移4个单位长 度，得到新的点的坐标是 ) A.(-1,-1) B.(6,0) C.(0,-2) D.(-2,0) 2.在平面直角坐标系中，线段CD是由线段AB平移得到的。若点A(一2,3)的对应点 为C(2,一2)，则点B(一4,1)的对应点D的坐标为 A.(-6,-4) B.(-4,0) C.(6,-4) D.(0,-4) 3.如图，在平面直角坐标系中，已知点A(一1,5)，点B(一1,0)，点C(一4,3)。 (1)求△ABC的面积； (2)若把△ABC先向下平移2个单位长度，再向右平移5个单位长度得到△AB'C', 作出△A'BC并写出点C的坐标。 -6-5-4-3-2-1 123456x ·21· 2图形的旋转 第1课时旋转的概念及性质 当堂练习 1.下列物体的运动不是旋转的是 A.坐在摩天轮里的小朋友 B.正在走动的时针 C.骑自行车的人 D.正在转动的风车叶片 2.如图，△OCD是由△OAB旋转60°得到的，下列说法不正确的是 A.旋转中心是点O B.点B的对应点是点C C.∠AOC=60 D.∠A=∠C (第2题图) (第3题图) (第4题图) (第5题图) 3.如图，把△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE。若E,A,B三点共线，∠BAC-60°，则 旋转角的度数为 4.如图，将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED,连接BE。若线段AB=3,则BE的 长为。 5.如图，将△ABC在平面内绕点A逆时针旋转40°到△AB'C的位置，若CC∥AB,则 ∠CAB'的度数为 6.如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=40°，将△ABC绕点A逆时针旋转100°得到 △ADE,连接BD,CE交于点F。 (1)求证：△ABD2△ACE; (2)求∠ACE的度数。 ·22· 第2课时旋转作图 当堂练习 1.将△ABC绕点A逆时针旋转60得到△A'B'C',下列作图正确的是 A B D 2.如图，在网格内有△ABC,将△ABC绕点O顺时针旋转90°，请画出旋转后的△A'B'C'。 第3课时 中心对称 当堂练习 1.下列四组图形中，不成中心对称的是 A B 2.如图，△ABC与△A'B'C关于点O成中心对称，则下列结论不成立的 是 A.点A与点A是对应点 B.BO-BO C.AB∥A'B D.∠ACB=∠C'A'BM 3.如图，直线1与直线交于点P,作出△ABC关于点P成中心对称的图形。 077 ·23· 3简单的图案设计 当堂练习 1.下列图案中，可以由一个“基本图案”连续旋转45°得到的是 米 88*8 A B 2.如图，它可以看成由基本图形A经过 变换得到的，也可以看成由这个基本图形 经过 变换得到的，还可以看成是由这个基本图形经过 变换得到的。 图① 图② (第2题图) (第3题图) 3.如图①，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ACB和∠ADE都是直角，点C在 AE上，△ABC绕着点A经过逆时针旋转后能够与△ADE重合，将图①作为“基本图 形”绕着点A经过逆时针旋转三次得到图②，三次旋转的角度分别为 第四章 因式分解 1因式分解 当堂练习 1.在(2x十y)(2x一y)=4x2-y2中，从左向右的变形是 ,从右向左的变形是 (填“因式分解”或“整式的乘法”)。 2.如果多项式2x十B可以分解为2(x十2)，那么B为 A.2 B.2x C.4 D.4.x 3.下列由左边到右边的式子变形，哪些是因式分解？哪些不是？为什么？ (1)4a(a+2b)=4a2+8ab; (2)a2-4=(a+2)(a-2); (3)x2-3x+2=x(x-3)+2。 ·24·∠BAP=90°，∠B=30°，∴.BP=2AP=12cm。5.证明：△ABO是等边三角形， ∴∠A=∠B=∠AOB=60°。CD∥AB,∴.∠D=∠B=60°，∠C=∠A=60°。 又：∠COD=∠AOB=60°，∴∠C=∠D=∠COD。∴△OCD是等边三角形。 3直角三角形 第1课时直角三角形的性质与判定 知识梳理 ①互余平方和②互余平方和 当堂练习 1.D2.A3.直角4.有两个角相等的三角形是等腰三角形真5.直角6.(1)证 明：AD为BC边上的高，∠B十∠BAD=90°。∠B=∠CAD,∴.∠CAD十 ∠BAD=90°，即∠BAC=90°。∴△ABC是直角三角形。(2)解：由(1)知△ABC是直 角三角形，BC=√AB+AC=√+3-5。：2AB·AC=号BC·AD,.AD= AB.AC_4X3-12 BC 5 5 第2课时直角三角形全等的判定 知识梳理 ①斜边、直角边HL 当堂练习 1.D2.A3.24.解：如图，M4 Rt△AOB即为所求。5.(1)证明：在 B Rt△ABD和Rt△CBD中， BD=BD·:Rt△ABD≌R△CBD(HL)。（2)解： BA=BC. :R△ABD≌R:△CBD,∠ABC=70,∠ABD=∠CBD=号∠ABC=35。 ∴∠BDC=90°-∠CBD=55°。 4线段的垂直平分线 第1课时线段垂直平分线的性质与判定 知识梳理 ①相等②相等 当堂练习 1.B2.A3.24.解：·ED是AC的垂直平分线，.EA=EC。∠C=∠EAC。 ∴∠CAB=∠EAC+∠BAE=∠C+20°。·∠C+∠CAB=90°，.2∠C+20°=90°。 ∴∠C=35°。5.证明：AD⊥BE,BD=DE,AD垂直平分BE。∴AB=AE。又 :AB+BD=DC,∴AE+DE=DC。又DC=DE十CE,∴AE=EC。.点E在线段 AC的垂直平分线上。 第2课时三角形三边的垂直平分线 当堂练习 1.C2.C3.74.145.36.解：(1)如图， EF即为所求。(2)连 头D 接AE。AE=BE,∠B=35°，.∠BAE=∠B=35°。∴·∠AED=∠B+∠BAE= 70°。：AD⊥BC,D为CE的中点，.AC=AE。∠C=∠AED=70°。 5角平分线 第1课时角平分线的性质与判定 当堂练习 1.C2.33.65°4.65.证明：(1)连接AP。在Rt△APE和Rt△APF中， AP=AP:R△APE≌Rt△APF(HL)。∴PE=PF。(2)PE=PF,且PE⊥AB, AE=AF, PF⊥AC,∴AP平分∠BAC。.点P在∠BAC的平分线上。 第2课时三角形的三条角平分线 当堂练习 1.D2.C3.115°4.解：如图， 点D即为所求。5.解：BO,CO分别平 第43页（共48页） 分∠ABC,∠ACB,OD⊥AB,OE⊥BC,OF⊥AC,.OF=OE=OD=4。'△ABC的周 长为20AB+BC+AC=20.SAe=Sam十Sae+Sae=2AB·0D十 号BC,0E+2AC.0F=号(AB+BC+AC)·0D=2×20X4=40. 第二章不等式与不等式组 1不等式及其性质 第1课时不等关系 当堂练习 1.C2.D3.解：(1)x+17<5。(2)-x-1≥2。(3)m-2≥0 第2课时不等式的解与解集 当堂练习 1 1.0,3,- 2.解：(1) (2)， 2 -65-4-3-2-10 012345 (3), (4)☐ 012345 -4-3-2-10 第3课时不等式的基本性质 知识梳理 ①不变>②不变>>3改变<< 当堂练习 1.D2.D3.解：(1)正确。理由如下：由不等式的基本性质1，将不等式的两边都加 上3a,得b3a,故正确。(2)不正确。理由如下：由不等式的基本性质3，将不等式的 两边都除以一5，得x<一4，故不正确。4.解：(1)根据不等式的基本性质1，两边都 加1，得x一1十1<8十1，即x<9。(2)根据不等式的基本性质1，两边都减去2x,得3x z3一2，即x<一3。(3)根据不等式的基本性质3，两边都除以2， >马2，即x>-3。(④)根据不等式的基本性质2，两边都乘2，得之X2>(-3)×2, 即x>-6。 2一元一次不等式 第1课时一元一次不等式的解法 知识梳理 ①整式1 当堂练习 1.B2.A3.D4.解：(1)移项，得2x≥-1十5。合并同类项，得2x≥4。两边都除 以2，得≥2。这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示。01一 (2)移项，得-3x>8十1。合并同类项，得-3x>9。两边都除以-3，得x<-3。这个 不等式的解集在数轴上的表示如图所示。3202 (3)去括号，得5x 5<4十2x。移项，得5x-2x<4十5。合并同类项，得3x<9。两边都除以3，得x<3。 这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示。1014方（④)去分母，得18 3(x-2)≤2x。去括号，得18-3x十6≤2x。移项，得-3x-2x≤-6-18。合并同类 项，得-5x≤一24。两边都除以一5，得x≥号。这个不等式的解集在数轴上的表示如 图所示 24 5 0123456 第2课时一元一次不等式的应用 当堂练习 1,D2.B3.B4.175.解：设需要租用甲种客车x辆，则租用乙种客车(8一x)辆。 根据题意，得45x十30(8-x)≥300。解得x≥4。答：至少需要租用甲种客车4辆。 3一元一次不等式与一次函数 第1课时一元一次不等式与一次函数 知识梳理 ①x>c②x=c③x<c 当堂练习 1.B2.D3.x<-24.(-3,0)5.解：(1)x=2。(2)x>2。(3)当x≤2时，y≥0。 第2课时一元一次不等式与一次函数的应用一选择方案 1.解：(1)180.2(2)设乙复印社收费情况y关于复印页数x的函数表达式为y=kx 十么.把0,18)和0,2代人表达式，得合；=2.每得合乙复印社收 b=18。 费情况y关于复印页数x的函数表达式为y=0.08x十18，一次项系数的实际意义为每 第44页（共48页） 张收费0.08元。(3)由(1)知，甲复印社收费情况y关于复印页数x的函数表达式为y =0.2x。令0.2x=0.08x十18，解得x=150。答：当每月复印150页时，两复印社实际 收费相同。(4)当x=200时，甲复印社的收费为0.2×200=40（元），乙复印社的收费 为0.08×200十18=34（元）。.40>34，∴.如果每月复印200页，应选择乙复印社。 2.解：(1)按优惠方案一可得y=20×4十(x-4)×5=5x十60(x≥4)；按优惠方案二可 得y2=(5x+20×4)×90%=4.5x+72(x≥4)。(2)y-2=(5x+60)-(4.5x+72) =0.5x-12(x≥4)。①当y-y2=0时，0.5x-12=0,解得x=24。故当x=24时，两 种优惠方案付款一样多。②当y1一<0时，0.5x一12<0，解得x<24。故当4≤x< 24时，y<y2,选优惠方案一较划算。③当y1-y>0时，0.5x一12>0，解得x>24。 故当x>24时，y1>y,选优惠方案二较划算。 4一元一次不等式组 知识梳理 ②公共部分 当堂练习 1.C2.C3.14.a≥-35.解：(1)解不等式①，得x>1。解不等式②，得x<7。 在同一条数轴上表示不等式0@的解集，如图所示。个寸。女因此， 原不等式组的解集为1<x<7。(2)解不等式①，得x≤3。解不等式②，得x>-1。在 同一条数轴上表示不等式①②的解集，如图所示。一之。十之 二因此，原不等 式组的解集为一1<x3。 第三章图形的平移与旋转 1 图形的平移 第1课时平移的概念、性质及作图 当堂练习 1.D2.C3.74.65.解：(1)如图， △A'B'C即为所求。 (2)AA'∥BB',AA'=BB 第2课时沿x轴或y轴方向一次平移的坐标变化 当堂练习 1.C2.D3.C 第3课时沿x轴或y轴方向两次平移的坐标变化 当堂练习 1.D2.D 3.解：(1)△ABC的面积为号×3×5=75。(2)如图， △A'B'C即为所求，点C的坐标为(1,1)。 -6-5-4 2 图形的旋转 第1课时旋转的概念及性质 当堂练习 1.C2.B3.120°4.35.30°6.解：(1)由旋转性质，得AB=AD,AC=AE, ∠BAD=∠CAE。:AB=AC,.AD=AE。∴.△ABD≌△ACE(SAS)。(2):∠CAE =100,AC=AE∠ACE=号(180-∠CAE)=7×180°-100)=40. 第2课时旋转作图 当堂练习 1.D2.解：如图 △A'B'C'即为所求。 第45页（共48页） 第3课时中心对称 当堂练习 1.D2.D3.解：如图， △ABC即为所求。 31 简单的图案设计 当堂练习 1.B2.平移旋转轴对称3.90°，180°，270 第四章因式分解 1 因式分解 当堂练习 1.整式的乘法因式分解2.C3.解：(1)4a(a十2b)=4a十8ab,左边是整式的乘积 形式，右边是多项式，是整式的乘法，故不是因式分解。(2)a2一4=(a十2)(a一2)，左边 是多项式，右边是两个多项式的乘积形式，故是因式分解。(3)x2-3x十2=x(x-3)十 2,右边不是整式乘积的形式，故不是因式分解。 2提公因式法 第1课时提公因式为单项式的因式分解 当堂练习 1.A2.D3.解：(1)原式=a·2a-a·3b=a(2a-3b)。(2)原式=-(4xy2-6xy)= -(2xy·2y-2xy·3)=-2xy(2y-3)。 第2课时提公因式为多项式的因式分解 当堂练习 1.A2.B3.解：(1)原式=(x十2)x-(x十2)=(x十2)(x-1)。(2)原式=xy(x-y) -(x-y)=(x-y)(xy-1)。 3公式法 第1课时运用平方差公式因式分解 知识梳理 ①(a+b)(a-b) 当堂练习 1.D2.A3.(m十4)(m-4)4.解：(1)原式=(1十m)(1-m)。(2)原式=2xy(x2 -y2)=2xy(x+y)(x-y)。(3)原式=2a(9a2-1)=2a(3a+1)(3a-1)。(4)原式= (x十2y+3x)(x+2y-3x)=(4x十2y)(-2x十2y)=-4(2x十y)(x-y)。(5)原式= (m2-n2)十(2m-2n)=(m十n)(m-n)十2(m-n)=(m-n)(m十n+2)。(6)原式= [3(x-y)+2(x+y)][3(x-y)-2(x+y)]=(3x-3y+2x+2y)(3x-3y-2x-2y)= (5x-y)(x-5y)。 第2课时运用完全平方公式因式分解 知识梳理 ①(a+b)2(a-b) 当堂练习 1.C2.B3.C4.a(a-1)25.解：(1)原式=(x-2y)2。(2)原式=(m-n)2- 12(m-n)十36=(m--6)2。(3)原式=-3x(x2-6x+9)=-3x(x-3)2。(4)原式 =-(4p-12pg十9g)=-(2p-3g)2.6.解：(1)原式=(397+103)×(397-103) =500×294=147000。(2)原式=97+2×97×3+3=(97+3)2=1002=10000。 第五章分式与分式方程 1分式及其基本性质 第1课时分式的有关概念 当堂练习 1.B2.A3.-5 第2课时分式的基本性质 当堂练习 1,A2.B3.(1)1-2a(2)2z4.解：(1)原式=二3x。（2)原式=2十x)(2- 1 y(x-2) =-2+。(3)原式=aa+2=1 y ab(a+2b)b 2分式的运算 第1课时分式的乘除法 知识梳理 ①分子分母 bd ac ⑧颠倒位置 ad ®乘方二 第46页（共48页） 当堂练习 1B2D3第4餐：0)原武=号（与）·兰=-，@)原式=2， Tab a+6)(a-6-a十6(3)原式=ab》. 14a2b =4a ·a0)·abb-。(4)原式 1 1 =「x+y)(x-y)7 1 1 xy x)·x十2·x+y)·x x ry2-yo 第2课时同分母分式的加减法 当堂练习 1C2A3解：)原武=品=2)原式=品。品。会合1， 1 第3课时异分母分式的加减法 当堂练习 1 3y4 8x2 1.解：1)最简公分母是12ry,12'6x可=127y。(2)最简公分母是2(a a(a-3)a-1」 2a-2 +3)(a-3),2a+6=2a+3a3)'-9-2a十3a-3.2.解：1)原式 m=n.2原式-华+号 m(m+1)m(m十1)n(m+1)-m(m十1）) 2aa1DL4a=2a0.3)原武z+》2三Y+xy-2 a十1a+1 x2-y2 -x2-y x-y y(y-x) y Gx)( 第4课时分式的混合运算 知识梳理 ①乘方最简分式 当堂练习 1B2-a-303朝：1原武=千三号-产22)原式=” 2(x-1) +务品+祭出=2.《原式=·》-吊· x+1 x+1 x十3 -名4解：原式= 厂x2 x十 (x+1)2 司)景六·当片“分式中分母不能为0，十1≠0，且一1≠ 0。“x≠-1且x≠1。·x只能取0。当x=0时，原式=0=-1。 3分式方程 第1课时分式方程的概念 知识梳理 ①未知数 当堂练习 1B2A3A4®059号2=0.5 第2课时分式方程的解法 知识梳理 ①最简公分母0②0 当堂练习 1.C2.D3.54.解：(1)因为分式中分母不能为零，所以x≠0，且x≠3。方程的两 边都乘x一3》，得2：-3)十=r(-3).解这个方程，得x=名。经检验，x=号 是原方程的根。(2)因为分式中分母不能为零，所以x≠2，且x≠一2。方程的两边都 乘(x十2)(x一2)，得3x(x-2)十2(x十2)=3(x2一4)。解这个方程，得x=4。经检验， x=4是原方程的根。(3)因为分式中分母不能为零，所以x≠2，且x≠一2。方程的两 边都乘(x十2)(x一2)，得x(x十2)一(x十2)(x一2)=8。解这个方程，得x=2。经检 验，x=2是原方程的增根，所以，原方程无解。(4)因为分式中分母不能为零，所以x≠ 1,且x≠-1。方程的两边都乘(1十x)(1一x),得1=3(1十x)-5(1-x)。解这个方 程，得=令。经检验，=是原方程的根。 第3课时分式方程的应用 当堂练习 1B253804解：1型1k5r36(2公根搭悠意，得婴-92=10 解得x=0.6。经检验，x=0.6是所列方程的根。答：x的值为0.6。 第47页（共48页） 第六章平行四边形 1平行四边形的性质 第1课时平行四边形的边、角的性质 知识梳理 ①平行②对角线3相等相等 当堂练习 1.B2.A3.D4.C5.解：(1)：在□ABCD中，AB∥DC,∴∠EAB=∠DEA。 :∠BAD的平分线AE交DC于点E,∠DAE=25°，∴∠DAE=∠EAB=∠DEA= 25°。.∠DAB=∠C=2∠DAE=2×25°=50°。.∠B=180°-∠C=180°-50°= 130°。(2).∠DAE=∠DEA,.DE=AD。在□ABCD中，BC=5,AB=8,.AD= BC=5,CD=AB=8。,.EC=CD-DE=8-5=3。.CE的长是3。 第2课时平行四边形的对角线的性质及梯形 知识梳理 ①互相平分②不平行底上底下底腰3相等④相等 当堂练习 1.A2.C3.D4.35.解：(1)四边形ABCD是平行四边形，.OD=OB=2 .BD=4。·AD⊥BD,.∠ADB=90°。在Rt△OAD中，由勾股定理，得AD= /OA-OD=√/42-22=2W3。在Rt△ABD中，由勾股定理，得AB=√JAD+BD =√(2V3)2+42=2V7。.SOABCD=AD·BD=25X4=85。(2)SOABCD=AB· h=2V7·h=83,h=4√2虹 7 2平行四边形的判定 第1课时平行四边形的判定定理1,2 知识梳理 ①相等平行且相等 当堂练习 1.C2.D3.平行四边形两组对边分别相等的四边形是平行四边形4.证明： AB∥CD,.∠DCF=∠BAE。:DF∥BE,∴∠DFA=∠BEC。:∠DFC=180° ∠DFA,∠BEA=180°-∠BEC,.∠DFC=∠BEA。在△DFC和△BEA中， r∠DCF=∠BAE, CF=AE, .△DFC≌△BEA(ASA)。.CD=AB。又.AB∥CD,.四边形 ∠DFC=∠BEA, ABCD为平行四边形。 第2课时平行四边形的判定定理3 知识梳理 ①互相平分 当堂练习 1.D2.对角线互相平分的四边形是平行四边形3.84.证明：：四边形ABCD是平 行四边形，AB∥CD。∠FAE=∠CDE。:E是AD的中点，.AE=DE。在 x∠FAE=∠CDE, △FAE和△CDE中，AE=DE, .△FAE≌△CDE(ASA)。.EF=EC。又 ∠FEA=∠CED, AE=DE,.四边形ACDF是平行四边形。 第3课时平行线之间的距离及平行四边形判定与性质的综合 知识梳理 ①相等②相等 当堂练习 1.B2.B3.72.21°4.205.(-2,3)6.证明：连接DM。AM,BD互相平分并 相交于点O,AO=MO,BO=DO。∴.四边形ABMD是平行四边形。.AD=BM, AD∥BM。又.M为BC的中点，∴.BM=CM。.AD=CM。又AD∥CM,∴.四边 形AMCD是平行四边形。 3三角形的中位线 知识梳理 ①中点②平行 一半 当堂练习 1.D2.B3.D4.C5.55°6.307.证明：：D,F分别是边AB,AC的中点， .DF是△ABC的中位线。.DF∥BC。同理，可得DE∥AC。∴.四边形DECF是平行 四边形。 第48页（共48页）