第1章 三角形的证明(随堂反馈)-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年八年级下册数学（北师大版·新教材）

接BD。:E,H分别是AB,AD的中点，∴EH∥BD,EH=号BD。同理FG∥BD,FG =号BD。“EH∥FG,EH=FG。四边形EFGH是平行四边形。 15.(1)证明： :AF=CD,∴.AF+CF=CD+CF,即AC=DF。在Rt△ABC和Rt△DEF中， F,RAABCE≌R△DEF(HL)。∠A=∠D,AB=DE。在△A AB=DE, △DEC中，∠A=∠D,△ABF≌△DEC(SAS)。(2)解：：CE=CD,∴.∠CED= AF=DC, ∠D。.∠DEF=90°，.∠D+∠EFD=90°，∠DEC十∠CEF=90°。.∠EFD= ∠CEF。∴.CE=CF=CD=AF。W△ABC≌△DEF,∴.∠ACB=∠EFD。.BC∥ EF。:BC=EF,.四边形BFEC是平行四边形。.GF=GC,BG=GE。:S△BC= 24Sam=合Sax=2Se=12。∴SaaE=2Sesa=12. 阶段微测试（十一） 1.B2.B3.D4.B5.C6.C7.88.199.810.111.解：(1)如图， D E SAE即为∠DAB的平分线。(2)AE为∠DAB的平分线，∠DAE =∠BAE。四边形ABCD是平行四边形，.AD=BC=3,DC=AB=5,CD∥AB。 ∴∠BAE=∠DEA。∴∠DAE=∠DEA。.DE=AD=3。.CE=DC-DE=2。 12.证明：四边形ABCD是平行四边形，∴.AB=CD,∠ABC=∠ADC,AB∥CD ·.∠BAE=∠DCF:BE平分∠ABC,DF平分∠ADC,∴∠ABE=号∠ABC,∠CDF =∠ADC.·∠ABE=∠CDF,÷△BAE≌△DCF(ASA)。∴BE=DF,∠AEB =∠DFC。∴180°-∠AEB=180°-∠DFC。即∠BEF=∠DFE。∴.BE∥DF。∴.四 边形DEBF是平行四边形。13.解：(1)：E,F分别是AD,AB边的中点，.EF是 △ABD的中位线。.EF∥DB。∠ABD=∠AFE=56°。AD=AB,∴∠ADB= ∠ABD=56°。：∠ADC=146°，∴.∠BDC=∠ADC-∠ADB=146°-56°=90°。 (2)由(1)，得∠BDC=90°，在Rt△BDC中，BD=√BC-CD=√13-5=12 :EF是△ABD的中位线，∴EF=合BD-合X12=6。I4(1)证明：四边形AB- CD是平行四边形，∴.DC∥AB,∠DCB=∠DAB=60°。.∠ADE=∠CBF=60°。 ,AE=AD,CF=CB,.△AED,△CFB是等边三角形。.∠E=∠BCF=60°。 ∠FCE=∠BCF+∠DCB=120°。∠E十∠FCE=180°。∴AE∥CF。.四边形 AFCE是平行四边形。(2)解：成立。证明如下：：四边形ABCD是平行四边形，∴.DC ∥AB,∠CDA=∠CBA,∠DCB=∠DAB。.∠E+∠EAF=180°，∠ADE=∠CBF :AE=AD,CF=CB,∠E=∠ADE,∠F=∠CBF。∠E=∠F。∴∠F+∠EAF =180°。∴.AE∥CF。.四边形AFCE是平行四边形。 新趋势题型拉分练（一）过程、依据补充题 1.①角平分线的定义②直角三角形的两锐角互余③∠FAD+∠AFD=90°④等 角的余角相等⑤对顶角相等⑥等量代换⑦等角对等边2.解：(1)a一b=(a十 b)(a-b)(2)一括号前是负号，去括号时十2xy没有变号(3)原式=(2x十y十x十 y)(2x十y一x-y)=x(3x十2y)。3.解：(1)任务一：①不等式的基本性质2：不等式 的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变②一任务二：x≥1任务三： 在解一元一次不等式时，不等式两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变（答 案不唯一)(2)解不等式①，得x<1。解不等式②，得x≥一1。因此，原不等式组的 解集为-1S1:宁于在同-条，数轴上表示不等式00的解集，如 图所示。4.解：(1)①化简分式的基本性质②乙去括号时一2没变号 (2)①x-2 4 ②：x+2≠0，x-2≠0，.x≠-2,2。·当x=1时，原式=1-2 4 4.5.解：(1)平行四边形对角线互相平分等腰三角形三线合一(2)：EO=OC, 点O为CE的中点。，EA=AF,点A为EF的中点。∴AO为△EFC的中位线。 A0=FC。在R△AB0中，由勾股定理，得AB=A0十B0.(合FC)十 (号BD)=AB,整理，得FC=ABBD。3)CF的长为10. 新趋势题型拉分练（二）运用数学知识解决生活实标的情境题 1.解：任务1：设乙部门每天生产x个传统艺术织品，则甲部门每天生产2x个传统艺术 织品。根据题意，得2160-2160-18，解得x=60。经检验，x=60是所列方程的根。 2x 第40页（共48页） .2×60=120(个)。答：甲部门每天生产120个传统艺术织品，乙部门每天生产60个 传统艺术织品。任务2：①120m(36-2m)②根据题意，得m≤号(36-2m),解得 m≤9。设支付的总费用为元，则w=4800m十3000(36-2m)=-1200十 108000。.一1200<0，.随m的增大而减小。.当m=9时，w取得最小值，最小 值为-1200×9+108000=97200，此时36-2m=36-2×9=18。答：应安排甲部门 工作9天，乙部门工作18天，才能使正好完成任务时该公司支付的总工资最少，最少需 费720元.2解：任务1：根据题意，得=。5，解得a=0,3。经检验a 0.3是所列方程的根。∴.0.3十0.45=0.75（元）。答：纯电动汽车的每千米行驶费用为 0.3元，燃油车的每千米行驶费用为0.75元。任务2：纯电动汽车的年使用费用为 0.3x十6500十1230=(0.3x十7730)元，燃油车的年使用费用为0.75x十2900十 0.075x=(0.825x+2900)元。当0.3x+7730>0.825x+2900时，即x<9200。 ∴.当0<x<9200时，购买燃油车比较划算；当0.3x十7730=0.825x+2900时，即 x=9200。∴.当x=9200时，购买纯电动汽车和燃油车均可；当0,3x十7730<0.825x +2900时，即x>9200。.当x>9200时，购买纯电动汽车比较划算。答：当0<x< 9200时，购买燃油车比较划算；当x=9200时，购买纯电动汽车和燃油车均可；当x> 9200时，购买纯电动汽车比较划算。 新趋势题型拉分练（三）（半）开放性、新定义试题 1.x十1≥0（答案不唯一）2.解：①做分子，@做分母，得+4红y+4y= x2-4y (x+2y)2 22+2-。（答案不唯一)3,1)证明：22-20=21×42 20是“佳偶和谐式”。(2)证明：设这两个连续偶数分别为2,2十2，则(2n十2)2一 (2n)2=(2n十2十2n)(2n十2-2n)=2(4n十2)=4(2n十1)。..任意两个连续偶数的平 方差都能被4整除，这些算式都是“佳偶和谐式”。(3)解：设任意两个偶数分别为2a, 2b,∴.(2a)2-(2b)2=(2a十2b)(2a-2b)=4(a十b)(a-b)。.任意两个偶数的平方差 都能被4整除，它们的算式都是“佳偶和谐式”。.该命题是真命题。4.解：(1)甲方 案.证明如下：，四边形ABCD是平行四边形，∴.AB∥CD,AB=CD.∴∠BAE= ∠DCF。O是AC的中点，.OA=OC。E,F分别是OA,OC的中点，.AE= 2OA,CF=OC。÷AE=CF.÷△ABE≌△CDF(SAS).∴BE=DF,∠AEB= ∠CFD。∴.180°-∠AEB=180°-∠CFD,即∠BEF=∠DFE。∴.BE∥DF。∴.四边 形BEDF是平行四边形。乙方案.证明如下：：BE⊥AC,DF⊥AC,·∠AEB=∠CFD =∠BEF=∠DFE=90°。∴.BE∥DF。.四边形ABCD是平行四边形，·AB∥CD, AB=CD。.∠BAE=∠DCF。.△ABE≌△CDF(AAS)。.BE=DF。.四边形 BEDF是平行四边形。（任选一个证明即可）(2).四边形BEDF是平行四边形，，.OE =OF。∴.EF=2OE。:EF=2AE,∴.OE=AE。∴.OE=AE=CF=OF。.SAAx= SAACD=4S△DE=4X4=16。.SOABCD=2X16=32。 新趋势题型拉分练（四）数学文化、跨学科试题 1.B2.A3.A4.D5.C6.解：当R=19.72,R2=32.42,R=35.92,I= 2.5A时，U=IR1+IR2+IR:=I(R1+R2十R3)=2.5×(19.7+32.4+35.9)=2.5X 88=220(V)。 新趋势题型拉分练（五）综合实践探究试题 1.解：(1)(a十b)2=a2+2ab十b(2)(a十b)(a十3b)(3)由题意，得Sm影=a2+ab+ 6-2a(a+b)-号6a十26)=号a=32,解得a=8(负值已舍去)。：a6=24,6= 3.2.解：(1)∴.AM=BM=AB=20.∴.DE=CM=BC+BM=60,AE=EM-AM= 50。.∴.五边形ABCDE的周长为AB十BC+CD十DE+AE=20十40十70+60十50= 240。(2)延长FA,CB交于点P,延长FE,CD交于点Q。:∠FAB=∠CBA=∠FED =∠CDE=120°，∴.∠PAB=∠PBA=∠DEQ=∠EDQ=60°。∴.∠P=60°，∠Q= 60°。∴△ABP与△DEQ是等边三角形。.AP=BP=AB=4,DQ=EQ=DE=2。 .CQ=CD+DQ=10,CP=BP+BC=5。.∠C=∠AFE=120°，∠P=∠Q=60°， ∴.四边形PCQF是平行四边形。.PF=CQ=10,FQ=CP=5。.AF=PF-AP=6, EF=FQ-EQ=3。·.六边形ABCDEF的周长为AB+BC十CD+DE十EF+AF=4 十1十8十2+3十6=24。S大边形ACDr=20V3。【解析】过点F作FH⊥CQ于点H,过点B 作BMLPA于点M,过点G作ENLDQ于点N.易得FH-5,BM=2,NE=5。 Samm=Sam-Sm-Saw=10X9×4X5-合×2X5=205。 第41页（共48页） 随堂反馈答案 第一章三角形的证明及其应用 1三角形内角和定理 第1课时三角形内角和与全等三角形的性质与判定 知识梳理 ①180°2对边3相等相等 当堂练习 1.D2.C3.B4.∠C=∠E(答案不唯一)5.43°6.证明：AC是∠BAE的平分 ∠BAC=∠DAE, 线，.∠BAC=∠DAE。在△BAC和△DAE中，∠C=∠E, ..△BAC≌ AB-AD. △DAE(AAS)。.BC=DE。 第2课时三角形内角和定理的推论 知识梳理 ①反向延长线 当堂练习 1.B2.B3.75°4.∠1<∠2<∠35.解：：∠A=75°，∠1=145°，∴.∠ABC=∠1 -∠A=145°-75°=70°。∴.∠2=180°-∠ABC=180°-70°=110°。6.证明： (1).'∠AEC=∠B+∠EOB,∠ADB=∠C+∠DOC,且∠B=∠C,∠EOB=∠DOC, .∠AEC=∠ADB。(2):∠BEC=∠C+∠A>∠C,∠B=∠C,∠BEC>∠B。 第3课时多边形的内角和 当堂练习 1.B2.A3.六4.解：两个多边形的边数之比为1：2，.设一个多边形的边数为 测另一个多边形的边数为如，内角和度数之此为1：3合：部=子 解得n=4。经检验，n=4是所列方程的根，且符合题意。∴2n=8。∴.这两个多边形 的边数分别为4,8。 第4课时多边形的外角和 当堂练习 1.360°2.C3.解：(1)设这个多边形的边数是n。由题意，得(n-2)×180°=360°×3 十180°，解得n=9。答：这个多边形的边数是9。(2)由(1)知该多边形是正九边形， 该正多边形-个内角的度数是9-2)X180°=140。 9 2等腰三角形 第1课时等腰三角形与等边三角形的性质 知识梳理 ①相等中线高②相等60 当堂练习 1.D2.C3.404.75°5.解：AD=AB,.∠ADB=∠ABD=50°。.∠BDC= 180°-∠ADB=130°。：BD=DC,DE为边BC的高，.DE平分∠BDC。.∠BDE= 号∠BDC=65.6证明：△ABC是等边三角形，∴AC=AB,∠A=∠B=60 AD=BE, :AD=CF,.BD=AF。在△ADF和△BED中，∠A=∠B,.△ADF≌△BED(SAS). AF=BD, 第2课时等腰三角形的判定与反证法 知识梳理 ①两等角对等边 当堂练习 1.C2.A3.AB=AC4.证明：BF平分∠ABC,∴∠ABF=∠CBF。:∠BAC 90°，AD⊥BC,∴.∠ABF+∠AFB=∠CBF+∠BED=90°，.∠AFB=∠BED :∠AEF=∠BED,∴∠AFE=∠AEF。AE=AF。5.解：已知：在△ABC中，AB =AC.求证：∠B<90°。证明：假设∠B≥90°。，AB=AC,∴.∠B=∠C≥90°，∴∠B+ ∠C≥180°。∴.∠A十∠B十∠C>180°，这与三角形内角和定理矛盾，则假设不成立。 .∠B<90°。 第3课时等边三角形的判定与含30°角的直角三角形的性质 知识梳理 ①相等60°2一半 当堂练习 1.D2.C3.22.5cm4.解：AB=AC,∠BAC=120°，∴.∠B=∠C=30°。 ∠BAC=120°，∠BAP=90°，∴.∠PAC=30°。∴.∠C=∠PAC。.AP=CP=6cm。 第42页（共48页） ∠BAP=90°，∠B=30°，∴.BP=2AP=12cm。5.证明：△ABO是等边三角形， ∴∠A=∠B=∠AOB=60°。CD∥AB,∴.∠D=∠B=60°，∠C=∠A=60°。 又：∠COD=∠AOB=60°，∴∠C=∠D=∠COD。∴△OCD是等边三角形。 3直角三角形 第1课时直角三角形的性质与判定 知识梳理 ①互余平方和②互余平方和 当堂练习 1.D2.A3.直角4.有两个角相等的三角形是等腰三角形真5.直角6.(1)证 明：AD为BC边上的高，∠B十∠BAD=90°。∠B=∠CAD,∴.∠CAD十 ∠BAD=90°，即∠BAC=90°。∴△ABC是直角三角形。(2)解：由(1)知△ABC是直 角三角形，BC=√AB+AC=√+3-5。：2AB·AC=号BC·AD,.AD= AB.AC_4X3-12 BC 5 5 第2课时直角三角形全等的判定 知识梳理 ①斜边、直角边HL 当堂练习 1.D2.A3.24.解：如图，M4 Rt△AOB即为所求。5.(1)证明：在 B Rt△ABD和Rt△CBD中， BD=BD·:Rt△ABD≌R△CBD(HL)。（2)解： BA=BC. :R△ABD≌R:△CBD,∠ABC=70,∠ABD=∠CBD=号∠ABC=35。 ∴∠BDC=90°-∠CBD=55°。 4线段的垂直平分线 第1课时线段垂直平分线的性质与判定 知识梳理 ①相等②相等 当堂练习 1.B2.A3.24.解：·ED是AC的垂直平分线，.EA=EC。∠C=∠EAC。 ∴∠CAB=∠EAC+∠BAE=∠C+20°。·∠C+∠CAB=90°，.2∠C+20°=90°。 ∴∠C=35°。5.证明：AD⊥BE,BD=DE,AD垂直平分BE。∴AB=AE。又 :AB+BD=DC,∴AE+DE=DC。又DC=DE十CE,∴AE=EC。.点E在线段 AC的垂直平分线上。 第2课时三角形三边的垂直平分线 当堂练习 1.C2.C3.74.145.36.解：(1)如图， EF即为所求。(2)连 头D 接AE。AE=BE,∠B=35°，.∠BAE=∠B=35°。∴·∠AED=∠B+∠BAE= 70°。：AD⊥BC,D为CE的中点，.AC=AE。∠C=∠AED=70°。 5角平分线 第1课时角平分线的性质与判定 当堂练习 1.C2.33.65°4.65.证明：(1)连接AP。在Rt△APE和Rt△APF中， AP=AP:R△APE≌Rt△APF(HL)。∴PE=PF。(2)PE=PF,且PE⊥AB, AE=AF, PF⊥AC,∴AP平分∠BAC。.点P在∠BAC的平分线上。 第2课时三角形的三条角平分线 当堂练习 1.D2.C3.115°4.解：如图， 点D即为所求。5.解：BO,CO分别平 第43页（共48页） 分∠ABC,∠ACB,OD⊥AB,OE⊥BC,OF⊥AC,.OF=OE=OD=4。'△ABC的周 长为20AB+BC+AC=20.SAe=Sam十Sae+Sae=2AB·0D十 号BC,0E+2AC.0F=号(AB+BC+AC)·0D=2×20X4=40. 第二章不等式与不等式组 1不等式及其性质 第1课时不等关系 当堂练习 1.C2.D3.解：(1)x+17<5。(2)-x-1≥2。(3)m-2≥0 第2课时不等式的解与解集 当堂练习 1 1.0,3,- 2.解：(1) (2)， 2 -65-4-3-2-10 012345 (3), (4)☐ 012345 -4-3-2-10 第3课时不等式的基本性质 知识梳理 ①不变>②不变>>3改变<< 当堂练习 1.D2.D3.解：(1)正确。理由如下：由不等式的基本性质1，将不等式的两边都加 上3a,得b3a,故正确。(2)不正确。理由如下：由不等式的基本性质3，将不等式的 两边都除以一5，得x<一4，故不正确。4.解：(1)根据不等式的基本性质1，两边都 加1，得x一1十1<8十1，即x<9。(2)根据不等式的基本性质1，两边都减去2x,得3x z3一2，即x<一3。(3)根据不等式的基本性质3，两边都除以2， >马2，即x>-3。(④)根据不等式的基本性质2，两边都乘2，得之X2>(-3)×2, 即x>-6。 2一元一次不等式 第1课时一元一次不等式的解法 知识梳理 ①整式1 当堂练习 1.B2.A3.D4.解：(1)移项，得2x≥-1十5。合并同类项，得2x≥4。两边都除 以2，得≥2。这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示。01一 (2)移项，得-3x>8十1。合并同类项，得-3x>9。两边都除以-3，得x<-3。这个 不等式的解集在数轴上的表示如图所示。3202 (3)去括号，得5x 5<4十2x。移项，得5x-2x<4十5。合并同类项，得3x<9。两边都除以3，得x<3。 这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示。1014方（④)去分母，得18 3(x-2)≤2x。去括号，得18-3x十6≤2x。移项，得-3x-2x≤-6-18。合并同类 项，得-5x≤一24。两边都除以一5，得x≥号。这个不等式的解集在数轴上的表示如 图所示 24 5 0123456 第2课时一元一次不等式的应用 当堂练习 1,D2.B3.B4.175.解：设需要租用甲种客车x辆，则租用乙种客车(8一x)辆。 根据题意，得45x十30(8-x)≥300。解得x≥4。答：至少需要租用甲种客车4辆。 3一元一次不等式与一次函数 第1课时一元一次不等式与一次函数 知识梳理 ①x>c②x=c③x<c 当堂练习 1.B2.D3.x<-24.(-3,0)5.解：(1)x=2。(2)x>2。(3)当x≤2时，y≥0。 第2课时一元一次不等式与一次函数的应用一选择方案 1.解：(1)180.2(2)设乙复印社收费情况y关于复印页数x的函数表达式为y=kx 十么.把0,18)和0,2代人表达式，得合；=2.每得合乙复印社收 b=18。 费情况y关于复印页数x的函数表达式为y=0.08x十18，一次项系数的实际意义为每 第44页（共48页） 张收费0.08元。(3)由(1)知，甲复印社收费情况y关于复印页数x的函数表达式为y =0.2x。令0.2x=0.08x十18，解得x=150。答：当每月复印150页时，两复印社实际 收费相同。(4)当x=200时，甲复印社的收费为0.2×200=40（元），乙复印社的收费 为0.08×200十18=34（元）。.40>34，∴.如果每月复印200页，应选择乙复印社。 2.解：(1)按优惠方案一可得y=20×4十(x-4)×5=5x十60(x≥4)；按优惠方案二可 得y2=(5x+20×4)×90%=4.5x+72(x≥4)。(2)y-2=(5x+60)-(4.5x+72) =0.5x-12(x≥4)。①当y-y2=0时，0.5x-12=0,解得x=24。故当x=24时，两 种优惠方案付款一样多。②当y1一<0时，0.5x一12<0，解得x<24。故当4≤x< 24时，y<y2,选优惠方案一较划算。③当y1-y>0时，0.5x一12>0，解得x>24。 故当x>24时，y1>y,选优惠方案二较划算。 4一元一次不等式组 知识梳理 ②公共部分 当堂练习 1.C2.C3.14.a≥-35.解：(1)解不等式①，得x>1。解不等式②，得x<7。 在同一条数轴上表示不等式0@的解集，如图所示。个寸。女因此， 原不等式组的解集为1<x<7。(2)解不等式①，得x≤3。解不等式②，得x>-1。在 同一条数轴上表示不等式①②的解集，如图所示。一之。十之 二因此，原不等 式组的解集为一1<x3。 第三章图形的平移与旋转 1 图形的平移 第1课时平移的概念、性质及作图 当堂练习 1.D2.C3.74.65.解：(1)如图， △A'B'C即为所求。 (2)AA'∥BB',AA'=BB 第2课时沿x轴或y轴方向一次平移的坐标变化 当堂练习 1.C2.D3.C 第3课时沿x轴或y轴方向两次平移的坐标变化 当堂练习 1.D2.D 3.解：(1)△ABC的面积为号×3×5=75。(2)如图， △A'B'C即为所求，点C的坐标为(1,1)。 -6-5-4 2 图形的旋转 第1课时旋转的概念及性质 当堂练习 1.C2.B3.120°4.35.30°6.解：(1)由旋转性质，得AB=AD,AC=AE, ∠BAD=∠CAE。:AB=AC,.AD=AE。∴.△ABD≌△ACE(SAS)。(2):∠CAE =100,AC=AE∠ACE=号(180-∠CAE)=7×180°-100)=40. 第2课时旋转作图 当堂练习 1.D2.解：如图 △A'B'C'即为所求。 第45页（共48页）第一章三角形的证明及其应用 1三角形内角和定理 第1课时三角形内角和与全等三角形的性质与判定 知识梳理 ①三角形三个内角的和等于 ②两角分别相等且其中一组等角的 相等的两个三角形全等(AAS).判定两个三角 形全等的其他方法有SSS,SAS,ASA。 目全等三角形的对应边 、对应角 当堂练习 1.在△ABC中，若∠A=90°，∠B=40°，则∠C的度数为 A.35° B.40° C.45° D.50° 2.如图，△ACB≌△A'CB',∠ACB=70°，∠ACB'=100°，则∠BCA'的度数为 A.309 B.35 C.40° D.50° B (第2题图) (第3题图) (第4题图) (第5题图) 3.如图，AB∥CD,∠DEC=100°，∠C=40°，则∠B的度数是 ( A.309 B.40° C.50° D.60° 4.如图，已知点A,D,B,F在一条直线上，∠A=∠F,AD=FB,要使△ABC≌△FDE,还 需添加一个条件，这个条件可以是 。（只需填一个即可) 5.如图，BD=BC,BE=CA,∠DBE=∠C=62°，∠BDE=75°，则∠A的度数为 6.如图，AC是∠BAE的平分线，D是线段AC上一点，∠C=∠E,AB=AD。求证： BC=DE。 ·1 第2课时三角形内角和定理的推论 知识梳理 ①△ABC内角的一条边与另一条边的 组成的角，称为△ABC 的外角.如图，∠1是△ABC的一个外角。 ②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；三角形的一个外角大 于任何一个和它不相邻的内角。 当堂练习 1.如图，下列是△ACD的外角的是 ) A.∠B B.∠ACB C.∠BAC D.∠DAE E 7 509 700 D B (第1题图) （第2题图) (第3题图) (第4题图) 2.如图，在△ABC中，∠A=50°，∠C=70°，则∠ABD的度数是 ( A.110° B.120° C.130° D.140° 3.将一副三角尺按如图所示的方式放置，使含30°角的三角尺的短直角边和含45°角的三 角尺的一条直角边重合，则∠1的度数是 4.如图，∠1，∠2，∠3的大小关系是 。(用“”连接) 5.如图，∠1和∠2是△ABC的外角，若∠A=75°，∠1=145°，求∠2的度数。 6.如图，点D,E分别在AC,AB上，且∠B=∠C。 求证：(1)∠AEC=∠ADB; (2)∠BEC>∠B。 ·2· 第3课时多边形的内角和 当堂练习 1.多边形的内角和不可能是 A.180° B.700° C.900° D.1080° 2.如图，AC是正五边形ABCDE的对角线，∠ACD的度数是 A.72 B.36° C.74° D.88° 3.一个多边形从一个顶点引对角线把它分割成4个三角形，则它是 边形。 4.若两个多边形的边数之比是1：2，内角和度数之比为1：3，求这两个多边形的边数。 第4课时多边形的外角和 当堂练习 1.四边形的外角和等于 2.如果一个正多边形的内角和是外角和的2倍，那么这个正多边形是 A.等边三角形 B.正方形 C.正六边形 D.正八边形 3.已知一个多边形的内角和比外角和的3倍多180°。 (1)求这个多边形的边数； (2)若这个多边形是正多边形，则该正多边形一个内角的度数是多少？ ·3· 2等腰三角形 第1课时等腰三角形与等边三角形的性质 知识梳理 ①等腰三角形的两底角 ,简述为等边对等角；等腰三角形顶角的平分线、底边上的 、底边上的 重合。 ②等边三角形的三个内角都 ,并且每个角都等于 当堂练习 1.一个等腰三角形的底角为70°，则它的顶角为 A.100° B.1409 C.50° D.40° 2.如图，△ABC为等边三角形，则∠1的度数为 A.60° B.90° C.120° D.150° (第2题图) (第3题图) (第4题图) 3.如图，在△ABC中，AB=AC,AD是∠BAC的平分线，BD=4,AD=10,则△ABC的面 积为 4.如图，在等边三角形ABC中，AD是边BC的中线，E为边AC上一点，且AE=AD,则 ∠ADE的度数为 5.如图，在△ABC中，D为AC边上一点，AD=AB,连接BD,BD=DC,DE为边BC上的 高。若∠ABD=50°，求∠BDE的度数。 6.如图，在等边三角形ABC中，点D,E,F分别在边AB,BC,AC上，且AD=BE=CF。 求证：△ADF≌△BED。 4· 第2课时等腰三角形的判定与反证法 知识梳理 ①有 个角相等的三角形是等腰三角形，简述为 ②在证明时，先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条 件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立，这种证明方法称为反证法。 当堂练习 1.在△ABC中，下列能判定△ABC是等腰三角形的是 A.∠A=30°，∠B=60° B.∠A=70°，∠B=50° C.∠A=40°，∠B=70° D.∠A=60°，∠B=80° 2.如图，已知OC平分∠AOB,CD∥OB。若OD=3,则CD的长为 B A.3 B.4 C.1.5 D.2 3.用反证法证明：“在△ABC中，已知∠B≠∠C,则AB≠AC”,应首先假设 4.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D,BF平分∠ABC交AD于点E,交 AC于点F。求证：AE=AF。 5.用反证法证明：在△ABC中，若AB=AC,则∠B<90°。 ·5· 第3课时等边三角形的判定与含30°角的直角三角形的性质 知识梳理 ①三个角都 的三角形是等边三角形；有一个角等于 的等腰三角形是等边三 角形。 ②在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的 3当题中出现15°，120°，150°求线段长度时，可考虑构造30°的角，再构造直角三角形。 当堂练习 1.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=6,则AB的长为 A.6 B.6√2 C.6√3 D.12 2.如图，在△ABC中，下列条件能说明△ABC是等边三角形的是 A.AB=AC,∠B=∠C B.AD⊥BC,BD=CD C.BC=AC,∠B=∠C D.AD⊥BC,∠BAD=∠CAD M (第2题图) (第3题图) 3.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=60°，∠BAC的平分线为AM,且AM的长为 15cm,则BC的长为 4.如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=120°，P是BC上一点，且∠BAP=90°，CP= 6cm,求BP的长。 5.如图，△ABO是等边三角形，CD∥AB,分别交AO,BO的延长线于点C,D。 求证：△OCD是等边三角形。 ·6· 3直角三角形 第1课时直角三角形的性质与判定 知识梳理 ①直角三角形的两个锐角 ；勾股定理：直角三角形两直角边的 等于斜 边的平方。 ②有两个角 的三角形是直角三角形；如果三角形两边的 等于第三边的 平方，那么这个三角形是直角三角形。 ③在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两 个命题称为互逆命题，如果把其中一个命题称为原命题，那么另一个命题就称为它的逆 命题。如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，其中一个定理 称为另一个定理的逆定理。 当堂练习 1.下列各组数中，以它们为边长的线段能构成直角三角形的是 A.2,4,5 B.6,8,11 C.5,12,12 D.1,1,√2 2.如图，AB∥DF,AC⊥CE于点C,BC与DF交于点E。若∠A=20°，则 ∠CEF的度数为 ) B A.110° B.100° C.80° D.70 3.已知∠A=37°，∠B=53°，则△ABC为 三角形。 4.“等腰三角形的两底角相等”的逆命题是 ,这个逆命 题是 (选填“真”或“假”)命题。 5.若三角形的三边长分别为a,b,c,且(a十b)2-c2=2ab,则此三角形是 三角形。 6.如图，在△ABC中，AD为BC边上的高，已知∠B=∠CAD,AB=4,AC=3。 (1)求证：△ABC是直角三角形； (2)求AD的长。 ·7· 第2课时直角三角形全等的判定 知识梳理 ①斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，简述为“ ”或“ ”。 ②“HL”只适合直角三角形，不适合一般三角形；判定两个直角三角形全等，既可以用 “SSS”“SAS”“ASA”“AAS”,也可以用“HL” 当堂练习 1.如图，∠B=∠E=90°，AB=DE,AC=DF,则判定△ABC≌△DEF的理由是( ) A.边角边 B.角边角 C.角角边 D.斜边、直角边 B (第1题图) (第2题图) (第3题图) 2.如图，BD⊥AB,BD⊥CD,添加下列条件后能用“斜边、直角边”判定△ABD≌ △CDB的是 ( A.AD=CB B.AB=CD C.∠A=∠C D.AD∥BC 3.如图，BELAC于点B,AB=BD=3,AE=CD,BC=5,则DE的长为。 4.已知：直角∠MON和线段a,b。 求作：Rt△AOB,使∠AOB=90°，且顶点A,B分别在射线OM,ON上，直角边OA=a, 斜边AB=b。 M b 5.如图，在四边形ABCD中，BA=BC,∠A=∠C=90°。 (1)求证：△ABD≌△CBD: (2)若∠ABC=70°，求∠BDC的度数。 ·8· 4线段的垂直平分线 第1课时线段垂直平分线的性质与判定 知识梳理 ①线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离 ②到一条线段两个端点距离 的点，在这条线段的垂直平分线上。 当堂练习 1.如图，直线1是线段AB的垂直平分线，P是直线1上一点，PA=5,则PB的长度为( ) A.6 B.5 C.4 D.3 (第1题图) (第2题图) (第3题图) 2.如图，在△ABC中，∠C=20°，DE是边AC的垂直平分线，交BC于点E,连接AE,则 ∠CAE的度数为 A.20° B.40° C.50° D.70° 3.如图，在△ABC中，AB=AC,D是BC上的一点，O是AD上一点，且OB=OC。若 BC=4,则BD的长为 4.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D,交BC于 点E。已知∠BAE=20°，求∠C的度数。 B E 5.如图，在△ABC中，AD是高，在线段DC上取一点E,使BD=DE,已知AB+BD=DC。 求证：点E在线段AC的垂直平分线上。 ·9· 第2课时三角形三边的垂直平分线 当堂练习 1.如图所示的作图痕迹是 A.作线段的垂直平分线 B.作一个角的平分线 C.过一点作已知直线的垂线 D.作一个角等于已知角 D (第1题图) (第2题图) (第3题图) (第4题图》 2.如图，在足球场内有A,B,C三个运动员，现准备在足球场内放一个足球，使它到三个运 动员的距离相等，则足球应放在 ( A.AB,AC两边高线的交点处 B.AC,BC两边中线的交点处 C.AC,BC两边垂直平分线的交点处 D.∠A,∠B两内角平分线的交点处 3.如图，在△ABC中，AB=AC,以点B为圆心，BC长为半径画弧，交AC于点C,D;再分 别以点C,D为圆心，大于CD的长为半径画弧，两弧相交于点P;作射线BP,交AC于点 E。若AD=5,CE=1,则AB的长为 4.如图，在△ABC中，AC=5,BC=7,AB=9。用尺规作图的方法在边AB上确定一点D, 则△ACD的周长为 5.如图，已知△ABC的边AB,BC的垂直平分线相交于点P,连接AP, BP,CP。若AP=3,则CP的长为。 6.如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D。 (1)请作出AB的垂直平分线，分别交BC,AB于点E,F; (2)若D为线段CE的中点，∠B=35°，求∠C的度数。 ·10·