第1章 问题解决策略：反思&第1章 三角形的证明及其应用 章末复习-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年八年级下册数学（北师大版·新教材）

问题解决策略：反思 【导语】“反思”并非解题后的冗余环节，而是深化思雏深度的核心策略。本次聚焦“一题多变”：以基 础题为依托，通过变更条件、转换设问、拓展场景，打破思维定式，挖掘题目背后潜藏的数学规律。 1.一题多变思维延伸小明想要证明命题：等腰 【进阶反思】挖掘隐含条件，在△ABC中，AB 三角形两腰上的中线相等。 AC,通过对称性易得△ABC≌△ACB,上述 请将该命题的已知与求证补充完整，并证明。 结论拓展到全等三角形对应中线、高、角平 已知：如图，在△ABC中，AB= ,CM, 分线的性质方面，可得全等三角形对应边上 BN分别为AB,AC边上的中线。 的中线、高、角平分线分别 【策略运用】如图，在△ABC中，AB=AC,点 求证： D,E分别在边AB和AC上，连接BE,CD, 交点为F。若AB=4AD,AC=4AE,则下列 结论不一定正确的是 ( A.BE=CD B.∠ABE=∠ACD C.DF-EF D.CF-CE 2.一题多变思维延伸将1~7这7个数字填入 下图7个直线型圆圈内，使得相邻两数差的 绝对值的和最大。 拓展思考：若M,V分别是腰AB,AC上的三等分 核心策略：让最大数与最小数交替排列，通 点，则CM与BN仍然相等吗？n等分点呢？ 过最大化每一步的差值来累加相邻两数差 【变式题1】等腰三角形两腰上的中线→高 的绝对值的总和 如图，在△ABC中，AB=AC,BD⊥AC于点 D,CE⊥AB于点E。若BD=3,则CE的长 为 【变式题1】改变条件，直线型环形（首尾相连） 将1~7填入图中7个圆圈内，统计相邻两个圆 圈之差（大减小），那么7个差之和最大为 (变式题1图)（变式题2图）（策略运用图） 【变式题2】等腰三角形两底角的平分线 如图，在△ABC中，AB=AC,BD和CE是 △ABC的角平分线。若BD=3,则CE的长 为 (变式题1图) (变式题2图) 【变式题2】改变条件，增加数字 拓展思考：若∠ACE=1∠ACB,∠ABD=1 ABC, 将0~8这9个数字填入图中9个圆圈内，使 则CE与BD仍然相等吗？ 得相邻两数差的绝对值的和最大，这个最大 【归纳总结】等腰三角形两腰上的中线、高、 值为 两底角的平分线分别 提示 清完成阶段微测试（二)[1.3一1.5] 33第一章三角形的证明及其应用 第一章 章末复习 【思维导图 ◆。·构建知识体系 定理三角形三个内角的和等于 推论一三角形的一个外角等于和它 的两个内角的和， 任何一 三角形内角和 个和它不相邻的内角 -n边形的内角和等于 多边形的内角和与外角和 多边形的外角和都等于 性质一等边对 ;三线合 等腰三角形 判定一等角对 角形的证 性质一三个角都等于 等边三角形 判定一三个角都 的三角形；有一个角等于 的等腰三角形 30°所对直角边的性质一30°角所对直角边等于斜边的 直角三角形 勾股定理及其逆定理 直角三角形全等的判定 线段的垂直平分线 性质 点到线段两个端点的距离 判定 角平分线 性质 判定 点到角的两边的距离 T考点整合 ◆●◆直击核心要点 考点1三角形内角和定理及推论 (1)求∠BAE的度数： 1.如图，在△ABC中，∠A=50°，∠C=70°，BD (2)若AE平分∠BAC,求∠ACD的度数。 平分∠ABC,交AC于点D,那么∠BDC的 度数是 ( ) A.60° B.70° C.80° D.90° P 起重机 B (第1题图) (第2题图) 2.生产生活情境化一台起重机的工作简图如 图所示，前后两次吊杆位置OP1,OP2与线 绳（线绳垂直于地面）的夹角分别是35°和 80°，则吊杆前后两次的夹角∠P1OP2的度 考点2多边形的内角和与外角和 数为 4.下列多边形中，内角和等于360°的是( 3.如图，CD是△ABC的高线，E为BC边上的 一点，连接AE交CD于点F,∠BCD=I0°， ∠AEB=75°。 数学八年级下册配BS版34 5.(凉山中考)已知一个多边形的内角和是它 A.∠A=2∠B=3∠C 的外角和的4倍，则从这个多边形的一个顶 B.∠A=∠C-∠B 点处可以引对角线的条数为 ( C.a:b:c=3:4:5 A.6 B.7 C.8 D.9 D.a2=(b+c)(b-c) 考点3等腰三角形的性质与判定 10.如图，为了求出湖西岸A,B两点之间的距 6.如图，在△ABC中，AB=AC,∠C=72°，BD 离，观察者在湖边找到了一点C,并分别测得 平分∠ABC交AC于点D,则图中等腰三角 ∠BAC=90°，∠ABC=30°，又量得BC= 形的个数为 100m,则A,B两点之间的距离为 A.0 B.3 C.2 D.1 (第10题图) (第11题图) 考点5线段的垂直平分线和角平分线 (第6题图) (第7题图) 11.(连云港中考)如图，在△ABC中，BC=7,AB 7.如图，△ABC和△ADE均为等边三角形，点 的垂直平分线分别交AB,BC于点D,E,AC B,D,E在同一直线上，若∠EBC=35°，则 的垂直平分线分别交AC,BC于点F,G,则 ∠ECA的度数为 △AEG的周长为 ( Λ.35° B.25 C.30° D.45 A.5 B.6 C.7 D.8 8.如图，在等边三角形ABC中，点D,E分别 12.如图，AP是△ABC的外角∠DAC的平分 在边BC,AC上，且DE∥AB,过点E作 线，交BC边的垂直平分线于点P,PDL EF⊥DE,交BC的延长线于点F。 AB于点D,PE⊥AC于点E。 (1)求∠F的度数： (1)求证：BD=CE; (2)求证：△CEF是等腰三角形。 (2)若AB=6cm,AC=10cm,求AD的长。 考点4直角三角形 9.已知△ABC的三边长分别为a,b,c,由下列 条件不能判断△ABC是直角三角形的是 35第一章三角形的证明及其应用 聚焦课标 ,强化情境任务 13.新定义新趋势根据引入概念，理解应用概念。 经历数学概念的学习过程 如果一个三角形的三个角分别与另一个三角形的三个角相等，那么称这两个三角形 概念1 互为“等角三角形”。 引入概念 连接不等边三角形的一个顶，点和它对边上一点的线段，将不等边三角形分成两个小三 概念2 角形，若一个小三角形为等腰三角形，另一个小三角形与原来三角形互为“等角三角 形”，我们把这条线段叫作这个三角形的“等角分割线”。 问题解决 (1)如图①，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥ 任务1 AB,写出图中两对“等角三角形”。 ① ;② 。 图① 理解概念 (2)如图②，在△ABC中，CD为角平分线，∠A= 任务2 40°，∠B=60°。 求证：CD是△ABC的“等角分割线”。 D 图② (3)在△ABC中，若∠A=42°，CD为△ABC的“等角分割线”，写出∠ACB可能的 应用概念 任务3 度数（写出一个即可）。 数学八年级下册配BS版36△ABC即为所求。4.B5.246.解：：点P为△ABC三边垂直平分线的交点， .PA=PC=PB。∴∠PAB=∠PBA,∠PAC=∠PCA=18°，∠PBC=∠PCB=32°。 ÷∠PAB=合(180°-2∠PAC-2∠PCB)=号×(180-2X18°-2X329=40. 7.C8.解：如图， 点P即为所求。 A。 能力提升 9.D10.B11.1212.解：(1)如图， 直线MN即为所求。(2)，∠A =32°，AB=AC,∠ABC=∠ACB=2(180°-∠A)=74°。MN垂直平分AB, BD=AD。∴∠ABD=∠A=32°。∴.∠DBC=∠ABC-∠ABD=42°。 思维拓展 13.(1)证明：连接PB,PC。PE垂直平分AB,PM垂直平分AC,.PA=PB,PA= PC。PB=PC。点P在线段BC的垂直平分线上。(2)证明：PE垂直平分AB, .PA=PB,FA=FB。.∠PAB=∠PBA,∠FAB=∠FBA。,.∠PAB-∠FAB= ∠PBA-∠FBA,即∠PAF=∠PBF。同理，得∠PAN=∠PCN。由(1)，得PB= PC,.∠PBF=∠PCN。·∠PAF=∠PAN,即AP平分∠FAN。(3)解：18Oe 2 5角平分线 第1课时角平分线的性质与判定 基础过关 1.B2.C3.44.证明：：∠C=90°，DE⊥AB,AD是∠BAC的平分线，.DE=DC, DE=DC, ∠C=∠DEB=9O°。在△DEB和△DCF中，∠DEB=∠C,∴.△DEB≌△DCF BE=FC, (SAS),∴BD=FD。5.36.D7.A8.证明：DE⊥AB,DF⊥AC,∴∠BED= ∠CFD=90°。：D是BC的中点，∴.BD=CD。在Rt△BDE和Rt△CDF中， BD=CD,:R△BDE≌R△CDF(HL)。DE=DF。DE⊥AB,DF⊥AC,AD BE=CF, 平分∠BAC。 能力提升 9.C10.C11.D12.解：如图， 点M即为所求。13.证明：过点D B 作DE⊥AB于点E,则∠AED=90°=∠C。AD平分∠CAB,DC⊥AC,.CD=DE ∠ACD=∠AED=90°，AD=AD,.Rt△ADC≌Rt△ADE(HL)。AC=AE。 △ABC是等腰直角三角形，∴∠B=45°。∴∠BDE=90°-∠B=45°。DE=EB。 CD=EB。∴AB=AE+EB=AC+CD。 思维拓展 14.【定理】解：AC平分∠BAD【运用】证明：过点C作CM⊥AB于点M,过点C作 CN⊥AD交AD的延长线于点N。:CN⊥AD,CM⊥AB,.∠N=∠BMC=90°。 ∠BAD+∠BCD=180°，∴.∠ADC+∠B=180°。：∠CDN+∠ADC=180°，∴.∠B =∠CDN。.'BC=CD,.△CBM≌△CDN(AAS)。..CM=CN。.'CN⊥AD,CM⊥ AB,∴.AC平分∠BAD。 专题六利用角平分线构造全等三角形解题【通性通法】 1.证明：过点C作CF⊥AB于点F,则∠AFC=90°。：∠D=90°，.CD⊥AD。AC 平分∠BAD,CD=CE。在Rt△ADC和R△AFC中，CSC,Rt△ADCg Rt△AFC(HL)。:.AD=AF。同理，得BF=BE,.AB=AF十BF=AD+BE。 BC=FC, 【变式题】证法一：证明：在△BCE和△FCE中，)∠BCE=∠FCE,.△BCE≌△FCE(SAS)。 CE=CE, .∠B=∠CFE。AD∥BC,∴∠A+∠B=180°。∴∠A+∠CFE=180°。：∠CFE 第7页（共48页） ∠A=∠DFE, +∠DFE=180°，∴.∠A=∠DFE。在△ADE和△FDE中，∠ADE=∠FDE, DE=DE, △ADE≌△FDE(AAS)。∴AD=FD。∴.CD=FD+FC=AD十BC。证法二：证 MD=CD, 明：在△DME和△DCE中，∠MDE=∠CDE,∴.△DME≌△DCE(SAS)。.ME= DE-DE. CE,∠M=∠DCE。·∠DCE=∠BCE,∴.∠M=∠BCE。AD∥BC,∴.∠MAE= (∠M=∠BCE, ∠B。在△AME和△BCE中，∠MAE=∠B,.△AME≌△BCE(AAS)。∴.AM= ME=CE, BC。.CD=MD=AD十AM=AD+BC。2.证明：过点E作EF⊥BC于点F,则 ∠BFE=∠CFE=9O°。：BD平分∠ABC,EA⊥AB,∴.EA=EF,∠BAE=∠BFE= 90°。在Rt△ABE和Rt△FBE中， BE=BE,:.R△ABE≌R△FBE(HL)。AB= EA=EF, FB。:EB=EC,EF⊥BC,.FB=FC。.BC=2FB=2AB。 第2课时三角形的三条角平分线 基础过关 1.C2.B3.证明：AP平分∠BAC,PF⊥AD,PG⊥AE,.PF=PG。BP平分 ∠CBD,PF⊥AD,PH⊥BC,.PF=PH。∴.PG=PH。PG⊥AE,PH⊥BC,.CP 平分∠BCE。4.解：作三角形三条角平分线的交点即可。如图， 点O即 是小亭的中心位置。 能力提升 5.D6.47.解：1)9(2)0H=号OA。理由如下：过点0作OG⊥AB于点G,0QL AC于点Q。BO平分∠ABC,OH⊥BC,OG⊥AB,.OH=OG。同理可得OH=OQ ∴0G=0Q。A0平分∠BAC。∴∠GA0=号∠BAC=30.0G=OA,即0H =0A 专题七巧构等腰三角形的几种常见技巧【通性通法】 1.D2.(1)115°(2)133.证法一：证明：CA=CB,.∠A=∠B。DM∥AB, ∠CDM=∠A,∠M=∠B。∴∠CDM=∠M。:CD=CE,∴.∠CDE=∠CED :∠CDM+∠M+∠CDE+∠CED=180°，∴·∠CDM+∠CDE=90°，即∠EDM=90°。 DE⊥DM。DM∥AB,DE⊥AB。证法二：证明：CD=CE,.∠CDE= ∠CED。BN∥DE,∴.∠N=∠CDE,∠CBN=∠CED。∴∠CBN=∠N。CA= CB,∴∠A=∠ABC。∠A+∠ABC+∠CBN+∠N=180°，.∠ABC+∠CBN= 90°，即∠ABN=90°。∴.BN⊥AB。,BN∥DE,∴.DE⊥AB。4.证明：过点E作EG ∥AC,交BC于点G,则∠BGE=∠ACB,∠GED=∠F。:AB=AC,∴.∠ACB=∠B。 ∠GED=∠F, ∴∠B=∠BGE。∴.BE=EG。在△GDE和△CDF中，DE=DF, ..△GDE ∠EDG=∠FDC, ≌△CDF(ASA)。.EG=CF。.BE=CF。5.26.D7.40°8.(1)证明：延长 DB到F,使BF=BA,连接AF。BF=BA,∴∠F=∠BAF。:∠ABC=∠F+ ∠BAF,∠ABC=2∠F。∠ABC=2∠C,∴∠F=∠C。.AF=AC。AD⊥BC 于点D,.FD=CD,即FB+BD=CE+DE。,BF=BA,AE为BC边上的中线，即 BE=CE,.BE+DE=AB+BD。(2)解：，BE+DE=AB十BD,BD=2,DE=3, .(2+3)+3=AB+2。.AB=6。 问题解决策略：反思 1.解：ACCM=BN证明：：CM是AB边上的中线，BN是AC边上的中线，.AM =ZAB,AN=2AC。:AB=AC,AM=AN。:∠A=∠A,△AMC≌△ANB (SAS)。∴.CM=BN。【变式题1】3【变式题2】3【归纳总结】相等【进阶反思】 相等【策略运用】D2.解：如图所示，17-4+1-7+6-1+|2-61十|5-2十 |3-5|=3+6+5十4+3+2=23。（答案不唯一）【变式题1】24【变式题2】40 7-(6-(2)-(5H 第一章章末复习 思维导图 180°不相邻大于(n-2)·180°360°等角等边60°相等60°一半 相等相等 第8页（共48页） 考点整合 1.C2.45°3.解：(1)∠BCD=10°，∠AEB=75°，.∠CFE=∠AEB-∠BCD= 75°-10°=65°。∴.∠AFD=∠CFE=65。:CD是△ABC的高线，∴.∠ADC=90°。 ∠BAE=90°-∠AFD=25°。(2)AE平分∠BAC,∠BAC=2∠BAE=50°。 ∴∠ACD=90°-∠DAC=40°。4.B5.B6.B7.B8.(1)解：△ABC是等边 三角形，.∠A=∠B=∠ACB=60°。DE∥AB,.∠EDC=∠B=60°。EF⊥DE, ∠DEF=90°。.∠F=90°-∠EDC=90°-60°=30°。(2)证明：∠F+∠FEC= ∠ECD=60°，∠F=30°，∠FEC=30°=∠F。.CE=CF。∴△CEF是等腰三角形。 9.A10.50311.C12.(1)证明：连接BP,CP。点P在BC的垂直平分线上， .BP=CP。AP是∠DAC的平分线，PD⊥AB,PE⊥AC,∴.PD=PE。在Rt△BDP 和R△CEP市，P.R△BDPe△GEP(HL.BD=CE.2)解，在 和R△AEP中，BE.R:△ADP@R△AEP(H。AD=AE 6cm,AC=10cm,.6+AD=10-AE,即6+AD=10-AD。.AD=2cm。 聚焦课标 13.任务1：解：△ACD和△CBD△CBD和△ABC(答案不唯一)任务2：证明： :∠A=40°，∠B=60°，∠ACB=180°-∠A-∠B=80°。：在△ABC中，CD为角 平分线，∴∠ACD=∠BCD=40°。.∠ACD=∠A。∴.CD=AD。△ACD是等腰 三角形。：∠ADC=180°-∠A-∠ACD=180°-40°-40°=100°，∴.∠BDC=180°- 100°=80°。∴.∠BDC=∠ACB。又.∠B=∠B,∠BCD=∠A,.△ABC与△CBD 是“等角三角形”。.CD是△ABC的“等角分割线”。任务3：解：84°或111°或92°或 106°。（写出其中任何一个即可）[解析：根据题意可知，分以下六种情况讨论：①当 △ACD是等腰三角形，CD=AD时，∠BCD=∠ACD=∠A=42°，∴.∠ACB=∠ACD 十∠BCD=84°；②当△ACD是等腰三角形，AC=AD时，∠ADC=∠ACD=69°， ∠BCD=∠A=42°，∴.∠ACB=∠ACD+∠BCD=111°；③当△ACD是等腰三角形， CD=AC时，不符合题意，舍去。④当△BCD是等腰三角形，CD=BD时，∠ACD= ∠B=∠BCD,∠B=180°2∠4=46。∠ACB=180°-∠A-∠B=92:⑤当 3 △BCD是等腰三角形，BC=BD时，∠ACD=∠B,∠BCD=∠BDC=∠A十∠ACD= 42°+∠B,∴.在△BCD中，42°+∠B+42°+∠B+∠B=180°。∴.∠B=32°，∠ACB= 180°-∠A-∠B=106°；⑥当△BCD是等腰三角形，CB=CD时，不符合题意，舍去。 综上所述，∠ACB的度数为84°或111°或92°或106] 第二章不等式与不等式组 1不等式及其性质 第1课时不等关系 基础过关 1.D2.D3.B4.x2+y≤105.解：(1)x≥0。(2)-x-1≥2。(3)x+17<5x。 (4)4m>5π。 能力提升 10+m10 6.C7.100+7m100 8.解：(1)根据题意，得3x十2(10一x)>25。(2)根据题意，得 3×400x+2×700(10-x)≥12000。 第2课时不等式的解与解集 基础过关 1.A2.B3.2x<6(答案不唯一)4.C5.C6.解：(1) -3-2-1012 (2)-5-43-2-101 能力提升 7.B8.C9.410.解：(1)由题意，得15x+18(0.5-x)<8。(2)当x=0.25时，15 ×0.25十18×(0.5-0.25)=8.25>8，.小明能在9：00前到达书店。 第3课时不等式的基本性质 基础过关 1.B2.D3.(1)>(2)<4.<5解：(1)成立。根据不等式的基本性质1，两边 都减云，即可得到结论。(2)不成立。若之=0，则xz2=y2.6.C7.A 8.解：(1)根据不等式的基本性质3，两边都除以-5，得x>号。这个不等式的解集在数 轴上的表示如图所示。212 (2)根据不等式的基本性质1，两边都减去 3x,得5x-3x<1,即2x<1。根据不等式的基本性质2，两边都除以2，得x<2。这 第9页（共48页）