第1章 三角形的证明 综合评价-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年八年级下册数学（北师大版·新教材）

第一章综合评价 （时间：120分钟满分：120分) 12 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1.若直角三角形的一个锐角是65°，则另一个锐角的度数是( A.45 B.359 C.25° D.15 奶 2.若一个三角形三个内角的度数的比为1：2：3，则这个三角 形是 ( ) A.锐角三角形 B.等边三角形 C.钝角三角形 D.直角三角形 3.体育课上的侧压腿动作可以抽象为如图所示的几何图形，若 ∠1=120°，则∠2的度数是 弥 A.30 B.40 C.60 D.120° (第3题图) (第4题图) (第5题图) 4.如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中AB=AC,工人师傅在 焊接立柱时，只用找到BC的中点D。这就可以说明竖梁AD 垂直于横梁BC了，工人师傅这种操作方法的依据是( ) 封 A.等边对等角 B.等角对等边 C.三角形具有稳定性 D.等腰三角形“三线合一“ 5.如图，在Rt△ABC与Rt△DCB中，已知∠A=∠D=90°。添 加下列条件后，不能使Rt△ABC≌△Rt△DCB的是( ) A.AB-DC B.AC-DB C.∠ABC=∠DCB D.BC-BD 6.如图，DE⊥BC,BE=EC,且AB=5,AC=8,则△ABD的周 长为 A.21 B.18 C.13 D.9 D 图① 图② (第6题图) (第7题图) 7.如图①，某温室屋顶结构外框为△ABC,其中∠B=∠C=30°，立 柱AD=2m,且与横梁BC垂直。冬季将至，为了增大向阳面面 积，将立柱增高并改变位置，使屋顶结构外框变为△EBC(点E 在BA的延长线上)，立柱EF⊥BC,如图②所示。若此时立柱 EF=3m,则向阳面斜梁增加部分AE的长度为 A.0.5m B.1 m C.1.5m D.2 m 第1页（共6页） 8.如图，在△ABC中，AB=AC,BD平分∠ABC,交AC于点D。 若∠A=36°，则∠BDC的度数为 ( A.36 B.54° C.72 D.108° (第8题图) (第9题图) (第10题图) 9.如图，在△ABC中，AB=AC,CD是AB边上的高，BF交AC于 点E,BD=2,AD=3,BC=2√5，通过观察尺规作图的痕迹，则 BE的长为 A.5 B.4 C.3 D.2 10.如图，在△ABC中，∠BAC的平分线交BC于点D,过点D作 DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F。有下列结论： ①∠AEF=∠AFE;②AD垂直平分EF;③AED= BE SACFD CFi ④EF∥BC,其中正确的是 A.①②③ B.②③④ C.①③④ D.①②③④ 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11.命题：“两直线平行，同旁内角互补”的逆命题为 12.在△ABC中，AB=8,AC=15,BC=17。若∠C=28°，则∠B 的度数为 13.如图，点D,A,E在直线I上，BD⊥I于点D,CE⊥1于点E, 且AB=AC,AE=BD=3,CE=5,则DE的长为 R (第13题图) (第14题图) (第15题图) 14.如图，在等边三角形ABC中，过点C作BC的垂线，交∠ABC 的平分线于点D,BD=4,则点D到边AB所在直线的距离是 15.如图，在△ABC中，BA=BC,BD平分∠ABC,交AC于点 D,点M,N分别为BD,BC上的动点。若BC=4,△ABC的 面积为8，则CM+MN的最小值为一。 第2页（共6页） 三、解答题（本大题共8小题，共75分。解答应写出必要的文字 说明、证明过程或演算步骤) 16.(9分)(1)已知一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个 多边形是几边形？ (2)如图，在△ABC中，AB=AC=13cm,BC=10cm,AD是 BC边上的中线，求△ABC的面积。 17.(9分)如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，BC=6,AD是 ∠CAB的平分线，求CD的长。 18.(9分)小红外出游玩时看到了映山红拼成的“70”字样（如 图)，还有两个花坛M,N。请帮小红找一处最佳观赏位置P, 满足观赏点P到“7”字样的两边的距离都相等，并且到两个 花坛M,N的距离也都相等。（尺规作图，不写作法，保留作 图痕迹) 第3页（共6页） 19.(9分)如图，广场有一块三角形空地ABC,社区计划将这块三 角形空地分割成四边形ABDE和△EDC,分别种植两种不同 的花卉，经测量，∠EDC=90°，CD=8m,CE=10m,BD= 7m,AB=9m,AE=2m,求四边形ABDE的面积。 20.(9分)如图，E为△ABC的外角平分线上的一点，AE∥BC, BF=AE。 求证：(1)△ABC是等腰三角形； (2)AF=CE。 第4页（共6页） 21.(9分)如图，在△ABC中，AD平分∠BAC,∠C=90°，DEI AB于点E,点F在AC上，BD=DF。 (1)求证：CF=BE; (2)若AB=12,AF=8,求CF的长。 22.(9分)如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=120°，AD是边 BC上的中线，点E在AB上，且BD=BE,CD的垂直平分线 交AC于点F,交BC于点M,连接DE,DF。 (1)求∠ADE的度数； (2)求证：△ADF是等边三角形。 第5页（共6页） 23.(12分)如图，在等边三角形ABC中，AB=AC=BC=6cm,现 有两点M,N分别从点A,B同时出发，沿三角形的边运动，已 知点M的速度为1cm/s,点N的速度为2cm/s。当点N第一 次回到点B时，点M,N同时停止运动，设运动时间为ts。 (1)当t为何值时，M,N两点重合？ (2)当点M,N分别在AC,BA边上运动，△AMN的形状会 不断发生变化。 ①当t为何值时，△AMN是等边三角形？ ②当t为何值时，△AMN是直角三角形？ (3)若点M,N都在BC边上运动，当存在以MN为底边的等 腰△AMN时，求t的值。 第6页（共6页）综合评价答案 第一章综合评价 1.C2.D3.A4.D5.D6.C7.D8.C9.B10.A11.同旁内角互补，两 直线平行12.62°13.814.215.416.解：(1)设这个多边形为n边形。根据题 意，得(n-2)×180°=3×360°。解得n=8。答：这个多边形是八边形。(2)：AB= AC,AD是BC边上的中线，AD⊥BC,BD=CD=号BC=5m。·AD= VAB-BD-=12em.∴Sac=合BC·AD=号×10×12=60(cm)。17.解： :∠C=90°，∠B=30°，∠CAB=60°。AD是∠CAB的平分线，.∠CAD= ∠BAD=30°=∠B。∴AD=2CD,AD=BD。∴BC=BD+CD=3CD。:BC=6, .CD=2。 18.解：如图，4 点P即为所求。19.解：.CD=8m,CE= 10 m,BD=7 m,AE=2 m,.'.AC=AE+CE=12 m,BC=BD+CD=15 m /EDC =90°，∴.DE=√CE-CD=√102-8=6(m)。AB2+AC2=92+122=225,BC =15=225,∴.AB十AC=BC。∴.△ABC是直角三角形，且∠BAC=90°。 ∴S=Sa版-Sam=合AB·AC-合DE.DC=X9X12-之X6X8= 30(m)。20.证明：(1)AE∥BC,∴.∠DAE=∠B,∠EAC=∠ACB。E为 △ABC的外角平分线上的一点，∴∠DAE=∠EAC。∴.∠B=∠ACB。∴.AB=AC。 ∴△ABC是等腰三角形。(2)由(1)，得∠B=∠ACB,∠EAC=∠ACB,∴·∠B= ∠CAE。在△ABF和△CAE中，AB=CA,∠B=∠CAE,BF=AE,.△ABF≌ △CAE(SAS)。.AF=CE。21.(1)证明：.AD平分∠BAC,∠C=90°，DE⊥AB于 点E,DE=DC。在Rt△CDF和Rt△EDB中，DF=DB,DC=DE,∴.Rt△CDF≌ Rt△EDB(HL)。.CF=BE。(2)解：设CF=x,则BE=x,∴AC=AF+CF=8十x, AE=AB-BE=12-x。在Rt△ACD和Rt△AED中，AD=AD,CD=DE, ∴.Rt△ACD≌Rt△AED(HL)。.AC=AE,即8十x=12-x,解得x=2。∴.CF=2。 2.(1)解：在△ABC中，AB=AC,∠BAC=120,∠B=∠C=合×(180-∠BAC =30。:BD=BE,∠BDE=∠BED=号X(180°-∠B)=75°。：AB=AC,AD是 边BC上的中线，.AD⊥BC。.∠ADB=90°。.∠ADE=∠ADB-∠BDE=15°。 (2)证明：MF垂直平分CD,∴.DF=CF。由(1)知∠C=30°，.∠FDC=∠C=30°。 .∠AFD=∠C十∠FDC=60°。AB=AC,AD是边BC上的中线，.∠DAF= ∠BAC=60。∠ADF=60°。·∠ADF=∠DAF=∠AFD=60°。△ADF是 1 等边三角形。23.解：(1)根据题意，得t+6=2t,解得t=6。即t的值为6时，M,V 两点重合。(2)①由题意，得AM=tcm,BN=2tcm,∴.AN=AB-BN=(6-2t)cm。 :∠A=60°，∴.当AM=AN时，△AMN是等边三角形。.t=6-2t,解得t=2。∴.当 t的值为2时，△AMN是等边三角形。②由题意，得AM=tcm,BN=2tcm,∴.AN= AB-BN=(6-2t)cm。分两种情况讨论：i.当∠AMN=90°时，：∠A=60°， ÷∠ANM=90°-∠A=30。AN=2AM.即6-21=2，解得1=号。1.当∠ANM =90°时，：∠A=60°，∴.∠AMN=90°-∠A=30°。∴.AM=2AN,即t=2(6-2t),解 得=号。综上所述，当：的值为是或号时，△AMN是直角三角形。(3)由(1)知6。 时M,N两点重合，恰好在点C处。如答图，假设△AMN是以MN 为底边的等腰三角形，∴AN=AM。∴：∠AMN=∠ANM。 ,.∠AMC=∠AVB。,△ABC是等边三角形，∴.AB=BC=AC,∠C =∠B=60°。在△ACM和△ABN中，∠AMC=∠ANB,∠C= ∠B,AC=AB,∴.△ACM≌△ABN(AAS)。∴.CM=BN,即t-6= 答图 18一2t,解得t=8,符合题意。.当t的值为8时，能得到以MN为底边的等腰三角形。 第二章综合评价 1.A2.C3.B4.C5.A6.C7.B8.B9.D10.D11.x-5<0(答案不 唯一)12.a<-213.0≤a<114.八15.22<x≤6416.解：(1)去括号，得6 3x≤2x一4。移项，得-3x-2x≤-4-6。合并同类项，得-5x≤-10。系数化为1， 2x+1≥3，① 得≥2。(2答案不唯一，如：达样0和③，合十1c,@解不等式①，得1。解 不等式②，得x≤-1.5。∴原不等式组无解。17.解：任务一：一任务二：去分母， 得2(x-1)-3(2x十4)≤-18。去括号，得2x-2-6x-12≤-18。移项、合并同类 项，得一4x≤一4。系数化为1，得x≥1。将解集表示在数轴上如图所示。 第28页（共48页） 18.解：(1)6(2)由(1)可知☐=6。.∴.可得不等式组 -5-4-3-2-1012345 fx+15>6x,① ,≤1，@解不等式①，得2<3。解不等式②，得x≤1。“不等式组的解集为 1x一 2 x≤1。x可取的非负整数值为0和1.19.解：设小明的平均速度为xm/s。根据题 意，得5×60x≥420。解得x≥1.4。.x的最小值为1.4。答：小明的最小平均速度为 1.4m/s。 20.解：()3x十十1解得三3c,y均为非负数， 2x十y=m-1, 、、/m二3≥0，。解得3≤5。（2)由(1)得{y=-十5，则S二2x一3y十2=2(1一 3)-3(-m十5)十m=2m-6+3m-15十m=6m-21.3≤m≤5，.-3≤6m-21≤ 9,即一3S≤9。.S的最大值为9，最小值为一3.21.解：(1)我同意小明的说法。 理由如下：购买28张门票所需费用为28a元，购买30张门票所需费用为30×0.8a= 24a(元)。，28a>24a,.小明的说法正确。(2)设旅行团有x人。根据题意，得58x> 58×0.8×30。解得x>24。x为整数，∴.x的最小值为25。答：旅行团至少25人 时，买团体票比买普通票便宜。22.解：任务一：20一3a2a1600-240a任务二： 根据题意用0n1m520解得57。又a220均为正整数。 可以为5,6。，.共有2种运输方案：方案一：运往贵阳5t,昆明5t,成都10t: 方案二：运往贵阳6t,昆明2t,成都12t。任务三：由任务一可知，运往昆明的每吨运 费为1600-240a=80(元)。根据题意，得300a十80(m-3a)十500a=7360。化简，得 20-3a n=92-7a。又：n>3a,.92-7a>3a,解得a<9.2。.a的最大值为9。.n的最小 值为92-7×9=29.23.解：(1)②(2)由3x-k=3,得x=十3。解不等式组 3x+1>2x, 工一1≥2红十1-1，得-1<x≤1。：所给方程是所给不等式组的“解集内方程”， 12>3 -1<3≤1，解得-6<k≤0。(3)由2x十4=0，得x=-2。由2x-1=13,得x= 3 1。解不等式组十心2m十3.得m-5<x<m十3。：所给方程都不是所给不等式 组的“解集内方程”，m十3≤一2或m二之，2，或m一5≥7，解得m≤一5或3≤m +37, ≤4或m≥12。 第三章综合评价 1.C2.D3.C4.C5.B6.C7.A8.A9.B10.A11.70°12.12 13.140°14.51315.(156,3)16.解：(1)由题意，得点N的坐标为(7-2a,a-5)。 :点N在第三象限，7-2a<0解得3.5<a<5。(2):∠B=40,∠C=20, 1a-5<0, .∠BAC=180°-∠B-∠C=120°，即旋转角的度数为120°。由旋转的性质，得AD= AB=3,AE=AC。:点D恰好为AC的中点，∴.AC=2AD=6。.AE=6.17.解： (1)如图，△ABC即为所求。 (2)如图，△A2B2C2即为所求， B 点C的坐标为(-3,3)。18.证明：：△ABO与△CDO关于点O中心对称，∴.OB= OD,OA=OC。:AF=CE,∴.OA-AF=OC-CE。.OF=OE。在△DOF和△BOE 中，OD=OB,∠DOF=∠BOE,OF=OE,.△DOF≌△BOE(SAS)。∴.FD=BE。 19.解：(1)·∠C=90°，∠BAC=40°，∴.∠ABC=180°-∠C-∠BAC=50°。由旋转的 性质，得∠ABF=∠ABC=50,AB=BF,∠BAF=∠BFA=之(I80-∠ABF) 65°。(2)∠C=90°，AC=8,BC=6,.AB=√AB+BC=10。由旋转的性质，得 BE=BC=6,EF=AC=8,∠BEF=∠C=90°。.AE=AB-BE=4。在Rt△AEF 中，由勾股定理，得AF=√AE+EF=4√5.20.(1)证明：由平移的性质，得AB∥ EF,CD∥EP,.∠B=∠EFP,∠C=∠EPF。'∠B十∠C=90°，.∠EFP十∠EPF =90°。∠FEP=180°-（∠EFP+∠EPF)=90°。.△EFP是直角三角形。(2）解： 由平移的性质，得AB=EF,AE=BF,ED=CP,.AD=AE十DE=BF十CP。'AD =5,BC=15,CD=6,..PF=BC-BF-CP=BC-AE-DE=BC-AD=10,EP=6. 在Rt△EFP中，EF=√/PF-EP=√10-6=8，∴AB=8.21.(1)证明：由旋转 的性质，得AB=BD,∠ABD=a=60°，∴.△ABD是等边三角形。∴.∠DAB=60°。 第29页（共48页） '∠ABC=60°，.∠DAB=∠ABC。.AD∥BC。(2)解：AD=2AE。证明如下 △ABD是等边三角形，.AD=BD,∠ADB=60°。在△ADF和△BDF中， AD=BD. AF=BF,△ADF≌△BDF(SS).÷∠ADF=∠BDF=号∠ADB=30.DF DF=DF. ⊥AB。·AE=号AD.即AD=2AE。22.解：1)(2,1(2)点P(c+1,2c-1) 先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到了点P,∴点P的坐标为 (c-1,2c)。:-4(c-1)+2c=-2c十4，(c-1)+(-4)X2c=-7c-1,.点P1的“-4 阶派生点”Pz的坐标为（一2c十4，一7c一1）。：点P2位于坐标轴上，∴.分两种情况讨 论：①当点P,在x轴上时，-7c-1=0,解得c=-7。则一2c+4=(-2)×(-7)十 4=9。∴点P,的坐标为(9,0）②当点P在y轴上时，一2+4=0解得c=2。则 -7-1=-15。∴点P,的坐标为(0，-15)。综上所述，点P的坐标为(9,0)或0， -15)。23.解：(1)BD=CE。理由如下：由旋转的性质，得AD=AE,∠DAE=60°。 △ABC是等边三角形，.AB=AC,∠BAC=60°=∠DAE。∴.∠BAC-∠DAC= ∠DAE-∠DAC,即∠BAD=∠CAE。.△ABD≌△ACE(SAS)。.BD=CE (2)由旋转的性质，得AD=AE,∠DAE=60°，∴.△ADE是等边三角形。∴∠ADE= ∠AED=60°。.∠ADB=120°。△ABC是等边三角形，.AB=AC,∠BAC=60°= ∠DAE。∴.∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC,即∠BAD=∠CAE。.△ABD≌ △ACE(SAS)。∴.∠AEC=∠ADB=120°。.∠BEC=∠AEC-∠AED=60°。(3)结 论正确。证明如下：过点A作AH⊥BF于H,AN⊥直线CE于V。由旋转的性质，得 AD=AE。△ABC是等边三角形，.AB=AC,∠BAC=60°=∠DAE。.∠BAC ∠DAC=∠DAE-∠DAC,即∠BAD=∠CAE。.△ABD≌△ACE(SAS). .∠ABD=∠ACE。.∠CBF十∠ACE=∠CBF+∠ABD=∠ABC=60°。∴.∠BFC =180°-∠ACE-∠ACB-∠CBF=60°。.∠BFE=120°。.∠ABD=∠ACE, ∠AHB=∠ANC=90°，AB=AC,∴.△ABH≌△ACN(AAS)。.AH=AN。:AH⊥ BF,AN⊥FN,∴.FA平分∠BFN。∴·∠AFB=∠AFE=60°。∴·∠AFB=∠AFE=∠BFC。 期中综合评价 1.C2.C3.B4.D5.D6.B7.A8.B9.B10.D11.(-1,4)12.x>1 13.1.414.540°15.50°或140°16.解：(1)解不等式①，得x≤4。解不等式②，得x> 0。在同一条数轴上表示不等式①②的解集，如图。 因此，原不 -1012345 等式组的解集为0<x4。(2)'∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E, .DE=CD=2。·BC=6,.BD=BC-CD=4。在Rt△BDE中，由勾股定理，得BE =√BD-DE=23.17.解：，AB=BC,.∠A=∠C=30°。∴.∠ABC=180°- ∠A-∠C=120°。，DE垂直平分AB,.EA=EB。∠ABE=∠A=30°。.∠EBC =∠ABC-∠ABE=90°。18.证明：，AD∥BC,∠A=90°，∠B=180°-∠A= 90°。∴.△ADE和△BEC都是直角三角形。∠1=∠2，.DE=EC。又AD=BE, .△ADE≌△BEC(HL)。∴.∠ADE=∠BEC。:∠ADE+∠AED=90°，.∠BEC+ ∠AED=90°。.∠DEC=180°-（∠BEC+∠AED)=90°。.DE⊥CE。19.解： (1)如图，△A1BC1即为所求。 y (2)如图，△A2B2C2即为所求。 (3)由勾股定理，得C℃=√6+伞=2√B。20.解：1)解方程二=x一2，得x 3 士。：该方程的解是非负数宁≥0，解得≥-5.2≥2，① 2 2 解不等 y-43(y-2),② 式①，得y≥a十4。解不等式②，得y≥1。该不等式组的解集为y≥1，.a十4≤1，解 得a≤一3。由(1)知a≥一5，.一5a一3。∴.整数a可能为一5或一4或一3。.所 有符合条件的整数a的和为一5十（一4）十（一3）=一12.21.证明：(1)DF⊥AB, .∠DFA=90°。：∠E=30°，∴∠BAC=90°-∠E=60°。AD垂直平分BC,.AB =AC。.△ABC是等边三角形。(2)·△ABC是等边三角形，.AB=BC=AC,∠B =∠ACB=60°。·DF⊥AB,∠DFB=90°。∴.∠BDF=90°-∠B=30°。.BF= BD。AD垂直平分BC.BC=2BD=2CD,BD=CD。·AC=2CD。∠ACB 是△CDE的一个外角，.∠CDE=∠ACB-∠E=30°。∴∠CDE=∠E=30°。.CD =CE。∴AE=AC+CE=3CD=3BD。∴BD=3AE。BF=合AE。22.解：任 第30页（共48页）