5 第2课时 三角形的三条角平分线&专题7 巧构等腰三角形的儿种常见技巧-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年八年级下册数学（北师大版·新教材）

△ABC即为所求。4.B5.246.解：：点P为△ABC三边垂直平分线的交点， .PA=PC=PB。∴∠PAB=∠PBA,∠PAC=∠PCA=18°，∠PBC=∠PCB=32°。 ÷∠PAB=合(180°-2∠PAC-2∠PCB)=号×(180-2X18°-2X329=40. 7.C8.解：如图， 点P即为所求。 A。 能力提升 9.D10.B11.1212.解：(1)如图， 直线MN即为所求。(2)，∠A =32°，AB=AC,∠ABC=∠ACB=2(180°-∠A)=74°。MN垂直平分AB, BD=AD。∴∠ABD=∠A=32°。∴.∠DBC=∠ABC-∠ABD=42°。 思维拓展 13.(1)证明：连接PB,PC。PE垂直平分AB,PM垂直平分AC,.PA=PB,PA= PC。PB=PC。点P在线段BC的垂直平分线上。(2)证明：PE垂直平分AB, .PA=PB,FA=FB。.∠PAB=∠PBA,∠FAB=∠FBA。,.∠PAB-∠FAB= ∠PBA-∠FBA,即∠PAF=∠PBF。同理，得∠PAN=∠PCN。由(1)，得PB= PC,.∠PBF=∠PCN。·∠PAF=∠PAN,即AP平分∠FAN。(3)解：18Oe 2 5角平分线 第1课时角平分线的性质与判定 基础过关 1.B2.C3.44.证明：：∠C=90°，DE⊥AB,AD是∠BAC的平分线，.DE=DC, DE=DC, ∠C=∠DEB=9O°。在△DEB和△DCF中，∠DEB=∠C,∴.△DEB≌△DCF BE=FC, (SAS),∴BD=FD。5.36.D7.A8.证明：DE⊥AB,DF⊥AC,∴∠BED= ∠CFD=90°。：D是BC的中点，∴.BD=CD。在Rt△BDE和Rt△CDF中， BD=CD,:R△BDE≌R△CDF(HL)。DE=DF。DE⊥AB,DF⊥AC,AD BE=CF, 平分∠BAC。 能力提升 9.C10.C11.D12.解：如图， 点M即为所求。13.证明：过点D B 作DE⊥AB于点E,则∠AED=90°=∠C。AD平分∠CAB,DC⊥AC,.CD=DE ∠ACD=∠AED=90°，AD=AD,.Rt△ADC≌Rt△ADE(HL)。AC=AE。 △ABC是等腰直角三角形，∴∠B=45°。∴∠BDE=90°-∠B=45°。DE=EB。 CD=EB。∴AB=AE+EB=AC+CD。 思维拓展 14.【定理】解：AC平分∠BAD【运用】证明：过点C作CM⊥AB于点M,过点C作 CN⊥AD交AD的延长线于点N。:CN⊥AD,CM⊥AB,.∠N=∠BMC=90°。 ∠BAD+∠BCD=180°，∴.∠ADC+∠B=180°。：∠CDN+∠ADC=180°，∴.∠B =∠CDN。.'BC=CD,.△CBM≌△CDN(AAS)。..CM=CN。.'CN⊥AD,CM⊥ AB,∴.AC平分∠BAD。 专题六利用角平分线构造全等三角形解题【通性通法】 1.证明：过点C作CF⊥AB于点F,则∠AFC=90°。：∠D=90°，.CD⊥AD。AC 平分∠BAD,CD=CE。在Rt△ADC和R△AFC中，CSC,Rt△ADCg Rt△AFC(HL)。:.AD=AF。同理，得BF=BE,.AB=AF十BF=AD+BE。 BC=FC, 【变式题】证法一：证明：在△BCE和△FCE中，)∠BCE=∠FCE,.△BCE≌△FCE(SAS)。 CE=CE, .∠B=∠CFE。AD∥BC,∴∠A+∠B=180°。∴∠A+∠CFE=180°。：∠CFE 第7页（共48页） ∠A=∠DFE, +∠DFE=180°，∴.∠A=∠DFE。在△ADE和△FDE中，∠ADE=∠FDE, DE=DE, △ADE≌△FDE(AAS)。∴AD=FD。∴.CD=FD+FC=AD十BC。证法二：证 MD=CD, 明：在△DME和△DCE中，∠MDE=∠CDE,∴.△DME≌△DCE(SAS)。.ME= DE-DE. CE,∠M=∠DCE。·∠DCE=∠BCE,∴.∠M=∠BCE。AD∥BC,∴.∠MAE= (∠M=∠BCE, ∠B。在△AME和△BCE中，∠MAE=∠B,.△AME≌△BCE(AAS)。∴.AM= ME=CE, BC。.CD=MD=AD十AM=AD+BC。2.证明：过点E作EF⊥BC于点F,则 ∠BFE=∠CFE=9O°。：BD平分∠ABC,EA⊥AB,∴.EA=EF,∠BAE=∠BFE= 90°。在Rt△ABE和Rt△FBE中， BE=BE,:.R△ABE≌R△FBE(HL)。AB= EA=EF, FB。:EB=EC,EF⊥BC,.FB=FC。.BC=2FB=2AB。 第2课时三角形的三条角平分线 基础过关 1.C2.B3.证明：AP平分∠BAC,PF⊥AD,PG⊥AE,.PF=PG。BP平分 ∠CBD,PF⊥AD,PH⊥BC,.PF=PH。∴.PG=PH。PG⊥AE,PH⊥BC,.CP 平分∠BCE。4.解：作三角形三条角平分线的交点即可。如图， 点O即 是小亭的中心位置。 能力提升 5.D6.47.解：1)9(2)0H=号OA。理由如下：过点0作OG⊥AB于点G,0QL AC于点Q。BO平分∠ABC,OH⊥BC,OG⊥AB,.OH=OG。同理可得OH=OQ ∴0G=0Q。A0平分∠BAC。∴∠GA0=号∠BAC=30.0G=OA,即0H =0A 专题七巧构等腰三角形的几种常见技巧【通性通法】 1.D2.(1)115°(2)133.证法一：证明：CA=CB,.∠A=∠B。DM∥AB, ∠CDM=∠A,∠M=∠B。∴∠CDM=∠M。:CD=CE,∴.∠CDE=∠CED :∠CDM+∠M+∠CDE+∠CED=180°，∴·∠CDM+∠CDE=90°，即∠EDM=90°。 DE⊥DM。DM∥AB,DE⊥AB。证法二：证明：CD=CE,.∠CDE= ∠CED。BN∥DE,∴.∠N=∠CDE,∠CBN=∠CED。∴∠CBN=∠N。CA= CB,∴∠A=∠ABC。∠A+∠ABC+∠CBN+∠N=180°，.∠ABC+∠CBN= 90°，即∠ABN=90°。∴.BN⊥AB。,BN∥DE,∴.DE⊥AB。4.证明：过点E作EG ∥AC,交BC于点G,则∠BGE=∠ACB,∠GED=∠F。:AB=AC,∴.∠ACB=∠B。 ∠GED=∠F, ∴∠B=∠BGE。∴.BE=EG。在△GDE和△CDF中，DE=DF, ..△GDE ∠EDG=∠FDC, ≌△CDF(ASA)。.EG=CF。.BE=CF。5.26.D7.40°8.(1)证明：延长 DB到F,使BF=BA,连接AF。BF=BA,∴∠F=∠BAF。:∠ABC=∠F+ ∠BAF,∠ABC=2∠F。∠ABC=2∠C,∴∠F=∠C。.AF=AC。AD⊥BC 于点D,.FD=CD,即FB+BD=CE+DE。,BF=BA,AE为BC边上的中线，即 BE=CE,.BE+DE=AB+BD。(2)解：，BE+DE=AB十BD,BD=2,DE=3, .(2+3)+3=AB+2。.AB=6。 问题解决策略：反思 1.解：ACCM=BN证明：：CM是AB边上的中线，BN是AC边上的中线，.AM =ZAB,AN=2AC。:AB=AC,AM=AN。:∠A=∠A,△AMC≌△ANB (SAS)。∴.CM=BN。【变式题1】3【变式题2】3【归纳总结】相等【进阶反思】 相等【策略运用】D2.解：如图所示，17-4+1-7+6-1+|2-61十|5-2十 |3-5|=3+6+5十4+3+2=23。（答案不唯一）【变式题1】24【变式题2】40 7-(6-(2)-(5H 第一章章末复习 思维导图 180°不相邻大于(n-2)·180°360°等角等边60°相等60°一半 相等相等 第8页（共48页） 考点整合 1.C2.45°3.解：(1)∠BCD=10°，∠AEB=75°，.∠CFE=∠AEB-∠BCD= 75°-10°=65°。∴.∠AFD=∠CFE=65。:CD是△ABC的高线，∴.∠ADC=90°。 ∠BAE=90°-∠AFD=25°。(2)AE平分∠BAC,∠BAC=2∠BAE=50°。 ∴∠ACD=90°-∠DAC=40°。4.B5.B6.B7.B8.(1)解：△ABC是等边 三角形，.∠A=∠B=∠ACB=60°。DE∥AB,.∠EDC=∠B=60°。EF⊥DE, ∠DEF=90°。.∠F=90°-∠EDC=90°-60°=30°。(2)证明：∠F+∠FEC= ∠ECD=60°，∠F=30°，∠FEC=30°=∠F。.CE=CF。∴△CEF是等腰三角形。 9.A10.50311.C12.(1)证明：连接BP,CP。点P在BC的垂直平分线上， .BP=CP。AP是∠DAC的平分线，PD⊥AB,PE⊥AC,∴.PD=PE。在Rt△BDP 和R△CEP市，P.R△BDPe△GEP(HL.BD=CE.2)解，在 和R△AEP中，BE.R:△ADP@R△AEP(H。AD=AE 6cm,AC=10cm,.6+AD=10-AE,即6+AD=10-AD。.AD=2cm。 聚焦课标 13.任务1：解：△ACD和△CBD△CBD和△ABC(答案不唯一)任务2：证明： :∠A=40°，∠B=60°，∠ACB=180°-∠A-∠B=80°。：在△ABC中，CD为角 平分线，∴∠ACD=∠BCD=40°。.∠ACD=∠A。∴.CD=AD。△ACD是等腰 三角形。：∠ADC=180°-∠A-∠ACD=180°-40°-40°=100°，∴.∠BDC=180°- 100°=80°。∴.∠BDC=∠ACB。又.∠B=∠B,∠BCD=∠A,.△ABC与△CBD 是“等角三角形”。.CD是△ABC的“等角分割线”。任务3：解：84°或111°或92°或 106°。（写出其中任何一个即可）[解析：根据题意可知，分以下六种情况讨论：①当 △ACD是等腰三角形，CD=AD时，∠BCD=∠ACD=∠A=42°，∴.∠ACB=∠ACD 十∠BCD=84°；②当△ACD是等腰三角形，AC=AD时，∠ADC=∠ACD=69°， ∠BCD=∠A=42°，∴.∠ACB=∠ACD+∠BCD=111°；③当△ACD是等腰三角形， CD=AC时，不符合题意，舍去。④当△BCD是等腰三角形，CD=BD时，∠ACD= ∠B=∠BCD,∠B=180°2∠4=46。∠ACB=180°-∠A-∠B=92:⑤当 3 △BCD是等腰三角形，BC=BD时，∠ACD=∠B,∠BCD=∠BDC=∠A十∠ACD= 42°+∠B,∴.在△BCD中，42°+∠B+42°+∠B+∠B=180°。∴.∠B=32°，∠ACB= 180°-∠A-∠B=106°；⑥当△BCD是等腰三角形，CB=CD时，不符合题意，舍去。 综上所述，∠ACB的度数为84°或111°或92°或106] 第二章不等式与不等式组 1不等式及其性质 第1课时不等关系 基础过关 1.D2.D3.B4.x2+y≤105.解：(1)x≥0。(2)-x-1≥2。(3)x+17<5x。 (4)4m>5π。 能力提升 10+m10 6.C7.100+7m100 8.解：(1)根据题意，得3x十2(10一x)>25。(2)根据题意，得 3×400x+2×700(10-x)≥12000。 第2课时不等式的解与解集 基础过关 1.A2.B3.2x<6(答案不唯一)4.C5.C6.解：(1) -3-2-1012 (2)-5-43-2-101 能力提升 7.B8.C9.410.解：(1)由题意，得15x+18(0.5-x)<8。(2)当x=0.25时，15 ×0.25十18×(0.5-0.25)=8.25>8，.小明能在9：00前到达书店。 第3课时不等式的基本性质 基础过关 1.B2.D3.(1)>(2)<4.<5解：(1)成立。根据不等式的基本性质1，两边 都减云，即可得到结论。(2)不成立。若之=0，则xz2=y2.6.C7.A 8.解：(1)根据不等式的基本性质3，两边都除以-5，得x>号。这个不等式的解集在数 轴上的表示如图所示。212 (2)根据不等式的基本性质1，两边都减去 3x,得5x-3x<1,即2x<1。根据不等式的基本性质2，两边都除以2，得x<2。这 第9页（共48页）第2课时三角 基础过关 ◆♪逐点击破 知识点1三角形角平分线的性质与判定 1.在三角形中，到三边距离相等的点是( A.三条高线的交点 B.三条中线的交点 C三条角平分线的交点 D.三边垂直平分线的交点 2.如图，在△ABC中，∠ABC,∠ACB的平分线 相交于点O,下列结论正确的是 A.∠1>∠2 B.∠1=∠2 C.∠1<∠2 D.∠1=2∠2 3.(教材P44习题T3变式)如图，在△ABC 中，D,E分别是边AB,AC延长线上的点， AP平分∠BAC,BP平分∠CBD,PF⊥ AD,PG⊥AE,PH⊥BC,垂足分别为F,G, H。求证：CP平分∠BCE。 知识点2三角形角平分线的应用 4.如图，某市有一块由三条马路围成的三角形绿 地，现准备在其中建一座小亭供人们休息，要求 小亭中心到三条马路的距离相等，试确定小亭 的中心位置。（不写作法，保留作图痕迹） 形的三条角平分线 ·能力提升 ♪P卜整合运用 5.如图，在△ABC中，BI平分∠ABC,CI平分 ∠ACB,连接AI,过点I作ID⊥BC。若 △ABC的周长为18，ID的长度为3，则 △ABC的面积为 ( A.18 B.30 C.24 D.27 (第5题图) (第6题图) 6.生产生活情境化（教材P45习题T5变式）如 图，11，l2,13是三条两两相交的笔直公路，现 欲修建一个加油站，使它到三条公路的距离 相等，则这个加油站的位置共有处。 7.如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平 分线相交于点O,过点O作EF∥BC,交AB 于点E,交AC于点F。 (1)若AB=4,AC=5,则△AEF的周长是 (2)过点O作OH⊥BC于点H,连接OA。 当∠BAC=60°时，试探究OH与OA的 数量关系，并说明理由。 提示 请完成基本功专练（一） 数学八年级下册配BS版30 专题七巧构等腰三角形的几种常见技巧【通性通法】 类型1利用平行线巧构等腰三角形 证法一：过点D作DM∥AB,交BC的延长 (一)利用“角平分线+平行线”巧构等腰三角 线于点M。(请将证明过程补充完整) 形（教材P17随堂练习T1变式） M 1.如图，在△ABC中，BE,CE分别是∠ABC 和∠ACB的平分线，过点E作DF∥BC交 AB于点D,交AC于点F,若AB=6,AC 4,则△ADF的周长为 A.6 B.7 C.8 D.10 D (第1题图) (第2题图)》 2.如图，在△ABC中，DE∥BC,∠ABC和 ∠ACB的平分线分别交DE于点G,F,BG, CF相交于点O。 (1)若∠A=50°，则∠BOC的度数为 (2)若FG=5,ED=8,则EB+DC的值为 证法二：过点B作BN∥DE,交AC的延长 线于点N。(请将证明过程补充完整) (二)作腰或底的平行线巧构等腰三角形 模型呈 作腰的平行线构造 作底的平行线构造等腰 等腰三角形： 三角形： 点 若AB=AC,DE∥ 若AB=AC,DE∥BC, 述 AC,则△BDE为 则△ADE为等腰三 等腰三角形 角形 3.一题多解思维发散如图，在△ABC中，CA 思考：本题还有多种作底的平行线构造等腰三角形 CB,点D在AC的延长线上，点E在BC上， 解题的方法，也可用等腰三角形的“三线合一”作辅 且CD=CE,求证：DE⊥AB。 助线解题，跟同学们交流一下吧。 31第一章三角形的证明及其应用 4.如图，在△ABC中，AB=AC,E为AB上的 一点，F是AC延长线上一点，连接EF,交 BC于点D。若DE=DF,求证：BE=CF。 类型2逆用“三线合一”巧构等腰三角形 名师点拨：如图，在△ABC中，有下列条 件：①AD平分∠BAC;②AD⊥BC; ③AD为BC边上的中线，知①②或B4 ②③，易证△ACD≌△ABD,进而可得△ABC为等 腰三角形。 注：此结论在小题里可直接用，解大题时需要写出推 理过程，直接用会扣步骤分。 5.如图，在△ABC中，AB<BC,BP平分 ∠ABC,AP⊥BP于点P,连接PC。若 △ABC的面积为4，则△BPC的面积为 B (第5题图) (第6题图) 6.如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB, BD⊥CD于点D,∠ABD=∠A。若BD 1,BC=3,则AC的长为 A.2 B.3 C.4 D.5 类型3利用“截长补短”巧构等腰三角形 (一)利用线段之间的和差关系巧构等腰三 角形 7.如图，在△ABC中，∠BAC=120°，AD⊥BC 于D,且AB+BD=DC,则∠B的度数为 B D (二)利用倍角关系巧构等腰三角形 名师点拨：在△ABC中，∠ABC=2∠C。常通过作 下面辅助线解决问题： 8.如图，在△ABC中，∠ABC=2∠C,AD⊥BC 于点D,AE为BC边上的中线。 (1)求证：BE+DE=AB+BD: (2)若BD=2,DE=3,求AB的长。 数学八年级下册配BS版32