5 第1课时 角平分线的性质与判定&专题6 利用角平分线构造全等三角形解题-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年八年级下册数学（北师大版·新教材）

△ABC即为所求。4.B5.246.解：：点P为△ABC三边垂直平分线的交点， .PA=PC=PB。∴∠PAB=∠PBA,∠PAC=∠PCA=18°，∠PBC=∠PCB=32°。 ÷∠PAB=合(180°-2∠PAC-2∠PCB)=号×(180-2X18°-2X329=40. 7.C8.解：如图， 点P即为所求。 A。 能力提升 9.D10.B11.1212.解：(1)如图， 直线MN即为所求。(2)，∠A =32°，AB=AC,∠ABC=∠ACB=2(180°-∠A)=74°。MN垂直平分AB, BD=AD。∴∠ABD=∠A=32°。∴.∠DBC=∠ABC-∠ABD=42°。 思维拓展 13.(1)证明：连接PB,PC。PE垂直平分AB,PM垂直平分AC,.PA=PB,PA= PC。PB=PC。点P在线段BC的垂直平分线上。(2)证明：PE垂直平分AB, .PA=PB,FA=FB。.∠PAB=∠PBA,∠FAB=∠FBA。,.∠PAB-∠FAB= ∠PBA-∠FBA,即∠PAF=∠PBF。同理，得∠PAN=∠PCN。由(1)，得PB= PC,.∠PBF=∠PCN。·∠PAF=∠PAN,即AP平分∠FAN。(3)解：18Oe 2 5角平分线 第1课时角平分线的性质与判定 基础过关 1.B2.C3.44.证明：：∠C=90°，DE⊥AB,AD是∠BAC的平分线，.DE=DC, DE=DC, ∠C=∠DEB=9O°。在△DEB和△DCF中，∠DEB=∠C,∴.△DEB≌△DCF BE=FC, (SAS),∴BD=FD。5.36.D7.A8.证明：DE⊥AB,DF⊥AC,∴∠BED= ∠CFD=90°。：D是BC的中点，∴.BD=CD。在Rt△BDE和Rt△CDF中， BD=CD,:R△BDE≌R△CDF(HL)。DE=DF。DE⊥AB,DF⊥AC,AD BE=CF, 平分∠BAC。 能力提升 9.C10.C11.D12.解：如图， 点M即为所求。13.证明：过点D B 作DE⊥AB于点E,则∠AED=90°=∠C。AD平分∠CAB,DC⊥AC,.CD=DE ∠ACD=∠AED=90°，AD=AD,.Rt△ADC≌Rt△ADE(HL)。AC=AE。 △ABC是等腰直角三角形，∴∠B=45°。∴∠BDE=90°-∠B=45°。DE=EB。 CD=EB。∴AB=AE+EB=AC+CD。 思维拓展 14.【定理】解：AC平分∠BAD【运用】证明：过点C作CM⊥AB于点M,过点C作 CN⊥AD交AD的延长线于点N。:CN⊥AD,CM⊥AB,.∠N=∠BMC=90°。 ∠BAD+∠BCD=180°，∴.∠ADC+∠B=180°。：∠CDN+∠ADC=180°，∴.∠B =∠CDN。.'BC=CD,.△CBM≌△CDN(AAS)。..CM=CN。.'CN⊥AD,CM⊥ AB,∴.AC平分∠BAD。 专题六利用角平分线构造全等三角形解题【通性通法】 1.证明：过点C作CF⊥AB于点F,则∠AFC=90°。：∠D=90°，.CD⊥AD。AC 平分∠BAD,CD=CE。在Rt△ADC和R△AFC中，CSC,Rt△ADCg Rt△AFC(HL)。:.AD=AF。同理，得BF=BE,.AB=AF十BF=AD+BE。 BC=FC, 【变式题】证法一：证明：在△BCE和△FCE中，)∠BCE=∠FCE,.△BCE≌△FCE(SAS)。 CE=CE, .∠B=∠CFE。AD∥BC,∴∠A+∠B=180°。∴∠A+∠CFE=180°。：∠CFE 第7页（共48页） ∠A=∠DFE, +∠DFE=180°，∴.∠A=∠DFE。在△ADE和△FDE中，∠ADE=∠FDE, DE=DE, △ADE≌△FDE(AAS)。∴AD=FD。∴.CD=FD+FC=AD十BC。证法二：证 MD=CD, 明：在△DME和△DCE中，∠MDE=∠CDE,∴.△DME≌△DCE(SAS)。.ME= DE-DE. CE,∠M=∠DCE。·∠DCE=∠BCE,∴.∠M=∠BCE。AD∥BC,∴.∠MAE= (∠M=∠BCE, ∠B。在△AME和△BCE中，∠MAE=∠B,.△AME≌△BCE(AAS)。∴.AM= ME=CE, BC。.CD=MD=AD十AM=AD+BC。2.证明：过点E作EF⊥BC于点F,则 ∠BFE=∠CFE=9O°。：BD平分∠ABC,EA⊥AB,∴.EA=EF,∠BAE=∠BFE= 90°。在Rt△ABE和Rt△FBE中， BE=BE,:.R△ABE≌R△FBE(HL)。AB= EA=EF, FB。:EB=EC,EF⊥BC,.FB=FC。.BC=2FB=2AB。 第2课时三角形的三条角平分线 基础过关 1.C2.B3.证明：AP平分∠BAC,PF⊥AD,PG⊥AE,.PF=PG。BP平分 ∠CBD,PF⊥AD,PH⊥BC,.PF=PH。∴.PG=PH。PG⊥AE,PH⊥BC,.CP 平分∠BCE。4.解：作三角形三条角平分线的交点即可。如图， 点O即 是小亭的中心位置。 能力提升 5.D6.47.解：1)9(2)0H=号OA。理由如下：过点0作OG⊥AB于点G,0QL AC于点Q。BO平分∠ABC,OH⊥BC,OG⊥AB,.OH=OG。同理可得OH=OQ ∴0G=0Q。A0平分∠BAC。∴∠GA0=号∠BAC=30.0G=OA,即0H =0A 专题七巧构等腰三角形的几种常见技巧【通性通法】 1.D2.(1)115°(2)133.证法一：证明：CA=CB,.∠A=∠B。DM∥AB, ∠CDM=∠A,∠M=∠B。∴∠CDM=∠M。:CD=CE,∴.∠CDE=∠CED :∠CDM+∠M+∠CDE+∠CED=180°，∴·∠CDM+∠CDE=90°，即∠EDM=90°。 DE⊥DM。DM∥AB,DE⊥AB。证法二：证明：CD=CE,.∠CDE= ∠CED。BN∥DE,∴.∠N=∠CDE,∠CBN=∠CED。∴∠CBN=∠N。CA= CB,∴∠A=∠ABC。∠A+∠ABC+∠CBN+∠N=180°，.∠ABC+∠CBN= 90°，即∠ABN=90°。∴.BN⊥AB。,BN∥DE,∴.DE⊥AB。4.证明：过点E作EG ∥AC,交BC于点G,则∠BGE=∠ACB,∠GED=∠F。:AB=AC,∴.∠ACB=∠B。 ∠GED=∠F, ∴∠B=∠BGE。∴.BE=EG。在△GDE和△CDF中，DE=DF, ..△GDE ∠EDG=∠FDC, ≌△CDF(ASA)。.EG=CF。.BE=CF。5.26.D7.40°8.(1)证明：延长 DB到F,使BF=BA,连接AF。BF=BA,∴∠F=∠BAF。:∠ABC=∠F+ ∠BAF,∠ABC=2∠F。∠ABC=2∠C,∴∠F=∠C。.AF=AC。AD⊥BC 于点D,.FD=CD,即FB+BD=CE+DE。,BF=BA,AE为BC边上的中线，即 BE=CE,.BE+DE=AB+BD。(2)解：，BE+DE=AB十BD,BD=2,DE=3, .(2+3)+3=AB+2。.AB=6。 问题解决策略：反思 1.解：ACCM=BN证明：：CM是AB边上的中线，BN是AC边上的中线，.AM =ZAB,AN=2AC。:AB=AC,AM=AN。:∠A=∠A,△AMC≌△ANB (SAS)。∴.CM=BN。【变式题1】3【变式题2】3【归纳总结】相等【进阶反思】 相等【策略运用】D2.解：如图所示，17-4+1-7+6-1+|2-61十|5-2十 |3-5|=3+6+5十4+3+2=23。（答案不唯一）【变式题1】24【变式题2】40 7-(6-(2)-(5H 第一章章末复习 思维导图 180°不相邻大于(n-2)·180°360°等角等边60°相等60°一半 相等相等 第8页（共48页） 考点整合 1.C2.45°3.解：(1)∠BCD=10°，∠AEB=75°，.∠CFE=∠AEB-∠BCD= 75°-10°=65°。∴.∠AFD=∠CFE=65。:CD是△ABC的高线，∴.∠ADC=90°。 ∠BAE=90°-∠AFD=25°。(2)AE平分∠BAC,∠BAC=2∠BAE=50°。 ∴∠ACD=90°-∠DAC=40°。4.B5.B6.B7.B8.(1)解：△ABC是等边 三角形，.∠A=∠B=∠ACB=60°。DE∥AB,.∠EDC=∠B=60°。EF⊥DE, ∠DEF=90°。.∠F=90°-∠EDC=90°-60°=30°。(2)证明：∠F+∠FEC= ∠ECD=60°，∠F=30°，∠FEC=30°=∠F。.CE=CF。∴△CEF是等腰三角形。 9.A10.50311.C12.(1)证明：连接BP,CP。点P在BC的垂直平分线上， .BP=CP。AP是∠DAC的平分线，PD⊥AB,PE⊥AC,∴.PD=PE。在Rt△BDP 和R△CEP市，P.R△BDPe△GEP(HL.BD=CE.2)解，在 和R△AEP中，BE.R:△ADP@R△AEP(H。AD=AE 6cm,AC=10cm,.6+AD=10-AE,即6+AD=10-AD。.AD=2cm。 聚焦课标 13.任务1：解：△ACD和△CBD△CBD和△ABC(答案不唯一)任务2：证明： :∠A=40°，∠B=60°，∠ACB=180°-∠A-∠B=80°。：在△ABC中，CD为角 平分线，∴∠ACD=∠BCD=40°。.∠ACD=∠A。∴.CD=AD。△ACD是等腰 三角形。：∠ADC=180°-∠A-∠ACD=180°-40°-40°=100°，∴.∠BDC=180°- 100°=80°。∴.∠BDC=∠ACB。又.∠B=∠B,∠BCD=∠A,.△ABC与△CBD 是“等角三角形”。.CD是△ABC的“等角分割线”。任务3：解：84°或111°或92°或 106°。（写出其中任何一个即可）[解析：根据题意可知，分以下六种情况讨论：①当 △ACD是等腰三角形，CD=AD时，∠BCD=∠ACD=∠A=42°，∴.∠ACB=∠ACD 十∠BCD=84°；②当△ACD是等腰三角形，AC=AD时，∠ADC=∠ACD=69°， ∠BCD=∠A=42°，∴.∠ACB=∠ACD+∠BCD=111°；③当△ACD是等腰三角形， CD=AC时，不符合题意，舍去。④当△BCD是等腰三角形，CD=BD时，∠ACD= ∠B=∠BCD,∠B=180°2∠4=46。∠ACB=180°-∠A-∠B=92:⑤当 3 △BCD是等腰三角形，BC=BD时，∠ACD=∠B,∠BCD=∠BDC=∠A十∠ACD= 42°+∠B,∴.在△BCD中，42°+∠B+42°+∠B+∠B=180°。∴.∠B=32°，∠ACB= 180°-∠A-∠B=106°；⑥当△BCD是等腰三角形，CB=CD时，不符合题意，舍去。 综上所述，∠ACB的度数为84°或111°或92°或106] 第二章不等式与不等式组 1不等式及其性质 第1课时不等关系 基础过关 1.D2.D3.B4.x2+y≤105.解：(1)x≥0。(2)-x-1≥2。(3)x+17<5x。 (4)4m>5π。 能力提升 10+m10 6.C7.100+7m100 8.解：(1)根据题意，得3x十2(10一x)>25。(2)根据题意，得 3×400x+2×700(10-x)≥12000。 第2课时不等式的解与解集 基础过关 1.A2.B3.2x<6(答案不唯一)4.C5.C6.解：(1) -3-2-1012 (2)-5-43-2-101 能力提升 7.B8.C9.410.解：(1)由题意，得15x+18(0.5-x)<8。(2)当x=0.25时，15 ×0.25十18×(0.5-0.25)=8.25>8，.小明能在9：00前到达书店。 第3课时不等式的基本性质 基础过关 1.B2.D3.(1)>(2)<4.<5解：(1)成立。根据不等式的基本性质1，两边 都减云，即可得到结论。(2)不成立。若之=0，则xz2=y2.6.C7.A 8.解：(1)根据不等式的基本性质3，两边都除以-5，得x>号。这个不等式的解集在数 轴上的表示如图所示。212 (2)根据不等式的基本性质1，两边都减去 3x,得5x-3x<1,即2x<1。根据不等式的基本性质2，两边都除以2，得x<2。这 第9页（共48页）5 角平分线 第1课时 角平分线的性质与判定 口基础过关 ◆逐点击破 知识点2角平分线的判定定理 知识点1角平分线的性质定理 5.如图，点P在∠AOB内部，PC⊥OA于点C, 1.如图，OC为∠AOB的平分线，CM⊥OB, PD⊥OB于点D,PC=3cm。当PD的长为 CM=6,则点C到射线OA的距离为( cm时，点P在∠AOB的平分线上。 A.3 B.6 C.9 D.12 D B B (第5题图) (第6题图) M (第1题图) (第2题图》 6.如图，C为∠AOB内部一点，且点C到AO 2.如图，在△ABC中，∠C=90°，BD平分 的距离与点C到OB的距离相等，连接OC。 ∠ABC,交AC于点D,DE⊥AB于点E.若 若∠AOC=21°，则∠BOC的度数为() AC=15,AD=9,则DE的长为 A.42° B.30° C.259 D.21° A.9 B.7 C.6 D.5 7.在正方形网格中，∠AOB的位置如图所示， 3.如图，在△ABC中，AD是 则到∠AOB两边的距离相等的点是( 角平分线，DE⊥AB于点 A.点M P.e E,DF⊥AC于点F,DE= B.点N 2,AC=4,则△ADC的面 C.点P 积为一。 D.点Q 4.如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC 8.(教材P44习题T1变式)如图，在△ABC 的平分线，DE⊥AB于点E,点F在AC上， 中，D是BC的中点，DE⊥AB,DF⊥AC,垂 且BE=CF。求证：BD=FD。 足分别为E,F,BE=CF。 求证：AD平分∠BAC. 27第一章三角形的证明及其应用 能力提升 整合运用 13.(教材P44习题T2变式)如图，AD是等腰 9.已知AF是等腰三角形ABC的底边BC上 直角三角形ABC的底角平分线，∠C= 的高，若点F到直线AB的距离为3，则点F 90°。求证：AB=AC+CD。 到直线AC的距离为 ( A号 B.2 C.3 D号 10.将两把宽度相同的直尺按如图所示的方式 摆放，两把直尺的接触点记为点P,其中 把直尺的边缘与射线OA重合，另一把直尺 的下边缘与射线OB重合。若∠AOB 54°，则∠AOP的度数为 A.54°B.36° C.27° D.26 口思维拓展 ·◆◆强化素养 14.【定理】如图①，因为CB⊥AB于点B, (第10题图) (第11题图) CD⊥AD于点D,CB=CD,所以 11.如图，E是∠AOB的平分线上一点，CE⊥ 【运用】如图②，在四边形ABCD中， OA,DE⊥OB,垂足分别是C,D,连接CD。 ∠BAD+∠BCD=180°，BC=CD,求证： 下列结论不一定成立的是 AC平分∠BAD。 A.DE=CE B.EO平分∠DEC C.OE垂直平分CD D.CD垂直平分OE 图① 图② 12.(教材P41随堂练习T1变式)如图，铁路 OA和OB交于点O处，河道AB与铁路分 别交于A处和B处。试在河岸上AB之间 建一座水厂M,要求水厂M到铁路OA, OB的距离相等，则该水厂M应建在图中 什么位置？请在图中标出水厂M的位置。 (不写作法，保留作图痕迹) B4 数学八年级下册配BS版28 专题六利用角平分线构造全等三角形解题【通性通法】 模型呈现及分析： 证法二（补短法）：延长DA到点M,使MD= (1)如图，OP是∠MON的平分线，PA⊥OM于点A。 CD,连接EM。(请将证明过程补充完整) M 作PB⊥ON 于点B 结论：PA=PB,△AOP≌△BOP; (2)如图，OP是∠MON的平分线，A是射线OM上 任意一点。 在OW上截取 OB=OA,连接PB 结论：△AOP≌△BOP。 本质：“角平分线十截长补短法”构造全等三角形。 1.如图，∠D=∠E=90°，AC,BC分别平分 ∠BAD,∠ABE,点C在线段DE上，求证： AB=AD+BE。 2.如图，在△ABC中，BD平分∠ABC,E是 BD上一点，EA⊥AB于点A,且EB=EC。 求证：BC=2AB。 【变式题·一题多解】如图，AD∥BC,点E 在线段AB上，∠ADE=∠CDE,∠DCE= ∠BCE。求证：CD=AD+BC。 证法一（截长法）：在CD上取点F,使FC= BC,连接EF。(请将证明过程补充完整) 29第一章三角形的证明及其应用