1.5.2 三角形三个内角的平分线 课件 2025-2026学年北师大版数学八年级下册

北师大版数学8年级下册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（*）班 . 时 间： . 2026年4月28日 1.5.2 三角形三个内角的平分线 第一章 三角形的证明及其应用 班级：________ 姓名：________ 得分：________ 时间：45分钟 本次练习题围绕“1.5.2 三角形三个内角的平分线”核心知识点设计，重点考查三角形内角平分线的定义、性质，三角形三条内角平分线的交点（内心）的特点，以及内角平分线的尺规作图、综合应用，衔接前序角平分线的性质定理、逆定理、全等三角形等相关知识，分层考查基础识记、作图规范、逻辑推理、计算求解与灵活运用能力，助力掌握三角形内角平分线的解题规范，规避内心性质混淆、作图步骤遗漏、综合应用不灵活等常见问题。 一、基础梳理（必记内容） （一）三角形内角平分线的定义（基础，衔接前序） 三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段，叫做三角形的内角平分线。 补充说明：① 三角形的内角平分线是线段（区别于角的平分线——射线），它的两个端点分别是三角形的顶点和对边上的交点；② 任意一个三角形有三条内角平分线，分别对应三个内角；③ 三角形的内角平分线一定在三角形的内部（无论锐角、直角、钝角三角形，内角平分线均在内部）。 （二）三角形三条内角平分线的交点——内心（重点，必记） 1. 核心性质：三角形的三条内角平分线一定相交于一点，这个点叫做三角形的内心。 2. 内心的关键特征（核心考点）：三角形的内心到三角形三条边的距离相等。（依据：角平分线的性质定理——内心在每条内角平分线上，故到两条对应边的距离相等，进而到三条边的距离都相等） 3. 几何表示：如图，在△ABC中，AD、BE、CF分别是∠BAC、∠ABC、∠ACB的平分线，且交于点I（内心），过I作IG⊥AB于G，IH⊥BC于H，IJ⊥AC于J，则IG = IH = IJ。 4. 补充说明：① 内心是三角形内接圆的圆心（内心到三边距离相等，这个距离即为内接圆半径）；② 无论三角形是锐角、直角还是钝角，内心始终在三角形内部；③ 内心到三角形三个顶点的距离不相等（区别于外心），仅到三条边的距离相等。 （三）三角形内角平分线的尺规作图（重点） 1. 单条内角平分线的作图（衔接角平分线作图）： 已知：△ABC，求作：∠BAC的平分线AD，交BC于点D。 步骤：① 以点A为圆心，以任意长为半径作弧，交AB、AC于两点M、N；② 分别以M、N为圆心，以大于$$\frac{1}{2}MN$$的长为半径作弧，两弧在∠BAC内部交于点P；③ 连接AP，交BC于点D，线段AD即为∠BAC的平分线。 2. 三角形三条内角平分线的作图（找内心）： 步骤：① 作三角形任意两个内角的平分线；② 两条平分线的交点即为三角形的内心（第三条内角平分线必过该点，可省略作图，但保留前两条痕迹即可）。 （四）三角形内角平分线的综合应用技巧 - 1. 利用内心性质求距离：若已知内心到三角形一条边的距离，可直接得出到另外两条边的距离（三者相等）； - 2. 结合角平分线性质定理：三角形的内角平分线分对边所得的两条线段，与这个角的两条邻边对应成比例（补充考点，可用于线段长度计算）； - 3. 结合全等三角形：通过内角平分线构造全等三角形，推导线段相等、角相等； - 4. 区分内心与外心：内心是三条内角平分线的交点，到三边距离相等；外心是三条边垂直平分线的交点，到三个顶点距离相等，避免混淆。 5. 易错提醒：① 混淆“三角形的内角平分线（线段）”与“角的平分线（射线）”；② 误认为内心到三角形三个顶点的距离相等（实际到三边距离相等）；③ 作图时，误将三角形内角平分线画成射线，未与对边相交；④ 忽略内心始终在三角形内部的特点；⑤ 应用内心性质时，未明确“内心到三边的距离是垂线段长度”。 二、选择题（每题3分，共15分） 1. 下列关于三角形内角平分线的说法，正确的是（ ） A. 三角形的内角平分线是一条射线 B. 三角形的三条内角平分线一定相交于三角形外部 C. 三角形的内角平分线一定在三角形内部 D. 三角形的内角平分线分对边所得的两条线段相等 2. 三角形三条内角平分线的交点叫做三角形的（ ） A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心 3. 下列关于三角形内心的说法，错误的是（ ） A. 内心是三角形三条内角平分线的交点 B. 内心到三角形三条边的距离相等 C. 内心一定在三角形内部 D. 内心到三角形三个顶点的距离相等 4. 在△ABC中，AD、BE分别是∠BAC、∠ABC的平分线，且AD、BE交于点I，若IG⊥AB于G，IG=2cm，则点I到BC的距离为（ ） A. 1cm B. 2cm C. 3cm D. 4cm 5. 在Rt△ABC中，∠C=90°，内心I到AB的距离为3cm，则该三角形内接圆的半径为（ ） A. 1.5cm B. 3cm C. 6cm D. 无法确定 三、填空题（每题3分，共15分） 1. 三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的________和________之间的线段，叫做三角形的内角平分线。 2. 三角形的三条内角平分线相交于一点，这个点叫做三角形的________，它到三角形________的距离相等。 3. 在△ABC中，内心为I，若I到AB的距离为5cm，则I到AC的距离为________cm，到BC的距离为________cm。 4. 作三角形的内心，只需作任意________条内角平分线，它们的________即为内心。 5. 直角三角形的内心到直角顶点的距离________（填“大于”“小于”或“等于”）到斜边的距离。 四、解答题（共70分） 1. （10分）基础题，考查三角形内角平分线的定义、内心的性质。 （1）请完整叙述三角形内角平分线的定义、三角形内心的定义及核心性质（含几何表示）； （2）简述三角形的内角平分线与角的平分线的区别与联系。 解： 2. （12分）辨析题，考查三角形内角平分线及内心的易错点。 （1）判断下列说法是否正确，若正确，说明理由；若错误，说明理由并改正： ① 三角形的内角平分线是一条射线，能平分三角形的内角； ② 三角形的三条内角平分线可能相交于三角形外部； ③ 三角形的内心到三角形三个顶点的距离相等； ④ 直角三角形的内心在斜边的中点上。 （2）为什么说三角形的内心一定在三角形内部？请结合内角平分线的特点说明。 解： 3. （12分）基础作图题，考查三角形内角平分线的尺规作图及内心确定。 （1）如图，已知△ABC，用尺规作∠BAC的平分线AD，交BC于点D（要求：保留作图痕迹，标注交点）； （2）如图，已知△ABC，用尺规作△ABC的内心I（要求：保留作图痕迹，说明作图步骤）； （3）如图，已知Rt△ABC，∠C=90°，用尺规作其内心I，并过I作IG⊥AB于G，测量IG的长度（简要说明测量方法）。 解：（图形可在答题纸上绘制，此处写出作图步骤并说明痕迹） 4. （12分）综合证明题，考查内心性质与角平分线定理、全等三角形的综合应用。 （1）在△ABC中，AD、BE分别是∠BAC、∠ABC的平分线，交于点I，IG⊥AB于G，IH⊥BC于H，求证：IG=IH； （2）在△ABC中，内心为I，过I作IG⊥AB于G，IH⊥AC于H，IJ⊥BC于J，若IG=3cm，△ABC的周长为20cm，求△ABC的面积； （3）在△ABC中，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，求证：AD垂直平分EF。 解：（图形可在答题纸上绘制，此处写出证明过程） 5. （12分）应用题，考查三角形内角平分线及内心在实际场景中的应用。 （1）一块三角形花园ABC，现要在花园内找一点P，使点P到三条边的距离相等，说明点P的位置，并说明如何用尺规确定该点； （2）一个直角三角形零件，∠C=90°，两直角边长分别为6cm和8cm，求该零件内心到斜边的距离； （3）工人师傅要制作一个三角形木框，已知三角形的两条边分别为5cm和7cm，夹角为60°，用尺规作出该三角形的内心，并说明内心的作用（结合内接圆）。 解： 6. （12分）综合题，考查三角形内角平分线的灵活运用（与等腰三角形、直角三角形、垂直平分线综合）。 （1）如图，在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，交BC于点D，BE平分∠ABC，交AD于点I，求证：I是△ABC的内心； （2）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，I是△ABC的内心，求证：ID=IG（IG⊥AB于G）； （3）如图，在△ABC中，内心为I，EF是AI的垂直平分线，交AI于点O，交AB于E，交AC于F，求证：IE=IF。 解：（图形可在答题纸上绘制，此处写出分析过程和证明步骤） 参考答案（简要提示） 一、选择题：1.C 2.B 3.D 4.B 5.B 二、填空题：1. 顶点；交点 2. 内心；三条边 3. 5；5 4. 两；交点 5. 大于 三、解答题：1.（1）定义、内心性质及几何表示略；（2）区别：三角形的内角平分线是线段，角的平分线是射线；联系：三角形的内角平分线是角的平分线的一部分（线段在射线上） 2.（1）①错误，改正：三角形的内角平分线是一条线段；②错误，改正：三条内角平分线一定相交于三角形内部；③错误，改正：内心到三角形三条边的距离相等；④错误，改正：直角三角形的内心在三角形内部，不在斜边中点；（2）理由：三角形的内角平分线均在三角形内部，三条内部线段的交点也在内部 3.（1）（2）（3）作图步骤略，保留弧痕、交点，标注清晰 4.（1）证明略（I在AD、BE上，利用角平分线性质定理，IG=IJ、IH=IJ，故IG=IH）；（2）面积=30cm²（面积=½×周长×内心到边的距离）；（3）证明略（AD平分∠BAC→DE=DF，AD=AD，Rt△ADE≌Rt△ADF，故AE=AF，AD垂直平分EF） 5.（1）点P是△ABC的内心，作任意两条内角平分线，交点即为P；（2）距离=2cm；（3）作图略，内心是三角形内接圆的圆心，可确定内接圆的位置和半径 6.（1）证明略（AB=AC，AD平分 复习回顾 角平分线的性质 角平分线的判定 图形 已知 条件 结论 OP 平分∠AOB PD⊥OA 于 D PE⊥OB 于 E PD = PE OP 平分∠AOB PD = PE PD⊥OA 于 D PE⊥OB 于 E O A B P D E O A B P D E 三角形的内角平分线 1 例1 如图，在△ABC 中，已知 AC = BC，∠C = 90°， AD 是△ABC 的角平分线，DE⊥AB，垂足为 E. (1) 如果 CD = 4 cm，求 AC 的长； (2) 求证：AB＝AC＋CD. 例2 如图，在△ABC 中，已知 AC = BC，∠C = 90°， AD 是△ABC 的角平分线，DE⊥AB，垂足为 E. (1) 如果 CD = 4 cm，求 AC 的长； E D A B C 解：∵ AD 是△ABC 的角平分线，DC⊥AC，DE⊥AB， ∴ DE = CD = 4 cm ( 角平分线上的点到 这个角的两边的距离相等 )。 ∵ AC=BC，∴∠B=∠BAC(等边对等角). ∵∠C = 90°， ∴∠B = ×90° = 45°. 在等腰Rt△BDE 中， ∴ BE = DE ( 等角对等边 )。 (2) 求证：AB＝AC＋CD. 证明：由 (1) 的求解过程易知， Rt△ACD≌Rt△AED (HL). ∴ AC＝AE. ∵ BE＝DE＝CD， ∴ AB＝AE＋BE＝AC＋CD. E D A B C 【练一练】 1. 如图，已知 BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别为 E，F，BE，CF 相交于点 D. 若 BD = CD，求证：AD 是∠BAC 的平分线. 证明：∵ BE⊥AC，CF⊥AB，∴∠BFD =∠CED = 90°. 在 △BDF 和 △CDE 中， ∠BFD = ∠CED， ∠BDF = ∠CDE， BD = CD， ∴△BDF≌△CDE (AAS). ∴ DF = DE. 又 DF⊥AB，DE⊥AC， ∴AD 是∠BAC 的平分线. 剪一个三角形纸片，通过折叠找出每个角的角平分线，观察这三条角平分线，你是否发现同样的结论？与同伴交流． 结论：三角形三个角的平分线相交于一点. 怎样证明这个结论呢? 试一试 例2 已知：如图，在△ABC 中，角平分线 BM 与角平分线 CN 相交于点 P. 求证：∠A 的平分线经过点 P. D E F A B C P N M 分析：要证明∠A 的平分线经过点 P，需要什么条件？已知的两条角平分线相交于点 P，由此你能得到哪些相关的结论？ ∴点 P 在∠A 的平分线上(在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上)， 同理 PE = PF. ∴ PD = PE = PF. 即∠A 的平分线经过点 P. D E F A B C P N M 证明：如图，过点 P 分别作 PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥AC，垂足为 D，E，F. ∵BM 是 △ABC 的角平分线， ∴ PD = PE(角平分线上的点到这个角的两边的距离相等). 结论：三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到三条边的距离相等. 归纳总结 A 返回 1． 如图，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分线交于点O，AB＝12 cm，BC＝9 cm，若△ABO的面积为18 cm2，则△BOC的面积为(　　)　　　　　　　　　　　　　　　 A．13.5 cm2 B．18 cm2 C．24 cm2 D．27 cm2 中考考法 11 返回 6 2． 如图是油路管道的一部分，延伸外围的支路恰好构成 一个直角三角形，两直角边AC，BC的长分别为6 m和 8 m．按照输油中心O到三条支路的距离相等来连接管道，则O到三条支路的管道总长(计算时视管道为线段)是________m. 中考考法 12 6 3． 如图，已知在△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，CD平分∠ACB，BE平分∠ABC，BE与CD交于点O，若过点O的直线MN平分△ABC的面积，那么CM＋CN的值为________. 中考考法 13 【点拨】 返回 中考考法 4． ①②③ 中考考法 15 【点拨】 中考考法 中考考法 ∵OM＝OR＝OS，∴三角形内部有一个点O到直线AB，AC，BC的距离相等，如图③所示，作△ABC外角的平分线BP1，AP1，交于点P1.过点P1作P1N1⊥BC，P1N2⊥AB，P1N3⊥AC，由角平分线的性质定理可得P1N1＝P1N2＝P1N3，同理可得，三角形外部共有3个点到直线AB，AC，BC的距离相等，∴共有4个点到直线AB，AC，BC的距离相等，故④错误；综上所述，正确的有①②③. 返回 中考考法 5． [2025北京汇文中学月考]已知点C是∠MAN平分线上的一点，∠BCD的两边CB，CD分别与射线AM，AN相交于B，D两点，且∠ABC＋∠ADC＝180°，过点C作CE⊥AB，垂足为E. (1)如图①，当点E在线段AB上时，求证：BC＝DC； 中考考法 19 【证明】如图①，过点C作CF⊥AD，垂足为F. 因为AC平分∠MAN，CE⊥AB，所以CE＝CF. 因为∠CBE＋∠ADC＝180°，∠CDF＋∠ADC＝180°， 所以∠CBE＝∠CDF. 又因为∠CEB＝∠CFD＝90°， 所以△BCE≌△DCF.所以BC＝DC. 中考考法 (2)如图②，当点E在线段AB的延长线上时，请直接写出线段AB，AD与BE之间的数量关系； 【解】AD－AB＝2BE. 中考考法 【点拨】 如图②，过点C作CF⊥AD，垂足为F.因为AC平分∠MAN，CE⊥AB，所以CE＝CF.又因为AC＝AC，所以Rt△ACE≌Rt△ACF，所以AE＝AF.因为∠ABC＋∠ADC＝180°，∠ABC＋∠CBE＝180°，所以∠CDF＝∠CBE.又因为∠CEB＝∠CFD＝90°，所以△BCE≌△DCF，所以BE＝DF，所以AD＝AF＋DF＝AE＋DF＝ AB＋BE＋DF＝AB＋2BE，所以AD－AB＝2BE. 中考考法 (3)如图③，在(2)的条件下，若∠MAN＝60°，连接BD，作∠ABD的平分线BK交AD于点K，交AC于点O，连接DO并延长交AB于点G，若BG＝1，DK＝2，求线段DB的长. 中考考法 【解】如图③，在BD上截取BH＝BG＝1，连接OH. 因为BK平分∠ABD，所以∠OBH＝∠OBG. 又因为OB＝OB，所以△OBH≌△OBG， 所以∠OHB＝∠OGB，∠BOH＝∠BOG. 因为AO是∠MAN的平分线，BO是∠ABD的平分线， 所以DO是∠ADB的平分线，所以∠ODH＝∠ODK. 中考考法 因为∠OHB＝∠ODH＋∠DOH， ∠OGB＝∠ODK＋∠DAB，所以∠DOH＝∠DAB＝60°， 所以∠GOH＝120°，所以∠BOG＝∠BOH＝60°， 所以∠DOK＝∠BOG＝60°，所以∠DOH＝∠DOK. 又因为OD＝OD， 所以△ODH≌△ODK，所以DH＝DK＝2， 所以DB＝DH＋BH＝2＋1＝3. 返回 中考考法 三角形内角 平分线的性质 性质：三角形的三条角平分线交于一点，并且这一点到三条边的距离相等 应用：位置的选择问题 课堂小结 如图，连接OA，过点O作OH⊥AC于 点H，OQ⊥BC于点Q，OG⊥AB于点G.∵CD平分∠ACB，BE平分∠ABC，BE与CD交于点O，∴OG＝OH＝OQ.∵∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，∴BC＝＝5，S△ABC＝×3×4＝6.∵S△AOB＋S△BOC＋S△AOC＝S△ABC，∴×3×OG＋×5×OQ＋×4×OH＝6，即3OH＋5OH＋4OH＝12，解得OH＝1.∵过点O的直线MN平分△ABC的面积，∴S△CMN＝S△ABC，∴OH·CM＋OQ·CN＝×6，∴CM＋CN＝6. 如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线BE，CD相交于点O，过点O作OM⊥BC于点M，则以下结论：①若∠A＝50°，则∠BOC＝115°；②＝；③若OM＝m，AB＋BC＋AC＝n，则S△ABC＝mn；④平面内到三条直线AB，AC，BC距离相等的点有3个． 其中正确的有________．(只填写序号) 在△ABC中，若∠A＝50°，则∠ABC＋∠ACB＝180°－∠A＝180°－50°＝130°.∵BE，CD分别平分∠ABC，∠ACB，∴∠ABE＝∠CBE＝∠ABC，∠ACD＝∠BCD＝∠ACB，∴∠CBE＋∠BCD＝∠ABC＋∠ACB＝(∠ABC＋∠ACB)＝×130°＝65°.在△BCO中，∠BOC＝180°－(∠BCO＋∠CBO)＝180°－65°＝115°，故①正确；如图①所示，过点E作EH⊥AB， EG⊥BC于点H，G，过点B作BK⊥AC于点K， ∵BE是∠ABC的平分线，∴EH＝EG.∵S△ABE＝AB·EH＝AE·BK，S△CBE＝BC·EG＝CE·BK，∴＝＝，∴＝，故②正确；如图②所示，过点O作OR⊥AB，OS⊥AC于点R，S，连接OA.∵BE，CD分别平分∠ABC，∠ACB，OM⊥BC，∴OM＝OR＝OS＝m.∴S△ABC＝S△AOB＋S△AOC＋S△BOC＝AB·OR＋AC·OS＋BC·OM＝OM(AB＋AC＋BC)＝mn，故③正确； $