4 第2课时 三角形三边的垂直平分线-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年八年级下册数学（北师大版·新教材）

∴.DE=DF。2.证明：连接BD。在等边三角形ABC中，点D是AC的中点， ÷∠DBC=号∠ABC=号X60=30,∠ACB=60。CE=CD,∠CDE=∠E. ∠ACB=∠CDE+∠E,.2∠E=60°。∴∠E=30°。∠DBC=∠E=30°。.BD =ED。∴△BDE为等腰三角形。又：DM⊥BC,.BM=EM。3证明：过点A作 AE⊥BC于点E。∴∠CAE+∠C=90。:AB=AC,∴∠CAE=号∠BAC。:BDL AC,∠DBC+∠C=90。∠DBC=∠CAE。∠DBC=∠BAC。4.证明：过 点A作AM⊥BC于点M。:AB=AC,∠BAC=2∠BAM。:AD=AE,∴.∠ADE= ∠E。.∠BAC=∠ADE+∠E=2∠E。.∠BAM=∠E。..DE∥AM。.'AM⊥BC AB=AE, ,.DE⊥BC。5.证明：连接AC,AD。在△ABC和△AED中，∠B=∠E,.△ABC≌ BC=ED. △AED(SAS),.AC=AD。又：点F是CD的中点，∴.AF⊥CD。 专题四等腰三角形中易漏解或多解问题【易错】 1.C2.103.94°【变式题150°或65°【变式题2】50°或65°或80°4.25°或40 5.120°或75°或30°6.34°或28°或22°7.65或25°8.20°9.D10.C 第3课时等边三角形的判定与含30°角的直角三角形的性质 基础过关 1.D2.∠B=60(答案不唯一)3.554.证明：：DC=DB,.∠DCB=∠B=30°。 ∴.∠ADC=∠DCB十∠B=30°+30°=60°。又：AD=DC,∴.△ADC是等边三角形。 5.B6.67.28.解：(1)等边三角形ABC的边长为4，∠A=60°，AB=4。:D 是AB的中点AD=号AB=2。DF⊥AC,∠AFD=90。六∠ADF=180- ∠AFD-∠A=30°。·AF=号AD=1。(2):等边三角形ABC的边长为4，“∠C= 60°，AC=BC=4。∴.CF=AC-AF=3。:FE⊥BC,.∠CEF=90°。∴.∠CFE=180 -∠CEF-∠C=30.CE=CF=1.5。BE=BC-CE=2.5. 能力提升 9.D10.B1L.√312.(1)证明：：AB=AC,∠B=∠C。:FE⊥BC,∴∠CEF= 90°。∠F+∠C=90°，∠BDE+∠B=90°。∴∠F=∠BDE。:∠BDE=∠FDA, ∴∠F=∠FDA。∴.AF=AD。.△ADF是等腰三角形。(2)解：：DE⊥BC, ∠DEB=90。:∠B=60,∠BDE=90°-∠B=90°-60=30。BE=号BD =号×6=3。：AB=AC,∠B=60,△ABC是等边三角形。BC=AB=AD+BD =3十6=9。∴.EC=BC-BE=9-3=6。 思维拓展 13.解：(1)△BDF是等边三角形。证明如下：：∠B=60°，DE∥BC,∠ADE=∠B= 60°。由折叠可得∠FDE=∠ADE=60°，∴∠BDF=60°。∴.∠DFB=180°-∠B- ∠BDF=60°。.△BDF是等边三角形。(2)分两种情况讨论：①如答图①，当∠BFD =90时，点F在△ABC内，，∠BDF=60°，∴∠DBF=30°。.BD=2DF。由折叠得 DF=AD,.BD=2AD。.3AD=9。.AD=3。②如答图②，当∠DBF=90°时，点F 在△ABC外，同理可得AD=DF=2BD,.AD=6。综上所述，AD的长为3或6。 答图① 答图② 3直角三角形 第1课时直角三角形的性质与判定 基础过关 1.A2.2.43.20V24.B5.D6.(1)解：在Rt△ACD中，由勾股定理，得AD= acD-V-()- 16 。(2)证明：在Rt△BCD中，由勾股定理，得BD= VC=CD-√3-（号）=号.AB=AD+BD-号+号-54+32=5， 9 5 第4页（共48页） 即AC2十BC2=AB,∴△ABC是直角三角形。7.D8.解：(1)逆命题：如果两个三 角形的面积相等，那么这两个三角形全等。原命题是真命题，逆命题是假命题。(2)逆 命题：如果a>0,b>0,那么ab>0。原命题是假命题，逆命题是真命题。 能力提升 9.A10.3√311，解：逆命题：如果一个三角形的两个角的平分线所夹的锐角是45°， 那么这个三角形是直角三角形。已知：如图， 在△ABC中，BE是 ∠ABC的平分线，交AC于点E,AD是∠BAC的平分线，交BC于点D,BE和AD相 交于点O,且∠AOE=45°。求证：△ABC是直角三角形。证明：：BE是∠ABC的平 分线，AD是∠BAC的平分线，∠OAB=∠BAC,∠OBA=∠ABC。·∠0AB +∠OBA=(∠BAC+∠ABC).∠A0E=(I80-∠C).又：∠A0E=45, ∴∠C=90°。.△ABC是直角三角形。12.解：(1)AD⊥BC。理由如下：：AB= 13m,AD=12m,BD=5m,∴.AB2=169,AD+BD2=144+25=169。∴.AB2=AD +BD。.∠ADB=90°。.AD⊥BC。(2).AC=15m,AD=12m,∠ADC=∠ADB =90°，.CD=√15-12=9(m)。.BC=CD+BD=9十5=14(m)。.劳动场地 △ABC的面积为号×14×12=84(m)。 思维拓展 13.或号 11 第2课时直角三角形全等的判定 基础过关 1.B2.B3.证明：∠1=∠2，∴.DE=CE。:∠A=∠B=90°，∴.△ADE和△BEC 直角三角形，在R△ADE和R△BEC中，BE,RI△ADE≌R△BBC L证明：在R△ABE和R△CBF中，A_CB,R△ABE≌R△CBF(H (2)解：：Rt△ABE≌Rt△CBF,∴.∠BCF=∠BAE=23°。AB=BC,∠ABC=90°， .∠ACB=45°。∴.∠ACF=∠BCF+∠ACB=23°+45°=68°。5.C6.证明：：EF⊥ AC,.∠F十∠C=90°。.∠ABC=90°，∴.∠A十∠C=90°。..∠A=∠F。在△FBD和 ∠F=∠A, △ABC中，∠FBD=∠ABC=90°，.△FBD≌△ABC(AAS)。BF=AB。 BD=BC. 能力提升 7.B8.79.5或1010.证明：∠ADC=∠AEB=90°，.∠BDC=∠CEB=90°。 ∠BDO=∠CEO, 在△DOB和△EOC中，∠DOB=∠EOC,.△DOB≌△EOC(AAS)。.OD=OE。 OB=OC, t在R△A0有R△AB0中，O0-0ER△AW2R△ABOL.∠1=∠， 思维拓展 11.证明：(1)AD是△ABC的中线，.BD=CD。:BE⊥AD,CF⊥AD,∴∠BED= ∠BED=∠F, ∠F=90°。在△BED和△CFD中，∠BDE=∠CDF,.△BED≌△CFD(AAS)。 BD=CD, :BE-CF.2)在RI AGE和R△CAP中，EC:R△GER△CMF (HL)。.GE=AF。.GE-AE=AF-AE,即AG=EF。由(1)知△BED≌△CFD, ·DE=DF=2EF。·AG=EF=2DE。 专题五共顶点的等腰三角形一手拉手模型【回归教材】 1.证明：：BA=BC,BD=BE,∴∠BAC=∠BCA,∠BDE=∠BED。.∠ABC=180 -∠BAC-∠BCA=180°-2∠BAC,∠DBE=180°-∠BDE-∠BED=180° 2∠BDE。·∠BAC=∠BDE,∴∠ABC=∠DBE。∴.∠ABC+∠CBD=∠DBE+ (BA=BC, ∠CBD,即∠ABD=∠CBE。在△ABD和△CBE中，∠ABD=∠CBE,∴.△ABD≌ BD=BE, △CBE(SAS)。∴∠BAD=∠BCE。2.(1)证明：：'△ABC和△ADE都是等边三角 第5页（共48页） 形，∴AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=60°。∴∠BAC-∠DAC=∠DAE AB=AC, ∠DAC,即∠BAD=∠CAE。在△ABD和△ACE中，∠BAD=∠CAE,∴.△ABD≌ AD-AE, △ACE(SAS)。(2)解：由(1)知△ABD≌△ACE,∴BD=CE=3。:△ADE是等边三 角形，.DE=AE=2。..BE=BD十DE=5.3.证明：(1)△ABC与△ADE都是等 腰直角三角形，∴.AB=AC,AE=AD。:∠BAC=∠DAE=90°，.∠BAC+∠CAE= AB=AC, ∠DAE+∠CAE,即∠BAE=∠CAD。在△ABE和△ACD中，∠BAE=∠CAD, AE-AD, .△ABE≌△ACD(SAS)。(2)由(1)知△ABE≌△ACD,.∠ABE=∠ACD :∠BAC=90°，∴.∠ABE+∠ACB=90°。∴.∠ACD+∠ACB=90°，即∠BCD=90°。 .DC⊥BE。4.证明：(1)△ABC和△CDE都是等边三角形，∴.CA=CB,CD= CE,∠BCA=∠ECD=60°。∴∠BCD=180°-∠BCA-∠ECD=60°。∴.∠ACD= CA=CB, ∠BCE=120°。在△ACD和△BCE中，∠ACD=∠BCE,.△ACD≌△BCE(SAS)。 CD=CE. ∴.AD=BE。(2):△ACD≌△BCE,∴.∠DAC=∠EBC。由(1)，得∠ACM=∠BCN Y∠MAC=∠VNBC, =60°。在△ACM和△BCN中，：JCA=CB, .△ACM≌△BCN(ASA)。 L∠ACM=∠BCN, .CM=CN。∠MCV=60°，∴.△CMN是等边三角形。5.解：(1)①120°②AE= BD(2)①：△ABC和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，.CA= CB,CE=CD,∠ACE=∠BCD。.∠CDE=∠CED=45°。.∠CDB=180°-∠CDE CE=CD. =135°。在△ACE和△BCD中，∠ACE=∠BCD,∴△ACE≌△BCD(SAS)。 CA=CB, ∴.∠CEA=∠CDB=135°。∴.∠AEB=∠CEA-∠CED=90°。②CM+AE=BM。理 由如下：：△DCE是等腰直角三角形，CM是△DCE中DE边上的高，∠CDE=45°， ∠DCE=90,∠DCM=2∠DCE=45=∠CDE,CM=DM。由①知△ACE2 △BCD,..AE=BD。.CM+AE=DM+BD=BM。 4线段的垂直平分线 第1课时线段垂直平分线的性质与判定 基础过关 1.D2.B3.104.解：：∠BAC=100°，∠C=50°，∴∠B=180°-∠BAC-∠C= 30°。，EF是AB的垂直平分线，BE=AE。∴∠B=∠EAB=30°。∠AED= ∠B+∠BAD=60°。AD⊥BC,∴.∠ADE=90°。.∠EAD=90°-∠AED=30°。 5.D6.C7.B8.证明：∠C=90°，∠A=30°，∠ABC=90°-30°=60°。：BD 平分∠ABC,∠ABD=号∠ABC=30。∠A=∠ABD,DA=DB。÷点D在 线段AB的垂直平分线上。 能力提升 9.D10.41L.(1)证明：连接AE。:EF是AB的垂直平分线，∴AE=BE。:AD⊥ BC,且D为CE的中点，∴AD是CE的垂直平分线。AE=AC。∴BE=AC。 (2)解：·AE=BE,.∠BAE=∠B=35°。·∠AEC=∠B+∠BAE=70°。AE= AC,∠C=∠AEC=70°。∠BAC=180°-∠B-∠C=75°。12.证明：：ED⊥ AB,∠EDB=∠ECB=9O。在R△BDE和R△BCE中，B5BE,.R△BDE ≌Rt△BCE(HL)。.ED=EC。∴.点E在线段CD的垂直平分线上。：BD=BC, ∴.点B在线段CD的垂直平分线上。∴BE垂直平分CD。 思维拓展 13.(1)证明：连接AC。.E是BC的中点，AE⊥BC,.AE垂直平分BC。.AB=AC。 同理可得AC=AD,∴.AB=AD。(2)解：∠EAF=-∠BAE+∠DAF。证明如下：由(1) 知AB=AC=AD。:AE⊥BC,AF⊥CD,·∠BAE=∠EAC,∠CAF=∠DAF。 .∠EAF=∠EAC+∠CAF=∠BAE+∠DAF。 第2课时三角形三边的垂直平分线 基础过关 1.D2.解：如图， AF即为所求。3.解：如图， 第6页（共48页） △ABC即为所求。4.B5.246.解：：点P为△ABC三边垂直平分线的交点， .PA=PC=PB。∴∠PAB=∠PBA,∠PAC=∠PCA=18°，∠PBC=∠PCB=32°。 ÷∠PAB=合(180°-2∠PAC-2∠PCB)=号×(180-2X18°-2X329=40. 7.C8.解：如图， 点P即为所求。 A。 能力提升 9.D10.B11.1212.解：(1)如图， 直线MN即为所求。(2)，∠A =32°，AB=AC,∠ABC=∠ACB=2(180°-∠A)=74°。MN垂直平分AB, BD=AD。∴∠ABD=∠A=32°。∴.∠DBC=∠ABC-∠ABD=42°。 思维拓展 13.(1)证明：连接PB,PC。PE垂直平分AB,PM垂直平分AC,.PA=PB,PA= PC。PB=PC。点P在线段BC的垂直平分线上。(2)证明：PE垂直平分AB, .PA=PB,FA=FB。.∠PAB=∠PBA,∠FAB=∠FBA。,.∠PAB-∠FAB= ∠PBA-∠FBA,即∠PAF=∠PBF。同理，得∠PAN=∠PCN。由(1)，得PB= PC,.∠PBF=∠PCN。·∠PAF=∠PAN,即AP平分∠FAN。(3)解：18Oe 2 5角平分线 第1课时角平分线的性质与判定 基础过关 1.B2.C3.44.证明：：∠C=90°，DE⊥AB,AD是∠BAC的平分线，.DE=DC, DE=DC, ∠C=∠DEB=9O°。在△DEB和△DCF中，∠DEB=∠C,∴.△DEB≌△DCF BE=FC, (SAS),∴BD=FD。5.36.D7.A8.证明：DE⊥AB,DF⊥AC,∴∠BED= ∠CFD=90°。：D是BC的中点，∴.BD=CD。在Rt△BDE和Rt△CDF中， BD=CD,:R△BDE≌R△CDF(HL)。DE=DF。DE⊥AB,DF⊥AC,AD BE=CF, 平分∠BAC。 能力提升 9.C10.C11.D12.解：如图， 点M即为所求。13.证明：过点D B 作DE⊥AB于点E,则∠AED=90°=∠C。AD平分∠CAB,DC⊥AC,.CD=DE ∠ACD=∠AED=90°，AD=AD,.Rt△ADC≌Rt△ADE(HL)。AC=AE。 △ABC是等腰直角三角形，∴∠B=45°。∴∠BDE=90°-∠B=45°。DE=EB。 CD=EB。∴AB=AE+EB=AC+CD。 思维拓展 14.【定理】解：AC平分∠BAD【运用】证明：过点C作CM⊥AB于点M,过点C作 CN⊥AD交AD的延长线于点N。:CN⊥AD,CM⊥AB,.∠N=∠BMC=90°。 ∠BAD+∠BCD=180°，∴.∠ADC+∠B=180°。：∠CDN+∠ADC=180°，∴.∠B =∠CDN。.'BC=CD,.△CBM≌△CDN(AAS)。..CM=CN。.'CN⊥AD,CM⊥ AB,∴.AC平分∠BAD。 专题六利用角平分线构造全等三角形解题【通性通法】 1.证明：过点C作CF⊥AB于点F,则∠AFC=90°。：∠D=90°，.CD⊥AD。AC 平分∠BAD,CD=CE。在Rt△ADC和R△AFC中，CSC,Rt△ADCg Rt△AFC(HL)。:.AD=AF。同理，得BF=BE,.AB=AF十BF=AD+BE。 BC=FC, 【变式题】证法一：证明：在△BCE和△FCE中，)∠BCE=∠FCE,.△BCE≌△FCE(SAS)。 CE=CE, .∠B=∠CFE。AD∥BC,∴∠A+∠B=180°。∴∠A+∠CFE=180°。：∠CFE 第7页（共48页） ∠A=∠DFE, +∠DFE=180°，∴.∠A=∠DFE。在△ADE和△FDE中，∠ADE=∠FDE, DE=DE, △ADE≌△FDE(AAS)。∴AD=FD。∴.CD=FD+FC=AD十BC。证法二：证 MD=CD, 明：在△DME和△DCE中，∠MDE=∠CDE,∴.△DME≌△DCE(SAS)。.ME= DE-DE. CE,∠M=∠DCE。·∠DCE=∠BCE,∴.∠M=∠BCE。AD∥BC,∴.∠MAE= (∠M=∠BCE, ∠B。在△AME和△BCE中，∠MAE=∠B,.△AME≌△BCE(AAS)。∴.AM= ME=CE, BC。.CD=MD=AD十AM=AD+BC。2.证明：过点E作EF⊥BC于点F,则 ∠BFE=∠CFE=9O°。：BD平分∠ABC,EA⊥AB,∴.EA=EF,∠BAE=∠BFE= 90°。在Rt△ABE和Rt△FBE中， BE=BE,:.R△ABE≌R△FBE(HL)。AB= EA=EF, FB。:EB=EC,EF⊥BC,.FB=FC。.BC=2FB=2AB。 第2课时三角形的三条角平分线 基础过关 1.C2.B3.证明：AP平分∠BAC,PF⊥AD,PG⊥AE,.PF=PG。BP平分 ∠CBD,PF⊥AD,PH⊥BC,.PF=PH。∴.PG=PH。PG⊥AE,PH⊥BC,.CP 平分∠BCE。4.解：作三角形三条角平分线的交点即可。如图， 点O即 是小亭的中心位置。 能力提升 5.D6.47.解：1)9(2)0H=号OA。理由如下：过点0作OG⊥AB于点G,0QL AC于点Q。BO平分∠ABC,OH⊥BC,OG⊥AB,.OH=OG。同理可得OH=OQ ∴0G=0Q。A0平分∠BAC。∴∠GA0=号∠BAC=30.0G=OA,即0H =0A 专题七巧构等腰三角形的几种常见技巧【通性通法】 1.D2.(1)115°(2)133.证法一：证明：CA=CB,.∠A=∠B。DM∥AB, ∠CDM=∠A,∠M=∠B。∴∠CDM=∠M。:CD=CE,∴.∠CDE=∠CED :∠CDM+∠M+∠CDE+∠CED=180°，∴·∠CDM+∠CDE=90°，即∠EDM=90°。 DE⊥DM。DM∥AB,DE⊥AB。证法二：证明：CD=CE,.∠CDE= ∠CED。BN∥DE,∴.∠N=∠CDE,∠CBN=∠CED。∴∠CBN=∠N。CA= CB,∴∠A=∠ABC。∠A+∠ABC+∠CBN+∠N=180°，.∠ABC+∠CBN= 90°，即∠ABN=90°。∴.BN⊥AB。,BN∥DE,∴.DE⊥AB。4.证明：过点E作EG ∥AC,交BC于点G,则∠BGE=∠ACB,∠GED=∠F。:AB=AC,∴.∠ACB=∠B。 ∠GED=∠F, ∴∠B=∠BGE。∴.BE=EG。在△GDE和△CDF中，DE=DF, ..△GDE ∠EDG=∠FDC, ≌△CDF(ASA)。.EG=CF。.BE=CF。5.26.D7.40°8.(1)证明：延长 DB到F,使BF=BA,连接AF。BF=BA,∴∠F=∠BAF。:∠ABC=∠F+ ∠BAF,∠ABC=2∠F。∠ABC=2∠C,∴∠F=∠C。.AF=AC。AD⊥BC 于点D,.FD=CD,即FB+BD=CE+DE。,BF=BA,AE为BC边上的中线，即 BE=CE,.BE+DE=AB+BD。(2)解：，BE+DE=AB十BD,BD=2,DE=3, .(2+3)+3=AB+2。.AB=6。 问题解决策略：反思 1.解：ACCM=BN证明：：CM是AB边上的中线，BN是AC边上的中线，.AM =ZAB,AN=2AC。:AB=AC,AM=AN。:∠A=∠A,△AMC≌△ANB (SAS)。∴.CM=BN。【变式题1】3【变式题2】3【归纳总结】相等【进阶反思】 相等【策略运用】D2.解：如图所示，17-4+1-7+6-1+|2-61十|5-2十 |3-5|=3+6+5十4+3+2=23。（答案不唯一）【变式题1】24【变式题2】40 7-(6-(2)-(5H 第一章章末复习 思维导图 180°不相邻大于(n-2)·180°360°等角等边60°相等60°一半 相等相等 第8页（共48页） 考点整合 1.C2.45°3.解：(1)∠BCD=10°，∠AEB=75°，.∠CFE=∠AEB-∠BCD= 75°-10°=65°。∴.∠AFD=∠CFE=65。:CD是△ABC的高线，∴.∠ADC=90°。 ∠BAE=90°-∠AFD=25°。(2)AE平分∠BAC,∠BAC=2∠BAE=50°。 ∴∠ACD=90°-∠DAC=40°。4.B5.B6.B7.B8.(1)解：△ABC是等边 三角形，.∠A=∠B=∠ACB=60°。DE∥AB,.∠EDC=∠B=60°。EF⊥DE, ∠DEF=90°。.∠F=90°-∠EDC=90°-60°=30°。(2)证明：∠F+∠FEC= ∠ECD=60°，∠F=30°，∠FEC=30°=∠F。.CE=CF。∴△CEF是等腰三角形。 9.A10.50311.C12.(1)证明：连接BP,CP。点P在BC的垂直平分线上， .BP=CP。AP是∠DAC的平分线，PD⊥AB,PE⊥AC,∴.PD=PE。在Rt△BDP 和R△CEP市，P.R△BDPe△GEP(HL.BD=CE.2)解，在 和R△AEP中，BE.R:△ADP@R△AEP(H。AD=AE 6cm,AC=10cm,.6+AD=10-AE,即6+AD=10-AD。.AD=2cm。 聚焦课标 13.任务1：解：△ACD和△CBD△CBD和△ABC(答案不唯一)任务2：证明： :∠A=40°，∠B=60°，∠ACB=180°-∠A-∠B=80°。：在△ABC中，CD为角 平分线，∴∠ACD=∠BCD=40°。.∠ACD=∠A。∴.CD=AD。△ACD是等腰 三角形。：∠ADC=180°-∠A-∠ACD=180°-40°-40°=100°，∴.∠BDC=180°- 100°=80°。∴.∠BDC=∠ACB。又.∠B=∠B,∠BCD=∠A,.△ABC与△CBD 是“等角三角形”。.CD是△ABC的“等角分割线”。任务3：解：84°或111°或92°或 106°。（写出其中任何一个即可）[解析：根据题意可知，分以下六种情况讨论：①当 △ACD是等腰三角形，CD=AD时，∠BCD=∠ACD=∠A=42°，∴.∠ACB=∠ACD 十∠BCD=84°；②当△ACD是等腰三角形，AC=AD时，∠ADC=∠ACD=69°， ∠BCD=∠A=42°，∴.∠ACB=∠ACD+∠BCD=111°；③当△ACD是等腰三角形， CD=AC时，不符合题意，舍去。④当△BCD是等腰三角形，CD=BD时，∠ACD= ∠B=∠BCD,∠B=180°2∠4=46。∠ACB=180°-∠A-∠B=92:⑤当 3 △BCD是等腰三角形，BC=BD时，∠ACD=∠B,∠BCD=∠BDC=∠A十∠ACD= 42°+∠B,∴.在△BCD中，42°+∠B+42°+∠B+∠B=180°。∴.∠B=32°，∠ACB= 180°-∠A-∠B=106°；⑥当△BCD是等腰三角形，CB=CD时，不符合题意，舍去。 综上所述，∠ACB的度数为84°或111°或92°或106] 第二章不等式与不等式组 1不等式及其性质 第1课时不等关系 基础过关 1.D2.D3.B4.x2+y≤105.解：(1)x≥0。(2)-x-1≥2。(3)x+17<5x。 (4)4m>5π。 能力提升 10+m10 6.C7.100+7m100 8.解：(1)根据题意，得3x十2(10一x)>25。(2)根据题意，得 3×400x+2×700(10-x)≥12000。 第2课时不等式的解与解集 基础过关 1.A2.B3.2x<6(答案不唯一)4.C5.C6.解：(1) -3-2-1012 (2)-5-43-2-101 能力提升 7.B8.C9.410.解：(1)由题意，得15x+18(0.5-x)<8。(2)当x=0.25时，15 ×0.25十18×(0.5-0.25)=8.25>8，.小明能在9：00前到达书店。 第3课时不等式的基本性质 基础过关 1.B2.D3.(1)>(2)<4.<5解：(1)成立。根据不等式的基本性质1，两边 都减云，即可得到结论。(2)不成立。若之=0，则xz2=y2.6.C7.A 8.解：(1)根据不等式的基本性质3，两边都除以-5，得x>号。这个不等式的解集在数 轴上的表示如图所示。212 (2)根据不等式的基本性质1，两边都减去 3x,得5x-3x<1,即2x<1。根据不等式的基本性质2，两边都除以2，得x<2。这 第9页（共48页）第2课时三角形 基础过关 》逐点击破 知识点1过直线外一点作已知直线的垂线 1.观察图中尺规作图的痕迹，则 ( A.BD平分∠ABC B.AD=CD C.AB=CB D.BD⊥AC 2.尺规作图：已知△ABC,求作：△ABC的高线 AF。(保留作图痕迹，不写作法) 3.如图，已知线段a,求作以a为底边，以2a为 高的等腰三角形。 知识点2三角形三边的垂直平分线 4.如图，在△ABC中，边AB,AC的垂直平分 线相交于点P,连接AP,PB,PC,则PB与 PC的大小关系是 A.PB>PC B.PB=PC C.PB<PC D.PB≥PC (第4题图) (第5题图) 5.如图，O是△ABC三边的垂直平分线的交点。 若OA=8,则OA十OB十OC的值为 25第一章三角形的证明及其应用 三边的垂直平分线 6.如图，点P为△ABC三边垂直平分线的交 点，若∠PAC=18°，∠PCB=32°，求∠PAB 的度数。 知识点3用尺规作垂直平分线解决实际问题 7.如图，有A,B,C三个居民小区的位置成三 角形，现决定在三个小区之间修建一个购物 超市，使超市到三个小区的距离相等，则超 市应建在 B( A.AC,BC两边高线的交点处 B.AC,BC两边中线的交点处 C.AC,BC两边垂直平分线的交点处 D.∠A,∠B两内角平分线的交点处 8.(教材P38习题T6变式)如图，村庄A,B分 别在笔直公路1的两侧，一辆汽车在公路上 行驶到什么位置时，它到A,B两村庄的距离 相等？请指出该位置。 A B 口能力提升 ◆◆·整合运用 9.已知△ABC(AC<AB<BC),用尺规在线段 BC上确定一点P,使得PA十PC=BC,则符 合要求的作图痕迹是 10.如图，在△ABC中，边AB,AC的垂直平分 线交于点P,连接BP,CP。若∠A=50°， 则∠BPC的度数为 A.50°B.100°C.130° D.150° 不 (第10题图) (第11题图) 11.如图，P是直线1外一点，按以下步骤作图： ①以点P为圆心，适当长为半径画弧，交直 线1于点B,D;②分别以点B,D为圆心，大 于2BD的长为半径画弧，两弧相交于点 E;③作直线PE交BD于点F。若BF=2, PE=6,则四边形PBED的面积为 12.如图，在△ABC中，AB=AC。 (1)尺规作图：作线段AB的垂直平分线 MN交AC于点D,交AB于点E(保留 作图痕迹，不写作法)； (2)连接BD,若∠A=32°，求∠DBC的度数。 【思维拓展 ◆◆强化素养 13.如图，在△ABC中，∠BAC>90°，AB的垂 直平分线分别交AB,BC于点E,F,AC的 垂直平分线分别交AC,BC于点M,N,直 线EF,MN交于点P,连接AP,AF,AN。 (1)求证：点P在线段BC的垂直平分线上； (2)求证：AP平分∠FAN; (3)若∠FAN=a,其他条件不变，则 ∠FPN的度数是 。（用含a的 代数式表示) 数学八年级下册配BS版26