2 第3课时 等边三角形的判定与含30角的直角三角形的性质-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年八年级下册数学（北师大版·新教材）

∴.DE=DF。2.证明：连接BD。在等边三角形ABC中，点D是AC的中点， ÷∠DBC=号∠ABC=号X60=30,∠ACB=60。CE=CD,∠CDE=∠E. ∠ACB=∠CDE+∠E,.2∠E=60°。∴∠E=30°。∠DBC=∠E=30°。.BD =ED。∴△BDE为等腰三角形。又：DM⊥BC,.BM=EM。3证明：过点A作 AE⊥BC于点E。∴∠CAE+∠C=90。:AB=AC,∴∠CAE=号∠BAC。:BDL AC,∠DBC+∠C=90。∠DBC=∠CAE。∠DBC=∠BAC。4.证明：过 点A作AM⊥BC于点M。:AB=AC,∠BAC=2∠BAM。:AD=AE,∴.∠ADE= ∠E。.∠BAC=∠ADE+∠E=2∠E。.∠BAM=∠E。..DE∥AM。.'AM⊥BC AB=AE, ,.DE⊥BC。5.证明：连接AC,AD。在△ABC和△AED中，∠B=∠E,.△ABC≌ BC=ED. △AED(SAS),.AC=AD。又：点F是CD的中点，∴.AF⊥CD。 专题四等腰三角形中易漏解或多解问题【易错】 1.C2.103.94°【变式题150°或65°【变式题2】50°或65°或80°4.25°或40 5.120°或75°或30°6.34°或28°或22°7.65或25°8.20°9.D10.C 第3课时等边三角形的判定与含30°角的直角三角形的性质 基础过关 1.D2.∠B=60(答案不唯一)3.554.证明：：DC=DB,.∠DCB=∠B=30°。 ∴.∠ADC=∠DCB十∠B=30°+30°=60°。又：AD=DC,∴.△ADC是等边三角形。 5.B6.67.28.解：(1)等边三角形ABC的边长为4，∠A=60°，AB=4。:D 是AB的中点AD=号AB=2。DF⊥AC,∠AFD=90。六∠ADF=180- ∠AFD-∠A=30°。·AF=号AD=1。(2):等边三角形ABC的边长为4，“∠C= 60°，AC=BC=4。∴.CF=AC-AF=3。:FE⊥BC,.∠CEF=90°。∴.∠CFE=180 -∠CEF-∠C=30.CE=CF=1.5。BE=BC-CE=2.5. 能力提升 9.D10.B1L.√312.(1)证明：：AB=AC,∠B=∠C。:FE⊥BC,∴∠CEF= 90°。∠F+∠C=90°，∠BDE+∠B=90°。∴∠F=∠BDE。:∠BDE=∠FDA, ∴∠F=∠FDA。∴.AF=AD。.△ADF是等腰三角形。(2)解：：DE⊥BC, ∠DEB=90。:∠B=60,∠BDE=90°-∠B=90°-60=30。BE=号BD =号×6=3。：AB=AC,∠B=60,△ABC是等边三角形。BC=AB=AD+BD =3十6=9。∴.EC=BC-BE=9-3=6。 思维拓展 13.解：(1)△BDF是等边三角形。证明如下：：∠B=60°，DE∥BC,∠ADE=∠B= 60°。由折叠可得∠FDE=∠ADE=60°，∴∠BDF=60°。∴.∠DFB=180°-∠B- ∠BDF=60°。.△BDF是等边三角形。(2)分两种情况讨论：①如答图①，当∠BFD =90时，点F在△ABC内，，∠BDF=60°，∴∠DBF=30°。.BD=2DF。由折叠得 DF=AD,.BD=2AD。.3AD=9。.AD=3。②如答图②，当∠DBF=90°时，点F 在△ABC外，同理可得AD=DF=2BD,.AD=6。综上所述，AD的长为3或6。 答图① 答图② 3直角三角形 第1课时直角三角形的性质与判定 基础过关 1.A2.2.43.20V24.B5.D6.(1)解：在Rt△ACD中，由勾股定理，得AD= acD-V-()- 16 。(2)证明：在Rt△BCD中，由勾股定理，得BD= VC=CD-√3-（号）=号.AB=AD+BD-号+号-54+32=5， 9 5 第4页（共48页） 即AC2十BC2=AB,∴△ABC是直角三角形。7.D8.解：(1)逆命题：如果两个三 角形的面积相等，那么这两个三角形全等。原命题是真命题，逆命题是假命题。(2)逆 命题：如果a>0,b>0,那么ab>0。原命题是假命题，逆命题是真命题。 能力提升 9.A10.3√311，解：逆命题：如果一个三角形的两个角的平分线所夹的锐角是45°， 那么这个三角形是直角三角形。已知：如图， 在△ABC中，BE是 ∠ABC的平分线，交AC于点E,AD是∠BAC的平分线，交BC于点D,BE和AD相 交于点O,且∠AOE=45°。求证：△ABC是直角三角形。证明：：BE是∠ABC的平 分线，AD是∠BAC的平分线，∠OAB=∠BAC,∠OBA=∠ABC。·∠0AB +∠OBA=(∠BAC+∠ABC).∠A0E=(I80-∠C).又：∠A0E=45, ∴∠C=90°。.△ABC是直角三角形。12.解：(1)AD⊥BC。理由如下：：AB= 13m,AD=12m,BD=5m,∴.AB2=169,AD+BD2=144+25=169。∴.AB2=AD +BD。.∠ADB=90°。.AD⊥BC。(2).AC=15m,AD=12m,∠ADC=∠ADB =90°，.CD=√15-12=9(m)。.BC=CD+BD=9十5=14(m)。.劳动场地 △ABC的面积为号×14×12=84(m)。 思维拓展 13.或号 11 第2课时直角三角形全等的判定 基础过关 1.B2.B3.证明：∠1=∠2，∴.DE=CE。:∠A=∠B=90°，∴.△ADE和△BEC 直角三角形，在R△ADE和R△BEC中，BE,RI△ADE≌R△BBC L证明：在R△ABE和R△CBF中，A_CB,R△ABE≌R△CBF(H (2)解：：Rt△ABE≌Rt△CBF,∴.∠BCF=∠BAE=23°。AB=BC,∠ABC=90°， .∠ACB=45°。∴.∠ACF=∠BCF+∠ACB=23°+45°=68°。5.C6.证明：：EF⊥ AC,.∠F十∠C=90°。.∠ABC=90°，∴.∠A十∠C=90°。..∠A=∠F。在△FBD和 ∠F=∠A, △ABC中，∠FBD=∠ABC=90°，.△FBD≌△ABC(AAS)。BF=AB。 BD=BC. 能力提升 7.B8.79.5或1010.证明：∠ADC=∠AEB=90°，.∠BDC=∠CEB=90°。 ∠BDO=∠CEO, 在△DOB和△EOC中，∠DOB=∠EOC,.△DOB≌△EOC(AAS)。.OD=OE。 OB=OC, t在R△A0有R△AB0中，O0-0ER△AW2R△ABOL.∠1=∠， 思维拓展 11.证明：(1)AD是△ABC的中线，.BD=CD。:BE⊥AD,CF⊥AD,∴∠BED= ∠BED=∠F, ∠F=90°。在△BED和△CFD中，∠BDE=∠CDF,.△BED≌△CFD(AAS)。 BD=CD, :BE-CF.2)在RI AGE和R△CAP中，EC:R△GER△CMF (HL)。.GE=AF。.GE-AE=AF-AE,即AG=EF。由(1)知△BED≌△CFD, ·DE=DF=2EF。·AG=EF=2DE。 专题五共顶点的等腰三角形一手拉手模型【回归教材】 1.证明：：BA=BC,BD=BE,∴∠BAC=∠BCA,∠BDE=∠BED。.∠ABC=180 -∠BAC-∠BCA=180°-2∠BAC,∠DBE=180°-∠BDE-∠BED=180° 2∠BDE。·∠BAC=∠BDE,∴∠ABC=∠DBE。∴.∠ABC+∠CBD=∠DBE+ (BA=BC, ∠CBD,即∠ABD=∠CBE。在△ABD和△CBE中，∠ABD=∠CBE,∴.△ABD≌ BD=BE, △CBE(SAS)。∴∠BAD=∠BCE。2.(1)证明：：'△ABC和△ADE都是等边三角 第5页（共48页） 形，∴AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=60°。∴∠BAC-∠DAC=∠DAE AB=AC, ∠DAC,即∠BAD=∠CAE。在△ABD和△ACE中，∠BAD=∠CAE,∴.△ABD≌ AD-AE, △ACE(SAS)。(2)解：由(1)知△ABD≌△ACE,∴BD=CE=3。:△ADE是等边三 角形，.DE=AE=2。..BE=BD十DE=5.3.证明：(1)△ABC与△ADE都是等 腰直角三角形，∴.AB=AC,AE=AD。:∠BAC=∠DAE=90°，.∠BAC+∠CAE= AB=AC, ∠DAE+∠CAE,即∠BAE=∠CAD。在△ABE和△ACD中，∠BAE=∠CAD, AE-AD, .△ABE≌△ACD(SAS)。(2)由(1)知△ABE≌△ACD,.∠ABE=∠ACD :∠BAC=90°，∴.∠ABE+∠ACB=90°。∴.∠ACD+∠ACB=90°，即∠BCD=90°。 .DC⊥BE。4.证明：(1)△ABC和△CDE都是等边三角形，∴.CA=CB,CD= CE,∠BCA=∠ECD=60°。∴∠BCD=180°-∠BCA-∠ECD=60°。∴.∠ACD= CA=CB, ∠BCE=120°。在△ACD和△BCE中，∠ACD=∠BCE,.△ACD≌△BCE(SAS)。 CD=CE. ∴.AD=BE。(2):△ACD≌△BCE,∴.∠DAC=∠EBC。由(1)，得∠ACM=∠BCN Y∠MAC=∠VNBC, =60°。在△ACM和△BCN中，：JCA=CB, .△ACM≌△BCN(ASA)。 L∠ACM=∠BCN, .CM=CN。∠MCV=60°，∴.△CMN是等边三角形。5.解：(1)①120°②AE= BD(2)①：△ABC和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，.CA= CB,CE=CD,∠ACE=∠BCD。.∠CDE=∠CED=45°。.∠CDB=180°-∠CDE CE=CD. =135°。在△ACE和△BCD中，∠ACE=∠BCD,∴△ACE≌△BCD(SAS)。 CA=CB, ∴.∠CEA=∠CDB=135°。∴.∠AEB=∠CEA-∠CED=90°。②CM+AE=BM。理 由如下：：△DCE是等腰直角三角形，CM是△DCE中DE边上的高，∠CDE=45°， ∠DCE=90,∠DCM=2∠DCE=45=∠CDE,CM=DM。由①知△ACE2 △BCD,..AE=BD。.CM+AE=DM+BD=BM。 4线段的垂直平分线 第1课时线段垂直平分线的性质与判定 基础过关 1.D2.B3.104.解：：∠BAC=100°，∠C=50°，∴∠B=180°-∠BAC-∠C= 30°。，EF是AB的垂直平分线，BE=AE。∴∠B=∠EAB=30°。∠AED= ∠B+∠BAD=60°。AD⊥BC,∴.∠ADE=90°。.∠EAD=90°-∠AED=30°。 5.D6.C7.B8.证明：∠C=90°，∠A=30°，∠ABC=90°-30°=60°。：BD 平分∠ABC,∠ABD=号∠ABC=30。∠A=∠ABD,DA=DB。÷点D在 线段AB的垂直平分线上。 能力提升 9.D10.41L.(1)证明：连接AE。:EF是AB的垂直平分线，∴AE=BE。:AD⊥ BC,且D为CE的中点，∴AD是CE的垂直平分线。AE=AC。∴BE=AC。 (2)解：·AE=BE,.∠BAE=∠B=35°。·∠AEC=∠B+∠BAE=70°。AE= AC,∠C=∠AEC=70°。∠BAC=180°-∠B-∠C=75°。12.证明：：ED⊥ AB,∠EDB=∠ECB=9O。在R△BDE和R△BCE中，B5BE,.R△BDE ≌Rt△BCE(HL)。.ED=EC。∴.点E在线段CD的垂直平分线上。：BD=BC, ∴.点B在线段CD的垂直平分线上。∴BE垂直平分CD。 思维拓展 13.(1)证明：连接AC。.E是BC的中点，AE⊥BC,.AE垂直平分BC。.AB=AC。 同理可得AC=AD,∴.AB=AD。(2)解：∠EAF=-∠BAE+∠DAF。证明如下：由(1) 知AB=AC=AD。:AE⊥BC,AF⊥CD,·∠BAE=∠EAC,∠CAF=∠DAF。 .∠EAF=∠EAC+∠CAF=∠BAE+∠DAF。 第2课时三角形三边的垂直平分线 基础过关 1.D2.解：如图， AF即为所求。3.解：如图， 第6页（共48页）第3课时等边三角形的判定 【基础过关 、◆》逐点击破 知识点1等边三角形的判定 1.下列条件中，不能判定△ABC是等边三角形 的是 A.∠A=∠B=∠C B.AB=AC,∠B=609 C.∠A=60°，∠B=609 D.AB=AC,∠B=∠C 2.半开放性题新趋势（资阳中考）如图，在四边 形ABCD中，∠A=∠B,点E在线段AB 上，CE∥AD。要使△BCE成为等边三角 形，可增加的一个条件是 A (第2题图) (第3题图) 3.日常生活情境化某种落地灯的简易示意图如 图所示，已知悬杆的CD部分的长度与支杆 BC相等，且∠BCE=120°。若CD的长为 55cm,则B,D两点之间的距离为 cm。 4.如图，在△ABC中，点D是AB上的一点，且 AD=DC=DB,∠B=30°。求证：△ADC是 等边三角形。 15第一章三角形的证明及其应用 与含30°角的直角三角形的性质 知识点2含30°角的直角三角形的性质 5.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=6, ∠A=30°，则BC的长为 A.2 B.3 C.4 D.5 (第5题图) (第6题图) 6.如图，一棵树在距离地面2m处折断了，倒 下的部分与地面形成了30°的夹角，这棵树 原来的高度是m。 7.如图，点C为直线AB上 一个定点，点D为直线 AB上一个动点，直线AC AB外有一点P,CP=4,∠PCB=30°，当 PD最短时，PD的长是 8.如图，等边三角形ABC的边长为4，点D是 AB的中点，过点D作DF⊥AC于点F,过 点F作FE⊥BC于点E。 (1)求线段AF的长； (2)求线段BE的长。 口能力提升 ◆，·整合运用 9.(教材P21习题T8变式)如图，△ADE是等 边三角形，DE∥BC.若AD=2,BD=3,则 BC的长为 A.1 B.2 C.3 D.5 A (第9题图) （第10题图) 10.(教材P20随堂练习T2变式)如图，在 △ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=4,CD 是AB边上的高，则AD的长为 A.5 B.6 C.7 D.8 11.(南充中考)如图，∠AOB=B 90°，在射线OB上取一点 C,以点O为圆心，OC长为 0 EA 半径画弧；再以点C为圆心，OC长为半径 画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点D,连 接CD并延长，交射线OA于点E.若OC= 1,则OE的长是 12.(教材P21习题T7变式)如图，△ABC是 等腰三角形，AB=AC,点D是AB上一点， 过点D作DE⊥BC交BC于点E,交CA 的延长线于点F。 (1)求证：△ADF是等腰三角形； (2)若∠B=60°，BD=6,AD=3,求EC的长。 【思维拓展 >◆强化素养 13.在△ABC中，∠B=60°，D是边AB上的动 点，过点D作DE∥BC,交AC于点E,将 △ADE沿DE折叠，点A的对应点为点F。 (1)如图，若点F恰好落在边BC上，判断 △BDF的形状，并证明； (2)分类讨论新理念若AB=9,当△BDF 是直角三角形时，求AD的长。 提示请完成阶段微测试（一）儿1.1~1.2] 数学八年级下册配BS版16