第1章 三角形的证明(随堂反馈)-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年八年级下册数学（北师大版·新教材）贵州专版

本性质②乙去括号时-2没变号(2)①-42 ②：x十2≠0，x-2≠0，∴.x≠-2， 2。当x=1时，原式=一-2=4.5.解：1)平行四边形对角线互相平分等腰三角 形三线合一(2)EO=OC,∴点O为CE的中点。EA=AF,点A为EF的中点。 ∴AO为△EFC的中位线。AO=FC。在R△ABO中，由勾股定理，得AB=AO+ B0。六(2FC)+(合BD)=AB,整理，得FC=√AAB-BD。(3)CF的长为10。 新趋势题型拉分练（二）运用数学知识解决生活实际的情境题 1解：任务1：设乙部门每天生产x个传统艺术织品，则甲部门每天生产2x个传统艺术织 品。根据题意，得2160_2)160=18，解得工=60。经检验，x=60是所列方程的根，且符合 2x 题意。.2×60=120（个）。答：甲部门每天生产120个传统艺术织品，乙部门每天生产 60个传统艺术织品。任务2：①120m(36-2m)②根据题意，得m≤2(36-2m),解得 m9。设支付的总费用为元，则=4800n十3000(36一2m)=一1200m十108000。 :-1200<0,.w随m的增大而减小。.当m=9时，w取得最小值，最小值为-1200× 9十108000=97200，此时36-2m=36一2×9=18。答：应安排甲部门工作9天，乙部门工 作18天，才能使正好完成任务时该公司支付的总工资最少，最少需要97200元。2.解：任 务1：根据题意，得。87，解得=03.经检验山二03是所列方程的根，日符合西 意。∴.0.3十0.45=0.75（元）。答：纯电动汽车的每千米行驶费用为0.3元，燃油车的每千 米行驶费用为0.75元。任务2：纯电动汽车的年使用费用为0.3x十6500十1230=(0.3x 十7730)元，燃油车的年使用费用为0.75x十2900十0.075x=(0.825x十2900)元。当0. 3x十7730>0.825x+2900时，即x<9200。.当0<x<9200时，购买燃油车比较划算； 当0.3x十7730=0.825x十2900时，即x=9200。∴当x=9200时，购买纯电动汽车和燃 油车均可；当0.3x十7730<0.825x十2900时，即x>9200。∴.当x>9200时，购买纯电 动汽车比较划算。答：当0<x<9200时，购买燃油车比较划算；当x=9200时，购买纯电 动汽车和燃油车均可：当x>9200时，购买纯电动汽车比较划算。 新趋势题型拉分练（三）（半）开放性、新定义试题 1.x十1≥0（答案不唯一）2.解：①做分子，②做分母，得+4y十4y (x+2y)2 x2-4y2 (x-2y)(x+2y) =+。(答案不唯一）3.(1)证明：222-202=21×4，…22-20是“佳偶和谐式”。 x-2y1 (2)证明：设这两个连续偶数分别为2n,2n+2,则(2n+2)2-(2n)=(2n+2十2n)(2n十2 2)=2(4n十2)=4(2n十1)。∴.任意两个连续偶数的平方差都能被4整除，这些算式都是 “佳偶和谐式”。(3)解：设任意两个偶数分别为2a,2b,.(2a)2-(2b)2=(2a+2b)(2a-2b) =4(a十b)(a一b)。.任意两个偶数的平方差都能被4整除，它们的算式都是“佳偶和谐 式”。∴该命题是真命题。4.解：(1)甲方案。证明如下：四边形ABCD是平行四边形， .AB∥CD,AB=CD。∴.∠BAE=∠DCF。.O是AC的中点，.OA=OC。E,F分别 是OA,OC的中点，AE=OA,CF=2OC。·AE=CF。∴△ABE≌△CDF(SAS)。 .BE=DF,∠AEB=∠CFD。.180°-∠AEB=180°-∠CFD,即∠BEF=∠DFE .BE∥DF。.四边形BEDF是平行四边形。乙方案。证明如下：BE⊥AC,DF⊥AC ∴.∠AEB=∠CFD=∠BEF=∠DFE=90°。.BE∥DF。.四边形ABCD是平行四边 形，.AB∥CD,AB=CD。.∠BAE=∠DCF。.△ABE≌△CDF(AAS)。.BE=DF .四边形BEDF是平行四边形。（任选一个证明即可）(2)：四边形BEDF是平行四边 形，.OE=OF。.EF=2OE。EF=2AE,OE=AE。.OE=AE=CF=OF。.S△AB =SAACD=4 SAADE=4X4=16。.SBABCD=2X16=32。 新趋势题型拉分练（四）数学文化、跨学科试题 1.B2.A3.A4.D5.C6.解：当R=19.72,R2=32.42,R=35.92,1=2.5A时，U =IR+IR2+IR3=I(R+R2+R)=2.5×(19.7+32.4+35.9)=2.5×88=220(V)。 新趋势题型拉分练（五）综合实践探究试题 1,解：(1)(a十b)2=a+2ab+(2)(a十b)(a+3b)(3)由题意，得S用影=a+ab+b2 a(a+b)-26a+260= 2a=32,解得a=8(负值已舍去)。ab=24,b=3。 2.解：(1)∴.AM=BM=AB=20。∴.DE=CM=BC+BM=60,AE=EM-AM=50。∴.五 边形ABCDE的周长为AB+BC+CD+DE+AE=20十40+70+60+50=240。(2)延长 FA,CB交于点P,延长FE,CD交于点Q。.∠FAB=∠CBA=∠FED=∠CDE=120°， .∠PAB=∠PBA=∠DEQ=∠EDQ=60°。∴.∠P=60°，∠Q=60°。∴△ABP与△DEQ 是等边三角形。∴.AP=BP=AB=4,DQ=EQ=DE=2。∴.CQ=CD十DQ=10,CP=BP 十BC=5。.∠C=∠AFE=120°，∠P=∠Q=60°，∴.四边形PCQF是平行四边形。.PF =CQ=10,FQ=CP=5。.AF=PF-AP=6,EF=FQ-EQ=3。∴.六边形ABCDEF的 周长为AB+BC+CD十DE+EF+AF=4十1十8十2十3+6=24。S六边形ADF=20V3。 【解析】过点F作FH⊥CQ于点H,过点B作BM⊥PA于点M,过点E作EN⊥DQ于点 N,易得FH=5,BM=25,NE=5。六Saeg=Sanm一Sar-Sa=10X 59-×4X2F-专×2×8=20， 2 第43页（共48页） 随堂反馈答案 第一章三角形的证明及其应用 1 三角形内角和定理 第1课时三角形内角和与全等三角形的性质与判定 1D2.C3.B4.∠C=∠E(答案不唯一)5.43°6.证明：：AC是∠BAE的平分线， ∠BAC=∠DAE, .∠BAC=∠DAE。在△BAC和△DAE中，J∠C=∠E, .△BAC≌△DAE(AAS). AB=AD, .BC=DE 第2课时三角形内角和定理的推论 1.B2.B3.75°4.∠1<∠2<∠35.解：：∠A=75°，∠1=145°，∠ABC=∠1- ∠A=145°-75°=70°。.∠2=180°-∠ABC=180°-70°=110°。6.证明：(1)∠AEC =∠B+∠EOB,∠ADB=∠C+∠DOC,且∠B=∠C,∠EOB=∠DOC,.∠AEC= ∠ADB。(2):∠BEC=∠C+∠A>∠C,∠B=∠C,.∠BEC>∠B。 第3课时多边形的内角和 1.B2.A3.六4.解：两个多边形的边数之比为1：2，.设一个多边形的边数为n,则另 一个多边形的边数为2，“内角和度数之比为1：3一：部=号郭得=4，经 1 检验，=4是所列方程的根，且符合题意。.2n=8。.这两个多边形的边数分别为4,8。 第4课时多边形的外角和 1.360°2.C3.解：(1)设这个多边形的边数是n。由题意，得(n一2)×180°=360°×3十 180°，解得n=9。答：这个多边形的边数是9。(2)由(1)知该多边形是正九边形，该正多 边形一个内角的度数是9-2)X180°=140°。 9 2等腰三角形 第1课时等腰三角形与等边三角形的性质 1D2.C3.404.75°5.解：AD=AB,∴∠ADB=∠ABD=50°。∠BDC= 180°-∠ADB=130°。：BD=DC,DE为边BC的高，∴DE平分∠BDC。∴.∠BDE= 2∠BDC=65°。6.证明：“△ABC是等边三角形，AC=AB,∠A=∠B=60°。：AD AD=BE, =CF,.BD=AF。在△ADF和△BED中，∠A=∠B,∴.△ADF≌△BED(SAS)。 AF=BD. 第2课时等腰三角形的判定与反证法 1.C2.A3.AB=AC4.证明：：BF平分∠ABC,·∠ABF=∠CBF。:∠BAC=90°， AD⊥BC,.∠ABF+∠AFB=∠CBF+∠BED=90°，∴.∠AFB=∠BED。'∠AEF= ∠BED,∠AFE=∠AEF。AE=AF。5.解：已知：在△ABC中，AB=AC.求证：∠B <90°。证明：假设∠B≥90°。AB=AC,.∠B=∠C≥90°。∠B+∠C≥180°。.∠A 十∠B十∠C>180°，这与三角形内角和定理矛盾，则假设不成立。∴∠B<90°。 第3课时等边三角形的判定与含30°角的直角三角形的性质 1.D2.C3.22.5cm4.解：.AB=AC,∠BAC=120°，.∠B=∠C=30°。.∠BAC= 120°，∠BAP=90°，.∠PAC=30°。∠C=∠PAC。.AP=CP=6cm。:∠BAP= 90°，∠B=30°，∴.BP=2AP=12cm。5.证明：”△ABO是等边三角形，∠A=∠B= ∠AOB=60°。：CD∥AB,.∠D=∠B=60°，∠C=∠A=60°。又·∠COD=∠AOB= 60°，∴.∠C=∠D=∠COD。.△OCD是等边三角形。 3直角三角形 第1课时直角三角形的性质与判定 1D2.A3.直角4.有两个角相等的三角形是等腰三角形真5.直角6.(1)证明： ,AD为BC边上的高，.∠B+∠BAD=90°。：∠B=∠CAD,∴∠CAD+∠BAD=90°， 即∠BAC=90°。∴.△ABC是直角三角形。(2)解：由(1)知△ABC是直角三角形，∴.BC= A+AC=V+3=5。:Sac=合AB·AC=合BC·ADAD=ABAC- BC 3-号。，7，解：连接AC。在R△ABC巾，由勾股定理，得AC=AB十BC=3十4 5 =25,∴.AC=5。在△ACD中，AC+CD=52+122=169,AD2=132=169,AC+ CD=AD。∴.△ACD是以AD为斜边的直角三角形，∠ACD=90°。.S四边形ABCD=S△AcD -SaMe-X12X5-- 7×3×4=30-6=24。 第2课时直角三角形全等的判定 1.D2.A3.24.解：如图，M4 Rt△AOB即为所求。5.(1)证明：在 -N B R△ABD和Rt△CBD中，BA二BC,R△ABD≌R△CBD(HD).(2)解：Rt△ABD CBD,∠ABC=7O,.∠ABD=∠CBD=号∠ABC=35。∴∠BDC=90°-∠CBD 第44页（共48页） 4线段的垂直平分线 第1课时线段垂直平分线的性质与判定 1.B2.A3.解：·ED是AC的垂直平分线，∴.EA=EC。∠C=∠EAC。.∠CAB= ∠EAC+∠BAE=∠C+20°。∠C+∠CAB=90°，.2∠C+20°=90°。∴.∠C=35°。 4.证明：：AD⊥BE,BD=DE,.AD垂直平分BE。AB=AE。又：AB+BD=DC, .AE十DE=DC。又.DC=DE十CE,.AE=EC。.点E在线段AC的垂直平分线上。 第2课时三角形三边的垂直平分线 1.C2.C3.74.145.36.解：连接CP。边AB,BC的垂直平分线交于点P,.BP =CP,AP=BP。.AP=BP=CP。.∠PBC=∠PCB,∠PAC=∠PCA。.∠ACB= 110°，∴∠PCA+∠PCB=110°。∴.∠PAC+∠PBC=110°。∴∠APB=360°-∠PAC ∠PBC-∠ACB=360°-110°-110°=140°。 5角平分线 第1课时角平分线的性质与判定 1.C2.33.65°4.65.证明：(1)连接AP。在Rt△APE和Rt△APF中， AP-AP,:.R△APE≌Rt△APF(HL)。∴PE=PF。(2):PE=PF,且PE⊥AB,PF AE-AF, ⊥AC,.AP平分∠BAC。·点P在∠BAC的平分线上。 第2课时三角形的三条角平分线 1.C2.115°3.解：如图， 点D即为所求。4.解：：BO,CO分别平分∠ABC, D ∠ACB,OD⊥AB,OE⊥BC,OF⊥AC,.OF=OE=OD=4。,△ABC的周长为20，∴.AB +BC+AC=20.SaAm=SAm+Sax+Sac=合AB0D+合BC.0E+合AC· 0F=AB+BC+AC).0D=2×20X4=40. 第二章不等式与不等式组 1不等式及其性质 第1课时不等关系 1.C2.D3.解：(1)x十17<5。(2)-x-1≥2。(3)m-2≥0。 第2课时不等式的解与解集 1.0,3,- 12.解：(1) 20.2496 (2) 8)。2方 (4) -4二3-2-10 第3课时不等式的基本性质 1.D2.D3.解：(1)正确。理由如下：由不等式的基本性质1，将不等式的两边都加上3a, 得<3a,故正确。(2)不正确。理由如下：由不等式的基本性质3，将不等式的两边都除以 一5，得x<-4,故不正确。4.解：(1)根据不等式的基本性质1，两边都加1，得x一1十1< 8十1，即x<9。(2)根据不等式的基本性质1，两边都减去2x,得3x一2x<2x一3一2x,即 <-3.(3)根据不等式的基本性质3，两边都除以一2，得一受>马2·即>-3.。(4)根据 不等式的基本性质2，两边都乘2，得分x×2>(一3)×2，即>-6。 2一元一次不等式 第1课时一元一次不等式的解法 1.B2.A3.C4.D5.解：(1)移项，得2x≥-1十5。合并同类项，得2x≥4。两边都除 以2，得≥。这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示。0 (2)移 项，得-3x>8十1。合并同类项，得-3x>9。两边都除以一3，得x<一3。这个不等式的解 集在数轴上的表示如图所示。-品023)去括号，得5x-5<4十21，移项， 得5x一2x<4十5。合并同类项，得3x<9。两边都除以3，得x<3。这个不等式的解集在 数轴上的表示如图所示。方方（4)去分母，得18-3红一2)≤2x。去括号，得 18-3x十6≤2x。移项，得-3x-2x≤-6-18。合并同类项，得-5x≤-24。两边都除以 -5,得x≥告。这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示。 24 0123右 第2课时一元一次不等式的应用 1.D2.B3.B4.175.解：设需要租用甲种客车x辆，则租用乙种客车(8-x)辆。根 据题意，得45x十30(8-x)≥300。解得x≥4。答：至少需要租用甲种客车4辆。 3一元一次不等式与一次函数 第1课时一元一次不等式与一次函数 1.B2.D3.x<-24.(-3,0)5.解：(1)x=2。(2)x>2。(3)当x2时，y≥0。 第45页（共48页）第一章三角形的证明及其应用 1三角形内角和定理 第1课时三角形内角和与全等三角形的性质与判定 1.在△ABC中，若∠A=90°，∠B=40°，则∠C的度数为 A.35 B.40 C.45 D.50° 2.如图，△ACB≌△ACB',∠ACB=70°，∠ACB'=100°，则∠BCA'的度数为 A.30° B.35 C.40° D.50° 7 B D4 (第2题图) (第3题图) (第4题图) (第5题图) 3.如图，AB∥CD,∠DEC=100°，∠C=40°，则∠B的度数是 A.30° B.409 C.50° D.60° 4.如图，已知点A,D,B,F在一条直线上，∠A=∠F,AD=FB,要使△ABC≌△FDE,还需添加 一个条件，这个条件可以是 。(只需填一个即可) 5.如图，BD=BC,BE=CA,∠DBE=∠C=62°，∠BDE=75°，则∠A的度数为 6.如图，AC是∠BAE的平分线，D是线段AC上一点，∠C=∠E,AB=AD。求证：BC=DE。 。1· 第2课时三角形内角和定理的推论 1.如图，下列是△ACD的外角的是 () A.∠B B.∠ACB C.∠BAC D.∠DAE E AA 50° 708 B C D B 3 (第1题图) (第2题图) (第3题图) (第4题图) 2.如图，在△ABC中，∠A=50°，∠C=70°，则∠ABD的度数是 A.110° B.120° C.130° D.140° 3.将一副三角尺按如图所示的方式放置，使含30°角的三角尺的短直角边和含45°角的三角尺的 一条直角边重合，则∠1的度数是 4.如图，∠1，∠2，∠3的大小关系是 。(用“<”连接) 5.如图，∠1和∠2是△ABC的外角，若∠A=75°，∠1=145°，求∠2的度数。 6.如图，点D,E分别在AC,AB上，且∠B=∠C。 求证：(1)∠AEC=∠ADB; (2)∠BEC>∠B。 。2· 第3课时多边形的内角和 1.多边形的内角和不可能是 A.180° B.700 C.900° D.10809 2.如图，AC是正五边形ABCDE的对角线，∠ACD的度数是 A.72° B.36 C.749 D.88 3.一个多边形从一个顶点引对角线把它分割成4个三角形，则它是 边形 4.若两个多边形的边数之比是1：2，内角和度数之比为1：3，求这两个多边形的边数。 第4课时多边形的外角和 1.四边形的外角和等于 2.如果一个正多边形的内角和是外角和的2倍，那么这个正多边形是 () A.等边三角形 B.正方形 C.正六边形 D.正八边形 3.已知一个多边形的内角和比外角和的3倍多180°。 (1)求这个多边形的边数： (2)若这个多边形是正多边形，则该正多边形一个内角的度数是多少？ ·3· 2等腰三角形 第1课时等腰三角形与等边三角形的性质 1.一个等腰三角形的底角为70°，则它的顶角为 A.1009 B.140° C.50° D.40° 2.如图，△ABC为等边三角形，则∠1的度数为 ( A.60° B.90° C.120° D.150° B D (第2题图) (第3题图) (第4题图) 3.如图，在△ABC中，AB=AC,AD是∠BAC的平分线，BD=4,AD=10,则△ABC的面积为 4.如图，在等边三角形ABC中，AD是边BC的中线，E为边AC上一点，且AE=AD,则∠ADE 的度数为 5.如图，在△ABC中，D为AC边上一点，AD=AB,连接BD,BD=DC,DE为边BC上的高。若 ∠ABD=50°，求∠BDE的度数。 6.如图，在等边三角形ABC中，点D,E,F分别在边AB,BC,AC上，且AD=BE=CF。 求证：△ADF≌△BED。 ·4· 第2课时等腰三角形的判定与反证法 1.在△ABC中，下列能判定△ABC是等腰三角形的是 A.∠A=30°，∠B=60 B.∠A=70°，∠B=50° C.∠A=40°，∠B=70° D.∠A=60°，∠B=80 2.如图，已知OC平分∠AOB,CD∥OB。若OD=3,则CD的长为 B A.3 B.4 C.1.5 D.2 3.用反证法证明：“在△ABC中，已知∠B≠∠C,则AB≠AC”,应首先假设 4.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D,BF平分∠ABC交AD于点E,交AC于点 F。求证：AE=AF。 5.用反证法证明：在△ABC中，若AB=AC,则∠B<90°。 ·5· 第3课时等边三角形的判定与含30°角的直角三角形的性质 1.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=6,则AB的长为 A.6 B.6√2 C.6√3 D.12 2.如图，在△ABC中，下列条件能说明△ABC是等边三角形的是 A.AB=AC,∠B=∠C B.AD⊥BC,BD=CD C.BC=AC,∠B=∠C D.AD⊥BC,∠BAD=∠CAD B (第2题图) (第3题图) 3.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=60°，∠BAC的平分线为AM,且AM的长为15cm, 则BC的长为 4.如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=120°，P是BC上一点，且∠BAP=90°，CP=6cm,求 BP的长。 5.如图，△ABO是等边三角形，CD∥AB,分别交AO,BO的延长线于点C,D。 求证：△OCD是等边三角形。 ·6 3直角三角形 第1课时直角三角形的性质与判定 1.下列各组数中，以它们为边长的线段能构成直角三角形的是 () A.2,4,5 B.6,8,11 C.5,12,12 D.1,1,√2 2.如图，AB∥DF,AC⊥CE于点C,BC与DF交于点E。若∠A=20°，则∠CEF 的度数为 ) A.110° B.100 C.80 D.70° 3.已知∠A=37°，∠B=53°，则△ABC为 三角形。 4.“等腰三角形的两底角相等”的逆命题是 ,这个逆命题是 (选填“真”或“假”)命题。 5.若三角形的三边长分别为a,b,c,且(a十b)2-c2=2ab,则此三角形是 三角形。 6.如图，在△ABC中，AD为BC边上的高，已知∠B=∠CAD,AB=4,AC=3。 (1)求证：△ABC是直角三角形； (2)求AD的长。 7.如图，在四边形ABCD中，∠B=90°，AB=3,BC=4,CD=12,AD=13,求四边形ABCD的面积。 。7 第2课时直角三角形全等的判定 1.如图，∠B=∠E=90°，AB=DE,AC=DF,则判定△ABC≌△DEF的理由是 A.边角边 B.角边角 C.角角边 D.斜边、直角边 B (第1题图) (第2题图) (第3题图) 2.如图，BD⊥AB,BD⊥CD,添加下列条件后能用“斜边、直角边”判定△ABD≌△CDB 的是 () A.AD=CB B.AB=CD C.∠A=∠C D.AD∥BC 3.如图，BE⊥AC于点B,AB=BD=3,AE=CD,BC=5,则DE的长为 4.已知：直角∠MON和线段a,b。 求作：Rt△AOB,使∠AOB=90°，且顶点A,B分别在射线OM,ON上，直角边OA=a,斜边 AB=b。 5.如图，在四边形ABCD中，BA=BC,∠A=∠C=90°。 (1)求证：△ABD≌△CBD: (2)若∠ABC=70°，求∠BDC的度数。 。8 4 线段的垂直平分线 第1课时线段垂直平分线的性质与判定 1.如图，直线1是线段AB的垂直平分线，P是直线1上一点，PA=5,则PB的长度为 () A.6 B.5 C.4 D.3 C (第1题图) (第2题图) 2.如图，在△ABC中，∠C=20°，DE是边AC的垂直平分线，交BC于点E,连接AE,则∠CAE 的度数为 () A.20° B.40° C.50° D.70° 3.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D,交BC于点E。 已知∠BAE=20°，求∠C的度数。 4.如图，在△ABC中，AD是高，在线段DC上取一点E,使BD=DE,已知AB+BD=DC。 求证：点E在线段AC的垂直平分线上。 ·9 第2课时三角形三边的垂直平分线 1.如图所示的作图痕迹是 A.作线段的垂直平分线 B.作一个角的平分线 C.过一点作已知直线的垂线 D.作一个角等于已知角 B 米D (第1题图) (第2题图) (第3题图) (第4题图)》 (第5题图)》 2.如图，在足球场内有A,B,C三个运动员，现准备在足球场内放一个足球，使它到三个运动员的 距离相等，则足球应放在 A.AB,AC两边高线的交点处 B.AC,BC两边中线的交点处 C.AC,BC两边垂直平分线的交点处 D.∠A,∠B两内角平分线的交点处 3.如图，在△ABC中，AB=AC,以点B为圆心，BC长为半径画弧，交AC于点C,D;再分别以点 C,D为圆心，大于CD的长为半径画弧，两弧相交于点P:作射线BP,交AC于点E。若AD= 5,CE=1,则AB的长为 4.如图，在△ABC中，AC=5,BC=7,AB=9。用尺规作图的方法在边AB上确定一点D,则 △ACD的周长为 5.如图，已知△ABC的边AB,BC的垂直平分线相交于点P,连接AP,BP,CP。若AP=3,则 CP的长为 6.如图，在△ABC中，∠C=110°，边AB,CB的垂直平分线相交于点P,连接AP,BP,求∠APB 的度数。 。10.