第1章 三角形的证明 综合评价(150分)-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年八年级下册数学（北师大版·新教材）贵州专版

第一章综合评价 (时间：120分钟满分：150分》 一、选择题（每小题3分，共36分。每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只 有一个选项正确) 1.若直角三角形的一个锐角是65°，则另一个锐角的度数是 ( 品 A.45 B.35 C.25 D.15° 2.等腰三角形的底角等于50°，则这个等腰三角形顶角的度数是( A.50° B.65 C.80 D.100° 3.如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中AB=AC,工人师傅在焊接立柱 时，只用找到BC的中点D。这就可以说明竖梁AD垂直于横梁BC了， 工人师傅这种操作方法的依据是 ( ) A.等边对等角 B.等角对等边 C.三角形具有稳定性 D.等腰三角形“三线合一“ D (第3题图) (第4题图) 4.如图，已知传送带与水平面所成角度是30°，如果它把物体送到离地 面5m高的地方，那么物体所经过的路程为 A.5 m B.5√/3m C.10√3m D.10m 5.体育课上的侧压腿动作可以抽象为如图所示的几何图形，若∠1=120°， 封 则∠2的度数是 ( A.30 B.40 C.60 D.120° 27 (第5题图) (第6题图) 6.如图，在Rt△ABC与Rt△DCB中，已知∠A=∠D=90°。添加下列条 件后，不能使Rt△ABC≌△Rt△DCB的是 线 A.AB=DC B.AC-DB C.∠ABC=∠DCB D.BC=BD 7.若一个三角形三个内角的度数的比为1：2：3，那么这个三角形是( A.锐角三角形B.等边三角形 C.钝角三角形 D.直角三角形 8.如图，DE⊥BC,BE=EC,且AB=5,AC=8,则△ABD的周长为( A.21 B.18 C.13 D.9 (第8题图) (第9题图) 9.将等边三角形如图放置，a∥b,∠1=35°，则∠2的度数为 A.20° B.25 C.30 D.35° 第1页（共6页） 10.如图，在△ABC中，AB=AC,BD平分∠ABC,交AC于点D。若 ∠A=36°，则∠BDC的度数为 A.36 B.54° C.72° D.108° B B (第10题图) (第11题图) (第12题图)》 11.如图，在△ABC中，AB=AC,CD是AB边上的高，BF交AC于点E, BD=2,AD=3,CD=4,通过观察尺规作图的痕迹，则BE的长为( ) A.5 B.4 C.3 D.2 12.如图，在△ABC中，∠BAC的平分线交BC于点D,过点D作DE⊥AB, DF⊥AC,垂足分别为E,F。有下列结论：①∠AEF=∠AFE;②AD垂直 平分EF,®二=CF④EF∥BC,其中正确的是 ( ) A.①②③ B.②③④ C.①③④ D.①②③④ 二、填空题（每小题4分，共16分） 13.命题：“两直线平行，同旁内角互补”的逆命题为 14.如图，在△ABC中，∠BAC=53°，∠ABC=37°，以△ABC的三边为边长 向外作正方形。若S1=16,S2=12,则S3的值是 (第14题图) (第15题图) (第16题图) 15.如图，在等边三角形ABC中，过点C作BC的垂线，交∠ABC的平分线 于点D,BD=4,则点D到边AB所在直线的距离是 16.如图，在△ABC中，已知∠ACB=90°，AB=10cm,AC=8cm,动点P 从点A出发，以1cm/s的速度沿线段AB向点B运动.在运动过程中， 当△APC为等腰三角形时，点P出发的时间t的值为 三、解答题（本大题共9题，共98分。解答应写出必要的文字说明、证明过 程或演算步骤) 17.(本题满分12分) (1)已知一个多边形的内角和是外角和的三倍，则这个多边形是几边形？ 第2页（共6页） (2)如图，在△ABC中，∠A=40°，点E在边AC上，连接BE,∠C= ∠CBE。若∠ABE=20°，求证：△BCE是等边三角形。 18.(本题满分10分)如图，点C,E,B,F在同一条直线上，AB⊥CF于点B, DE⊥CF于点E,AC=DF,AB=DE。求证：CE=BF。 19.(本题满分10分)用反证法证明：三角形的一个外角等于与它不相邻的 两个内角的和.将下面的过程补充完整。 已知：如图，∠ACD是△ABC的一个外角。 求证：∠ACD=∠A+∠B. 证明：假设 在△ABC中，∠A+∠B+∠ACB=180°， =180°-∠ACB。 .∠ACD+ =180°， ∴.∠ACD=180° ∴.∠ACD= ∴.与假设相矛盾。∴.假设不成立。 ∴.原命题成立，即∠ACD=∠A十∠B。 20.(本题满分10分)小红外出游玩时看到了映山红拼成的“70”字样（如 图)，还有两个花坛M,N。请帮小红找一处最佳观赏位置P,满足观赏 点P到“7”字样的两边的距离都相等，并且到两个花坛M,N的距离也 都相等。（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 第3页（共6页） 21.(本题满分10分)木工师傅做一个三角形屋梁架ABC如图所示，上弦 AB=AC=4m,跨度BC=6m,为牢固起见，还需做一根中柱AD(AD是 △ABC的中线)加以连接，现有一根长3m的木料，请你通过计算说明这 根木料的长度是否适合做成中柱AD。 D 22.(本题满分10分)如图，E为△ABC的外角平分线上的一点，AE∥BC, BF=AE. 求证：(1)△ABC是等腰三角形； (2)AF=CE。 第4页（共6页） 23.(本题满分12分)如图，在△ABC中，点E是BC边上的一点，连接AE, BD垂直平分AE,垂足为F,交AC于点D。连接DE。 (1)若△ABC的周长为19，△DEC的周长为7，求AB的长； (2)若∠ABC=30°，∠C=45°，求∠CDE的度数。 24.(本题满分12分)如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=120°，AD是边 BC上的中线，点E在AB上，且BD=BE,CD的垂直平分线交AC于 点F,交BC于点M,连接DE,DF。 (1)求∠ADE的度数； (2)求证：△ADF是等边三角形。 第5页（共6页） 25.(本题满分12分)如图，为了测量墙体是否与地面垂直，即MO是否垂直 PN于点O,在没有角尺、量角器、刻度尺，只有足够长、足够多的若干条无 弹性的绳子的情况下，三个数学兴趣小组分别设计了三种不同解决方案， 其中第一、第二组的设计方案如表所示。 问题 如何测量墙体是否与地面垂直 工具 若干条无弹性的绳子 小组 第一小组 第二小组 在一条绳子上打13个结，得到 如图②，在射线OM,ON上分别 12条线段，且用叠合法使得这 取点A,B,放置绳子AB,对折 12条线段都相等。设每一条 AB得到相等的两段AC,BC,放 测量 线段长为a。如图①，使在OM 置绳子OC,用叠合法比较O℃与 方案上的绳子OA=4a,在ON上 BC的长度。若OC=BC,则墙 的绳子OB=3a。若AB=5a, 体与地面垂直，即MO⊥PN于 则OA⊥OB,即MO⊥PN于 点O,否则不垂直 点O,否则不垂直 1 测量示意 图① 图② (1)第一、二小组的方案可行吗？如果可行，请分别给出证明；如果不可 行，请说明理由。 (2)请你代表第三小组，写出一个应用原理不同于上述第一、二小组的测 量方案，并在图③中画出测量示意图，然后证明方案的可行性。 M 图③ 第6页（共6页）△ADF(ASA)。(2):四边形ABCD是平行四边形，∴.AD∥BC。由折叠的性质，得CE= AE。△ABE≌△ADF,∴.AE=AF。∴.AF=CE。.四边形AECF是平行四边形。 4.证明：(1)：四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD。∠CEF=∠2。由折叠的性质， 得∠1=∠CEF,∠1=∠2。(2)：∠1=∠2，∴.GE=GF。由折叠的性质，得B'F=BF。 DE=BF,.DE=B'F。AB∥CD,.∠DEG=∠EGF。:GE∥B'F,∠EGF= ∠B'FG。∠DEG=∠B'FG。.△DEG≌△B'FG(SAS)。.DG=B'G。 3三角形的中位线 新知梳理 ①中点②平行于一半 例题引路 【例1】解：：E,F,G,H分别为AB,BC,CD,AD的中点，.EH,HG,GF,FE分别是 △ABD,△ADC,△BCD,△ABC的中位线。EH=GF=2BD=号X8=4,HG=EF= 号AC=合×6=3。∴四边形EFGH的周长为(3+)X2=14。【例2】证明：BD.CE是 △ABC的中线，DE是△ABC的中位线。·DEL号BC。又：F,G分别是OB,OC的中 点，FG是△OBC的中位线。FGL号BC。DE业FG。四边形DEFG是平行四边形。 基础过关 1.D2.A3.B4.C5.106.证明：E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点， ∴EF,GH分别是△ABC,△ACD的中位线。∴EF∥AC,EF=号AC,GH∥AC,GH 合ACEF=GH,EF/GH。四边形EFGH是平行四边形。 能力提升 7.C8.C9.30°10.(1)证明：：D,E分别为AB,AC的中点，G,F分别为BH,CH的中 点，∴DE是△ABC的中位线，GF是△HBC的中位线。∴DE∥BC,DE=)BC,GF∥BC 2 GF=子BC。DE/GF,DE=GF。四边形DEFG为平行四边形.(2)解：四边形 DEFG为平行四边形，∴.DG=EF=2。:DG⊥BH,∴∠DGB=90°。在Rt△DGB中，由勾 股定理，得BG=√BD-DG=√3-22=√5。 微专题构造三角形中位线的三种常用技巧 1.B2.1.53.C 第六章章末复习 思维导图 中心对称相等相等平分相等平行且相等平分中点平行一半 考点整合 1.C2.C3.C4.C5.BE=DF(答案不唯一)6.25°7.1cm8.证明：连接BF, DE。:四边形ABCD是平行四边形，.DF∥BE,AD=BC。,AF=CE,∴AD十AF=BC 十CE,即DF=BE。又，DF∥BE,∴.四边形BEDF是平行四边形。∴EF与BD互相平 分。9.证明：(1)O为对角线BD的中点，.OD=OB。四边形ABCD是平行四边形， ∠DFO=∠BEO, .DF∥EB。∴.∠DFO=∠BEO。在△DOF和△BOE中，∠DOF=∠BOE,△DOF≌ DO=BO, △BOE(AAS)。(2):△DOF≌△BOE,∴DF=EB。:DF∥EB,.四边形DFBE是平行 四边形。∴DE=BF。10.D1L.27m12.证明：：D,E分别是边AC,BC的中点， ÷DE是△ABC的中位线DE∥AB,且DE=合AB。:CF∥AB,且CF=令AB,DE ∥CF,且DE=CF。.四边形CDEF是平行四边形。，.CD=EF。 聚焦课标 13.解：任务1：629 任务2：过点E作EH⊥OB于点H,则∠OHE=∠BHE=90°。·∠OHE=90°，∠EOB= 30,∴EH=OE。四边形OCDE为平行四边形，OE=CD=10cm。六EH=5cm。 ∴.OH=√OE-EH=√/102-5=5√5(cm),BH=√BE-EH=√/132-5=12(cm)。 .PA=OA=AB-OH-BH=29-5√3-12=17-5√3(cm)。答：限位器P应装在离点A (17-5√3)cm的位置。 第28页（共48页） 综合评价答案 第一章综合评价 1.C2.C3.D4.D5.A6.D7.D8.C9.B10.C11.B12.A13.同旁内角 互补，两直线平行14.2815.216.5或817.(1)解：设这个多边形为n边形。根据题 意，得(n-2)×180°=3×360°。解得n=8。答：这个多边形是八边形。(2)证明：：∠C= ∠CBE,∴.BE=CE。:∠A=40°，∠ABE=20°，∴.∠BEC=∠A+∠ABE=40°+20°=60。 ∴△BCE是等边三角形。18.证明：：AB⊥CF,DE⊥CF,∠ABC=∠DEF=90°。在 R△AC和R△DEF中，g-PE:R△ABC≌R△DEEH.KCEF,BC BE=EF-BE,即CE=BF。19.∠ACD≠∠A+∠B∠A+∠B∠ACB∠ACB ∠A十∠B20.解：如图，点P即为所求。4女B 21.解：AB=AC=4m,AD是 △ABC的中线，∴ADLBC,BD=号BC=3m,在R△ABD中，由勾股定理，得AD= √AB-BD=√7m。:√7<3，.这根木料的长度适合做成中柱AD。22.证明： (I):AE∥BC,∴.∠DAE=∠B,∠EAC=∠ACB。:E为△ABC的外角平分线上的一点， ∠DAE=∠EAC。∴∠B=∠ACB。∴.AB=AC。∴.△ABC是等腰三角形。(2)由(1)， 得∠B=∠ACB,∠EAC=∠ACB,.∠B=∠CAE。在△ABF和△CAE中， AB=CA, ∠B=∠CAE,.△ABF≌△CAE(SAS)。.AF=CE。23.解：(1)BD是线段AE的 BF=AE, 垂直平分线，AB=BE,AD=DE。:△ABC的周长为19，△DEC的周长为7，AB+BE +CE+CD+AD=19,①CD+CE+DE=CD+CE+AD=7,②①-②，得AB+BE=19 -7=12,∴.AB=BE=6。(2)·∠ABC=30°，∠C=45°，∴.∠BAC=180°-∠ABC-∠C= BA=BE, 180°-30°-45°=105°。在△BAD和△BED中，BD=BD,∴.△BAD≌△BED(SSS). DA=DE, .∠BED=∠BAC=105°。∠CDE=∠BED-∠C=105°-45°=60°。24.(1)解：在 △ABC中，AB=AC,∠BAC=120,∠B=∠C=号×(180°-∠BAC)=30.:BD= BE,∠BDE=∠BED=合X(180-∠B)=73,:AB=AC,AD是边BC上的中线， .AD⊥BC。∴∠ADB=90°。∴∠ADE=∠ADB-∠BDE=15°。(2)证明：MF垂直平 分CD,∴DF=CF。由(1)知∠C=30°，∴∠FDC=∠C=30°。∴∠AFD=∠C+∠FDC= 60。:AB=AC,AD是边C上的中线，∠DAF=合∠BAC=60。∠ADF=60. ∠ADF=∠DAF=∠AFD=60°。∴.△ADF是等边三角形。25.解：(1)第一、二小组 的方案都可行。证明如下：第一小组：由题意，得OA=4a,OB=3a,AB=5a。在△AOB中， OB2+OA2=(3a)2+(4a)2=25a2,AB2=(5a)2=25a2,.OA+OB2=AB2。.△AOB是 直角三角形，且∠AOB=90°。.OA⊥OB,即MO⊥PN。第二小组：：AC=BC,OC=BC, .AC=OC=BC。.∠CAO=∠COA,∠COB=∠CBO。又.∠CAO+∠COB+∠COA+ ∠CBO=180°，∴∠COA十∠COB=90°。∴.OA⊥OB,即MO⊥PN。(2)答案日M 不唯一，如：如答图，在射线OM,ON,OP上分别取点A,B,C,放置绳子AB, 入 AC,使AB=AC,用叠合法比较OC与OB的长度。若OC=OB,则墙体与地P乙0B 面垂直，即MO⊥PV于点O,否则不垂直。证明：·AC=AB,OC=OB,.AO 答图 ⊥BC,即MO⊥PN。 第二章综合评价 1.A2.C3.D4.B5.B6.A7.C8.C9.B10.B11.D12.D13.x>20 14.a<-215.八16.22<x≤6417.解：(1)去括号，得3x-1≥2x十2。移项、合并同类项， 得x≥3。这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示。一 -1012345 (2)解不等式①，得x>一1。解不等式②，得x≤3。在同一条数轴上表示不等式①②的解 集，如图所示。 一因此，原不等式组的解集为一1<x -2-1012 345 ≤3。 18,解：根据题意，得3x十2≥1士3。去分母，得6十4≥1z十3。移项，合并同类 项，得-x≥-1。两边都除以-1，得x≤1.19.解：由题意，得2x一1<x十3，解得x<4。 20.解：根据题意，得3△x=3x-3-x十1=2x-2。:3△x的值大于5而小于9， ∴径二28：解得子<x<号。21.解：任务一：五不等式的两边都除以一个负数时，不 11 12x-2<9, 等号的方向没有改变任务二：去括号，得2x十16≤10-4x十12。移项，得2x十4x≤10十12 一16。合并同类项，得6x6。两边都除以6，得x≤1。解不等式①，得x<2。因此，原不 第29页（共48页） 等式组的解集为x≤1.22.解：(1)设甲种路灯的单价是x元/盏，乙种路灯的单价是y 元/器。根据题意，得工十2=220；解得=60·答，甲种路灯的单价是60元/盏，乙种路 4y-3.x=140, y=80. 灯的单价是80元/盏。(2)设购买m盏甲种路灯，则购买(40一)盏乙种路灯，该社区购买 甲、乙两种路灯共花费w元。根据题意，得w=60m十80(40一)=一20十3200。 ”-20<0,∴0随m的增大而减小。又“m≤号(40-m),∴m≤10。∴当m=10时，w取 得最小值，此时40一=40一10=30。答：当购买10盏甲种路灯，30盏乙种路灯时，所需费 用最少。23.解：(1)将P(-2,-5)代入M=2x十b,得-5=2×(-2)十b,解得b=一1。 将P(-2,-5)代入边=ax-3,得-5=一2a-3,解得a=1。这两个函数的表达式分别为 为=2x-1=-3.2在1=2x-1中，令1=0，得0=21，解得=合。六A(分 0。在=x一3中，令为=0，得0=z一3，解得x=3。B(3,0)。AB=3-7=号。 ∴Sm=子AB.1n=子×号×5=平。(3)由函数图象可知，当x<-2时，2x十Kad -3.24.解：任务一：20-3a2a1600-240a任务二：根据题意，得 {560a+1600≤5520，解得5≤a≤7。又a,2a,20-3a均为正整数，a可以为5,6。 20-3aa, ∴.共有2种运输方案：方案一：运往贵阳5t,昆明5t,成都10t;方案二：运往贵阳6t,昆明 2,成都121。任务三：由任务一可知，运往昆明的每吨运费为0a080(元)。根据 题意，得300a十80(n-3a)十500a=7360。化简，得n=92-7a。又：n>3a,∴.92-7a> 3a,解得a<9.2。a的最大值为9。.n的最小值为92-7X9=29.25.解：(1)不是 1 ②)解方程组一=一4，得4·方程组红是不等式习 x+2y=5a+3,时{y=2a+2。 的“关联性方程组”，2a+2(a-1D>7解得a>3。(3)解不等式组十0：得b x+9<2b, 10x<2b一9。解方程x十b=0,得x=一b。由题意，得b-10≤一b<2b一9，解得3<b 5。可设5个整数解为k,友十1，k十2，k十3，k十4.1b10S, 1k十4<2b-9≤k+5。 (k+9b≤k十10， k+9<+14 2 士13<≤+14.6有解心 解得-7<k<一4。.k的整数解为一6 2 2 k+13<k+10, 2 咸5.0当6时：是，产.5<≤4②当5时，84☒ 4.5。∴.由①②，得3.5<b4.5。又.3<b5,.3.5<b≤4.5。 阶段综合评价（一） 1.C2.C3.D4.B5.A6.B7.A8.C9.A10.C11.B12.B13.80° 14.2.815.a≤-316.1017.(1)解：去括号，得3x-6-4十4x<1。移项，得3x十4x< 1+6十4。合并同类项，得7红<11。两边都除以7，得x<号。(2)解：解不等式3x十1≤ 2(x十1)，得x1。解不等式一x<5x十12，得x>-2。因此，原不等式组的解集为一2<x ≤1.18解：不等式2"。m>x-1。去分母，得2m-m>1一2。移项.合并同类项： 2 得(-m-1)x>2(-m-1)。当-m-1≠0，即m≠-1时，原不等式有解；当--1<0，即 m>一1时，原不等式的解集为x<2;当-m-1>0,即m<-1时，原不等式的解集为x> 2.19.解：∠ANC=∠B+∠BAV,∴.∠BAV=∠AVC-∠B=80°-50°=30°。：AV 是∠BAC的平分线，∴.∠BAC=2∠BAV=60°。∴.∠C=180°-∠B-∠BAC=70°。 20.ID证明：在R△ABC和RL△DCB中，ACB.Rt△ABC≌R△DCB(H (2)解：△OBC是等腰三角形。理由如下：：Rt△ABC≌Rt△DCB,∴∠ACB=∠DBC。 .0B=OC。∴.△OBC是等腰三角形。21.解：(1)解方程4x十2m十1=2x十5，得x=2 m。由题意，得2-m<0,解得m>2。(2)去分母，得2(x-1)>mx十1。去括号，得2x-2 3 >mx十1。移项、合并同类项，得(2-m)x>3。“m>2,小2-m<0。小x<2m 22.解：(1)如图。 (2)DF垂直平分线段AB,.DB=DA。.∠DAB =∠B=30°。又：∠C=40°，.∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-30°-40°=110°。 ∠CAD=∠BAC-∠DAB=110°-30°=80°。AE平分∠DAC,∠DAE=号∠DAC =40°。23.(1)证明：E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA,ED⊥OB,.EC=ED。 第30页（共48页）