第1章 三角形的证明 综合评价((100分)-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年八年级下册数学（北师大版·新教材）贵州专版

△ADF(ASA)。(2):四边形ABCD是平行四边形，∴.AD∥BC。由折叠的性质，得CE= AE。△ABE≌△ADF,∴.AE=AF。∴.AF=CE。.四边形AECF是平行四边形。 4.证明：(1)：四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD。∠CEF=∠2。由折叠的性质， 得∠1=∠CEF,∠1=∠2。(2)：∠1=∠2，∴.GE=GF。由折叠的性质，得B'F=BF。 DE=BF,.DE=B'F。AB∥CD,.∠DEG=∠EGF。:GE∥B'F,∠EGF= ∠B'FG。∠DEG=∠B'FG。.△DEG≌△B'FG(SAS)。.DG=B'G。 3三角形的中位线 新知梳理 ①中点②平行于一半 例题引路 【例1】解：：E,F,G,H分别为AB,BC,CD,AD的中点，.EH,HG,GF,FE分别是 △ABD,△ADC,△BCD,△ABC的中位线。EH=GF=2BD=号X8=4,HG=EF= 号AC=合×6=3。∴四边形EFGH的周长为(3+)X2=14。【例2】证明：BD.CE是 △ABC的中线，DE是△ABC的中位线。·DEL号BC。又：F,G分别是OB,OC的中 点，FG是△OBC的中位线。FGL号BC。DE业FG。四边形DEFG是平行四边形。 基础过关 1.D2.A3.B4.C5.106.证明：E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点， ∴EF,GH分别是△ABC,△ACD的中位线。∴EF∥AC,EF=号AC,GH∥AC,GH 合ACEF=GH,EF/GH。四边形EFGH是平行四边形。 能力提升 7.C8.C9.30°10.(1)证明：：D,E分别为AB,AC的中点，G,F分别为BH,CH的中 点，∴DE是△ABC的中位线，GF是△HBC的中位线。∴DE∥BC,DE=)BC,GF∥BC 2 GF=子BC。DE/GF,DE=GF。四边形DEFG为平行四边形.(2)解：四边形 DEFG为平行四边形，∴.DG=EF=2。:DG⊥BH,∴∠DGB=90°。在Rt△DGB中，由勾 股定理，得BG=√BD-DG=√3-22=√5。 微专题构造三角形中位线的三种常用技巧 1.B2.1.53.C 第六章章末复习 思维导图 中心对称相等相等平分相等平行且相等平分中点平行一半 考点整合 1.C2.C3.C4.C5.BE=DF(答案不唯一)6.25°7.1cm8.证明：连接BF, DE。:四边形ABCD是平行四边形，.DF∥BE,AD=BC。,AF=CE,∴AD十AF=BC 十CE,即DF=BE。又，DF∥BE,∴.四边形BEDF是平行四边形。∴EF与BD互相平 分。9.证明：(1)O为对角线BD的中点，.OD=OB。四边形ABCD是平行四边形， ∠DFO=∠BEO, .DF∥EB。∴.∠DFO=∠BEO。在△DOF和△BOE中，∠DOF=∠BOE,△DOF≌ DO=BO, △BOE(AAS)。(2):△DOF≌△BOE,∴DF=EB。:DF∥EB,.四边形DFBE是平行 四边形。∴DE=BF。10.D1L.27m12.证明：：D,E分别是边AC,BC的中点， ÷DE是△ABC的中位线DE∥AB,且DE=合AB。:CF∥AB,且CF=令AB,DE ∥CF,且DE=CF。.四边形CDEF是平行四边形。，.CD=EF。 聚焦课标 13.解：任务1：629 任务2：过点E作EH⊥OB于点H,则∠OHE=∠BHE=90°。·∠OHE=90°，∠EOB= 30,∴EH=OE。四边形OCDE为平行四边形，OE=CD=10cm。六EH=5cm。 ∴.OH=√OE-EH=√/102-5=5√5(cm),BH=√BE-EH=√/132-5=12(cm)。 .PA=OA=AB-OH-BH=29-5√3-12=17-5√3(cm)。答：限位器P应装在离点A (17-5√3)cm的位置。 第28页（共48页） 综合评价答案 第一章综合评价 1.C2.D3.D4.A5.D6.C7.B8.C9.B10.A11.同旁内角互补，两直线 平行12.2813.214.5或815.(1)解：设这个多边形为n边形。根据题意，得(n-2) ×180°=3×360°。解得n=8。答：这个多边形是八边形。(2)证明：∠C=∠CBE,.BE =CE。'∠A=40°，∠ABE=20°，.∠BEC=∠A十∠ABE=40°十20°=60°。.△BCE是 等边三角形。16.∠ACD≠∠A十∠B∠A+∠B∠ACB∠ACB∠A+∠B 17.解：如图，点P即为所求。4为 18.解：.'AB=AC=4m,AD是△ABC的中 线.AD1BC,BD=合BC=3m,在R△ABD中，由勾股定理，得AD=AB-BD- √7m。:√7<3，∴这根木料的长度适合做成中柱AD。19.证明：(1)：AE∥BC, ∴∠DAE=∠B,∠EAC=∠ACB。E为△ABC的外角平分线上的一点，∴∠DAE= ∠EAC。.∠B=∠ACB。∴.AB=AC。.△ABC是等腰三角形。(2)由(1)，得∠B= ∠ACB,∠EAC=∠ACB,∴.∠B=∠CAE。在△ABF和△CAE中， AB=CA, ∠B=∠CAE,∴.△ABF≌2△CAE(SAS)。.AF=CE。20.(1)解：在△ABC中，AB= BF=AE. AC,∠BAC=120,∠B=∠C=X(180°-∠BAC)=30°。BD=BE,∠BDE= ∠BED=号×(180-∠B)=75。:AB=AC,AD是边BC上的中线，ADLBC。 ∠ADB=90°。∴∠ADE=∠ADB-∠BDE=15°。(2)证明：MF垂直平分CD,∴.DF =CF。由(1)知∠C=30°，∴∠FDC=∠C=30°。∴.∠AFD=∠C+∠FDC=60°。：AB= AC,AD是边BC上的中线，∠DAF=2∠BAC=60。.∠ADF=60。六∠ADF= ∠DAF=∠AFD=60°。.△ADF是等边三角形。21，解：(1)第一、二小组的方案都可 行。证明如下：第一小组：由题意，得OA=4a,OB=3a,AB=5a。在△AOB中，OB2+OA =(3a)2十(4a)2=25a2,AB=(5a)=25a2,.OA十OB=AB。∴.△AOB是直角三角 形，且∠AOB=90°。.OA⊥OB,即MO⊥PN。第二小组：AC=BC,OC=BC,.AC= OC=BC。∴·∠CAO=∠COA,∠COB=∠CBO。又：'∠CAO+∠COB+∠COA+∠CBO =180°，.∠COA十∠COB=90°。.OA⊥OB,即MO⊥PN。(2)答案不唯 一，如：如答图，在射线OM,ON,OP上分别取点A,B,C,放置绳子AB,AC, 使AB=AC,用叠合法比较OC与OB的长度。若OC=OB,则墙体与地面垂PCOB 直，即MO⊥PN于点O,否则不垂直。证明：AC=AB,OC=OB,∴.AO⊥ 答图 BC,即MO⊥PV。 第二章综合评价 1.A2.C3.D4.B5.A6.C7.C8.B9.D10.D11.x>2012.a<-2 13.八14.22<x≤6415.解：(1)去括号，得3x一12x十2。移项、合并同类项，得x≥3。这个 不等式的解集在数轴上的表示如图所示。」 -101 2 34 (2)解不等式①，得x>一1。解不等式②，得x≤3。在同一条数轴上表示不等式①②的解 集，如图所示。 工因此，原不等式组的解集为一1<x -2-1012345 ≤3.16.解：由题意，得2x-1<x十3，解得x<4.17.解：根据题意，得3△x=3x-3 -中1=2x-2.3△r的值大于5面小于98解得子<<号. 18.解： 任务一：五不等式的两边都除以一个负数时，不等号的方向没有改变任务二：去括号，得2x 十16≤10-4x十12。移项，得2x十4x≤10十12-16。合并同类项，得6x≤6。两边都除以 6,得x1。解不等式①，得x<2。因此，原不等式组的解集为x1.19.解：(1)将 P(一2，-5)代入y=2x十b,得-5=2×(-2)十b,解得b=-1。将P(-2,-5)代入y2 ax-3,得-5=-2a-3,解得a=1。这两个函数的表达式分别为y1=2x-1,y=x-3。 (2)在1=2x-1中，令=0，得0=2x-1,解得x=名，A(合，0）。在=x-3中，令 =0,得0=x-3,解得x=3。B(3,0).AB=3-之=号.Sam=AB =×号×5=空。(3)由函数图象可知，当x<-2时，2x+6<ar-3。 20.解：任务一： 203a2a1600-240a任务二根据题意，得6036005520，解得5≤a≤7。又 a,2a,20-3a均为正整数，a可以为5,6。.共有2种运输方案：方案一：运往贵阳5t, 第29页（共48页） 昆明5t,成都10；方案二：运往贵阳6t,昆明2t,成都12t。任务三：由任务一可知，运往昆 明的每吨运费为1620-0=80（元）.根据慝意，得30a十80：一3a>十0u=1360,化 简，得n=92-7a。又，n>3a,92-7a>3a,解得a<9.2。.a的最大值为9。n的最 小值为92-7×9=29.21.解：(1)不是(2)解方程组2y=-4:。得 x+2y=5a+3, =a一1：方程组2X二50十3是不等式)y2>7的关联性方程组”，“2a+2一 y=2a+2。 之(a-1D>7,解得a>3。(3)解不等式组十06：得6-10≤x<26-9。解方程十6 x+9<2b, 0,得x=-b。由题意，得b-10≤一b<2b-9,解得3<b≤5。∴.可设5个整数解为k,k十1， /k-1<b-10≤k, rk十9<b≤k+10, k十2，k+3,k+4。. {k+4<2b-9≤k十5。 <。:6有解 2 k+9<+14 2 k+13∠k十10， 解得一7<k<一4。.k的整数解为一6或一5。①当k=一6时， 2 (3<43.5<≤4。②当k=-5时，4hS5,.4<b≤4.5。由①②，得3.5 13.5<b≤4， 14<b4.5。 b≤4.5。又3<b≤5，.3.5<b≤4.5。 阶段综合评价（一） 1.C2.C3.D4.B5.A6.B7.C8.A9.C10.B11.80°12.2.813.a -314.1015.(1)解：去括号，得3x-6一4十4x<1。移项，得3x十4x<1十6十4。合 同类项，得7x<11。两边都除以7，得<号。(2)解：解不等式3x十1<2(x+1),得x≤1。 解不等式-x<5x十12，得x>一2。因此，原不等式组的解集为一2<x≤1.16.解： :∠AVC=∠B+∠BAN,∴.∠BAN=∠ANC-∠B=80°-50°=30°。：AV是∠BAC的 平分线，∠BAC=2∠BAN=60°。∴∠C=180°-∠B-∠BAC=70°。17.解：(1)解方 程4x十2十1=2x十5，得x=2-m。由题意，得2-m<0,解得m>2。(2)去分母，得 2(x-1)>mx十1。去括号，得2x一2>mx十1。移项、合并同类项，得(2-m)x>3。,m> 3 2心2-m<0。六x<2°m。18.解：1)如图。 (2),DF垂直平分线 段AB,∴.DB=DA。∴.∠DAB=∠B=30°。又.∠C=40°，.∠BAC=180°-∠B-∠C= 180°-30°-40°=110°。.∠CAD=∠BAC-∠DAB=110°-30°=80°。AE平分 ∠DAC,∠DAE=号∠DAC=40°。19.(I)证明：E是∠AOB的平分线上-点，ECL OA,ED⊥OB,.EC=ED。.∠ECD=∠EDC。(2)解：ED⊥OB,EC⊥OA,.∠EDO= 90,∠ECO=90°。t在R△DEO和R△CE0中，/E0-EC,:.R△DEO2R△CEO(HL). ED=EC, .DO=CO。EC=ED,∴.EO垂直平分CD。.∠EFC=90。·∠AOB=60°，.△DOC 是等边三角形。∴∠0CD=60°。：0E是∠A0B的平分线，∠B0C=号∠A0B=30. ∴EC=号OE=4。:∠ECF=∠EC0-∠0CD=30,∴EF=号EC=2.20.解：(I):B 品牌共享电动车每分钟收费为8÷20=0.4（元），∴.y2关于x的函数表达式为y2=0.4x。(2)A (3)当0≤x≤10时，M一y2=4,即6-0.4x=4,解得x=5;当x>10时，|y1-y2|=4,即 |0.2x十4-0.4x=4,解得x=0(舍去)，或x=40。∴当x为5或40时，两种品牌共享电 动车收费相差4元。21.解：(1)是(2)：∠A=40°，∠B=60°，∴.∠ACB=180°-∠A一 ∠B=80。CD为∠ACB的平分线，∠ACD=∠BCD=合∠ACB=40。·∠ACD ∠A。∴CD=AD。∴△ACD是等腰三角形。：∠BCD=∠A=40°，∠B=∠B,△ABC 与△CBD是“等角三角形”。.CD是△ABC的“巧等线”。(3)∠B的度数为30°或60°或 ()°或()°。【解析】根据题意可知，存在以下四种情况：①如答图①，当△ACD是等 腰三角形，AC=AD时，∠ADC=∠ACD=号(180°-∠A)=70°，∠BCD=∠A=40, ∴∠B=180°-∠A-∠ACD-∠BCD=30°。②如答图②，当△ACD是等腰三角形，CD=AD 时，∠BCD=∠A=∠ACD=40°，∴.∠B=180°-∠A-∠ACD-∠BCD=60°。③如答图③， 当△BCD是等腰三角形，CD=BD时，∠ACD=∠B=∠BCD,:∠B=180,∠A= (9).④如答图①，当△BCD是等腰三角形，BC=BD时，∠ACD=∠B,∠BCD= 第30页（共48页）第一章综合评价 (时间：90分钟 满分：100分) 一、选择题（每小题3分，共30分。每小题均有A、B、C,D四个选项，其中只 有一个选项正确) 1.若直角三角形的一个锐角是65°，则另一个锐角的度数是 ( 品 A.45° B.35 C.25 D.15° 2.如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中AB=AC,工人师傅在焊接立柱 时，只用找到BC的中点D。这就可以说明竖梁AD垂直于横梁BC了， 工人师傅这种操作方法的依据是 ( A.等边对等角 B.等角对等边 C.三角形具有稳定性 D.等腰三角形“三线合一“ 弥 部 D (第2题图) (第3题图) 3.如图，已知传送带与水平面所成角度是30°，如果它把物体送到离地 面5m高的地方，那么物体所经过的路程为 ( A.5 m B.5/3 m C.10√3m D.10m 4.体育课上的侧压腿动作可以抽象为如图所示的几何图形，若∠1=120°， 苹 则∠2的度数是 ( A.30° B.40 C.60° D.120° 封 00 (第4题图) (第5题图) 5.如图，在Rt△ABC与Rt△DCB中，已知∠A=∠D=90°。添加下列条 件后，不能使Rt△ABC≌△Rt△DCB的是 ( A.AB=DC B.AC=DB C.∠ABC=∠DCB D.BC=BD 线6.如图，DEI BC,BE=EC,且AB=5,AC=8,则△ABD的周长为( A.21 B.18 C.13 D.9 (第6题图) (第7题图) (第8题图) 7.将等边三角形如图放置，a∥b,∠1=35°，则∠2的度数为 A.20° B.25 C.30 D.35° 8.如图，在△ABC中，AB=AC,BD平分∠ABC,交AC于点D。若∠A= 36°，则∠BDC的度数为 ( ) A.36 B.54 C.72° D.1089 第1页（共6页） 9.如图，在△ABC中，AB=AC,CD是AB边上的高，BF交AC于点E, BD=2,AD=3,CD=4,通过观察尺规作图的痕迹，则BE的长为() A.5 B.4 C.3 D.2 B B D (第9题图) (第10题图) 10.如图，在△ABC中，∠BAC的平分线交BC于点D,过点D作DE⊥AB, DF⊥AC,垂足分别为E,F。有下列结论：①∠AEF=∠AFE;②AD垂直 平分EP:③S题=BE SA一C示：④EF∥BC,其中正确的是 A.①②③ B.②③④ C.①③④ D.①②③④ 二、填空题（每小题4分，共16分） 11.命题：“两直线平行，同旁内角互补”的逆命题为 12.如图，在△ABC中，∠BAC=53°，∠ABC=37°，以△ABC的三边为边长 向外作正方形。若S1=16,S2=12,则S3的值是 (第12题图) (第13题图) (第14题图) 13.如图，在等边三角形ABC中，过点C作BC的垂线，交∠ABC的平分线 于点D,BD=4,则点D到边AB所在直线的距离是 14.如图，在△ABC中，已知∠ACB=90°，AB=10cm,AC=8cm,动点P 从点A出发，以1cm/s的速度沿线段AB向点B运动.在运动过程中， 当△APC为等腰三角形时，点P出发的时间t的值为 三、解答题（本大题共7题，共54分。解答应写出必要的文字说明、证明过 程或演算步骤) 15.(本题满分10分) (1)已知一个多边形的内角和是外角和的三倍，则这个多边形是几边形？ 第2页（共6页） (2)如图，在△ABC中，∠A=40°，点E在边AC上，连接BE,∠C= ∠CBE。若∠ABE=20°，求证：△BCE是等边三角形。 16.（本题满分5分)用反证法证明：三角形的一个外角等于与它不相邻的两 个内角的和.将下面的过程补充完整 已知：如图，∠ACD是△ABC的一个外角。 求证：∠ACD=∠A+∠B。 证明：假设 在△ABC中，∠A+∠B+∠ACB=180°， =180°-∠ACB. ,∠ACD+ =180°， ∴.∠ACD=180° ∴.∠ACD= 与假设相矛盾。假设不成立。 ∴.原命题成立，即∠ACD=∠A十∠B。 17.(本题满分5分)小红外出游玩时看到了映山红拼成的“70”字样（如图）， 还有两个花坛M,N。请帮小红找一处最佳观赏位置P,满足观赏点P 到“7”字样的两边的距离都相等，并且到两个花坛M,N的距离也都相 等。（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 第3页（共6页） 18.(本题满分6分)木工师傅做一个三角形屋梁架ABC如图所示，上弦 AB=AC=4m,跨度BC=6m,为牢固起见，还需做一根中柱AD(AD是 △ABC的中线)加以连接，现有一根长3m的木料，请你通过计算说明这 根木料的长度是否适合做成中柱AD。 19.(本题满分8分)如图，E为△ABC的外角平分线上的一点，AE∥BC, BF=AE。 求证：(1)△ABC是等腰三角形： (2)AF=CE。 第4页（共6页） 20.(本题满分8分)如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=120°，AD是边 BC上的中线，点E在AB上，且BD=BE,CD的垂直平分线交AC于 点F,交BC于点M,连接DE,DF。 (1)求∠ADE的度数； (2)求证：△ADF是等边三角形. M 第5页（共6页） 21.(本题满分12分)如图，为了测量墙体是否与地面垂直，即MO是否垂直 PN于点O,在没有角尺、量角器、刻度尺，只有足够长、足够多的若干条无 弹性的绳子的情况下，三个数学兴趣小组分别设计了三种不同解决方案， 其中第一、第二组的设计方案如表所示。 问题 如何测量墙体是否与地面垂直 工具 若干条无弹性的绳子 小组 第一小组 第二小组 在一条绳子上打13个结，得到 如图②，在射线OM,ON上分别 12条线段，且用叠合法使得这 取点A,B,放置绳子AB,对折 12条线段都相等。设每一条 AB得到相等的两段AC,BC,放 测量 线段长为a。如图①，使在OM 置绳子OC,用叠合法比较OC与 方案 上的绳子OA=4a,在ON上 BC的长度。若OC=BC,则墙 的绳子OB=3a。若AB=5a, 体与地面垂直，即MO⊥PN于 则OA⊥OB,即MO⊥PN于 点O,否则不垂直 点O,否则不垂直 量示意图 O BN 图① 图② (1)第一、二小组的方案可行吗？如果可行，请分别给出证明；如果不可 行，请说明理由。 (2)请你代表第三小组，写出一个应用原理不同于上述第一、二小组的测 量方案，并在图③中画出测量示意图，然后证明方案的可行性。 图③ 第6页（共6页）