5 第2课时 三角形的三条角平分线&专题7 巧构等腰三角形的儿种常见技巧-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年八年级下册数学（北师大版·新教材）贵州专版

第2课时三角 基础过关 ◆》逐点击破 知识点1三角形角平分线的性质与判定 1.在三角形中，到三边距离相等的点是( A.三条高线的交点 B.三条中线的交点 C.三条角平分线的交点 D.三边垂直平分线的交点 2.如图，△ABC的外角∠CBD和 ∠BCE的平分线相交于点F, 连接AF。若∠BAC=50°，则 ∠BAF的度数为 3.如图，在△ABC中，AG,BM,CN分别是 ∠BAC,∠ABC,∠ACB的平分线。求证： AG,BM,CN交于一点。 知识点2三角形角平分线的应用 4.如图，某市有一块由三条马路围成的三角形 绿地，现准备在其中建一座小亭供人们休 息，要求小亭中心到三条马路的距离相等， 试确定小亭的中心位置。（不写作法，保留 作图痕迹) 30数学Ⅲ八年级下册(BS) 形的三条角平分线 【能力提升 》◆整合运用 5.如图，在△ABC中，BI平分∠ABC,CI平分 ∠ACB,连接AI,过点I作ID⊥BC。若 △ABC的周长为18，ID的长度为3，则 △ABC的面积为 ( A.18 B.30 C.24 D.27 (第5题图) (第6题图) 6.(教材P45习题T5变式)生产生活情境化如 图，1，l2,l3是三条两两相交的笔直公路，现 欲修建一个加油站，使它到三条公路的距离 相等，则这个加油站的位置共有处。 7.如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平 分线相交于点O,过点O作EF∥BC,交AB 于点E,交AC于点F。 (1)若AB=4,AC=5,则△AEF的周长是 (2)过点O作OH⊥BC于点H,连接OA。 当∠BAC=60°时，试探究OH与OA的 数量关系，并说明理由。 提示 请完成基本功专练（一） 专题七巧构等腰三角形的几种常见技巧【通性通法】 类型1利用平行线巧构等腰三角形 证法一：过点D作DM∥AB,交BC的延长 (一)利用“角平分线十平行线”巧构等腰三角 线于点M。(请将证明过程补充完整) 形（教材P17随堂练习T1变式） M 1.如图，在△ABC中，BE,CE分别是∠ABC 和∠ACB的平分线，过点E作DF∥BC交 AB于点D,交AC于点F,若AB=6,AC 4,则△ADF的周长为 A.6 B.7 C.8 D.10 D (第1题图) (第2题图)》 2.如图，在△ABC中，DE∥BC,∠ABC和 ∠ACB的平分线分别交DE于点G,F,BG, CF相交于点O。 (1)若∠A=50°，则∠BOC的度数为 (2)若FG=5,ED=8,则EB+DC的值为 证法二：过点B作BN∥DE,交AC的延长 线于点N。(请将证明过程补充完整) (二)作腰或底的平行线巧构等腰三角形 模型呈 作腰的平行线构造 作底的平行线构造等腰 等腰三角形： 三角形： 点 若AB=AC,DE∥ 若AB=AC,DE∥BC, 述 AC,则△BDE为 则△ADE为等腰三 等腰三角形 角形 3.一题多解思维发散如图，在△ABC中，CA 思考：本题还有多种作底的平行线构造等腰三角形 CB,点D在AC的延长线上，点E在BC上， 解题的方法，也可用等腰三角形的“三线合一”作辅 且CD=CE,求证：DE⊥AB。 助线解题，跟同学们交流一下吧。 第一章三角形的证明及其应用31■ 4.如图，在△ABC中，AB=AC,E为AB上的 一点，F是AC延长线上一点，连接EF,交 BC于点D。若DE=DF,求证：BE=CF。 类型2逆用“三线合一”巧构等腰三角形 名师点拨：如图，在△ABC中，有下列条 件：①AD平分∠BAC;②AD⊥BC; ③AD为BC边上的中线，知①②或B4 ②③，易证△ACD≌△ABD,进而可得△ABC为等 腰三角形。 注：此结论在小题里可直接用，解大题时需要写出推 理过程，直接用会扣步骤分。 5.如图，在△ABC中，AB<BC,BP平分 ∠ABC,AP⊥BP于点P,连接PC。若 △ABC的面积为4，则△BPC的面积为 B (第5题图) (第6题图) 6.如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB, BD⊥CD于点D,∠ABD=∠A。若BD 1,BC=3,则AC的长为 A.2 B.3 C.4 D.5 32数学Ⅲ八年级下册(BS) 类型3利用“截长补短”巧构等腰三角形 (一)利用线段之间的和差关系巧构等腰三 角形 7.如图，在△ABC中，∠BAC=120°，AD⊥BC 于D,且AB+BD=DC,则∠B的度数为 B D (二)利用倍角关系巧构等腰三角形 名师点拨：在△ABC中，∠ABC=2∠C。常通过作 下面辅助线解决问题： 8.如图，在△ABC中，∠ABC=2∠C,AD⊥BC 于点D,AE为BC边上的中线。 (1)求证：BE+DE=AB+BD: (2)若BD=2,DE=3,求AB的长。(2)△ADE≌△FCE,AE=EF。又：BE⊥AF,∴BE是线段AF的垂直平分线。 AB=BF=BC+CF。AD=CF,AB=BC十AD。9.(1)证明：连接AE。EF是 AB的垂直平分线，∴AE=BE。:AD⊥BC,且D为CE的中点，AD是CE的垂直平分 线。∴AE=AC。.BE=AC。(2)解：：AE=BE,∠BAE=∠B=35°。∠AEC=∠B +∠BAE=70°。AE=AC,∴.∠C=∠AEC=70°。.∠BAC=180°-∠B-∠C=75°。 思维拓展 10.A 第2课时三角形三边的垂直平分线 例题引路 【例1】证明：连接OA,OB,OC。,点O在AB,BC的垂直平分线上，.OA=OB=OC。.点 O在AC的垂直平分线上。【例2】解：如图所示：M4 ①作BC=a,并作其垂直平分 线MN交BC于点D:②在DM上截取DA=b:③连接AB,AC,则△ABC即为所求。 基础过关 1.D2.解：如图， AF即为所求。3.C4.解：：点P为△ABC三边垂直 B 平分线的交点，，.PA=PC=PB。∴.∠PAB=∠PBA,∠PAC=∠PCA=18°，∠PBC= ∠PCB=32。∴∠PAB=2180-2∠PAC-2∠PCB)=号×(180°-2X18°-2X32) =40°。5.C6.解：如图， 点P即为所求。 能力提升 7.D8.B9.1210.解：(1)如图， 直线MN即为所求。(2)：∠A=32, AB=AC,∠ABC=∠ACB=2(I80°-∠A)=74°。MN垂直平分AB,BD=AD。 ∴∠ABD=∠A=32°。∴.∠DBC=∠ABC-∠ABD=42°。 思维拓展 11.(1)证明：连接PB,PC。PE垂直平分AB,PM垂直平分AC,.PA=PB,PA=PC。 PB=PC。∴点P在线段BC的垂直平分线上。(2)证明：：PE垂直平分AB,PA= PB,FA=FB。∴.∠PAB=∠PBA,∠FAB=∠FBA。∴.∠PAB-∠FAB=∠PBA ∠FBA,即∠PAF=∠PBF。同理，得∠PAN=∠PCN。由(I),得PB=PC,.∠PBF= ∠PCN。∠PAF=∠PAN,即AP平分∠FAN。(3)解：18Oe 2 5角平分线 第1课时角平分线的性质与判定 新知梳理 ①相等②平分线 例题引路 【例1】证明：：∠C=90°，DE⊥AB,AD是∠BAC的平分线，∴.DE=DC,∠C=∠DEB= DE=DC. 90°。在△DEB和△DCF中，∠DEB=∠C,.△DEB≌△DCF(SAS)。.BD=FD. BE=FC, 【例2】证明：：BE⊥AC,CF⊥AB,∴.∠BFD=∠CED=90°。在△BDF和△CDE中， ∠BFD=∠CED, ∠FDB=∠EDC,∴.△BDF≌△CDE(AAS)。∴.DF=DE。又.DF⊥AB,DE⊥AC, BD=CD, .AD平分∠BAC。 基础过关 1.B2.C3.44.D5.证明：DE⊥AB,DF⊥AC,.∠BED=∠CFD=90°。.D是 BC的中点品BD=CD,在Rt△BDE和Rt△CDF中，BECP·R1△BDE② Rt△CDF(HL)。.DE=DF。DE⊥AB,DF⊥AC,.AD平分∠BAC。 第7页（共48页） 能力提升 6.C7.解：如图， 点M即为所求。8.证明：过点D作DE⊥AB于点E,则 B ∠AED=90°=∠C。.'AD平分∠CAB,DC⊥AC,.CD=DE。∠ACD=∠AED=90°， AD=AD,.Rt△ADC≌Rt△ADE(HL)。.AC=AE。:△ABC是等腰直角三角形， ∠B=45°。∠BDE=90°-∠B=45°。.DE=EB。.CD=EB。AB=AE+EB= AC+CD. 思维拓展 9.【定理】解：AC平分∠BAD【运用】证明：过点C作CM⊥AB于点M,过点C作CN1 AD交AD的延长线于点N。,CN⊥AD,CM⊥AB,∴∠N=∠BMC=90°。，∠BAD十 ∠BCD=180°，∴∠ADC+∠B=180°。：∠CDN+∠ADC=180°，.∠B=∠CDN。:BC= CD,∴.△CBM≌△CDN(AAS)。.CM=CN。.'CN⊥AD,CM⊥AB,∴.AC平分∠BAD。 专题六利用角平分线构造全等三角形解题【通性通法】 L.证明：过点C作CF⊥AB于点F,则∠AFC=90°。：∠D=90°，.CD⊥AD。:AC平分 D,.CD=CE。在R△ADC和R△AFC中，{CD=CE,·RIAADC≌Rt△AFC AD=AF。同理，得BF=BE,∴AB=AF+BF=AD十BE。【变式题·一题多解】证法 (BC=FC, 一：证明：在△BCE和△FCE中，∠BCE=∠FCE,∴.△BCE≌△FCE(SAS)。∴.∠B= CE=CE, ∠CFE。'AD∥BC,∠A+∠B=180°。∴.∠A+∠CFE=180°。：∠CFE+∠DFE= M∠A=∠DFE, 18O°，∴.∠A=∠DFE。在△ADE和△FDE中，∠ADE=∠FDE,.△ADE≌ DE=DE, △FDE(AAS)。∴.AD=FD。∴.CD=FD十FC=AD十BC。证法二：证明：在△DME和 (MD=CD, △DCE中，∠MDE=∠CDE,∴.△DME≌△DCE(SAS)。.ME=CE,∠M=∠DCE DE-DE. ∠DCE=∠BCE,∴.∠M=∠BCE。'AD∥BC,.∠MAE=∠B。在△AME和△BCE I∠M=∠BCE, 中，∠MAE=∠B,.△AME≌△BCE(AAS)。..AM=BC。..CD=MD=AD+AM= ME=CE, AD十BC。2.证明：过点E作EF⊥BC于点F,则∠BFE=∠CFE=90°。：BD平分 ∠ABC,EA⊥AB,∴.EA=EF,∠BAE=∠BFE=9O°。在Rt△ABE和Rt△FBE中， BE=BE:R△ABE≌R△FBE(HL)∴AB=FB。:EB=EC,EF⊥BC,FB=FC。 EA=EF, .BC=2FB=2AB。 第2课时三角形的三条角平分线 基础过关 1.C2.25°3.证明：设AG,BM交于点P,过点P分别作PD⊥AB于点D,PE⊥BC于点 E,PF⊥AC于点F。:AG平分∠BAC,BM平分∠ABC,∴.PD=PF,PD=PE。∴.PE= PF。∴.点P在∠ACB的平分线CN上。.AG,BM,CN交于一点。4.解：作三角形三条 角平分线的交点即可。如图， 点O即是小亭的中心位置。 能力提升 5.D6.47.解：1)9(2)0H=0A。理由如下：过点0作OG⊥AB于点G,0QLAC 于点Q。BO平分∠ABC,OH⊥BC,OG⊥AB,∴.OH=OG。同理可得OH=OQ。∴.OG =OQ。∴A0平分∠BAC∠GA0=∠BAC=30.0G=20A.即0H=20A. 专题七巧构等腰三角形的几种常见技巧【通性通法】 1.D2.(1)115°(2)133.证法一：证明：CA=CB,∠A=∠B。DM∥AB, .∠CDM=∠A,∠M=∠B。∴.∠CDM=∠M。CD=CE,∴.∠CDE=∠CED。 :'∠CDM+∠M+∠CDE+∠CED=180°，∴.∠CDM+∠CDE=90°，即∠EDM=90° .DE⊥DM。DM∥AB,.DE⊥AB。证法二：证明：：CD=CE,∴∠CDE=∠CED。 BN∥DE,∠N=∠CDE,∠CBN=∠CED。.∠CBN=∠N。CA=CB,∴∠A= ∠ABC。:∠A+∠ABC+∠CBN+∠N=180°，∴.∠ABC+∠CBN=90°，即∠ABN= 90°。BN⊥AB。:BN∥DE,.DE⊥AB。4.证明：过点E作EG∥AC,交BC于点G, 则∠BGE=∠ACB,∠GED=∠F。:AB=AC,∠ACB=∠B。∴∠B=∠BGE。∴.BE ∠GED=∠F, =EG。在△GDE和△CDF中，DE=DF, .△GDE≌△CDF(ASA)。.EG= ∠EDG=∠FDC, 第8页（共48页） CF。.BE=CF。5.26.D7.40°8.(1)证明：延长DB到F,使BF=BA,连接AF。 BF=BA,∴∠F=∠BAF。:∠ABC=∠F+∠BAF,∠ABC=2∠F。:∠ABC= 2∠C,∠F=∠C。∴AF=AC。AD⊥BC于点D,FD=CD,即FB+BD=CE+DE。 BF=BA,AE为BC边上的中线，即BE=CE,.BE十DE=AB十BD。(2)解：BE十DE =AB+BD,BD=2,DE=3,.(2+3)+3=AB+2。.AB=6。 问题解决策略：反思 1.解：ACCM=BN证明：CM是AB边上的中线，BN是AC边上的中线，.AM ∈2AC。:AB=AC,AM=AV。F∠A=∠A,·△AMC≌2 CM=BN。【变式题1】3【变式题2】3【归纳总结】相等【进阶反思】相等 【策略运用D2.解：如图所示，（④（⑦）（①6一②-⑤一（③17-4+ 11-71+|6-1+12-61+|5-21+|3-5|=3+6+5十4+3+2=23。（答案不唯-一） 【变式题1】24【变式题2】40 第一章章末复习 思维导图 180°不相邻大于(n一2)·180°360°等角等边60°相等60°一半相等 相等 考点整合 1.C2.45°3.解：(1)：∠BCD=10°，∠AEB=75°，∴.∠CFE=∠AEB-∠BCD=75°- 10°=65。∠AFD=∠CFE=65°。：CD是△ABC的高线，.∠ADC=90°。.∠BAE =90°-∠AFD=25°。(2)AE平分∠BAC,∠BAC=2∠BAE=50°。.∠ACD=90°- ∠DAC=40°。4.C5.AD=AB(答案不唯一)6.B7.B8.B9.(1)解：：△ABC 是等边三角形，∴∠A=∠B=∠ACB=60°。：DE∥AB,∴.∠EDC=∠B=60°。EF⊥ DE,∴.∠DEF=90°。∴∠F=90°-∠EDC=90°-60°=30°。(2)证明：：∠F+∠FEC= ∠ECD=60°，∠F=30°，.∠FEC=30°=∠F。.CE=CF。.△CEF是等腰三角形。 10.A11.1.212.D13.(1)证明：连接BP,CP。点P在BC的垂直平分线上，BP =CP。:AP是∠DAC的平分线，PD⊥AB,PE⊥AC,PD=PE。在Rt△BDP和 R△CEP中，BP=CP:R△BDP2R△CEP(HL)。BD=CE。(2)解：在R△ADP PD=PE, 和R△AEP中，{APER△ADP≌Rt△AEP(HL)。·AD=AE。:AB=6cm AC=10cm,.6+AD=10-AE,即6+AD=10-AD。.AD=2cm。 聚焦课标 14.任务1：解：△ACD和△CBD△CBD和△ABC(答案不唯一)任务2：证明：.∠A= 40°，∠B=60°，.∠ACB=180°-∠A-∠B=80°。.在△ABC中，CD为角平分线， .∠ACD=∠BCD=40°。.∠ACD=∠A。.CD=AD。.△ACD是等腰三角形。 ∠ADC=180°-∠A-∠ACD=180°-40°-40°=100°，∴.∠BDC=180°-100°=80°。 ∴∠BDC=∠ACB。又：∠B=∠B,∠BCD=∠A,△ABC与△CBD是“等角三角形”。 .CD是△ABC的“等角分割线”。任务3：解：84°或111°或92°或106°。（写出其中任何一 个即可)[解析：根据题意可知，分以下六种情况讨论：①当△ACD是等腰三角形，CD=AD 时，∠BCD=∠ACD=∠A=42°，∴.∠ACB=∠ACD十∠BCD=84°；②当△ACD是等腰三 角形，AC=AD时，∠ADC=∠ACD=69°，∠BCD=∠A=42°，∴.∠ACB=∠ACD+ ∠BCD=111°；③当△ACD是等腰三角形，CD=AC时，不符合题意，舍去；④当△BCD是 等腰三角形，CD=BD时，∠ACD=∠B=∠BCD,∠B=180°？∠A=46。÷∠ACB= 3 180°-∠A-∠B=92°：⑤当△BCD是等腰三角形，BC=BD时，∠ACD=∠B,∠BCD= ∠BDC=∠A+∠ACD=42°+∠B,∴.在△BCD中，42°+∠B+42°+∠B+∠B=180°。 ∴∠B=32°，∠ACB=180°-∠A-∠B=106°；⑥当△BCD是等腰三角形，CB=CD时，不 符合题意，舍去。综上所述，∠ACB的度数为84°或111°或92°或106] 第二章不等式与不等式组 1不等式及其性质 第1课时不等关系 基础过关 1.D2.D3.B4.x2+y2≤105.解：(1)x2≥0。(2)-x-1≥2。(3)x十17<5x。 (4)4m>5π。 能力提升 10+m>10 6.C7.100+m>100 8.解：(1)根据题意，得3x十2(10-x)>25。(2)根据题意，得3 400x十2×700(10-x)≥12000。 第2课时不等式的解与解集 基础过关 A2个B3.2x<6(答案不唯-）4.C5.C6.解：1)方0广方 (2) -5-4-3-2-101 第9页（共48页）