5 第1课时 角平分线的性质与判定&专题6 利用角平分线构造全等三角形解题-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年八年级下册数学（北师大版·新教材）贵州专版

5 角平分线 第1课时 角平分线的性质与判定 【名师导学 ，预习先知 【基础过关 ◆·◆逐点击破 新知梳理 知识点1角平分线的性质定理 ①定理：角平分线上的点到这个角的两 1.如图，OC为∠AOB的平分线，CM⊥OB,CM=6,则点C 边的距离 ②定理：在一个角的内部，到角的两边距离 到射线OA的距离为 相等的点在这个角的 上 A.3 B.6 C.9 D.12 ☑例题引路 A 【例1】如图，在 △ABC中，∠C= 90°，AD是∠BACA 的平分线，DE⊥AB于点E,点F在 (第1题图) (第2题图) (第3题图) AC上，且BE=CF。求证：BD=FD。2.如图，在△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC,交AC于 【名师点拔】只需证明△DEB≌△DCF 点D,DE⊥AB于点E。若AC=15,AD=9,则DE的长 即可。 【学生解答】 为 () A.9 B.7 C.6 D.5 3.如图，在△ABC中，AD是角平分线，DELAB于点E,DFL AC于点F,DE=2,AC=4,则△ADC的面积为 知识点2角平分线的判定定理 4.(2025·毕节期末)如图，C为∠AOB内部 一点，且点C到AO的距离与点C到OB 的距离相等，连接OC。若∠AOC=21°，则 【例2】如图，已知 BE⊥AC,CF⊥AB, ∠BOC的度数为 垂足分别为E,F, A.42° B.30° C.259 D.21° BE,CF相交于点D, A 5.(教材P44习题T1变式)如图，在△ABC中，D是BC的中 BD=CD。求证：AD平分∠BAC。 点，DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F,BE=CF。 【名师点拨】要证AD平分∠BAC,只 需证明DE=DF,此时只需证明 求证：AD平分∠BAC。 △BDF≌△CDE即可， 【学生解答】 第一章三角形的证明及其应用27 夏能力提升 ◆·整合运用 ■思维拓展 ◆◆，强化素养 6.将两把宽度相同的直尺按如图所示的方式 9.【定理】如图①，因为CB⊥AB于点B,CD」 摆放，两把直尺的接触点记为点P,其中一 AD于点D,CB=CD,所以 把直尺的边缘与射线OA重合，另一把直尺 【运用】如图②，在四边形ABCD中，∠BAD+ 的下边缘与射线OB重合。若∠AOB=54°， ∠BCD=180°，BC=CD,求证：AC平分 则∠AOP的度数为 ∠BAD: A.54° B.36° C.27° D.26° 图① 图② 7.(教材P41随堂练习T1变式)如图，铁路OA 和OB交于点O处，河道AB与铁路分别交 于A处和B处。试在河岸上AB之间建一 座水厂M,要求水厂M到铁路OA,OB的距 离相等，则该水厂M应建在图中什么位置？ 请在图中标出水厂M的位置。（不写作法， 保留作图痕迹) ò 8.(教材P44习题T2变式)如图，AD是等腰 直角三角形ABC的底角平分线，∠C=90°。 求证：AB=AC+CD。 28数学Ⅲ八年级下册(BS) 专题六利用角平分线构造全等三角形解题【通性通法】 模型呈现及分析： 证法二（补短法）：延长DA到点M,使MD= (1)如图，OP是∠MON的平分线，PA⊥OM于点A。 CD,连接EM。(请将证明过程补充完整) M 作PB⊥ON 于点B 结论：PA=PB,△AOP≌△BOP; (2)如图，OP是∠MON的平分线，A是射线OM上 任意一点。 在OW上截取 OB=OA,连接PB 结论：△AOP≌△BOP。 本质：“角平分线十截长补短法”构造全等三角形。 1.如图，∠D=∠E=90°，AC,BC分别平分 ∠BAD,∠ABE,点C在线段DE上，求证： AB=AD+BE。 2.如图，在△ABC中，BD平分∠ABC,E是 BD上一点，EA⊥AB于点A,且EB=EC。 求证：BC=2AB。 【变式题·一题多解】如图，AD∥BC,点E 在线段AB上，∠ADE=∠CDE,∠DCE= ∠BCE。求证：CD=AD+BC。 证法一（截长法）：在CD上取点F,使FC= BC,连接EF。(请将证明过程补充完整) 第一章三角形的证明及其应用29(2)△ADE≌△FCE,AE=EF。又：BE⊥AF,∴BE是线段AF的垂直平分线。 AB=BF=BC+CF。AD=CF,AB=BC十AD。9.(1)证明：连接AE。EF是 AB的垂直平分线，∴AE=BE。:AD⊥BC,且D为CE的中点，AD是CE的垂直平分 线。∴AE=AC。.BE=AC。(2)解：：AE=BE,∠BAE=∠B=35°。∠AEC=∠B +∠BAE=70°。AE=AC,∴.∠C=∠AEC=70°。.∠BAC=180°-∠B-∠C=75°。 思维拓展 10.A 第2课时三角形三边的垂直平分线 例题引路 【例1】证明：连接OA,OB,OC。,点O在AB,BC的垂直平分线上，.OA=OB=OC。.点 O在AC的垂直平分线上。【例2】解：如图所示：M4 ①作BC=a,并作其垂直平分 线MN交BC于点D:②在DM上截取DA=b:③连接AB,AC,则△ABC即为所求。 基础过关 1.D2.解：如图， AF即为所求。3.C4.解：：点P为△ABC三边垂直 B 平分线的交点，，.PA=PC=PB。∴.∠PAB=∠PBA,∠PAC=∠PCA=18°，∠PBC= ∠PCB=32。∴∠PAB=2180-2∠PAC-2∠PCB)=号×(180°-2X18°-2X32) =40°。5.C6.解：如图， 点P即为所求。 能力提升 7.D8.B9.1210.解：(1)如图， 直线MN即为所求。(2)：∠A=32, AB=AC,∠ABC=∠ACB=2(I80°-∠A)=74°。MN垂直平分AB,BD=AD。 ∴∠ABD=∠A=32°。∴.∠DBC=∠ABC-∠ABD=42°。 思维拓展 11.(1)证明：连接PB,PC。PE垂直平分AB,PM垂直平分AC,.PA=PB,PA=PC。 PB=PC。∴点P在线段BC的垂直平分线上。(2)证明：：PE垂直平分AB,PA= PB,FA=FB。∴.∠PAB=∠PBA,∠FAB=∠FBA。∴.∠PAB-∠FAB=∠PBA ∠FBA,即∠PAF=∠PBF。同理，得∠PAN=∠PCN。由(I),得PB=PC,.∠PBF= ∠PCN。∠PAF=∠PAN,即AP平分∠FAN。(3)解：18Oe 2 5角平分线 第1课时角平分线的性质与判定 新知梳理 ①相等②平分线 例题引路 【例1】证明：：∠C=90°，DE⊥AB,AD是∠BAC的平分线，∴.DE=DC,∠C=∠DEB= DE=DC. 90°。在△DEB和△DCF中，∠DEB=∠C,.△DEB≌△DCF(SAS)。.BD=FD. BE=FC, 【例2】证明：：BE⊥AC,CF⊥AB,∴.∠BFD=∠CED=90°。在△BDF和△CDE中， ∠BFD=∠CED, ∠FDB=∠EDC,∴.△BDF≌△CDE(AAS)。∴.DF=DE。又.DF⊥AB,DE⊥AC, BD=CD, .AD平分∠BAC。 基础过关 1.B2.C3.44.D5.证明：DE⊥AB,DF⊥AC,.∠BED=∠CFD=90°。.D是 BC的中点品BD=CD,在Rt△BDE和Rt△CDF中，BECP·R1△BDE② Rt△CDF(HL)。.DE=DF。DE⊥AB,DF⊥AC,.AD平分∠BAC。 第7页（共48页） 能力提升 6.C7.解：如图， 点M即为所求。8.证明：过点D作DE⊥AB于点E,则 B ∠AED=90°=∠C。.'AD平分∠CAB,DC⊥AC,.CD=DE。∠ACD=∠AED=90°， AD=AD,.Rt△ADC≌Rt△ADE(HL)。.AC=AE。:△ABC是等腰直角三角形， ∠B=45°。∠BDE=90°-∠B=45°。.DE=EB。.CD=EB。AB=AE+EB= AC+CD. 思维拓展 9.【定理】解：AC平分∠BAD【运用】证明：过点C作CM⊥AB于点M,过点C作CN1 AD交AD的延长线于点N。,CN⊥AD,CM⊥AB,∴∠N=∠BMC=90°。，∠BAD十 ∠BCD=180°，∴∠ADC+∠B=180°。：∠CDN+∠ADC=180°，.∠B=∠CDN。:BC= CD,∴.△CBM≌△CDN(AAS)。.CM=CN。.'CN⊥AD,CM⊥AB,∴.AC平分∠BAD。 专题六利用角平分线构造全等三角形解题【通性通法】 L.证明：过点C作CF⊥AB于点F,则∠AFC=90°。：∠D=90°，.CD⊥AD。:AC平分 D,.CD=CE。在R△ADC和R△AFC中，{CD=CE,·RIAADC≌Rt△AFC AD=AF。同理，得BF=BE,∴AB=AF+BF=AD十BE。【变式题·一题多解】证法 (BC=FC, 一：证明：在△BCE和△FCE中，∠BCE=∠FCE,∴.△BCE≌△FCE(SAS)。∴.∠B= CE=CE, ∠CFE。'AD∥BC,∠A+∠B=180°。∴.∠A+∠CFE=180°。：∠CFE+∠DFE= M∠A=∠DFE, 18O°，∴.∠A=∠DFE。在△ADE和△FDE中，∠ADE=∠FDE,.△ADE≌ DE=DE, △FDE(AAS)。∴.AD=FD。∴.CD=FD十FC=AD十BC。证法二：证明：在△DME和 (MD=CD, △DCE中，∠MDE=∠CDE,∴.△DME≌△DCE(SAS)。.ME=CE,∠M=∠DCE DE-DE. ∠DCE=∠BCE,∴.∠M=∠BCE。'AD∥BC,.∠MAE=∠B。在△AME和△BCE I∠M=∠BCE, 中，∠MAE=∠B,.△AME≌△BCE(AAS)。..AM=BC。..CD=MD=AD+AM= ME=CE, AD十BC。2.证明：过点E作EF⊥BC于点F,则∠BFE=∠CFE=90°。：BD平分 ∠ABC,EA⊥AB,∴.EA=EF,∠BAE=∠BFE=9O°。在Rt△ABE和Rt△FBE中， BE=BE:R△ABE≌R△FBE(HL)∴AB=FB。:EB=EC,EF⊥BC,FB=FC。 EA=EF, .BC=2FB=2AB。 第2课时三角形的三条角平分线 基础过关 1.C2.25°3.证明：设AG,BM交于点P,过点P分别作PD⊥AB于点D,PE⊥BC于点 E,PF⊥AC于点F。:AG平分∠BAC,BM平分∠ABC,∴.PD=PF,PD=PE。∴.PE= PF。∴.点P在∠ACB的平分线CN上。.AG,BM,CN交于一点。4.解：作三角形三条 角平分线的交点即可。如图， 点O即是小亭的中心位置。 能力提升 5.D6.47.解：1)9(2)0H=0A。理由如下：过点0作OG⊥AB于点G,0QLAC 于点Q。BO平分∠ABC,OH⊥BC,OG⊥AB,∴.OH=OG。同理可得OH=OQ。∴.OG =OQ。∴A0平分∠BAC∠GA0=∠BAC=30.0G=20A.即0H=20A. 专题七巧构等腰三角形的几种常见技巧【通性通法】 1.D2.(1)115°(2)133.证法一：证明：CA=CB,∠A=∠B。DM∥AB, .∠CDM=∠A,∠M=∠B。∴.∠CDM=∠M。CD=CE,∴.∠CDE=∠CED。 :'∠CDM+∠M+∠CDE+∠CED=180°，∴.∠CDM+∠CDE=90°，即∠EDM=90° .DE⊥DM。DM∥AB,.DE⊥AB。证法二：证明：：CD=CE,∴∠CDE=∠CED。 BN∥DE,∠N=∠CDE,∠CBN=∠CED。.∠CBN=∠N。CA=CB,∴∠A= ∠ABC。:∠A+∠ABC+∠CBN+∠N=180°，∴.∠ABC+∠CBN=90°，即∠ABN= 90°。BN⊥AB。:BN∥DE,.DE⊥AB。4.证明：过点E作EG∥AC,交BC于点G, 则∠BGE=∠ACB,∠GED=∠F。:AB=AC,∠ACB=∠B。∴∠B=∠BGE。∴.BE ∠GED=∠F, =EG。在△GDE和△CDF中，DE=DF, .△GDE≌△CDF(ASA)。.EG= ∠EDG=∠FDC, 第8页（共48页） CF。.BE=CF。5.26.D7.40°8.(1)证明：延长DB到F,使BF=BA,连接AF。 BF=BA,∴∠F=∠BAF。:∠ABC=∠F+∠BAF,∠ABC=2∠F。:∠ABC= 2∠C,∠F=∠C。∴AF=AC。AD⊥BC于点D,FD=CD,即FB+BD=CE+DE。 BF=BA,AE为BC边上的中线，即BE=CE,.BE十DE=AB十BD。(2)解：BE十DE =AB+BD,BD=2,DE=3,.(2+3)+3=AB+2。.AB=6。 问题解决策略：反思 1.解：ACCM=BN证明：CM是AB边上的中线，BN是AC边上的中线，.AM ∈2AC。:AB=AC,AM=AV。F∠A=∠A,·△AMC≌2 CM=BN。【变式题1】3【变式题2】3【归纳总结】相等【进阶反思】相等 【策略运用D2.解：如图所示，（④（⑦）（①6一②-⑤一（③17-4+ 11-71+|6-1+12-61+|5-21+|3-5|=3+6+5十4+3+2=23。（答案不唯-一） 【变式题1】24【变式题2】40 第一章章末复习 思维导图 180°不相邻大于(n一2)·180°360°等角等边60°相等60°一半相等 相等 考点整合 1.C2.45°3.解：(1)：∠BCD=10°，∠AEB=75°，∴.∠CFE=∠AEB-∠BCD=75°- 10°=65。∠AFD=∠CFE=65°。：CD是△ABC的高线，.∠ADC=90°。.∠BAE =90°-∠AFD=25°。(2)AE平分∠BAC,∠BAC=2∠BAE=50°。.∠ACD=90°- ∠DAC=40°。4.C5.AD=AB(答案不唯一)6.B7.B8.B9.(1)解：：△ABC 是等边三角形，∴∠A=∠B=∠ACB=60°。：DE∥AB,∴.∠EDC=∠B=60°。EF⊥ DE,∴.∠DEF=90°。∴∠F=90°-∠EDC=90°-60°=30°。(2)证明：：∠F+∠FEC= ∠ECD=60°，∠F=30°，.∠FEC=30°=∠F。.CE=CF。.△CEF是等腰三角形。 10.A11.1.212.D13.(1)证明：连接BP,CP。点P在BC的垂直平分线上，BP =CP。:AP是∠DAC的平分线，PD⊥AB,PE⊥AC,PD=PE。在Rt△BDP和 R△CEP中，BP=CP:R△BDP2R△CEP(HL)。BD=CE。(2)解：在R△ADP PD=PE, 和R△AEP中，{APER△ADP≌Rt△AEP(HL)。·AD=AE。:AB=6cm AC=10cm,.6+AD=10-AE,即6+AD=10-AD。.AD=2cm。 聚焦课标 14.任务1：解：△ACD和△CBD△CBD和△ABC(答案不唯一)任务2：证明：.∠A= 40°，∠B=60°，.∠ACB=180°-∠A-∠B=80°。.在△ABC中，CD为角平分线， .∠ACD=∠BCD=40°。.∠ACD=∠A。.CD=AD。.△ACD是等腰三角形。 ∠ADC=180°-∠A-∠ACD=180°-40°-40°=100°，∴.∠BDC=180°-100°=80°。 ∴∠BDC=∠ACB。又：∠B=∠B,∠BCD=∠A,△ABC与△CBD是“等角三角形”。 .CD是△ABC的“等角分割线”。任务3：解：84°或111°或92°或106°。（写出其中任何一 个即可)[解析：根据题意可知，分以下六种情况讨论：①当△ACD是等腰三角形，CD=AD 时，∠BCD=∠ACD=∠A=42°，∴.∠ACB=∠ACD十∠BCD=84°；②当△ACD是等腰三 角形，AC=AD时，∠ADC=∠ACD=69°，∠BCD=∠A=42°，∴.∠ACB=∠ACD+ ∠BCD=111°；③当△ACD是等腰三角形，CD=AC时，不符合题意，舍去；④当△BCD是 等腰三角形，CD=BD时，∠ACD=∠B=∠BCD,∠B=180°？∠A=46。÷∠ACB= 3 180°-∠A-∠B=92°：⑤当△BCD是等腰三角形，BC=BD时，∠ACD=∠B,∠BCD= ∠BDC=∠A+∠ACD=42°+∠B,∴.在△BCD中，42°+∠B+42°+∠B+∠B=180°。 ∴∠B=32°，∠ACB=180°-∠A-∠B=106°；⑥当△BCD是等腰三角形，CB=CD时，不 符合题意，舍去。综上所述，∠ACB的度数为84°或111°或92°或106] 第二章不等式与不等式组 1不等式及其性质 第1课时不等关系 基础过关 1.D2.D3.B4.x2+y2≤105.解：(1)x2≥0。(2)-x-1≥2。(3)x十17<5x。 (4)4m>5π。 能力提升 10+m>10 6.C7.100+m>100 8.解：(1)根据题意，得3x十2(10-x)>25。(2)根据题意，得3 400x十2×700(10-x)≥12000。 第2课时不等式的解与解集 基础过关 A2个B3.2x<6(答案不唯-）4.C5.C6.解：1)方0广方 (2) -5-4-3-2-101 第9页（共48页）