4 第1课线 段垂直平分线的性质与判定-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年八年级下册数学（北师大版·新教材）贵州专版

△AEF。线段EF和EB,FC之间的数量关系为EF=EB十FC。(3)还有等腰三角形，即 △BOE和△COF。(2)中EF=EB+FC仍然成立。理由如下：，BO平分∠ABC,CO平分 ∠ACB,∴.∠EBO=∠CBO,∠FCO=∠BCO。又：EF∥BC,∴∠EOB=∠CBO,∠FOC= ∠BCO,∴.∠EBO=∠EOB,∠FOC=∠FCO,∴.BE=EO,FO=FC,∴.EF=EO+FO= EB+FC。【变式】21 专题三活用等腰三角形的“三线合一”巧解题【回归教材】 1.证明：连接AD。:△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，∴∠B=∠C=45°。：D为 BC中点，AD⊥BC,AD平分∠BAC。∴∠EAD=∠CAD=∠C=45°。∴.AD=CD。在 AE=CF, △ADE和△CDF中，∠EAD=∠C,△ADE≌△CDF(SAS)。∴.DE=DF。2.证明： AD=CD, 连接BD。:在等边三角形ABC中，点D是AC的中点，∠DBC=号∠ABC=令×60° 30°，∠ACB=60°。CE=CD,∠CDE=∠E。:∠ACB=∠CDE+∠E,2∠E=60。 ∠E=30°。∴∠DBC=∠E=30°。BD=ED。△BDE为等腰三角形。又DM⊥ BC,∴.BM=EM。3.证明：过点A作AE⊥BC于点E。∠CAE十∠C=90°。AB= AC,÷∠CAE=∠BAC。:BD⊥AC,·∠DBC+∠C=90。·∠DBC=∠CAE。 :∠DBC=方∠BAC。4.证明：过点A作AMLBC于点M。AB=AC,∠BAC 2∠BAM。:AD=AE,.∠ADE=∠E。∴∠BAC=∠ADE+∠E=2∠E。∠BAM= ∠E。DE∥AM。AM⊥BC,.DE⊥BC。5.证明：连接AC,AD。在△ABC和 AB=AE, △AED中，∠B=∠E,∴△ABC≌△AED(SAS),AC=AD。又，点F是CD的中点， BC=ED, .AF⊥CD 专题四等腰三角形中易漏解或多解问题【易错】 1.C2.103.94°【变式题1】50°或65°【变式题2】50°或65°或80°4.25°或40° 5.120或75°或30°6.34°或28°或22°7.65°或25°8.20°9.D10.C 第3课时等边三角形的判定与含30°角的直角三角形的性质 新知梳理 ①三260°3一半 例题引路 【例1】解：△DEF是等边三角形。理由如下：：△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB =∠CAB=60°。：∠1=∠2=∠3，∴.∠DFE=∠3+∠FAC=∠1+∠FAC=∠CAB= 60°。同理，得∠DEF=∠EDF=60°，∴.△DEF是等边三角形。 易错典例 【例21号 基础过关 1.D2.∠B=60°（答案不唯一）3.证明：DC=DB,·∠DCB=∠B=30°。.∠ADC= ∠DCB+∠B=30°+30°=60°。又：AD=DC,.△ADC是等边三角形。4.35.66.2 能力提升 7.D8.B9.√310.(1)证明：AB=AC,.∠B=∠C。FE⊥BC,.∠CEF=90。 ∠F+∠C=90,∠BDE+∠B=90°。∠F=∠BDE。:∠BDE=∠FDA,∴.∠F= ∠FDA。∴AF=AD。.△ADF是等腰三角形。(2)解：：DE⊥BC,∠DEB=90°。 :∠B=60,∴∠BDE=90-∠B=90-60=30。BE=号BD=号×6=3。：AB= AC,∠B=60,.△ABC是等边三角形。.BC=AB=AD十BD=3+6=9。∴.EC=BC BE=9-3=6。 思维拓展 11.解：(1)△BDF是等边三角形。证明如下：∠B=60°，DE∥BC,∴∠ADE=∠B=60。 由折叠可得∠FDE=∠ADE=60°，..∠BDF=60°。∴.∠DFB=180°-∠B-∠BDF= 60°。∴.△BDF是等边三角形。(2)分两种情况讨论：①如答图①，当∠BFD=90时，点F 在△ABC内，：∠BDF=60°，∴.∠DBF=30°。∴.BD=2DF。由折叠得DF=AD,∴.BD= 2AD。.3AD=9。.AD=3。②如答图②，当∠DBF=90°时，点F在△ABC外，同理可得 AD=DF=2BD,∴.AD=6。综上所述，AD的长为3或6。 答图① 答图② 第4页（共48页） 3直角三角形 第1课时直角三角形的性质与判定 新知梳理 ①互余直角三角形②平方和③直角④互逆命题逆命题逆定理 例题引路 【例】解：(1)：∠ACB=37°，∠BAC=53°，∠B=180°-∠ACB-∠BAC=180°-37°-53° =90°。.AC=√AB+BC=√32+4=5。(2)：AC+CD=25+144=169,AD= 169,.AC+CD=AD。.∠ACD=90°。.∠BCD=∠ACD+∠ACB=127°。 基础过关 1,A2.2.43.C4.(1)解：在Rt△ACD中，由勾股定理，得AD=√AC-CD= VP-(得)=9。(2)证明：在R△BCD中，由勾股定理，得BD=√C一CD- V3-(号)=号.∴AB=AD+BD=9+号-5。：+3=5，即AC+BC=AB, 51 .△ABC是直角三角形。5.D6.真 能力提升 7.A8.3J39.解：逆命题：如果一个三角形的两个角的平分线所夹的锐角是45°，那么这 个三角形是直角三角形。已知：如图， 在△ABC中，BE是∠ABC的平分 D B 线，交AC于点E,AD是∠BAC的平分线，交BC于点D,BE和AD相交于点O,且∠AOE =45°。求证：△ABC是直角三角形。证明：：BE是∠ABC的平分线，AD是∠BAC的平 分线，∠OAB=合∠BAC,∠OBA=号∠ABC.∠OAB+∠OBA=号（∠BAC+ 1 ∠ABC。∠A0E=2(180-∠C)。又：∠A0E=45,:∠C=S0。△ABC是直角 三角形。10.解：(1)AD⊥BC。理由如下：：AB=13m,AD=12m,BD=5m,∴AB= 169,AD2+BD=144+25=169。.AB2=AD+BD。.∠ADB=90°。∴AD⊥BC。 (2):AC=15m,AD=12m,∠ADC=∠ADB=90°，∴.CD=√15-12=9(m)。∴.BC= CD十BD=9+5=14(m。∴劳动场地△ABC的面积为2×14X12=84(m)。 思维拓展 .或号 4 第2课时直角三角形全等的判定 新知梳理 ①HL 例题引路 【例I】证明：连接AD。DF⊥AB,DE⊥AC,∠DFA=∠DEA=90°。在Rt△ADF和 △ADE中，AP二AP,R△ADF≌R△ADECHL,DF=DE。yD是BC的中点 .DB=DC。在Rt△DBF和Rt△DCE中， DE=DE,·Rt△DBF≌Rt△DCE(H), ∴∠B=∠C,.AB=AC。 易错典例 【例2】C 基础过关 1.B2.B3.证明：：∠1=∠2，∴.DE=CE。:∠A=∠B=90°，∴.△ADE和△BEC是直 角三角形。在R△ADE和R:△BEC中，DE=EC:R△ADE≌R△BEC(HL)。 AD=BE, 4.C5.证明：：EF⊥AC,∠F+∠C=90°。∠ABC=90°，∴∠A十∠C=90°。∠A ∠F=∠A, =∠F。在△FBD和△ABC中，J∠FBD=∠ABC=90°，∴.△FBD≌△ABC(AAS)。 BD=BC, :.BF=AB 能力提升 B7.78,5或109.D证明：在R△ABE和R△CBF中，AB=CB,·Rt△AB Rt△CBF(HL)。(2)解：：Rt△ABE≌Rt△CBF,∠BCF=∠BAE=23°。：AB=BC, ∠ABC=90°，.∠ACB=45°。∴.∠ACF=∠BCF+∠ACB=23°+45°=68。 思维拓展 10.证明：(1)'AD是△ABC的中线，.BD=CD。'BE⊥AD,CF⊥AD,∴.∠BED=∠F 第5页（共48页） ∠BED=∠F =90°。在△BED和△CFD中，∠BDE=∠CDF,.△BED≌△CFD(AAS)。∴.BE= BD=CD. CF。(2)在Rt△BGE和Rt△CAF中， 中，BEC,R△BGE≌R△CAF(HL)。GE= AF。∴GE-AE-AF-AE,即AG=EF。由(I)知△BED≌△CFD,DE=DF=合EF。 .AG=EF=2DE。 专题五共顶点的等腰三角形一手拉手模型【回归教材】 1.证明：：BA=BC,BD=BE,∴.∠BAC=∠BCA,∠BDE=∠BED。∴.∠ABC=180° ∠BAC-∠BCA=180°-2∠BAC,∠DBE=180°-∠BDE-∠BED=180°-2∠BDE。 :∠BAC=∠BDE,∴∠ABC=∠DBE。∴.∠ABC+∠CBD=∠DBE+∠CBD,即∠ABD BA=BC, =∠CBE。在△ABD和△CBE中，∠ABD=∠CBE,∴·△ABD≌△CBE(SAS)。 BD=BE, ∴∠BAD=∠BCE。2.(1)证明：：△ABC和△ADE都是等边三角形，∴AB=AC,AD =AE,∠BAC=∠DAE=6O°。∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC,即∠BAD= AB=AC, ∠CAE。在△ABD和△ACE中，∠BAD=∠CAE,.△ABD≌△ACE(SAS)。(2)解：由 AD=AE, (1)知△ABD≌△ACE,BD=CE=3。:△ADE是等边三角形，.DE=AE=2。∴BE =BD十DE=5.3.证明：(1)：△ABC与△ADE都是等腰直角三角形，∴.AB=AC,AE =AD。.·∠BAC=∠DAE=90°，，.∠BAC+∠CAE=∠DAE+∠CAE,即∠BAE= AB=AC, ∠CAD。在△ABE和△ACD中，∠BAE=∠CAD,.△ABE≌△ACD(SAS)。(2)由(1) AE-AD. 知△ABE≌△ACD,∴.∠ABE=∠ACD。.∠BAC=90°，∴.∠ABE+∠ACB=90°。 ∴∠ACD+∠ACB=90°，即∠BCD=90°。∴.DC⊥BE。4.证明：(1)：△ABC和△CDE 都是等边三角形，.CA=CB,CD=CE,∠BCA=∠ECD=60°。.∠BCD=180°-∠BCA (CA=CB, -∠ECD=60°。·∠ACD=∠BCE=120°。在△ACD和△BCE中，∠ACD=∠BCE, CD=CE, .△ACD≌△BCE(SAS)。.AD=BE。(2):△ACD≌△BCE,∴.∠DAC=∠EBC。由 ∠MAC=∠NBC, (1),得∠ACM=∠BCN=60°。在△ACM和△BCN中，JCA=CB, ∴.△ACM≌ ∠ACM=∠BCN, △BCN(ASA)。∴.CM=CN。:∠MCN=60°，∴.△CMN是等边三角形。5.解：(1)①120° ②AE=BD(2)①·△ABC和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，∴.CA =CB,CE=CD,∠ACE=∠BCD。.∠CDE=∠CED=45°。∴.∠CDB=180°-∠CDE= CE=CD, 135°。在△ACE和△BCD中，J∠ACE=∠BCD,.△ACE≌△BCD(SAS)。.∠CEA= CA=CB, ∠CDB=135°。.∠AEB=∠CEA-∠CED=90°。②CM+AE=BM。理由如下： :△DCE是等腰直角三角形，CM是△DCE中DE边上的高，∠CDE=45°，∠DCE=90, ∴∠DCM=号∠DCE=46=∠CDE。CM=DM,由①知△ACE≌△BCD,AE= BD。∴.CM+AE=DM+BD=BM。 4线段的垂直平分线 第1课时线段垂直平分线的性质与判定 新知梳理 ①相等②垂直平分线 例题引路 【例1】证明：，AB=AD,∴.点A在BD的垂直平分线上。：BC=DC,∴点C在BD的垂直 平分线上。AC垂直平分BD。又：点E在AC上，BE=DE。 易错典例 【例2】68°或22 基础过关 1.D2.B3.104.B5.证明：：∠C=90°，∠A=30°，∴.∠ABC=90°-30°=60°。BD 平分∠ABC,∠ABD=∠ABC=30。·∠A=∠ABD。DA=DB。·点D在线段 AB的垂直平分线上。 能力提升 6.D7.48.证明：(1)：AD∥BC,∠ADE=∠FCE。:E是CD的中点，.DE=CE。 ∠ADE=∠FCE, 在△ADE和△FCE中， DE=CE. .△ADE≌△FCE(ASA)。.FC=AD。 ∠AED=∠FEC, 第6页（共48页） (2)△ADE≌△FCE,AE=EF。又：BE⊥AF,∴BE是线段AF的垂直平分线。 AB=BF=BC+CF。AD=CF,AB=BC十AD。9.(1)证明：连接AE。EF是 AB的垂直平分线，∴AE=BE。:AD⊥BC,且D为CE的中点，AD是CE的垂直平分 线。∴AE=AC。.BE=AC。(2)解：：AE=BE,∠BAE=∠B=35°。∠AEC=∠B +∠BAE=70°。AE=AC,∴.∠C=∠AEC=70°。.∠BAC=180°-∠B-∠C=75°。 思维拓展 10.A 第2课时三角形三边的垂直平分线 例题引路 【例1】证明：连接OA,OB,OC。,点O在AB,BC的垂直平分线上，.OA=OB=OC。.点 O在AC的垂直平分线上。【例2】解：如图所示：M4 ①作BC=a,并作其垂直平分 线MN交BC于点D:②在DM上截取DA=b:③连接AB,AC,则△ABC即为所求。 基础过关 1.D2.解：如图， AF即为所求。3.C4.解：：点P为△ABC三边垂直 B 平分线的交点，，.PA=PC=PB。∴.∠PAB=∠PBA,∠PAC=∠PCA=18°，∠PBC= ∠PCB=32。∴∠PAB=2180-2∠PAC-2∠PCB)=号×(180°-2X18°-2X32) =40°。5.C6.解：如图， 点P即为所求。 能力提升 7.D8.B9.1210.解：(1)如图， 直线MN即为所求。(2)：∠A=32, AB=AC,∠ABC=∠ACB=2(I80°-∠A)=74°。MN垂直平分AB,BD=AD。 ∴∠ABD=∠A=32°。∴.∠DBC=∠ABC-∠ABD=42°。 思维拓展 11.(1)证明：连接PB,PC。PE垂直平分AB,PM垂直平分AC,.PA=PB,PA=PC。 PB=PC。∴点P在线段BC的垂直平分线上。(2)证明：：PE垂直平分AB,PA= PB,FA=FB。∴.∠PAB=∠PBA,∠FAB=∠FBA。∴.∠PAB-∠FAB=∠PBA ∠FBA,即∠PAF=∠PBF。同理，得∠PAN=∠PCN。由(I),得PB=PC,.∠PBF= ∠PCN。∠PAF=∠PAN,即AP平分∠FAN。(3)解：18Oe 2 5角平分线 第1课时角平分线的性质与判定 新知梳理 ①相等②平分线 例题引路 【例1】证明：：∠C=90°，DE⊥AB,AD是∠BAC的平分线，∴.DE=DC,∠C=∠DEB= DE=DC. 90°。在△DEB和△DCF中，∠DEB=∠C,.△DEB≌△DCF(SAS)。.BD=FD. BE=FC, 【例2】证明：：BE⊥AC,CF⊥AB,∴.∠BFD=∠CED=90°。在△BDF和△CDE中， ∠BFD=∠CED, ∠FDB=∠EDC,∴.△BDF≌△CDE(AAS)。∴.DF=DE。又.DF⊥AB,DE⊥AC, BD=CD, .AD平分∠BAC。 基础过关 1.B2.C3.44.D5.证明：DE⊥AB,DF⊥AC,.∠BED=∠CFD=90°。.D是 BC的中点品BD=CD,在Rt△BDE和Rt△CDF中，BECP·R1△BDE② Rt△CDF(HL)。.DE=DF。DE⊥AB,DF⊥AC,.AD平分∠BAC。 第7页（共48页） 能力提升 6.C7.解：如图， 点M即为所求。8.证明：过点D作DE⊥AB于点E,则 B ∠AED=90°=∠C。.'AD平分∠CAB,DC⊥AC,.CD=DE。∠ACD=∠AED=90°， AD=AD,.Rt△ADC≌Rt△ADE(HL)。.AC=AE。:△ABC是等腰直角三角形， ∠B=45°。∠BDE=90°-∠B=45°。.DE=EB。.CD=EB。AB=AE+EB= AC+CD. 思维拓展 9.【定理】解：AC平分∠BAD【运用】证明：过点C作CM⊥AB于点M,过点C作CN1 AD交AD的延长线于点N。,CN⊥AD,CM⊥AB,∴∠N=∠BMC=90°。，∠BAD十 ∠BCD=180°，∴∠ADC+∠B=180°。：∠CDN+∠ADC=180°，.∠B=∠CDN。:BC= CD,∴.△CBM≌△CDN(AAS)。.CM=CN。.'CN⊥AD,CM⊥AB,∴.AC平分∠BAD。 专题六利用角平分线构造全等三角形解题【通性通法】 L.证明：过点C作CF⊥AB于点F,则∠AFC=90°。：∠D=90°，.CD⊥AD。:AC平分 D,.CD=CE。在R△ADC和R△AFC中，{CD=CE,·RIAADC≌Rt△AFC AD=AF。同理，得BF=BE,∴AB=AF+BF=AD十BE。【变式题·一题多解】证法 (BC=FC, 一：证明：在△BCE和△FCE中，∠BCE=∠FCE,∴.△BCE≌△FCE(SAS)。∴.∠B= CE=CE, ∠CFE。'AD∥BC,∠A+∠B=180°。∴.∠A+∠CFE=180°。：∠CFE+∠DFE= M∠A=∠DFE, 18O°，∴.∠A=∠DFE。在△ADE和△FDE中，∠ADE=∠FDE,.△ADE≌ DE=DE, △FDE(AAS)。∴.AD=FD。∴.CD=FD十FC=AD十BC。证法二：证明：在△DME和 (MD=CD, △DCE中，∠MDE=∠CDE,∴.△DME≌△DCE(SAS)。.ME=CE,∠M=∠DCE DE-DE. ∠DCE=∠BCE,∴.∠M=∠BCE。'AD∥BC,.∠MAE=∠B。在△AME和△BCE I∠M=∠BCE, 中，∠MAE=∠B,.△AME≌△BCE(AAS)。..AM=BC。..CD=MD=AD+AM= ME=CE, AD十BC。2.证明：过点E作EF⊥BC于点F,则∠BFE=∠CFE=90°。：BD平分 ∠ABC,EA⊥AB,∴.EA=EF,∠BAE=∠BFE=9O°。在Rt△ABE和Rt△FBE中， BE=BE:R△ABE≌R△FBE(HL)∴AB=FB。:EB=EC,EF⊥BC,FB=FC。 EA=EF, .BC=2FB=2AB。 第2课时三角形的三条角平分线 基础过关 1.C2.25°3.证明：设AG,BM交于点P,过点P分别作PD⊥AB于点D,PE⊥BC于点 E,PF⊥AC于点F。:AG平分∠BAC,BM平分∠ABC,∴.PD=PF,PD=PE。∴.PE= PF。∴.点P在∠ACB的平分线CN上。.AG,BM,CN交于一点。4.解：作三角形三条 角平分线的交点即可。如图， 点O即是小亭的中心位置。 能力提升 5.D6.47.解：1)9(2)0H=0A。理由如下：过点0作OG⊥AB于点G,0QLAC 于点Q。BO平分∠ABC,OH⊥BC,OG⊥AB,∴.OH=OG。同理可得OH=OQ。∴.OG =OQ。∴A0平分∠BAC∠GA0=∠BAC=30.0G=20A.即0H=20A. 专题七巧构等腰三角形的几种常见技巧【通性通法】 1.D2.(1)115°(2)133.证法一：证明：CA=CB,∠A=∠B。DM∥AB, .∠CDM=∠A,∠M=∠B。∴.∠CDM=∠M。CD=CE,∴.∠CDE=∠CED。 :'∠CDM+∠M+∠CDE+∠CED=180°，∴.∠CDM+∠CDE=90°，即∠EDM=90° .DE⊥DM。DM∥AB,.DE⊥AB。证法二：证明：：CD=CE,∴∠CDE=∠CED。 BN∥DE,∠N=∠CDE,∠CBN=∠CED。.∠CBN=∠N。CA=CB,∴∠A= ∠ABC。:∠A+∠ABC+∠CBN+∠N=180°，∴.∠ABC+∠CBN=90°，即∠ABN= 90°。BN⊥AB。:BN∥DE,.DE⊥AB。4.证明：过点E作EG∥AC,交BC于点G, 则∠BGE=∠ACB,∠GED=∠F。:AB=AC,∠ACB=∠B。∴∠B=∠BGE。∴.BE ∠GED=∠F, =EG。在△GDE和△CDF中，DE=DF, .△GDE≌△CDF(ASA)。.EG= ∠EDG=∠FDC, 第8页（共48页） CF。.BE=CF。5.26.D7.40°8.(1)证明：延长DB到F,使BF=BA,连接AF。 BF=BA,∴∠F=∠BAF。:∠ABC=∠F+∠BAF,∠ABC=2∠F。:∠ABC= 2∠C,∠F=∠C。∴AF=AC。AD⊥BC于点D,FD=CD,即FB+BD=CE+DE。 BF=BA,AE为BC边上的中线，即BE=CE,.BE十DE=AB十BD。(2)解：BE十DE =AB+BD,BD=2,DE=3,.(2+3)+3=AB+2。.AB=6。 问题解决策略：反思 1.解：ACCM=BN证明：CM是AB边上的中线，BN是AC边上的中线，.AM ∈2AC。:AB=AC,AM=AV。F∠A=∠A,·△AMC≌2 CM=BN。【变式题1】3【变式题2】3【归纳总结】相等【进阶反思】相等 【策略运用D2.解：如图所示，（④（⑦）（①6一②-⑤一（③17-4+ 11-71+|6-1+12-61+|5-21+|3-5|=3+6+5十4+3+2=23。（答案不唯-一） 【变式题1】24【变式题2】40 第一章章末复习 思维导图 180°不相邻大于(n一2)·180°360°等角等边60°相等60°一半相等 相等 考点整合 1.C2.45°3.解：(1)：∠BCD=10°，∠AEB=75°，∴.∠CFE=∠AEB-∠BCD=75°- 10°=65。∠AFD=∠CFE=65°。：CD是△ABC的高线，.∠ADC=90°。.∠BAE =90°-∠AFD=25°。(2)AE平分∠BAC,∠BAC=2∠BAE=50°。.∠ACD=90°- ∠DAC=40°。4.C5.AD=AB(答案不唯一)6.B7.B8.B9.(1)解：：△ABC 是等边三角形，∴∠A=∠B=∠ACB=60°。：DE∥AB,∴.∠EDC=∠B=60°。EF⊥ DE,∴.∠DEF=90°。∴∠F=90°-∠EDC=90°-60°=30°。(2)证明：：∠F+∠FEC= ∠ECD=60°，∠F=30°，.∠FEC=30°=∠F。.CE=CF。.△CEF是等腰三角形。 10.A11.1.212.D13.(1)证明：连接BP,CP。点P在BC的垂直平分线上，BP =CP。:AP是∠DAC的平分线，PD⊥AB,PE⊥AC,PD=PE。在Rt△BDP和 R△CEP中，BP=CP:R△BDP2R△CEP(HL)。BD=CE。(2)解：在R△ADP PD=PE, 和R△AEP中，{APER△ADP≌Rt△AEP(HL)。·AD=AE。:AB=6cm AC=10cm,.6+AD=10-AE,即6+AD=10-AD。.AD=2cm。 聚焦课标 14.任务1：解：△ACD和△CBD△CBD和△ABC(答案不唯一)任务2：证明：.∠A= 40°，∠B=60°，.∠ACB=180°-∠A-∠B=80°。.在△ABC中，CD为角平分线， .∠ACD=∠BCD=40°。.∠ACD=∠A。.CD=AD。.△ACD是等腰三角形。 ∠ADC=180°-∠A-∠ACD=180°-40°-40°=100°，∴.∠BDC=180°-100°=80°。 ∴∠BDC=∠ACB。又：∠B=∠B,∠BCD=∠A,△ABC与△CBD是“等角三角形”。 .CD是△ABC的“等角分割线”。任务3：解：84°或111°或92°或106°。（写出其中任何一 个即可)[解析：根据题意可知，分以下六种情况讨论：①当△ACD是等腰三角形，CD=AD 时，∠BCD=∠ACD=∠A=42°，∴.∠ACB=∠ACD十∠BCD=84°；②当△ACD是等腰三 角形，AC=AD时，∠ADC=∠ACD=69°，∠BCD=∠A=42°，∴.∠ACB=∠ACD+ ∠BCD=111°；③当△ACD是等腰三角形，CD=AC时，不符合题意，舍去；④当△BCD是 等腰三角形，CD=BD时，∠ACD=∠B=∠BCD,∠B=180°？∠A=46。÷∠ACB= 3 180°-∠A-∠B=92°：⑤当△BCD是等腰三角形，BC=BD时，∠ACD=∠B,∠BCD= ∠BDC=∠A+∠ACD=42°+∠B,∴.在△BCD中，42°+∠B+42°+∠B+∠B=180°。 ∴∠B=32°，∠ACB=180°-∠A-∠B=106°；⑥当△BCD是等腰三角形，CB=CD时，不 符合题意，舍去。综上所述，∠ACB的度数为84°或111°或92°或106] 第二章不等式与不等式组 1不等式及其性质 第1课时不等关系 基础过关 1.D2.D3.B4.x2+y2≤105.解：(1)x2≥0。(2)-x-1≥2。(3)x十17<5x。 (4)4m>5π。 能力提升 10+m>10 6.C7.100+m>100 8.解：(1)根据题意，得3x十2(10-x)>25。(2)根据题意，得3 400x十2×700(10-x)≥12000。 第2课时不等式的解与解集 基础过关 A2个B3.2x<6(答案不唯-）4.C5.C6.解：1)方0广方 (2) -5-4-3-2-101 第9页（共48页）4线段的垂直平分线 第1课时 线段垂直平分线的性质与判定 【名师导学 ,预习先知 【基础过关 ◆◆◆逐点击破 同新知梳理 知识点1线段垂直平分线的性质定理 ①线段垂直平分线上的点到这条线段1.如图，P为线段AB的垂直平分线上一点。若PB=3cm, 两个端点的距离 则PA的长为 ( ②到一条线段两个端点距离相等的点， A.6 cm B.5 cm C.4cm D.3 cm 在这条线段的 上。 ☑例题引路 【例1】如图，AB=AD,BC=DC,AC, D BD交于点O,E是AC上的一点。求 (第1题图) (第2题图) (第3题图) 证：BE=DE。 2.如图，直线AD垂直平分线段BC,∠B=50°，则∠C的度 数为 ( ) A.60° B.50° C.40° D.30° 3.(教材P38习题T5变式)(2025·贵阳期末)如图，在△ABC 中，AC=4,BC=6,DE垂直平分AB,则△ACD的周长为 【名师点拨】由已知条件易证AC是线 段BD的垂直平分线，再根据线段垂直知识点2 线段垂直平分线的判定定理 平分线的性质得BE=DE。 4.如图，在△ABC中，AB=AC,D是BC上的一点，O是AD 【学生解答】 上一点，且OB=OC。若BC=4,则BD的长为 A.1 B.2 C.3 D.4 5.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BD平分∠ABC 交AC于点D。求证：点D在线段AB的垂直平分线上。 团易错典例 【例2】在△ABC中，AB=AC,AC的垂 直平分线与AB的所在的直线相交所 成的锐角是46°，则∠B= 【易错剖析】无图时考虑问题不全面而 致错。 【学生解答】 第一章三角形的证明及其应用23 夏能力提升 D 整合运用 9.如图，在△ABC中，EF是AB的垂直平分 6.(教材P34随堂练习T2变式)如图，在四边 线，AD⊥BC于点D,且D为CE的中点。 形ABCD中，AC垂直平分BD,垂足为点 (1)求证：BE=AC; E,下列结论不一定成立的是 ( (2)若∠B=35°，求∠BAC的度数。 A.AB=AD B.∠BCE=∠DCE C.△BEC≌△DEC D.AB=BD 投影幕布 (第6题图) (第7题图) 7.小华和两个朋友相约去看电影，因为他们有 不同购票APP上的优惠券，于是他们分开 购票。如图，已知两位朋友的位置分别在 A,B点（正方形网格上的每一个格点都代表 影厅内的一个座位)。小华若要选一个座位 C,使得C到A,B两个座位的距离相等，则 在图中满足条件的位置有处。 8.(毕节期末)如图，在四边形ABCD中，AD∥ BC,E为CD的中点，连接AE,BE,BE⊥ AE,延长AE交BC的延长线于点F。 求证：(1)FC=AD: (2)AB=BC+AD. ·思维拓展 ◆·强化素养 10.转化思想新理念如图，在△ABC中，AB= 3,AC=4,EF垂直平分BC,点P为直线 EF上的任意一点，则AP+BP的最小值是 ( A.4 B.5 C.6 D.7 24数学Ⅲ八年级下册(BS)