2 第3课时 等边三角形的判定与含30角的直角三角形的性质-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年八年级下册数学（北师大版·新教材）贵州专版

△AEF。线段EF和EB,FC之间的数量关系为EF=EB十FC。(3)还有等腰三角形，即 △BOE和△COF。(2)中EF=EB+FC仍然成立。理由如下：，BO平分∠ABC,CO平分 ∠ACB,∴.∠EBO=∠CBO,∠FCO=∠BCO。又：EF∥BC,∴∠EOB=∠CBO,∠FOC= ∠BCO,∴.∠EBO=∠EOB,∠FOC=∠FCO,∴.BE=EO,FO=FC,∴.EF=EO+FO= EB+FC。【变式】21 专题三活用等腰三角形的“三线合一”巧解题【回归教材】 1.证明：连接AD。:△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，∴∠B=∠C=45°。：D为 BC中点，AD⊥BC,AD平分∠BAC。∴∠EAD=∠CAD=∠C=45°。∴.AD=CD。在 AE=CF, △ADE和△CDF中，∠EAD=∠C,△ADE≌△CDF(SAS)。∴.DE=DF。2.证明： AD=CD, 连接BD。:在等边三角形ABC中，点D是AC的中点，∠DBC=号∠ABC=令×60° 30°，∠ACB=60°。CE=CD,∠CDE=∠E。:∠ACB=∠CDE+∠E,2∠E=60。 ∠E=30°。∴∠DBC=∠E=30°。BD=ED。△BDE为等腰三角形。又DM⊥ BC,∴.BM=EM。3.证明：过点A作AE⊥BC于点E。∠CAE十∠C=90°。AB= AC,÷∠CAE=∠BAC。:BD⊥AC,·∠DBC+∠C=90。·∠DBC=∠CAE。 :∠DBC=方∠BAC。4.证明：过点A作AMLBC于点M。AB=AC,∠BAC 2∠BAM。:AD=AE,.∠ADE=∠E。∴∠BAC=∠ADE+∠E=2∠E。∠BAM= ∠E。DE∥AM。AM⊥BC,.DE⊥BC。5.证明：连接AC,AD。在△ABC和 AB=AE, △AED中，∠B=∠E,∴△ABC≌△AED(SAS),AC=AD。又，点F是CD的中点， BC=ED, .AF⊥CD 专题四等腰三角形中易漏解或多解问题【易错】 1.C2.103.94°【变式题1】50°或65°【变式题2】50°或65°或80°4.25°或40° 5.120或75°或30°6.34°或28°或22°7.65°或25°8.20°9.D10.C 第3课时等边三角形的判定与含30°角的直角三角形的性质 新知梳理 ①三260°3一半 例题引路 【例1】解：△DEF是等边三角形。理由如下：：△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB =∠CAB=60°。：∠1=∠2=∠3，∴.∠DFE=∠3+∠FAC=∠1+∠FAC=∠CAB= 60°。同理，得∠DEF=∠EDF=60°，∴.△DEF是等边三角形。 易错典例 【例21号 基础过关 1.D2.∠B=60°（答案不唯一）3.证明：DC=DB,·∠DCB=∠B=30°。.∠ADC= ∠DCB+∠B=30°+30°=60°。又：AD=DC,.△ADC是等边三角形。4.35.66.2 能力提升 7.D8.B9.√310.(1)证明：AB=AC,.∠B=∠C。FE⊥BC,.∠CEF=90。 ∠F+∠C=90,∠BDE+∠B=90°。∠F=∠BDE。:∠BDE=∠FDA,∴.∠F= ∠FDA。∴AF=AD。.△ADF是等腰三角形。(2)解：：DE⊥BC,∠DEB=90°。 :∠B=60,∴∠BDE=90-∠B=90-60=30。BE=号BD=号×6=3。：AB= AC,∠B=60,.△ABC是等边三角形。.BC=AB=AD十BD=3+6=9。∴.EC=BC BE=9-3=6。 思维拓展 11.解：(1)△BDF是等边三角形。证明如下：∠B=60°，DE∥BC,∴∠ADE=∠B=60。 由折叠可得∠FDE=∠ADE=60°，..∠BDF=60°。∴.∠DFB=180°-∠B-∠BDF= 60°。∴.△BDF是等边三角形。(2)分两种情况讨论：①如答图①，当∠BFD=90时，点F 在△ABC内，：∠BDF=60°，∴.∠DBF=30°。∴.BD=2DF。由折叠得DF=AD,∴.BD= 2AD。.3AD=9。.AD=3。②如答图②，当∠DBF=90°时，点F在△ABC外，同理可得 AD=DF=2BD,∴.AD=6。综上所述，AD的长为3或6。 答图① 答图② 第4页（共48页） 3直角三角形 第1课时直角三角形的性质与判定 新知梳理 ①互余直角三角形②平方和③直角④互逆命题逆命题逆定理 例题引路 【例】解：(1)：∠ACB=37°，∠BAC=53°，∠B=180°-∠ACB-∠BAC=180°-37°-53° =90°。.AC=√AB+BC=√32+4=5。(2)：AC+CD=25+144=169,AD= 169,.AC+CD=AD。.∠ACD=90°。.∠BCD=∠ACD+∠ACB=127°。 基础过关 1,A2.2.43.C4.(1)解：在Rt△ACD中，由勾股定理，得AD=√AC-CD= VP-(得)=9。(2)证明：在R△BCD中，由勾股定理，得BD=√C一CD- V3-(号)=号.∴AB=AD+BD=9+号-5。：+3=5，即AC+BC=AB, 51 .△ABC是直角三角形。5.D6.真 能力提升 7.A8.3J39.解：逆命题：如果一个三角形的两个角的平分线所夹的锐角是45°，那么这 个三角形是直角三角形。已知：如图， 在△ABC中，BE是∠ABC的平分 D B 线，交AC于点E,AD是∠BAC的平分线，交BC于点D,BE和AD相交于点O,且∠AOE =45°。求证：△ABC是直角三角形。证明：：BE是∠ABC的平分线，AD是∠BAC的平 分线，∠OAB=合∠BAC,∠OBA=号∠ABC.∠OAB+∠OBA=号（∠BAC+ 1 ∠ABC。∠A0E=2(180-∠C)。又：∠A0E=45,:∠C=S0。△ABC是直角 三角形。10.解：(1)AD⊥BC。理由如下：：AB=13m,AD=12m,BD=5m,∴AB= 169,AD2+BD=144+25=169。.AB2=AD+BD。.∠ADB=90°。∴AD⊥BC。 (2):AC=15m,AD=12m,∠ADC=∠ADB=90°，∴.CD=√15-12=9(m)。∴.BC= CD十BD=9+5=14(m。∴劳动场地△ABC的面积为2×14X12=84(m)。 思维拓展 .或号 4 第2课时直角三角形全等的判定 新知梳理 ①HL 例题引路 【例I】证明：连接AD。DF⊥AB,DE⊥AC,∠DFA=∠DEA=90°。在Rt△ADF和 △ADE中，AP二AP,R△ADF≌R△ADECHL,DF=DE。yD是BC的中点 .DB=DC。在Rt△DBF和Rt△DCE中， DE=DE,·Rt△DBF≌Rt△DCE(H), ∴∠B=∠C,.AB=AC。 易错典例 【例2】C 基础过关 1.B2.B3.证明：：∠1=∠2，∴.DE=CE。:∠A=∠B=90°，∴.△ADE和△BEC是直 角三角形。在R△ADE和R:△BEC中，DE=EC:R△ADE≌R△BEC(HL)。 AD=BE, 4.C5.证明：：EF⊥AC,∠F+∠C=90°。∠ABC=90°，∴∠A十∠C=90°。∠A ∠F=∠A, =∠F。在△FBD和△ABC中，J∠FBD=∠ABC=90°，∴.△FBD≌△ABC(AAS)。 BD=BC, :.BF=AB 能力提升 B7.78,5或109.D证明：在R△ABE和R△CBF中，AB=CB,·Rt△AB Rt△CBF(HL)。(2)解：：Rt△ABE≌Rt△CBF,∠BCF=∠BAE=23°。：AB=BC, ∠ABC=90°，.∠ACB=45°。∴.∠ACF=∠BCF+∠ACB=23°+45°=68。 思维拓展 10.证明：(1)'AD是△ABC的中线，.BD=CD。'BE⊥AD,CF⊥AD,∴.∠BED=∠F 第5页（共48页） ∠BED=∠F =90°。在△BED和△CFD中，∠BDE=∠CDF,.△BED≌△CFD(AAS)。∴.BE= BD=CD. CF。(2)在Rt△BGE和Rt△CAF中， 中，BEC,R△BGE≌R△CAF(HL)。GE= AF。∴GE-AE-AF-AE,即AG=EF。由(I)知△BED≌△CFD,DE=DF=合EF。 .AG=EF=2DE。 专题五共顶点的等腰三角形一手拉手模型【回归教材】 1.证明：：BA=BC,BD=BE,∴.∠BAC=∠BCA,∠BDE=∠BED。∴.∠ABC=180° ∠BAC-∠BCA=180°-2∠BAC,∠DBE=180°-∠BDE-∠BED=180°-2∠BDE。 :∠BAC=∠BDE,∴∠ABC=∠DBE。∴.∠ABC+∠CBD=∠DBE+∠CBD,即∠ABD BA=BC, =∠CBE。在△ABD和△CBE中，∠ABD=∠CBE,∴·△ABD≌△CBE(SAS)。 BD=BE, ∴∠BAD=∠BCE。2.(1)证明：：△ABC和△ADE都是等边三角形，∴AB=AC,AD =AE,∠BAC=∠DAE=6O°。∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC,即∠BAD= AB=AC, ∠CAE。在△ABD和△ACE中，∠BAD=∠CAE,.△ABD≌△ACE(SAS)。(2)解：由 AD=AE, (1)知△ABD≌△ACE,BD=CE=3。:△ADE是等边三角形，.DE=AE=2。∴BE =BD十DE=5.3.证明：(1)：△ABC与△ADE都是等腰直角三角形，∴.AB=AC,AE =AD。.·∠BAC=∠DAE=90°，，.∠BAC+∠CAE=∠DAE+∠CAE,即∠BAE= AB=AC, ∠CAD。在△ABE和△ACD中，∠BAE=∠CAD,.△ABE≌△ACD(SAS)。(2)由(1) AE-AD. 知△ABE≌△ACD,∴.∠ABE=∠ACD。.∠BAC=90°，∴.∠ABE+∠ACB=90°。 ∴∠ACD+∠ACB=90°，即∠BCD=90°。∴.DC⊥BE。4.证明：(1)：△ABC和△CDE 都是等边三角形，.CA=CB,CD=CE,∠BCA=∠ECD=60°。.∠BCD=180°-∠BCA (CA=CB, -∠ECD=60°。·∠ACD=∠BCE=120°。在△ACD和△BCE中，∠ACD=∠BCE, CD=CE, .△ACD≌△BCE(SAS)。.AD=BE。(2):△ACD≌△BCE,∴.∠DAC=∠EBC。由 ∠MAC=∠NBC, (1),得∠ACM=∠BCN=60°。在△ACM和△BCN中，JCA=CB, ∴.△ACM≌ ∠ACM=∠BCN, △BCN(ASA)。∴.CM=CN。:∠MCN=60°，∴.△CMN是等边三角形。5.解：(1)①120° ②AE=BD(2)①·△ABC和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，∴.CA =CB,CE=CD,∠ACE=∠BCD。.∠CDE=∠CED=45°。∴.∠CDB=180°-∠CDE= CE=CD, 135°。在△ACE和△BCD中，J∠ACE=∠BCD,.△ACE≌△BCD(SAS)。.∠CEA= CA=CB, ∠CDB=135°。.∠AEB=∠CEA-∠CED=90°。②CM+AE=BM。理由如下： :△DCE是等腰直角三角形，CM是△DCE中DE边上的高，∠CDE=45°，∠DCE=90, ∴∠DCM=号∠DCE=46=∠CDE。CM=DM,由①知△ACE≌△BCD,AE= BD。∴.CM+AE=DM+BD=BM。 4线段的垂直平分线 第1课时线段垂直平分线的性质与判定 新知梳理 ①相等②垂直平分线 例题引路 【例1】证明：，AB=AD,∴.点A在BD的垂直平分线上。：BC=DC,∴点C在BD的垂直 平分线上。AC垂直平分BD。又：点E在AC上，BE=DE。 易错典例 【例2】68°或22 基础过关 1.D2.B3.104.B5.证明：：∠C=90°，∠A=30°，∴.∠ABC=90°-30°=60°。BD 平分∠ABC,∠ABD=∠ABC=30。·∠A=∠ABD。DA=DB。·点D在线段 AB的垂直平分线上。 能力提升 6.D7.48.证明：(1)：AD∥BC,∠ADE=∠FCE。:E是CD的中点，.DE=CE。 ∠ADE=∠FCE, 在△ADE和△FCE中， DE=CE. .△ADE≌△FCE(ASA)。.FC=AD。 ∠AED=∠FEC, 第6页（共48页）第3课时 等边三 【名师导学 。预习先知 同新知梳理 ①定理： 个角都相等的三角形是 等边三角形。 ②定理：有一个角等于 的等腰 三角形是等边三角形。 ③定理：在直角三角形中，如果一个锐 角等于30°，那么它所对的直角边等 于斜边的 ☑例题引路 【例1】如图，△ABC是等边三角形，且 ∠1=∠2=∠3，判断△DEF的形状， 并说明理由。 【名师点拨】利用三个角都相等证明 △DEF是等边三角形。 【学生解答】 易错典例 【例2】如图，等边 △ABC中，D为AB 的中点，过点D作 DF⊥AC于点F,过 B 点F作FE⊥BC于点E。若AF=3, 则线段BE的长为 【易错剖析】无法准确结合含30°角的 直角三角形的性质推断出线段之间的 数量关系致错。 【学生解答】 角形的判定与含30°角的直角三角形的性质 【基础过关 ●·●逐点击破 知识点1等边三角形的判定 1.下列三角形中，不一定是等边三角形的是 ( A.有两个角等于60°的三角形 B.有一个外角等于120°的等腰三角形 C.三个角都相等的三角形 D.一边上的高也是这边的中线的三角形 2.半开放性题新趋势(2025·资阳中考)如图， 在四边形ABCD中，∠A=∠B,点E在线 段AB上，CE∥AD。要使△BCE成为等边 三角形，可增加的一个条件是 3.如图，在△ABC中，点D是AB上的一点，且AD=DC= DB,∠B=30°。求证：△ADC是等边三角形。 知识点2含30°角的直角三角形的性质 4.(2025·贵阳期中)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB= 6,∠A=30°，则BC的长为。 R D B (第4题图) (第5题图) (第6题图) 5.(2025·毕节期末改编)贵州植被具有明显的亚热带性质， 组成种类繁多，区系成分复杂，吸引了不少对植被有研究 的学者去贵州考察。如图，有学者在考察时发现一棵树在 距离地面2m处折断了，倒下的部分与地面形成了30°的 夹角，这棵树原来的高度是m。 6.如图，点C为直线AB上一个定点，点D为直线AB上一 个动点，直线AB外有一点P,CP=4,∠PCB=30°，当PD 最短时，PD的长是。 第一章三角形的证明及其应用15 【能力提升 、♪》整合运用 7.(教材P21习题T8变式)如图，△ADE是等 边三角形，DE∥BC.若AD=2,BD=3,则 BC的长为 A.1 B.2 C.3 D.5 (第7题图) (第8题图) 8.（教材P20随堂练习T2变式)如图，在 △ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=4,CD 是AB边上的高，则AD的长为 A.5B.6 C.7 D.8 9.(2025·南充中考)如图，B ∠AOB=90°，在射线OB上 D 取一点C,以点O为圆心， 09 OC长为半径画弧；再以点C为圆心，OC长 为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于 点D,连接CD并延长，交射线OA于点E. 若OC=1,则OE的长是 10.(教材P21习题T7变式)如图，△ABC是 等腰三角形，AB=AC,点D是AB上一点， 过点D作DE⊥BC交BC于点E,交CA 的延长线于点F。 (1)求证：△ADF是等腰三角形； (2)若∠B=60°，BD=6,AD=3,求EC的长。 16数学Ⅲ八年级下册(BS) 【思维拓展 ♪◆◆强化素养 11.在△ABC中，∠B=60°，D是边AB上的动 点，过点D作DE∥BC,交AC于点E,将 △ADE沿DE折叠，点A的对应点为点F。 (1)如图，若点F恰好落在边BC上，判断 △BDF的形状，并证明； (2)分类讨论新理念若AB=9,当△BDF 是直角三角形时，求AD的长。 备用图 提示 请完成阶段微测试（一）[1.1~1.2]