1 第2课时 三角形内角和定理的推论&专题1 与三角形的双角平分线有关的解题模型-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年八年级下册数学（北师大版·新教材）贵州专版

第2课 【名师导学 。◆预习先知 新知梳理 ①三角形的一个外角等于和它不相邻 的两个内角的 ②三角形的一个外角 任何 个和它不相邻的内角。 ☑例题引路 【例】如图，在△ABC中，∠A=65°，点 D在边AC上，连接BD。 (1)求证：∠ADB>∠EBC: (2)若∠DCE=∠ABD=30°，求∠BEC 的度数。 【名师点拨】(1)∠ADB是△CBD的外 角，利用三角形内角和定理的推论即可 证明。(2)先根据三角形内角和定理求 出∠ADB的度数，再由补角的定义得 出∠CDE的度数，根据三角形外角的 性质即可得出结论。 【学生解答】 时三角形内角和定理的推论 基础过关 。··逐点击破 知识点1三角形的外角 1.如图，在∠1，∠2，∠3中，是△ABC外角的是 (第1题图) (第2题图) 知识点2三角形内角和定理的推论 2.(2025·南充中考)如图，把含有60°角的直角三角尺的斜边 放在直线l上，则∠α的度数是 ( A.120° B.130 C.140° D.150° 3.下列图形中，∠1一定大于∠2的是 B D 4.如图，已知AB∥CD,点E在线段AD上（不与点A,D重 合)，连接CE。若∠C=20°，∠AEC=50°，则∠A的度数为 A.10° B.20° C.30° D.40° 5.如图，已知D是△ABC的边BC的延长线上一点，点F在 边AB上，DF交AC于点E,∠A=35°，∠ACD=83°. (1)求∠B的度数； (2)若∠D=42°，求∠AFE的度数。 第一章三角形的证明及其应用3 【能力提升 、♪·整合运用 6.(2025·铜仁期中)将一副三角尺如图放置， 使含30°角的三角尺的一条直角边与含45 角的三角尺的一条直角边重合，则∠α的度 数为 ( A.120° B.759 C.135 D.105° a D B H (第6题图) (第7题图) 7.整体思想新理念如图，∠ABD与∠ACE是 △ABC的两个外角。若∠A=70°，则∠ABD+ ∠ACE的度数为 A.210° B.230° C.250° D.240 8.传统文化情境化小明观察抖空竹时发现，可 以将某一时刻的情形抽象成数学问题：如 图，已知AB∥CD,∠E=22°，∠DCE= 114°，则∠BAE的度数为 9.如图，已知CD为△ABC的外角∠ACE的 平分线，CD交BA的延长线于点D,试判断 ∠BAC与∠B的大小关系，并说明理由。 D 4数学Ⅲ八年级下册(BS) 10.(教材P13习题T17变式)一个零件的形状 如图所示，按规定∠A应等于90°，∠B,∠C 应分别是21°和32°，现测得∠BDC=148°， 你认为这个零件合格吗？为什么？ 【思维拓展 ◆◆◆强化素养 11.整体思想新理念如图，在△ABC中，延长 BC到点D,∠ABC和∠ACD的平分线相 交于点P,爱动脑筋的小明同学在写作业 时，发现如下规律：若∠A=50°，则∠P= 25°；若∠A=60°，则∠P=30°；若∠A= 70°，则∠P=35°。 (1)根据上述规律，若∠A=100°，则∠P= (2)请你用数学表达式归纳出∠P与∠A 的数量关系： (3)请证明你的结论。 专题一与三角形的双角平分线有关的解题模型【回归教材·一题一课】 教材P52复习题T19延伸 母题：一题多变思维延伸如图，在△ABC中，【变式题2】两内角平分线>两外角平分线 ∠A=40°，∠ABC与∠ACB的平分线相交于 如图，在△ABC中，∠C=70°，AD,BD是 点P,求∠BPC的度数。 △ABC的外角平分线，AD与BD交于点D。 (1)求∠D的度数； (2)若去掉“∠C=70°”这个条件，求∠C与∠D 之间的数量关系。 【延伸问】如将“∠A=40°”改为“∠A=n”,求 ∠BPC的度数。 【变式题1】两内角平分线→一内角一外角平分线 如图，在△ABC中，∠ABC与外角∠ACD的 平分线相交于点O。 (1)若∠ABC=60°，∠ACB=70°，求∠O的度数； (2)请探究∠A和∠O之间的数量关系，并说明 理由。 模型总结：如图，BP,CP是△ABC的两条内角平分 D 线，CM,BN,CN是△ABC的三条外角平分线， 则有： O∠BPC=S0+Z∠A: @∠M=3∠A: ③∠N=90- 2∠A; ④∠PBN=∠PCN=90°。 利用上述关系可以快速解决相关小题。 第一章三角形的证明及其应用5参考答案 第一章三角形的证明及其应用 1 三角形内角和定理 第1课时 三角形内角和与全等三角形的性质与判定 新知梳理 ①180°②相等3相等相等 例题引路 【例1】解：：BD⊥AC,∠BDA=90°。：∠A+∠ABD十∠BDA=180°，∴∠ABD= 180°-∠BDA-∠A=180°-90°-54°=36°。∴.∠DBC=∠ABC-∠ABD=48°-36=12°。 易错典例 【例2】A 基础过关 1.A2.C3.64°4.解：三角形内角和为180°，∠A十∠B+∠C=180°。∠A十 ∠B=80∠C=180-80=100。又：∠C=2∠A∠A=合∠C=50。六∠B 弥80°-∠A=80°-50°=30°。 5.B6.3 能力提升 7.A8.49°9.96°10.(1)证明：.AD=BE,.AD+BD=BE+BD,即AB=DE。在 AC=DF. △ABC和△DEF中，∠A=∠EDF,△ABC≌△DEF(SAS)。(2)解：：∠A=∠EDF, AB=DE, ∠A=55°，.∠EDF=55°。又.∠E=45°，.∠F=180°-∠E-∠EDF=180°-45°-55°=80。 思维拓展 11.(1)证明：：MN∥BC,∴.∠B=∠MAB,∠C=∠NAC。:∠MAB+∠NAC+∠BAC 地 180°，.∠B+∠C+∠BAC=180°。(2)解：①30°②：∠P=130°，∠PBC+∠PCB+∠P =180°，∴.∠PBC+∠PCB=180°-∠P=180°-130°=50°。：BP,CP分别平分∠ABC, ∠ACB,.∠ABC=2∠PBC,∠ACB=2∠PCB。.∠ABC+∠ACB=2∠PBC+2∠PCB =100°。∠A=180°-（∠ABC+∠ACB)=80°。(3）解：连接BC。∠ABD,∠ACD的 平分线交于点E,∴∠ABE=∠DBE=∠ABD,∠ACE=∠DCE=合∠ACD。'∠DBC +∠DCB=180°-∠D,∴.∠ABC+∠ACB=∠DBC+∠DCB+(∠ABD+∠ACD)=180 -∠A,即180°-∠D十（∠ABD十∠ACD)=180°-∠A,整理，得∠ABD+∠ACD=∠D 0 ∠A.则∠EBC+∠ECB=∠DBC+∠DCB+合（∠ABD+∠ACD)=I8O-∠E,即18O -∠D+2(∠D-∠A)=180°-∠E,整理，得2∠E=∠D+∠A。 第2课时三角形内角和定理的推论 新知梳理 ①和②大于 例题引路 【例】(1)证明：∠ADB是△CBD的外角，∴.∠ADB>∠EBC。(2)解：：∠A=65°， 线 ∠ABD=30°，，.∠CDE=∠A十∠ABD=95°。∠DCE=30°，.∠BEC=∠CDE十 ∠DCE=125°。 基础过关 1.∠1，∠32.D3.C4.C5.解：(1)∠A=35°，∠ACD=83°，∠B=∠ACD-∠A =48°。(2)∠B=48°，∠D=42°，∴.∠AFE=∠B+∠D=90°。 能力提升 6.D7.C8.92°9.解：∠BAC>∠B。理由如下：∠BAC是△ACD的外角，∴∠BAC >∠ACD。:CD平分∠ACE,∴.∠ACD=∠DCE。∠BAC>∠DCE。又：∠DCE是 △BCD的外角，∠DCE>∠B。∠BAC>∠B。10.解：这个零件不合格。理由如下： 连接AD并延长到点E。假设这个零件合格，则∠CDE=∠C+∠CAD,∠BDE=∠B+ ∠BAD,∴.∠CDB=∠CDE+∠BDE=∠B+∠C+∠CAD+∠BAD=∠B+∠C+∠BAC =21°+32°+90°=143°≠148°，.这个零件不合格。 思维拓展 山.1)解：50(2)解：∠P=方∠A(3)证明：BP,CP分别是∠ABC和∠ACD的平分 线，∠PBC=是∠ABC,∠PCD=7∠ACD。·∠P=∠PCD-∠PBC=∠ACD ∠ABC=Z(∠ACD-∠ABC)=Z∠A。 第1页（共48页） 专题一与三角形的双角平分线有关的解题模型【回归教材·一题一课】 母题：解：：∠A=40°，∴.∠ABC十∠ACB=180°-∠A=140°。：BP,CP分别平分 ∠ABC,∠ACB,∠PBC=号∠ABC,∠PCB=号∠ACB。·∠BPC=180°-（∠PBC+ ∠PCB)=180-合（∠ABC+∠ACB)=110。【延伸向】解：“∠A=,∠ABC+ ∠ACB=180°-∠A=180°-n°。BP,CP分别平分∠ABC,∠ACB,∴.∠PBC= ∠ABC.∠PCB=号∠ACB.∠BPC-1S0-(∠PEBC+∠PCB)=180-(∠ABC 十∠ACB)=90+子。【变式题1】解：1)：∠ACB=70,∠ACD=180°-∠ACB= 110。:B0,C0分别平分∠ABC,∠ACD,∠CB0=号∠ABC=30°，∠DC0=号∠ACD =55。∴∠0=∠DC0-∠CB0=25。(2)∠0=号∠A。理由如下：B0,C0分别平分 ∠ABC,∠ACD,∴.∠CBO=号∠ABC,∠DCO=号∠ACD.·∠O=∠DC0-∠CBO= 号（∠ACD-∠ABC)=∠A。【变式题2】解：(1）：∠C=70,∠CAB+∠CBA= 180°-∠C=110°。.∠EAB+∠FBA=360°-（∠CAB+∠CBA)=250°。：AD,BD是 △ABC的外角平分线∠DAB=合∠EAB,∠DBA=号∠FBA。·∠DAB+∠DBA= 合（∠EAB+∠FBA)=125.∠D=180-(∠DAB+∠DBA)=55.(2)由题意，得 ∠CAB+∠CBA=180°-∠C。.∠EAB+∠FBA=360°-（∠CAB+∠CBA)=180°+ ∠C。AD,BD是△ABC的外角平分线，∠DAB=号∠EAB,∠DBA=∠FBA. ∴∠DAB+∠DBA=合（∠EAB+∠FBA)=90+2∠C。·∠D=180-(∠DAB+ ∠DBA)=90°-z∠C. 第3课时多边形的内角和 基础过关 1.C2.D3.9104解：由题意，得×(m-2)180°-360=90，解得n=12。∴n的值 为12.5.C6.135° 能力提升 7.A8.B9.360°或540°或720°10.解：(1)：n边形的内角和是(n-2)·180°，.内角和 一定是180°的倍数。2014÷180=11…34，.内角和不可能为2014°。(2)设小华求的 的内角和。由题意，得n2)·180°<2014，解得n<13。∴易得多 数是13，故小华求的是十三边形的内角和。(3)十三边形的内角和是(13一2)×180°= 1980°，2014°-1980°=34°，因此这个外角的度数为34°。 第4课时多边形的外角和 基础过关 1.B2.B3.D4.C5.360°6.解：设这个多边形的边数为n。根据题意，得(n一2)· 180°=4×360°+180°，解得n=11。答：这个多边形的边数是11。 能力提升 7.C8.A9.340°10.解：(1)由题意，得这个正多边形的外角为40°，.这个正多边形的 边数为360°÷40°=9。.10×9=90(m)。答：小明一共走了90m。(2)这个正多边形的内 角和为(9-2)×180°=1260°。 专题二求不规则多边形的内角和的有关技巧 1.(1)证明：连接AO并延长至点M。.∠BOM是△ABO的外角，.∠BOM=∠BAO十 ∠B。:∠COM是△AOC的外角，.∠COM=∠CAO+∠C。∴.∠BOM+∠COM= ∠BAO+∠B+∠CAO+∠C=∠BAC+∠B+∠C,即∠BOC=∠A+∠B+∠C。 (2)140°(3)解法一：解：设AB,CD交于点O。:∠ABC=64°，∠BCD=46°，∴.∠COB= 180°-∠ABC-∠BCD=70°。.∠AOD=∠COB=70°。同(1)，易得∠AED=∠A+∠D +∠AOD=28°+12+70°=110°。解法二：解：连接AD。由题意，易得∠DAB+∠ADC =∠ABC+∠BCD=64°+46=110°。：∠BAE=28°，∠CDE=12°，∴.∠DAE+∠ADE= (∠DAB+∠ADC)-∠BAE-∠CDE=70°。.∠AED=180°-（∠DAE+∠ADE)= 110°。(4)解：如图， 连接AD。同(1)，得∠F十∠2十∠3=∠DEF, A6E0130° 4 1000B 1 D 第2页（共48页） ∠1+∠4+∠C=∠ABC。∴.∠F+∠2+∠3+∠1+∠4+∠C=∠BAF+∠C+∠CDE+ ∠F=∠DEF+∠ABC=130°+100°=230°，即∠A+∠C+∠D+∠F=230°。2.180° 【变式题1】360°【变式题2540° 2等腰三角形 第1课时等腰三角形与等边三角形的性质 新知梳理 ①相等等角②中线高目相等60 例题引路 AB=AC, 【例1】证明：：△ABC为等边三角形，.AB=AC。在△ABD和△ACD中，BD=CD, AD-AD, ..△ABD≌△ACD(SSS)。.∠BAD=∠CAD。.AE⊥BC。 易错典例 【例2】80°或50 基础过关 1.C2.C3.证明：DE∥AC,.∠EDA=∠CAD。AE=ED,.∠EAD=∠EDA。 ∠EAD=∠CAD。,AB=AC,.AD⊥BC。4.C5.15 能力提升 6.D7.D8.45°9.(1)证明：.AB=AC,∠CBA=45°，.∠ACB=∠CBA=45°。 ∠CAB=180°-∠ACB-∠CBA=90°。.AC⊥AB。(2)解：△ACD是等边三角形， ∠DAC=60°，AD=AC。:∠CAB=90°，AC=AB,∴.∠DAB=∠DAC+∠CAB=150°， AD=AB.∴∠DBA=(180-∠DAB)=I5.六∠DBC=∠ABC∠DBA=30, 思维拓展 10.解：(1)△ABD与△ACE全等。理由如下：.△ABC与△ADE均是顶角为40°的等腰三 角形，∴.∠BAC=∠DAE=40°，AB=AC,AD=AE。∴.∠BAC-∠DAC=∠DAE- AB=AC, ∠DAC,即∠BAD=∠CAE。在△ABD和△ACE中，∠BAD=∠CAE,∴.△ABD≌ AD=AE, △ACE(SAS)。(2),△ABC和△ADE均为等边三角形，∴.AB=AC,AD=AE,∠BAC= ∠DAE=∠ADE=∠AED=60°。.∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC,即∠BAD= AB=AC, ∠CAE。在△ABD和△ACE中，J∠BAD=∠CAE,.△ABD≌△ACE(SAS)。.∠ADB AD=AE, =∠AEC。,∠ADB=180°-∠ADE=180°-60°=120°，∠AEC=120°。.∠BEC= ∠AEC-∠AED=60°。 第2课时等腰三角形的判定与反证法 新知梳理 ①相等②矛盾反证法 例题引路 【例I】证明：：DE∥AC,∴.∠CAD=∠EDA。AD平分∠BAC,.∠CAD=∠EAD。 ∠EAD=∠EDA。:AD⊥BD,∴.∠ADB=90°。∴∠EAD+∠B=9O°，∠EDA+ ∠BDE=90°。∠B=∠BDE。∴BE=DE。△BDE是等腰三角形。【例2】证明：假 设在△ABC中有两个钝角，不妨设∠A>90°，∠B>90°，则∠A十∠B>180°，而∠C>0°， ∴∠A十∠B十∠C>180°，这与三角形内角和定理相矛盾，故假设不成立。.一个三角形中 不能有两个钝角。 基础过关 1.C2.403.证明：AB=AC,.∠C=∠B=30°。∠DAB=45°，.∠ADC=∠B十 ∠DAB=75°。.∠DAC=180°-∠ADC-∠C=75°。.∠DAC=∠ADC。.AC=CD。 .△ACD是等腰三角形。4.C5.解：有错误。改正如下：假设AC=BC,则∠A=∠B。 :∠C=90°，∠B=∠A=45°，这与∠A≠45矛盾。.AC=BC不成立。AC≠BC。 能力提升 6.D7.38.(1)证明：，△ABC是等边三角形，.∠DBC=∠ECB=60°。在△BCD和 BD=CE, △CBE中，∠DBC=∠ECB,∴.△BCD≌△CBE(SAS)。·∠BCD=∠CBE。∴.OB= BC=CB, OC。.△OBC是等腰三角形。(2)解：由(1)得∠BCD=∠CBE,∠ABC=60°，设∠BCD= ∠CBE=x,则∠ABE=60°-x,∠BOD=∠BCD+∠CBE=2x,:'△BDO是以∠ABE为 顶角的等腰三角形，.BD=OB。.∠BDO=∠BOD=2x。∠ABE十∠BDO十∠BOD= 180°，.60°-x十2x十2x=180°，解得x=40°。∠ABE=60°-40°=20°。 思维拓展 9.解：(1)△ABC,△BOC (2)有5个等腰三角形：△ABC,△BOC,△BEO,△CFO, 第3页（共48页）