第1章 三角形的证明(随堂反馈)-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年八年级下册数学（北师大版·新教材）陕西专版

第一章三角形的证明及其应用 1三角形内角和定理 第1课时三角形内角和与全等三角形的性质与判定 1.在△ABC中，若∠A=90°，∠B=40°，则∠C的度数为 A.35 B.40° C.45° D.50° 2.如图，△ACB≌△A'CB',∠ACB=70°，∠ACB'=100°，则∠BCA'的度数为 A.30° B.35° C.40° D.50° B (第2题图) (第3题图) (第4题图) (第5题图) 3.如图，AB∥CD,∠DEC=100°，∠C=40°，则∠B的度数是 ( A.30 B.40 C.50 D.60° 4.如图，已知点A,D,B,F在一条直线上，∠A=∠F,AD=FB,要使△ABC≌△FDE,还 需添加一个条件，这个条件可以是 。（只需填一个即可) 5.如图，BD=BC,BE=CA,∠DBE=∠C=62°，∠BDE=75°，则∠A的度数为 6.如图，AC是∠BAE的平分线，D是线段AC上一点，∠C=∠E,AB=AD。求证： BC=DE。 ·1 第2课时三角形内角和定理的推论 1.如图，下列是△ACD的外角的是 A.∠B B.∠ACB C.∠BAC D./DAE E A 50° 70△ B D B 的 (第1题图)》 (第2题图) (第3题图) (第4题图) 2.如图，在△ABC中，∠A=50°，∠C=70°，则∠ABD的度数是 ( A.110° B.120° C.130° D.140° 3.将一副三角尺按如图所示的方式放置，使含30°角的三角尺的短直角边和含45°角的三 角尺的一条直角边重合，则∠1的度数是 4.如图，∠1，∠2，∠3的大小关系是 。(用“<”连接) 5.如图，∠1和∠2是△ABC的外角，若∠A=75°，∠1=145°，求∠2的度数。 6.如图，点D,E分别在AC,AB上，且∠B=∠C。 求证：(1)∠AEC=∠ADB; (2)∠BEC>∠B。 ·2· 第3课时多边形的内角和 1.多边形的内角和不可能是 A.180° B.700° C.900° D.1080° 2.如图，AC是正五边形ABCDE的对角线，∠ACD的度数是 A.72 B.369 C.749 D.88 3.一个多边形从一个顶点引对角线把它分割成4个三角形，则它是 边形。 4.若两个多边形的边数之比是1：2，内角和度数之比为1：3，求这两个多边形的边数。 第4课时多边形的外角和 1.四边形的外角和等于 2.如果一个正多边形的内角和是外角和的2倍，那么这个正多边形是 ) A.等边三角形 B.正方形 C.正六边形 D.正八边形 3.已知一个多边形的内角和比外角和的3倍多180°。 (1)求这个多边形的边数： (2)若这个多边形是正多边形，则该正多边形一个内角的度数是多少？ ·3· 2等腰三角形 第1课时 等腰三角形与等边三角形的性质 1.一个等腰三角形的底角为70°，则它的顶角为 A.1009 B.140 C.50° D.40° 2.如图，△ABC为等边三角形，则∠1的度数为 ( A.60° B.90° C.120° D.150° B D B D (第2题图) (第3题图) (第4题图) 3.如图，在△ABC中，AB=AC,AD是∠BAC的平分线，BD=4,AD=10,则△ABC的面 积为 4.如图，在等边三角形ABC中，AD是边BC的中线，E为边AC上一点，且AE=AD,则 ∠ADE的度数为 5.如图，在△ABC中，D为AC边上一点，AD=AB,连接BD,BD=DC,DE为边BC上的 高。若∠ABD=50°，求∠BDE的度数。 6.如图，在等边三角形ABC中，点D,E,F分别在边AB,BC,AC上，且AD=BE=CF。 求证：△ADF≌△BED。 ·4 第2课时等腰三角形的判定与反证法 1.在△ABC中，下列能判定△ABC是等腰三角形的是 A.∠A=30°，∠B=60° B.∠A=70°，∠B=50° C.∠A=40°，∠B=70° D.∠A=60°，∠B=80° 2.如图，已知OC平分∠AOB,CD∥OB。若OD=3,则CD的长为 ( ) D B A.3 B.4 C.1.5 D.2 3.用反证法证明：“在△ABC中，已知∠B≠∠C,则AB≠AC”,应首先假设 4.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D,BF平分∠ABC交AD于点E,交 AC于点F。求证：AE=AF。 5.用反证法证明：在△ABC中，若AB=AC,则∠B<90°。 ·5· 第3课时等边三角形的判定与含30°角的直角三角形的性质 1.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=6,则AB的长为 A.6 B.6√2 C.6√3 D.12 2.如图，在△ABC中，下列条件能说明△ABC是等边三角形的是 A.AB=AC,∠B=∠C B.AD BC,BD=CD C.BC=AC,∠B=∠C D.AD⊥BC,∠BAD=∠CAD B (第2题图) (第3题图) 3.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=60°，∠BAC的平分线为AM,且AM的长为 15cm,则BC的长为 4.如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=120°，P是BC上一点，且∠BAP=90°，CP= 6cm,求BP的长。 5.如图，△ABO是等边三角形，CD∥AB,分别交AO,BO的延长线于点C,D。 求证：△OCD是等边三角形。 ·6 3直角三角形 第1课时直角三角形的性质与判定 1.下列各组数中，以它们为边长的线段能构成直角三角形的是 A.2,4,5 B.6,8,11 C.5,12,12 D.1,1,√2 2.如图，AB∥DF,AC⊥CE于点C,BC与DF交于点E。若∠A=20°，则 ∠CEF的度数为 )A A.110° B.100° D C.80° D.70° 3.已知∠A=37°，∠B=53°，则△ABC为 三角形。 4.“等腰三角形的两底角相等”的逆命题是 ,这个逆命 题是 (选填“真”或“假”)命题。 5.若三角形的三边长分别为a,b,c,且(a十b)2一c2=2ab,则此三角形是 三角形。 6.如图，在△ABC中，AD为BC边上的高，已知∠B=∠CAD,AB=4,AC=3。 (1)求证：△ABC是直角三角形； (2)求AD的长。 7.如图，在四边形ABCD中，∠B=90°，AB=3,BC=4,CD=12,AD=13,求四边形ABCD的 面积。 ·7· 第2课时直角三角形全等的判定 1.如图，∠B=∠E=90°，AB=DE,AC=DF,则判定△ABC≌△DEF的理由是( A.边角边 B.角边角 C.角角边 D.斜边、直角边 B (第1题图) (第2题图) (第3题图) 2.如图，BD⊥AB,BD⊥CD,添加下列条件后能用“斜边、直角边”判定△ABD≌ △CDB的是 ( ) A.AD=CB B.AB-CD C.∠A=∠C D.AD∥BC 3.如图，BE⊥AC于点B,AB=BD=3,AE=CD,BC=5,则DE的长为。 4.已知：直角∠MON和线段a,b。 求作：Rt△AOB,使∠AOB=90°，且顶点A,B分别在射线OM,ON上，直角边OA=a, 斜边AB=b。 b 5.如图，在四边形ABCD中，BA=BC,∠A=∠C=90°。 (1)求证：△ABD≌△CBD; (2)若/ABC=70°，求/BDC的度数。 ·8· 4线段的垂直平分线 第1课时线段垂直平分线的性质与判定 1.如图，直线1是线段AB的垂直平分线，P是直线1上一点，PA=5,则PB的长度为() A.6 B.5 C.4 D.3 B (第1题图)》 (第2题图) 2.如图，在△ABC中，∠C=20°，DE是边AC的垂直平分线，交BC于点E,连接AE,则 ∠CAE的度数为 ) A.20 B.40° C.50° D.70° 3.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D,交BC于 点E。已知∠BAE=20°，求∠C的度数。 4.如图，在△ABC中，AD是高，在线段DC上取一点E,使BD=DE,已知AB+BD=DC。 求证：点E在线段AC的垂直平分线上。 ·9· 第2课时三角形三边的垂直平分线 1.如图所示的作图痕迹是 A.作线段的垂直平分线 B.作一个角的平分线 C.过一点作已知直线的垂线 D.作一个角等于已知角 B2- (第1题图)（第2题图） (第3题图) (第4题图) (第5题图) 2.如图，在足球场内有A,B,C三个运动员，现准备在足球场内放一个足球，使它到三个运 动员的距离相等，则足球应放在 A.AB,AC两边高线的交点处 B.AC,BC两边中线的交点处 C.AC,BC两边垂直平分线的交点处 D.∠A,∠B两内角平分线的交点处 3.如图，在△ABC中，AB=AC,以点B为圆心，BC长为半径画弧，交AC于点C,D;再分 别以点C,D为圆心，大于2CD的长为半径画弧，两弧相交于点P;作射线BP,交AC于点 E。若AD=5,CE=1,则AB的长为 4.如图，在△ABC中，AC=5,BC=7,AB=9。用尺规作图的方法在边AB上确定一点D, 则△ACD的周长为 5.如图，已知△ABC的边AB,BC的垂直平分线相交于点P,连接AP,BP,CP。若AP= 3,则CP的长为 6.如图，在△ABC中，∠C=110°，边AB,CB的垂直平分线相交于点P,连接AP,BP,求 ∠APB的度数。 ·10·随堂反馈答案 第一章三角形的证明及其应用 1三角形内角和定理 第1课时三角形内角和与全等三角形的性质与判定 1.D2.C3.B4.∠C=∠E(答案不唯一)5.43°6.证明：：AC是∠BAE的平分线，∴∠BAC=∠DAE。在△BAC和 I∠BAC=∠DAE, △DAE中，∠C=∠E, ..△BAC≌△DAE(AAS)。.BC=DE。 AB=AD, 第2课时三角形内角和定理的推论 1.B2.B3.75°4.∠1<∠2<∠35.解：：∠A=75°，∠1=145°，.∠ABC=∠1-∠A=145°-75°=70°。.∠2=180° ∠ABC=180°-70°=110°。6.证明：(1)：∠AEC=∠B+∠EOB,∠ADB=∠C+∠DOC,且∠B=∠C,∠EOB=∠DOC, ∴∠AEC=∠ADB。(2):∠BEC=∠C+∠A>∠C,∠B=∠C,∴∠BEC>∠B。 第3课时多边形的内角和 1.B2.A3.六4.解：.两个多边形的边数之比为1：2，.设一个多边形的边数为，则另一个多边形的边数为2n。内角和 度数之比为1：3∴六：需=子·解得=1。经检验=4是所列方程们根，且符合题意。2=8。∴这两个多边形的 边数分别为4,8。 第4课时多边形的外角和 1.360°2.C3.解：(1)设这个多边形的边数是n。由题意，得(n-2)×180°=360°×3+180°，解得n=9。答：这个多边形的边数 是9。(2)由(1)知该多边形是正九边形，“该正多边形一个内角的度数是9-2)X180°=140°。 9 2等腰三角形 第1课时等腰三角形与等边三角形的性质 1.D2.C3.404.75°5.解：AD=AB,..∠ADB=∠ABD=50°。.∠BDC=180°-∠ADB=130°。.'BD=DC,DE为边 BC的高，DE平分∠BDC。·∠BDE=号∠BDC=65°。6.证明：△ABC是等边三角形，AC=AB,∠A=∠B=60 (AD=BE, ,AD=CF,.BD=AF。在△ADF和△BED中，∠A=∠B,∴△ADF≌△BED(SAS)。 AF=BD, 第2课时等腰三角形的判定与反证法 1.C2.A3.AB=AC4.证明：：BF平分∠ABC,∴∠ABF=∠CBF。:'∠BAC=90°，AD⊥BC,∴.∠ABF+∠AFB=∠CBF 十∠BED=90°，∴∠AFB=∠BED。∠AEF=∠BED,∴.∠AFE=∠AEF。∴AE=AF。5.解：已知：在△ABC中，AB= AC.求证：∠B<90°。证明：假设∠B≥90°。AB=AC,.∠B=∠C≥90°。∠B十∠C≥180°。∠A+∠B+∠C>180°，这与 三角形内角和定理矛盾，则假设不成立。.∠B<90°。 第3课时等边三角形的判定与含30°角的直角三角形的性质 1.D2.C3.22.5cm4.解：.AB=AC,∠BAC=120°，∴.∠B=∠C=30°。∠BAC=120°，∠BAP=90°，∴.∠PAC=30°。 .∠C=∠PAC。∴.AP=CP=6cm。:∠BAP=90°，∠B=30°，∴.BP=2AP=12cm。5.证明：：△ABO是等边三角形，∴∠A =∠B=∠AOB=60°。：CD∥AB,∴.∠D=∠B=60°，∠C=∠A=60°。又∠COD=∠AOB=60°，.∠C=∠D=∠COD。 ∴.△OCD是等边三角形。 3直角三角形 第1课时直角三角形的性质与判定 1.D2.A3.直角4.有两个角相等的三角形是等腰三角形真5.直角6.(1)证明：：AD为BC边上的高，∴.∠B十∠BAD =90°。∠B=∠CAD,.∠CAD十∠BAD=90°，即∠BAC=90°。∴.△ABC是直角三角形。(2)解：由(1)知△ABC是直角三角 形BC-VAB+AC=V+3=5。:SAm=号AB·AC=号BC·ADAD-ARAC-3-号 。7.解：连接AC。 BC 5 5 在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC=AB+BC=32+4=25,.AC=5。在△ACD中，AC十CD=52+12=169,AD=13 169,AC十CD=AD。△ACD是以AD为斜边的直角三角形，∠ACD=90°。S边形eD=SAcD二SAMx三号X12X5一 2×3×4=30-6=24. 第2课时直角三角形全等的判定 BD=BD, 1.D2.A3.24.解：如图，M4 Rt△AOB即为所求。5.1)证明：在R△ABD和Rt△CBD中，BA=BC, 第44页（共48页） R△ABD2≌R△CBD(H.(2)解：R△ABD≌R△CBD,∠ABC=7O,:∠ABD=∠CBD=寸∠ABC=35。·∠BDC 90°-∠CBD=55°。 4线段的垂直平分线 第1课时线段垂直平分线的性质与判定 1.B2.A3.解：ED是AC的垂直平分线，.EA=EC。∴.∠C=∠EAC。∴∠CAB=∠EAC+∠BAE=∠C+20°。：∠C+ ∠CAB=90°，.2∠C+20°=90°。∴∠C=35°。4.证明：AD⊥BE,BD=DE,∴AD垂直平分BE。.AB=AE。又AB+BD =DC,.AE十DE=DC。又DC=DE十CE,.AE=EC。.点E在线段AC的垂直平分线上。 第2课时三角形三边的垂直平分线 1.C2.C374.145.36.解：连接CP。边AB,BC的垂直平分线交于点P,∴BP=CP,AP=BP。∴AP=BP=CP。 ∴.∠PBC=∠PCB,∠PAC=∠PCA。∠ACB=110°，∴.∠PCA+∠PCB=110°。∴.∠PAC+∠PBC=110°。∴.∠APB=360° ∠PAC-∠PBC-∠ACB=360°-110°-110°=140°。 5角平分线 第1课时角平分线的性质与判定 LC2.33.5志65证明：D连接AP,在R△APE和RAAPF中AEA,R:△APE≌R△APF(H),PB PF。(2):PE=PF,且PE⊥AB,PF⊥AC,.AP平分∠BAC。.点P在∠BAC的平分线上。 第2课时三角形的三条角平分线 1.C2.115°3.解：如图， 点D即为所求。4.解：.BO,CO分别平分∠ABC,∠ACB,OD⊥AB,OE⊥BC,OF⊥AC, :OF=OE=OD=4,:△ABC的周长为20,5AB+BC+AC=20。∴SA=Sam+SAx+SAe-合AB·0D+号BC·OE +2AC·0F=2(AB+BC+AC)·0D=×20X4=40. 第二章不等式与不等式组 1不等式及其性质 第1课时不等关系 1.C2.D3.解：(1)x+17<5。(2)-x-1≥2。(3)m-2≥0。 第2课时不等式的解与解集 1.0,3,-之2.解：1) (2) -6-5-4-3-2-10 0123436 8.154 -43-2-10 第3课时不等式的基本性质 1.D2.D3.解：(1)正确。理由如下：由不等式的基本性质1，将不等式的两边都加上3a,得b<3a,故正确。(2)不正确。理由如 下：由不等式的基本性质3，将不等式的两边都除以一5，得x<一4，故不正确。4.解：(1)根据不等式的基本性质1，两边都加1， 得x-1十1<8十1，即x<9。(2)根据不等式的基本性质1，两边都减去2x,得3x一2x<2x-3一2x,即x<一3。(3)根据不等式的 基本性质3，两边都除以-2，得二号>马2，即x>-3。(4)根据不等式的基本性质2，两边都乘2，得号xX2>(一3)×2，即x> 一6。 2一元一次不等式 第1课时一元一次不等式的解法 1.B2.A3.C4.D5.解：(1)移项，得2x≥-1十5。合并同类项，得2x≥4。两边都除以2，得x≥2。这个不等式的解集在数 轴上的表示如图所示。10支方本了 一(2)移项，得一3x>8+1。合并同类项，得一3x>9。两边都除以一3，得x<一3。这个 不等式的解集在数轴上的表示如图所示。3-品2023)去括号，得5x一5<4十2x。移项，得5x一2x<4+5。合并同类 项，得3<9。两边都除以3，得x<3。这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示。十宁(4④)去分母，得18-3(x 2)≤2。去括号，得18-3十6≤2x。移项，得-3x一2≤一6-18。合并同类项，得-5≤-24。两边都除以-5，得≥号。这 个不等式的解集在数轴上的表示如图所示。 24 第2课时一元一次不等式的应用 1.D2.B3.B4.175.解：设需要租用甲种客车x辆，则租用乙种客车(8-x)辆。根据题意，得45x十30(8-x)≥300。解得x ≥4。答：至少需要租用甲种客车4辆。 第45页（共48页）