第1章 三角形的证明 综合评价-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年八年级下册数学（北师大版·新教材）陕西专版

第一章综合评价 () (时间：120分钟满分：120分) 妻 第一部分（选择题共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分。每小题只有一个选项是符合题意的） 1.若直角三角形的一个锐角是65°，则另一个锐角的度数是 A.45° B.359 C.25 D.15° 2.等腰三角形的底角等于50°，则这个等腰三角形顶角的度数是 A.50 B.659 C.80 D.100° 3.如图，已知传送带与水平面所成角度是30°，如果它把物体送到离地面5m高的地方，那么 物体所经过的路程为 ( A.5 m B.5√/3m C.10√3m D.10m 图① 图② (第3题图) (第4题图) (第5题图) (第6题图) 4.如图，在Rt△ABC与Rt△DCB中，已知∠A=∠D=90°。添加下列条件后，不能使Rt△ABC ≌△Rt△DCB的是 ( A.AB=DC B.AC=DB C.∠ABC=∠DCB D.BC=BD 5.风铃，又称铁马，古称“铎”，常见于中国传统建筑屋檐下（如图①），图②是六角形风铃底部的平 面示意图，可抽象为正六边形ABCDEF,连接CF,则∠AFC的度数为 A.30° B.45° C.60 D.75 6.将等边三角形如图放置，a∥b,∠1=35°，则∠2的度数为 A.20° B.259 C.30 D.35° 7.如图，在下列三角形中，若AB=AC,则不能被一条直线分成两个小等腰三角形的是 108 8.如图，在△ABC中，∠BAC的平分线交BC于点D,过点D作DE⊥AB, DFLAC,垂足分别为E,F。有下列结论：①∠AEF=∠AFE;②AD垂直平分 FF:®器：@EF/BC,其中正确的是 BE SACFD 墨 A.①②③ B.②③④ C.①③④ D.①②③④ 第二部分（非选择题 共96分) 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分）》 9.命题：“两直线平行，同旁内角互补”的逆命题为 第1页（共6页） 10.体育课上的侧压腿动作可以抽象为如图所示的几何图形，若∠1=120°，则∠2的度数是 (第10题图) (第11题图) (第12题图) (第13题图) (第14题图) 11.如图，在△ABC中，∠BAC=53°，∠ABC=37°，以△ABC的三边为边长向外作正方形。若 S1=16,S2=12,则S3的值是 12.如图，DE⊥BC,BE=EC,且AB=5,AC=8,则△ABD的周长为 13.如图，在等边三角形ABC中，过点C作BC的垂线，交∠ABC的平分线于点D,BD=4,则点D 到边AB所在直线的距离是。 14.如图，在△ABC中，已知∠ACB=90°，AB=10cm,AC=8cm,动点P从点A出发，以1cm/s 的速度沿线段AB向点B运动。在运动过程中，当△APC为等腰三角形时，点P出发的时间 的值为 三、解答题（共12小题，计78分。解答题应写出过程） 15.(本题满分5分)已知一个多边形的内角和刚好是外角和的7倍。求这个多边形的边数。 16.(本题满分5分)如图，在△ABC中，AB=AC,BD是△ABC的高，∠ABD=12°，求∠DBC的 度数。 17.(本题满分5分)如图，点C,E,B,F在同一条直线上，AB⊥CF于点B,DE⊥CF于点E,AC= DF,AB=DE。求证：CE=BF。 第2页（共6页） 18.(本题满分5分)用反证法证明：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.将下面的 过程补充完整。 已知：如图，∠ACD是△ABC的一个外角。 求证：∠ACD=∠A+∠B。 证明：假设 在△ABC中，∠A+∠B+∠ACB=180°， =180°-∠ACB。 ,∠ACD+ =180°， ∴.∠ACD=180°- ∴.∠ACD= ∴.与假设相矛盾。∴.假设不成立。 ∴.原命题成立，即∠ACD=∠A+∠B。 19.(本题满分5分)小红外出游玩时看到了映山红拼成的“70”字样（如图），还有两个花坛M,N。 请帮小红找一处最佳观赏位置P,满足观赏点P到“7”字样的两边的距离都相等，并且到两个 花坛M,N的距离也都相等。（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 20.(本题满分5分)木工师傅做一个三角形屋梁架ABC如图所示，上弦AB=AC=4,跨度BC= 6m,为牢固起见，还需做一根中柱AD(AD是△ABC的中线)加以连接，现有一根长3m的木料， 请你通过计算说明这根木料的长度是否适合做成中柱AD。 21.(本题满分6分)如图，BD是∠ABC的平分线，AB=BC,点P在BD上，PM⊥AD,PNCD, 垂足分别是M,N。求证：PM=PN。 第3页（共6页） 22.(本题满分7分)如图，E为△ABC的外角平分线上的一点，AE∥BC,BF=AE。 求证：(1)△ABC是等腰三角形； (2)AF=CE 23.(本题满分7分)如图，在△ABC中，点E是BC边上的一点，连接AE,BD垂直平分AE,垂足 为F,交AC于点D。连接DE (1)若△ABC的周长为19，△DEC的周长为7，求AB的长； (2)若∠ABC=30°，∠C=45°，求∠CDE的度数。 24.(本题满分8分)如图，在四边形ABCD中，对角线AC,BD交于点E,∠BAC=90°，∠CED= 45°，∠DCE=30°，DE=2√2，AB=6。 (1)求CD的长； (2)求四边形ABCD的面积。 第4页（共6页） 25.(本题满分8分)如图，为了测量墙体是否与地面垂直，即MO是否垂直PN于点O,在没有角尺、 量角器、刻度尺，只有足够长、足够多的若干条无弹性的绳子的情况下，三个数学兴趣小组分别设 计了三种不同解决方案，其中第一、第二组的设计方案如表所示。 问题 如何测量墙体是否与地面垂直 工具 若干条无弹性的绳子 小组 第一小组 第二小组 在一条绳子上打13个结，得到12条线段，且用如图②，在射线OM,ON上分别取点A,B,放置 叠合法使得这12条线段都相等。设每一条线 绳子AB,对折AB得到相等的两段AC,BC,放置 测量 段长为a。如图①，使在OM上的绳子OA= 绳子OC,用叠合法比较OC与BC的长度。若 方案 4a,在ON上的绳子OB=3a。若AB=5a,则 OC=BC,则墙体与地面垂直，即MO⊥PN于点 OA⊥OB,即MO⊥PN于点O,否则不垂直 O,否则不垂直 测量示 图① 图② ()第一、二小组的方案可行吗？如果可行，请分别给出证明；如果不可行，请说明理由。 (2)请你代表第三小组，写出一个应用原理不同于上述第一、二小组的测量方案，并在图③中画 出测量示意图，然后证明方案的可行性。 图③ 第5页（共6页） 26.(本题满分12分)七年级数学兴趣小组的同学在研究三角形问题时发现：三个内角都相等或者 三条边都相等的三角形均为等边三角形，反过来，等边三角形的三个内角都相等，小明同学画 出一个等边三角形ABC,并在AC边上取了一定点E(不与顶点重合)，现请你和他一起运用相 关知识共同解决以下问题： 【问题发现】 (1)请在图①中画一个等边三角形CEF(F在CB上)，并且判断AB与EF的位置关系； 【问题解决】 (2)如图②，点D为BC边上任一个点，连接DE,以DE为边在其右侧作等边三角形DEF,连 接CF,试探究线段CF,CD,CE之间的数量关系。（可参照(1）的做法) 【类比探究】 (3)某市正在实施对老旧小区环境提升改造工程，图③是友谊小区改造工程平面示意图的一部 分，其中△ABC是一个改造好的等边三角形居民休闲区，四边形DCEF是新修的一小块草 地(D在BC的延长线上，E在AC上)，且△DEF是等边三角形，CD,CE,CF是改造中种 植的三条新绿化带，测得CE+CD=18m,如果种植每米绿化带费用约为50元（不计宽度， 含人工费)，那么种植上述三条绿化带大约需花多少钱？ 图① 图② 图③ 第6页（共6页）综合评价答案 第一章综合评价 1.C2.C3.D4.D5.C6.B7.B8.A9.同旁内角互补，两直线平行10.30°11.2812.1313.214.5或8 15.解：设这个多边形的边数是n。由题意，得(n一2)×180°=-360°×7，解得n=16。答：这个多边形的边数是16.16.解：：BD 是△ABC的商∠ADB=90.∠A=90°-∠ABD=90°-12=78.：AB=AC,∠ABC=∠C=号X(180°-∠A)=51. .∠DBC=∠ABC-∠ABD=51°-12°=39°。17.证明：：AB⊥CF,DE⊥CF,∴.∠ABC=∠DEF=90°。在Rt△ABC和 Rt△DEF中， AC=DF,:R△ABC2R△DEF(HD),∴BC=EF,∴BC-BE=EF-BE,即CE=BF。I8.∠ACD≠∠A+∠B AB=DE, ∠A十∠B∠ACB∠ACB∠A十∠B19.解：如图，点P即为所求。 20.解：'AB=AC=4m,AD是△ABC 的中线，ADLBC,BD=号BC=3m.在R△ABD巾，由勾股定理，得AD=√AB-BD-厅m。“7<3,这根木料的长度 适合做成中柱AD。21.证明：：BD为∠ABC的平分线，.∠ABD=∠CBD。在△ABD和△CBD中， AB=CB, ∠ABD=∠CBD,△ABD≌△CBD(SAS)。∴∠ADB=∠CDB。.BD平分∠ADC。点P在BD上，PM⊥AD,PN⊥CD, BD=BD, ∴PM=PN。22.证明：(I):AE∥BC,∴·∠DAE=∠B,∠EAC=∠ACB。:E为△ABC的外角平分线上的一点，∠DAE= ∠EAC。∴∠B=∠ACB。∴AB=AC。∴△ABC是等腰三角形。(2)由(1)，得∠B=∠ACB,∠EAC=∠ACB,∴∠B=∠CAE。 (AB=CA, 在△ABF和△CAE中，∠B=∠CAE,∴△ABF≌△CAE(SAS)。∴.AF=CE。23.解：(I):BD是线段AE的垂直平分线， BF=AE, .AB=BE,AD=DE。:△ABC的周长为19，△DEC的周长为7，.AB+BE+CE+CD+AD=19,①CD+CE+DE=CD+CE +AD=7,②①-②，得AB+BE=19-7=12,∴.AB=BE=6。(2):∠ABC=30°，∠C=45°，∴∠BAC=180°-∠ABC-∠C= BA=BE, 180°-30-45°=105°。在△BAD和△BED中，BD=BD,.△BAD≌△BED(SSS)。.∠BED=∠BAC=105°。∠CDE= DA-DE. ∠BED-∠C=105°-45°=60°。24.解：(1)过点D作DH⊥AC,则∠EHD=∠CHD=90°。.∠EDH=90°-∠CED=45°。 ∴∠HED=∠EDH。∴EH=DH。:EH+DH=DE,DE=2√2，∴EH=DH=2。∠DCE=30°，∠DHC=90°，∴.DC= 2DH=4。(2)在Rt△DHC中，CH=√CD-DH平=23。：'∠AEB=∠CED=45°，∠BAC=90°，∴∠ABE=90°-∠AEB= 46.AE=AB=6。÷AC=AE+EH+CH=8+2E。÷Sc=Sac+Sae=合AB·AC+2AC·DH=32+8V5. 25.解：(1)第一、二小组的方案都可行。证明如下：第一小组：由题意，得OA=4a,OB=3a,AB=5a。在△AOB中，OB十OA= (3a)2+(4a)2=25a2,AB2=(5a)2=25a2,.OA2+OB2=AB2。∴.△AOB是直角三角形，且∠AOB=90°。.OA⊥OB,即M0⊥ PN。第二小组：：AC=BC,OC=BC,∴.AC=OC=BC。.∠CAO=∠COA,∠COB=∠CBO。又∠CAO+∠COB+∠COA+ ∠CBO=180°，.∠COA十∠COB=90°。.OA⊥OB,即MO⊥PV。(2)答案不唯一，如：如答图，在射线OM,ON, OP上分别取点A,B,C,放置绳子AB,AC,使AB=AC,用叠合法比较OC与OB的长度。若OC=OB,则墙体与地 面垂直，即MO⊥PN于点O,否则不垂直。证明：，'AC=AB,OC=OB,∴.AO⊥BC,即MO⊥PV。26.解：(1)如P℃0B 图，等边三角形CEF即为所求作。AB与EF的位置关系为AB∥EF。(2)在CD上截取CH=CE,连接EH。: 答图 △ABC为等边三角形，∴.∠ACB=60°。△ECH为等边三角形。∴.EC=EH=CH,∠CEH=60°。：△DEF是等边三角形， ∴.EF=ED,∠FED=60°。∠CEH=∠FED=60°。∠CEH-∠FEH=∠FED-∠FEH,即∠CEF=∠HED。.△CEF≌ △HED(SAS)。.CF=HD。:CD=CH+HD,CH=CE,.CD=CE+CF。(3)如图③，在CB上截取CH=CE,连接EH。 :△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°（即∠ECH=60)。.△ECH为等边三角形。.EC=EH=CH,∠CEH=60°。 :△DEF是等边三角形，.EF=ED,∠FED=60°。.∠CEH=∠FED=60°。.∠CEH+∠CED=∠FED+∠CED,即∠HED =∠CEF。△CEF≌△HED(SAS)。∴.CF=HD。又，HD=CH+CD,CH=CE,.CF=CE+CD。'CE+CD=l8m,∴.三 条绿化带总长为C℉十CE+CD=2CF=36m,又：每米绿化带费用约为50元（不计宽度，含人工费），∴.三条绿化带总费用为50X 36=1800(元)。 天Y 图① 图② 图③ 第29页（共48页）