5 第2课时 三角形的三条角平分线&专题7 巧构等腰三角形的几种常见技巧-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年八年级下册数学（北师大版·新教材）陕西专版

第2课时三角 基础过关 ◆》逐点击破 知识点1三角形角平分线的性质与判定 1.在三角形中，到三边距离相等的点是( A.三条高线的交点 B.三条中线的交点 C.三条角平分线的交点 D.三边垂直平分线的交点 2.如图，△ABC的外角∠CBD和 ∠BCE的平分线相交于点F, 连接AF。若∠BAC=50°，则 ∠BAF的度数为 3.如图，在△ABC中，AG,BM,CN分别是 ∠BAC,∠ABC,∠ACB的平分线。求证： AG,BM,CN交于一点。 知识点2三角形角平分线的应用 4.如图，某市有一块由三条马路围成的三角形 绿地，现准备在其中建一座小亭供人们休 息，要求小亭中心到三条马路的距离相等， 试确定小亭的中心位置。（不写作法，保留 作图痕迹) 形的三条角平分线 【能力提升 ··整合运用 5.如图，在△ABC中，BI平分∠ABC,CI平分 ∠ACB,连接AI,过点I作ID⊥BC。若 △ABC的周长为18，ID的长度为3，则 △ABC的面积为 ( A.18 B.30 C.24 D.27 (第5题图) (第6题图) 6.生产生活情境化（教材P45习题T5变式）如 图，1，l2,l3是三条两两相交的笔直公路，现 欲修建一个加油站，使它到三条公路的距离 相等，则这个加油站的位置共有处。 7.如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平 分线相交于点O,过点O作EF∥BC,交AB 于点E,交AC于点F。 (1)若AB=4,AC=5,则△AEF的周长是 (2)过点O作OH⊥BC于点H,连接OA。 当∠BAC=60°时，试探究OH与OA的 数量关系，并说明理由。 提示 请完成基本功专练（一） 数学八年级下册(BS)30 专题七巧构等腰三角形的几种常见技巧【通性通法】 类型1利用平行线巧构等腰三角形 证法一：过点D作DM∥AB,交BC的延长 (一)利用“角平分线十平行线”巧构等腰三角 线于点M。(请将证明过程补充完整) 形（教材P17随堂练习T1变式） M 1.如图，在△ABC中，BE,CE分别是∠ABC 和∠ACB的平分线，过点E作DF∥BC交 AB于点D,交AC于点F,若AB=6,AC 4,则△ADF的周长为 A.6 B.7 C.8 D.10 D∠ (第1题图) (第2题图)》 2.如图，在△ABC中，DE∥BC,∠ABC和 ∠ACB的平分线分别交DE于点G,F,BG, CF相交于点O。 (1)若∠A=50°，则∠BOC的度数为 (2)若FG=5,ED=8,则EB+DC的值为 证法二：过点B作BN∥DE,交AC的延长 线于点N。(请将证明过程补充完整) (二)作腰或底的平行线巧构等腰三角形 模型呈 作腰的平行线构造 作底的平行线构造等腰 等腰三角形： 三角形： 点 若AB=AC,DE∥ 若AB=AC,DE∥BC, 述 AC,则△BDE为 则△ADE为等腰三 等腰三角形 角形 3.一题多解思维发散如图，在△ABC中，CA 思考：本题还有多种作底的平行线构造等腰三角形 CB,点D在AC的延长线上，点E在BC上， 解题的方法，也可用等腰三角形的“三线合一”作辅 且CD=CE,求证：DE⊥AB。 助线解题，跟同学们交流一下吧。 31第一章三角形的证明及其应用 4.如图，在△ABC中，AB=AC,E为AB上的 一点，F是AC延长线上一点，连接EF,交 BC于点D。若DE=DF,求证：BE=CF。 类型2逆用“三线合一”巧构等腰三角形 名师点拨：如图，在△ABC中，有下列条 件：①AD平分∠BAC;②AD⊥BC; ③AD为BC边上的中线，知①②或B4 ②③，易证△ACD≌△ABD,进而可得△ABC为等 腰三角形。 注：此结论在小题里可直接用，解大题时需要写出推 理过程，直接用会扣步骤分。 5.如图，在△ABC中，AB<BC,BP平分 ∠ABC,AP⊥BP于点P,连接PC。若 △ABC的面积为4，则△BPC的面积为 B (第5题图) (第6题图) 6.如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB, BD⊥CD于点D,∠ABD=∠A。若BD 1,BC=3,则AC的长为 A.2 B.3 C.4 D.5 类型3利用“截长补短”巧构等腰三角形 (一)利用线段之间的和差关系巧构等腰三 角形 7.如图，在△ABC中，∠BAC=120°，AD⊥BC 于D,且AB+BD=DC,则∠B的度数为 B D (二)利用倍角关系巧构等腰三角形 名师点拨：在△ABC中，∠ABC=2∠C。常通过作 下面辅助线解决问题： 8.如图，在△ABC中，∠ABC=2∠C,AD⊥BC 于点D,AE为BC边上的中线。 (1)求证：BE+DE=AB+BD: (2)若BD=2,DE=3,求AB的长。 BD E 数学八年级下册(BS)32基础过关 1.B2.C3.44.D5.证明：DE⊥AB,DF⊥AC,∴.∠BED=∠CFD=90°。D是BC的中点，∴.BD=CD。在Rt△BDE和 Rt△CDF中， BD=CD,:R△BDE≌RtACDF(H)。∴DE=DE。DELAB,DF⊥AC,AD平分∠BAC BE=CF, 能力提升 6.C7.B8.169.证明：过点D作DE⊥AB于点E,则∠AED=90°=∠C。:AD平分∠CAB,DC⊥AC,∴.CD=DE。 :∠ACD=∠AED=90°，AD=AD,∴.Rt△ADC≌Rt△ADE(HL)。∴AC=AE。:△ABC是等腰直角三角形，∠B=45°。 ∴∠BDE=90°-∠B=45°。∴DE=EB。.CD=EB。.AB=AE+EB=AC+CD。 思维拓展 10.【定理】解：AC平分∠BAD【运用】证明：过点C作CM⊥AB于点M,过点C作CN⊥AD交AD的延长线于点N。:CN⊥ AD,CM⊥AB,∴∠N=∠BMC=90°。：∠BAD+∠BCD=180°，∴.∠ADC+∠B=180°。'∠CDN+∠ADC=180°，∴∠B= ∠CDN。BC=CD,.△CBM≌△CDN(AAS)。.CM=CN。CN⊥AD,CM⊥AB,.AC平分∠BAD。 专题六利用角平分线构造全等三角形解题【通性通法】 1.证明：过点C作CF⊥AB于点F,则∠AFC=90°。，∠D=90°，.CD⊥AD。AC平分∠BAD,.CD=CF。在Rt△ADC和 Rt△AFC中， [AC=ACR△ADC≌R△AFC(HL)。∴AD=AF.同理，得BF=BE,AB=AF+BF=AD+BE.【变式题】 CD-CF. BC=FC, 证法一：证明：在△BCE和△FCE中，∠BCE=∠FCE,∴△BCE≌△FCE(SAS)。∴∠B=∠CFE。:AD∥BC,∴∠A+∠B= CE=CE, ∠A=∠DFE, 180°。∴∠A+∠CFE=180°。：∠CFE+∠DFE=180°，.∠A=∠DFE。在△ADE和△FDE中，∠ADE=∠FDE,∴.△ADE≌ DE-DE, MD=CD, △FDE(AAS)。∴.AD=FD。∴.CD=FD十FC=AD十BC。证法二：证明：在△DME和△DCE中，∠MDE=∠CDE,∴.△DME≌ DE=DE, △DCE(SAS)。.ME=CE,∠M=∠DCE。:∠DCE=∠BCE,∴.∠M=∠BCE。:AD∥BC,∴.∠MAE=∠B。在△AME和 ∠M=∠BCE, △BCE中，∠MAE=∠B,.△AME≌△BCE(AAS)。.AM=BC。.CD=MD=AD+AM=AD+BC。2.证明：过点E作 ME-CE, EF⊥BC于点F,则∠BFE=∠CFE=90°。：BD平分∠ABC,EA⊥AB,∴.EA=EF,∠BAE=∠BFE=90°。在Rt△ABE和 Rt△FBE中， BE-BER△ABE≌R△FBE(HD).∴AB=FB。:EB=EC,EF⊥BC,FB=FC。BC=2FB=2AB. EA-EF. 第2课时三角形的三条角平分线 基础过关 1.C2.25°3.证明：设AG,BM交于点P,过点P分别作PD⊥AB于点D,PE⊥BC于点E,PF⊥AC于点F。:AG平分 ∠BAC,BM平分∠ABC,.PD=PF,PD=PE。∴PE=PF。∴点P在∠ACB的平分线CN上。∴AG,BM,CN交于一点。 4.解：作三角形三条角平分线的交点即可。如图，点O即是小亭的中心位置。 能力提升 5.D6.47.解：(1)9(2)OH=2OA。理由如下：过点0作OG⊥AB于点G,OQ⊥AC于点Q。B0平分∠ABC,OH⊥BC, 0G1AB,0H=0G。同理可得OH=0Q。0G=0Q。∴A0平分∠BAC。·∠GA0=号∠BAC=30.0G=-号0A,即 0H=0A. 专题七巧构等腰三角形的几种常见技巧【通性通法】 1.D2.(1)115°(2)133.证法-：证明：CA=CB,.∠A=∠B。:DM∥AB,∴.∠CDM=∠A,∠M=∠B。.∠CDM= ∠M。:CD=CE,.∠CDE=∠CED。:'∠CDM+∠M+∠CDE+∠CED=180°，∴∠CDM+∠CDE=90°，即∠EDM=90。 ∴.DE⊥DM。,DM∥AB,∴.DE⊥AB。证法二：证明：CD=CE,∠CDE=∠CED。BN∥DE,.∠V=∠CDE,∠CBN= 第8页（共48页） ∠CED。.∴.∠CBN=∠N。,'CA=CB,∴.∠A=∠ABC。,∠A+∠ABC+∠CBN+∠N=180°，∴.∠ABC+∠CBN=90°，即 ∠ABN=90°。∴.BN⊥AB。:BN∥DE,∴.DE⊥AB。4.证明：过点E作EG∥AC,交BC于点G,则∠BGE=∠ACB,∠GED= ∠GED=∠F, ∠F。:AB=AC,.∠ACB=∠B。∠B=∠BGE。.BE=EG。在△GDE和△CDF中，JDE=DF, .△GDE≌ ∠EDG=∠FDC, △CDF(ASA)。∴.EG=CF。∴.BE=CF。5.26.D7.40°8.(1)证明：延长DB到F,使BF=BA,连接AF。BF=BA, .∠F=∠BAF。:∠ABC=∠F+∠BAF,∴.∠ABC=2∠F。:∠ABC=2∠C,∴.∠F=∠C。∴.AF=AC。AD⊥BC于点D, .FD=CD,即FB+BD=CE+DE。,BF=BA,AE为BC边上的中线，即BE=CE,.BE+DE=AB十BD。(2)解：，BE+DE =AB+BD,BD=2,DE=3,.(2+3)+3=AB+2。.AB=6。 问题解决策略：反思 1.解：ACCM=BN证明：CM是AB边上的中线，BV是AC边上的中线，AM=号AB,AV=AC。“AB=AC,AM AN。∠A=∠A,.△AMC≌△ANB(SAS)。.CM=BN。 【变式题1】3【变式题23【归纳总结】相等【进阶反思】相等 【策略运用】D2.解：如图所示。 )-(7)-(1)6)-(2)(5)(3)17-41+11-71+16-11+2-61+15-21+ |3-51=3+6十5十4十3十2=23。（答案不唯一）【变式题1】24【变式题2】40 第一章章末复习 思维导图 180°不相邻大于(n-2)·180°360°等角等边60°相等60°一半相等相等 考点整合 1.A2.B3.D4.25°5.36°6.D7.1288.C9.B10.证明：HB=HC,∠HBC=∠HCB。CF⊥AB,BE⊥AC, .∠BFC=∠BEC=90°。∴.∠ABC+∠BCH=90°，∠ACB+∠CBH=90°。.∠ABC=∠ACB。∴.AB=AC。:∠A=60°， .△ABC是等边三角形。11.A12.1.213.D14.D15.(1)证明：连接BP,CP。:点P在BC的垂直平分线上，BP= BP=CP, CP。AP是∠DAC的平分线，PD⊥AB,PE⊥AC,∴PD=PE。在Rt△BDP和Rt△CEP中， .Rt△BDP≌ PD=PE, RCEPO),BD=CE。2)解：在RAADP和RAEP中，AP=AP RAADPS≌RLAAEPCHI)..AD=AE PD=PE, .AB=6cm,AC=10cm,.6+AD=10-AE,即6+AD=10-AD。.AD=2cm。 聚焦课标 16.任务1：解：△ACD和△CBD△CBD和△ABC(答案不唯一）任务2：证明：：∠A=40°，∠B=60°，∴∠ACB=180°-∠A ∠B=80°。：在△ABC中，CD为角平分线，∴∠ACD=∠BCD=40°。.∠ACD=∠A。.CD=AD。.△ACD是等腰三角形。 :∠ADC=180°-∠A-∠ACD=180°-40°-40°=100°，.∠BDC=180°-100°=80°。.∠BDC=∠ACB。又：∠B=∠B, ∠BCD=∠A,△ABC与△CBD是“等角三角形”。∴.CD是△ABC的“等角分割线”。任务3：解：84°或111°或92或106°。（写 出其中任何一个即可)[解析：根据题意可知，分以下六种情况讨论：①当△ACD是等腰三角形，CD=AD时，∠BCD=∠ACD= ∠A=42°，∴.∠ACB=∠ACD+∠BCD=84°；②当△ACD是等腰三角形，AC=AD时，∠ADC=∠ACD=69°，∠BCD=∠A=42°， ∴·∠ACB=∠ACD十∠BCD=111°；③当△ACD是等腰三角形，CD=AC时，不符合题意，舍去；④当△BCD是等腰三角形，CD= BD时，∠ACD=∠B=∠BCD,∠B=180°∠A=46°。÷∠ACB=180°-∠A-∠B=92:O当△BCD是等腰三角形，BC= 3 BD时，∠ACD=∠B,∠BCD=∠BDC=∠A+∠ACD=42°+∠B,∴.在△BCD中，42°+∠B+42°+∠B十∠B=180°。.∠B= 32°，∠ACB=180°-∠A-∠B=106°；⑥当△BCD是等腰三角形，CB=CD时，不符合题意，舍去。综上所述，∠ACB的度数为84 或111°或92或106] 第二章不等式与不等式组 1不等式及其性质 第1课时不等关系 基础过关 1.A2.D3.B4.x2+y≤105.解：(1)x≥0。(2)-x-1≥2。(3)x+17<5x。(4)4m>5π 能力提升 6.c100品 8.解：(1)根据题意，得3x十2(10-x)>25。(2)根据题意，得3×400x十2×700(10-x)≥12000。 第9页（共48页）