5 第1课时 角平分线的性质与判定&专题6 利用角平分线构造全等三角形解题-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年八年级下册数学（北师大版·新教材）陕西专版

5 角平分线 第1课时 角平分线的性质与判定 【名师导学 ，预习先知 【基础过关 ◆·◆逐点击破 同新知梳理 知识点1角平分线的性质定理 ①定理：角平分线上的点到这个角的两 1.如图，OC为∠AOB的平分线，CM⊥OB,CM=6,则点C 边的距离 ②定理：在一个角的内部，到角的两边距离 到射线OA的距离为 相等的点在这个角的 上 A.3 B.6 C.9 D.12 ☑例题引路 【例1】如图，在 △ABC中，∠C= 90°，AD是∠BACA 的平分线，DE⊥AB于点E,点F在 (第1题图) (第2题图) (第3题图) AC上，且BE=CF。求证：BD=FD。2.如图，在△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC,交AC于 【名师点拔】只需证明△DEB≌△DCF 点D,DE⊥AB于点E.若AC=15,AD=9,则DE的长 即可。 【学生解答】 为 () A.9 B.7 C.6 D.5 3.如图，在△ABC中，AD是角平分线，DELAB于点E,DFL AC于点F,DE=2,AC=4,则△ADC的面积为 。 知识点2角平分线的判定定理 4.如图，C为∠AOB内部一点，且点C到 AO的距离与点C到OB的距离相等，连 接OC。若∠AOC=21°，则∠BOC的度 【例2】如图，已知 BE⊥AC,CF⊥AB, 数为 垂足分别为E,F, A.42 B.30° C.259 D.21° BE,CF相交于点D, A 5.(教材P44习题T1变式)如图，在△ABC中，D是BC的中 BD=CD。求证：AD平分∠BAC。 点，DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F,BE=CF。 【名师点拨】要证AD平分∠BAC,只 需证明DE=DF,此时只需证明 求证：AD平分∠BAC。 △BDF≌△CDE即可， 【学生解答】 27第一章三角形的证明及其应用 夏能力提升 ◆·整合运用 ■思维拓展 ◆◆·强化素养 6.将两把宽度相同的直尺按如图所示的方式 10.【定理】 摆放，两把直尺的接触点记为点P,其中一 如图①，因为CB⊥AB于点B,CD⊥AD于 把直尺的边缘与射线OA重合，另一把直尺 点D,CB=CD,所以 的下边缘与射线OB重合。若∠AOB=54°， 【运用】 则∠AOP的度数为 如图②，在四边形ABCD中，∠BAD十 A.54° ∠BCD=180°，BC=CD,求证：AC平分 B.36° ∠BAD。 C.27 D.26° B 7.(2025·咸阳秦都区月考)如图，点P在 ∠AOB的平分线上，PC⊥OA于点C, 图① 图② ∠AOB=30°，点D在边OB上，且OD=DP =4,则CP的长度为 ( A.1 B.2 C.3 D.4 0 B (第7题图) (第8题图) 8.如图，AD是∠BAC的角平分线，延长AD 至E,使AD=DE,连接BE,若AB=3AC, △BDE的面积为12，则△ABC的面积是 9.(教材P44习题T2变式)如图，AD是等腰 直角三角形ABC的底角平分线，∠C=90°。 求证：AB=AC+CD。 数学八年级下册(BS)28 专题六利用角平分线构造全等三角形解题【通性通法】 模型呈现及分析： 证法二（补短法）：延长DA到点M,使MD= (1)如图，OP是∠MON的平分线，PA⊥OM于点A。 CD,连接EM。(请将证明过程补充完整) M 作PB⊥ON 于点B 结论：PA=PB,△AOP≌△BOP; (2)如图，OP是∠MON的平分线，A是射线OM上 任意一点。 在OW上截取 OB=OA,连接PB 结论：△AOP≌△BOP。 本质：“角平分线十截长补短法”构造全等三角形。 1.如图，∠D=∠E=90°，AC,BC分别平分 ∠BAD,∠ABE,点C在线段DE上，求证： AB=AD+BE。 2.如图，在△ABC中，BD平分∠ABC,E是 BD上一点，EA⊥AB于点A,且EB=EC。 求证：BC=2AB。 【变式题·一题多解】如图，AD∥BC,点E 在线段AB上，∠ADE=∠CDE,∠DCE= ∠BCE。求证：CD=AD+BC 证法一（截长法）：在CD上取点F,使FC= BC,连接EF。(请将证明过程补充完整) 29第一章三角形的证明及其应用9.(1)证明：连接AE。.EF是AB的垂直平分线，.AE=BE。AD⊥BC,且D为CE的中点，.AD是CE的垂直平分线。，∴.AE= AC。BE=AC。(2)解：：AE=BE,∠BAE=∠B=35°。∠AEC=∠B+∠BAE=70°。：AE=AC,∴.∠C=∠AEC=70°。 .∠BAC=180°-∠B-∠C=75°。 思维拓展 10.A 第2课时三角形三边的垂直平分线 例题引路 【例1】证明：连接OA,OB,OC。点O在AB,BC的垂直平分线上，.OA=OB=OC。.点O在AC的垂直平分线上。 【例2】解：如图所示： ①作BC=a,并作其垂直平分线MN交BC于点D;②在DM上截取DA=b;③连接AB,AC,则 △ABC即为所求。 基础过关 1.D2.解：如图，AF即为所求。 3.C4.解：点P为△ABC三边垂直平分线的交点，∴.PA=PC=PB。 ∠PAB=∠PBA∠PAC=∠PCA=18,∠PBC=∠PCB=32.÷ZPAB=180-2∠PAC-2∠PCB)=号XI80-2X 18°-2×32)=40°。5.C6.解：如图，点P即为所求。 能力提升 7.D8.B9.1210.解：如图，点P即为所求。 思维拓展 11.(1)证明：连接PB,PC。:PE垂直平分AB,PM垂直平分AC,∴.PA=PB,PA=PC。.PB=PC。∴点P在线段BC的垂直 平分线上。(2)证明：PE垂直平分AB,.PA=PB,FA=FB。.∠PAB=∠PBA,∠FAB=∠FBA。∠PAB-∠FAB= ∠PBA-∠FBA,即∠PAF=∠PBF。同理，得∠PAN=∠PCN。由(I),得PB=PC,.∠PBF=∠PCN。∴.∠PAF=∠PAN, 即AP平分∠FAN。(3)解：180-& 2 5角平分线 第1课时角平分线的性质与判定 新知梳理 ①相等②平分线 例题引路 【例1】证明：：∠C=90°，DE⊥AB,AD是∠BAC的平分线，∴DE=DC,∠C=∠DEB=90°。在△DEB和△DCF中， DE=DC, ∠DEB=∠C,∴.△DEB≌△DCF(SAS)。∴.BD=FD. BE=FC, ∠BFD=∠CED, 【例2】证明：：BE⊥AC,CF⊥AB,∴.∠BFD=∠CED=90°。在△BDF和△CDE中，∠FDB=∠EDC,∴.△BDF≌△CDE(AAS)。 BD=CD, .DF=DE。又DF⊥AB,DE⊥AC,.AD平分∠BAC。 第7页（共48页） 基础过关 1.B2.C3.44.D5.证明：DE⊥AB,DF⊥AC,∴.∠BED=∠CFD=90°。D是BC的中点，∴.BD=CD。在Rt△BDE和 Rt△CDF中， BD=CD,:R△BDE≌RtACDF(H)。∴DE=DE。DELAB,DF⊥AC,AD平分∠BAC BE=CF, 能力提升 6.C7.B8.169.证明：过点D作DE⊥AB于点E,则∠AED=90°=∠C。:AD平分∠CAB,DC⊥AC,∴.CD=DE。 :∠ACD=∠AED=90°，AD=AD,∴.Rt△ADC≌Rt△ADE(HL)。∴AC=AE。:△ABC是等腰直角三角形，∠B=45°。 ∴∠BDE=90°-∠B=45°。∴DE=EB。.CD=EB。.AB=AE+EB=AC+CD。 思维拓展 10.【定理】解：AC平分∠BAD【运用】证明：过点C作CM⊥AB于点M,过点C作CN⊥AD交AD的延长线于点N。:CN⊥ AD,CM⊥AB,∴∠N=∠BMC=90°。：∠BAD+∠BCD=180°，∴.∠ADC+∠B=180°。'∠CDN+∠ADC=180°，∴∠B= ∠CDN。BC=CD,.△CBM≌△CDN(AAS)。.CM=CN。CN⊥AD,CM⊥AB,.AC平分∠BAD。 专题六利用角平分线构造全等三角形解题【通性通法】 1.证明：过点C作CF⊥AB于点F,则∠AFC=90°。，∠D=90°，.CD⊥AD。AC平分∠BAD,.CD=CF。在Rt△ADC和 Rt△AFC中， [AC=ACR△ADC≌R△AFC(HL)。∴AD=AF.同理，得BF=BE,AB=AF+BF=AD+BE.【变式题】 CD-CF. BC=FC, 证法一：证明：在△BCE和△FCE中，∠BCE=∠FCE,∴△BCE≌△FCE(SAS)。∴∠B=∠CFE。:AD∥BC,∴∠A+∠B= CE=CE, ∠A=∠DFE, 180°。∴∠A+∠CFE=180°。：∠CFE+∠DFE=180°，.∠A=∠DFE。在△ADE和△FDE中，∠ADE=∠FDE,∴.△ADE≌ DE-DE, MD=CD, △FDE(AAS)。∴.AD=FD。∴.CD=FD十FC=AD十BC。证法二：证明：在△DME和△DCE中，∠MDE=∠CDE,∴.△DME≌ DE=DE, △DCE(SAS)。.ME=CE,∠M=∠DCE。:∠DCE=∠BCE,∴.∠M=∠BCE。:AD∥BC,∴.∠MAE=∠B。在△AME和 ∠M=∠BCE, △BCE中，∠MAE=∠B,.△AME≌△BCE(AAS)。.AM=BC。.CD=MD=AD+AM=AD+BC。2.证明：过点E作 ME-CE, EF⊥BC于点F,则∠BFE=∠CFE=90°。：BD平分∠ABC,EA⊥AB,∴.EA=EF,∠BAE=∠BFE=90°。在Rt△ABE和 Rt△FBE中， BE-BER△ABE≌R△FBE(HD).∴AB=FB。:EB=EC,EF⊥BC,FB=FC。BC=2FB=2AB. EA-EF. 第2课时三角形的三条角平分线 基础过关 1.C2.25°3.证明：设AG,BM交于点P,过点P分别作PD⊥AB于点D,PE⊥BC于点E,PF⊥AC于点F。:AG平分 ∠BAC,BM平分∠ABC,.PD=PF,PD=PE。∴PE=PF。∴点P在∠ACB的平分线CN上。∴AG,BM,CN交于一点。 4.解：作三角形三条角平分线的交点即可。如图，点O即是小亭的中心位置。 能力提升 5.D6.47.解：(1)9(2)OH=2OA。理由如下：过点0作OG⊥AB于点G,OQ⊥AC于点Q。B0平分∠ABC,OH⊥BC, 0G1AB,0H=0G。同理可得OH=0Q。0G=0Q。∴A0平分∠BAC。·∠GA0=号∠BAC=30.0G=-号0A,即 0H=0A. 专题七巧构等腰三角形的几种常见技巧【通性通法】 1.D2.(1)115°(2)133.证法-：证明：CA=CB,.∠A=∠B。:DM∥AB,∴.∠CDM=∠A,∠M=∠B。.∠CDM= ∠M。:CD=CE,.∠CDE=∠CED。:'∠CDM+∠M+∠CDE+∠CED=180°，∴∠CDM+∠CDE=90°，即∠EDM=90。 ∴.DE⊥DM。,DM∥AB,∴.DE⊥AB。证法二：证明：CD=CE,∠CDE=∠CED。BN∥DE,.∠V=∠CDE,∠CBN= 第8页（共48页）