4 第2课时 三角形三边的垂直平分线-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年八年级下册数学（北师大版·新教材）陕西专版

9.(1)证明：连接AE。.EF是AB的垂直平分线，.AE=BE。AD⊥BC,且D为CE的中点，.AD是CE的垂直平分线。，∴.AE= AC。BE=AC。(2)解：：AE=BE,∠BAE=∠B=35°。∠AEC=∠B+∠BAE=70°。：AE=AC,∴.∠C=∠AEC=70°。 .∠BAC=180°-∠B-∠C=75°。 思维拓展 10.A 第2课时三角形三边的垂直平分线 例题引路 【例1】证明：连接OA,OB,OC。点O在AB,BC的垂直平分线上，.OA=OB=OC。.点O在AC的垂直平分线上。 【例2】解：如图所示： ①作BC=a,并作其垂直平分线MN交BC于点D;②在DM上截取DA=b;③连接AB,AC,则 △ABC即为所求。 基础过关 1.D2.解：如图，AF即为所求。 3.C4.解：点P为△ABC三边垂直平分线的交点，∴.PA=PC=PB。 ∠PAB=∠PBA∠PAC=∠PCA=18,∠PBC=∠PCB=32.÷ZPAB=180-2∠PAC-2∠PCB)=号XI80-2X 18°-2×32)=40°。5.C6.解：如图，点P即为所求。 能力提升 7.D8.B9.1210.解：如图，点P即为所求。 思维拓展 11.(1)证明：连接PB,PC。:PE垂直平分AB,PM垂直平分AC,∴.PA=PB,PA=PC。.PB=PC。∴点P在线段BC的垂直 平分线上。(2)证明：PE垂直平分AB,.PA=PB,FA=FB。.∠PAB=∠PBA,∠FAB=∠FBA。∠PAB-∠FAB= ∠PBA-∠FBA,即∠PAF=∠PBF。同理，得∠PAN=∠PCN。由(I),得PB=PC,.∠PBF=∠PCN。∴.∠PAF=∠PAN, 即AP平分∠FAN。(3)解：180-& 2 5角平分线 第1课时角平分线的性质与判定 新知梳理 ①相等②平分线 例题引路 【例1】证明：：∠C=90°，DE⊥AB,AD是∠BAC的平分线，∴DE=DC,∠C=∠DEB=90°。在△DEB和△DCF中， DE=DC, ∠DEB=∠C,∴.△DEB≌△DCF(SAS)。∴.BD=FD. BE=FC, ∠BFD=∠CED, 【例2】证明：：BE⊥AC,CF⊥AB,∴.∠BFD=∠CED=90°。在△BDF和△CDE中，∠FDB=∠EDC,∴.△BDF≌△CDE(AAS)。 BD=CD, .DF=DE。又DF⊥AB,DE⊥AC,.AD平分∠BAC。 第7页（共48页）第2课 【名师导学 ◆◆预习先知 新知梳理 三角形三条边的垂直平分线相交 于一点，并且这一点到三个顶点的距离 相等。 ☑例题引路 【例1】如图，在△ABC中，边AB,BC 的垂直平分线相交于点O。 求证：点O在AC的垂直平分线上。 【名师点拨】本题只需证OA=OC即可。 【学生解答】 【例2】（教材P50复习题T10变式）如 图，已知线段a,b。作等腰三角形 ABC,使AB=AC,BC=a,BC边上的 高AD=b。 a b 【学生解答】 25第-章三角形的证明及其应用 时三角形三边的垂直平分线 基础过关 。·。逐点击破 知识点1过直线外一点作已知直线的垂线 1.观察图中尺规作图的痕迹，则 A.BD平分∠ABC B.AD-CD C.AB=CB D.BD AC 2.尺规作图：已知△ABC,求作：△ABC的高线AF。(保留 作图痕迹，不写作法) 知识点2三角形三边的垂直平分线 3.(2025·连云港中考)如图，在△ABC 中，BC=7,AB的垂直平分线分别交 AB,BC于点D,E,AC的垂直平分线 B 分别交AC,BC于点F,G,则△AEG的周长为 A.5 B.6 C.7 D.8 4.如图，点P为△ABC三边垂直平分线的交点，若∠PAC= 18°，∠PCB=32°，求∠PAB的度数。 知识点3用尺规作垂直平分线解决实际问题 5.如图，有A,B,C三个居民小区的位置成三角形，现决定在 三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距 离相等，则超市应建在 A.AC,BC两边高线的交点处 B.AC,BC两边中线的交点处 C.AC,BC两边垂直平分线的交点处 D.∠A,∠B两内角平分线的交点处 6.(教材P38习题T6变式)如图，村庄A,B分 别在笔直公路1的两侧，一辆汽车在公路上 行驶到什么位置时，它到A,B两村庄的距离 相等？请指出该位置。 A。 【能力提升 、◆》整合运用 7.已知△ABC(AC<AB<BC),用尺规在线段 BC上确定一点P,使得PA十PC=BC,则符 合要求的作图痕迹是 A 8.如图，在△ABC中，边AB,AC的垂直平分 线交于点P,连接BP,CP。若∠A=50°，则 ∠BPC的度数为 ( A.50° B.100 C.130° D.150 (第8题图) (第9题图) 9.如图，P是直线1外一点，按以下步骤作图： ①以点P为圆心，适当长为半径画弧，交直 线1于点B,D;②分别以点B,D为圆心，大 于BD的长为半径画弧，两弧相交于点E; ③作直线PE交BD于点F。若BF=2, PE=6,则四边形PBED的面积为 10.(2025·陕西中考)如图，在△ABC中，∠A 90°。请利用尺规作图法求作一点P,使得 PA=PB且PC∥AB。(保留作图痕迹，不 写作法) 【思维拓展 ◆◆强化素养 11.如图，在△ABC中，∠BAC>90°，AB的垂 直平分线分别交AB,BC于点E,F,AC的 垂直平分线分别交AC,BC于点M,N,直 线EF,MN交于点P,连接AP,AF,AN。 (1)求证：点P在线段BC的垂直平分线上： (2)求证：AP平分∠FAN; (3)若∠FAN=a,其他条件不变，则 ∠FPN的度数是 。（用含a的 代数式表示) 数学八年级下册(BS)26