4 第1课线 段垂直平分线的性质与判定-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年八年级下册数学（北师大版·新教材）陕西专版

4线段的垂直平分线 第1课时 线段垂直平分线的性质与判定 【名师导学 ,预习先知 【基础过关 ◆◆◆逐点击破 园新知梳理 知识点1线段垂直平分线的性质定理 ①线段垂直平分线上的点到这条线段1.如图，P为线段AB的垂直平分线上一点。若PB=3cm, 两个端点的距离 则PA的长为 ( ②到一条线段两个端点距离相等的点， A.6 cm B.5 cm C.4 cm D.3 cm 在这条线段的 上。 ☑例题引路 【例1】如图，AB=AD,BC=DC,AC, D BD交于点O,E是AC上的一点。求 (第1题图) (第2题图) (第3题图) 证：BE=DE。 2.如图，直线AD垂直平分线段BC,∠B=50°，则∠C的度 数为 ) A.60 B.50° C.40° D.30° 3.(教材P38习题T5变式)如图，在△ABC中，AC=4,BC= 6,DE垂直平分AB,则△ACD的周长为 【名师点拨】由已知条件易证AC是线知识点2 线段垂直平分线的判定定理 段BD的垂直平分线，再根据线段垂直4.如图，在△ABC中，AB=AC,D是BC上的一点，O是AD 平分线的性质得BE=DE。 上一点，且OB=OC。若BC=4,则BD的长为( 【学生解答】 A.1 B.2 C.3 D.4 5.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BD平分∠ABC 交AC于点D。求证：点D在线段AB的垂直平分线上。 钮易错典例 【例2】在△ABC中，AB=AC,AC的垂 直平分线与AB的所在的直线相交所 成的锐角是46°，则∠B= 【易错剖析】无图时考虑问题不全面而 致错。 【学生解答】 23第一章三角形的证明及其应用 夏能力提升 D于 整合运用 9.如图，在△ABC中，EF是AB的垂直平分 6.(教材P34随堂练习T2变式)如图，在四边 线，AD BC于点D,且D为CE的中点。 形ABCD中，AC垂直平分BD,垂足为点 (1)求证：BE=AC; E,下列结论不一定成立的是 (2)若∠B=35°，求∠BAC的度数。 A.AB=AD B.∠BCE=∠DCE C.△BEC≌△DEC D.AB=BD 投影幕布 (第6题图) (第7题图) 7.日常生活情境化小华和两个朋友相约去看 电影，因为他们有不同购票APP上的优惠 券，于是他们分开购票。如图，已知两位朋 友的位置分别在A,B点（正方形网格上的每 一个格点都代表影厅内的一个座位)。小华 若要选一个座位C,使得C到A,B两个座位 的距离相等，则在图中满足条件的位置有 处。 8.(2025·渭南期末)如图，在△ABC中，D是 边AB上一点，AD=AC,过点D作DE∥BC 交AC于点E,点F是BC上一点，连接DF, CD,AF,且DC平分∠EDF,求证：AF垂直 平分CD。 ·思维拓展 ◆·强化素养 10.转化思想新理念如图，在△ABC中，AB= 3,AC=4,EF垂直平分BC,点P为直线 EF上的任意一点，则AP+BP的最小值是 ( A.4 B.5 C.6 D.7 数学八年级下册(BS)249.证明：(1)·AD是△ABC的中线，，.BD=CD。BE⊥AD,CF⊥AD,,.∠BED=∠F=90°。在△BED和△CFD中， ∠BED=∠F, ∠BDE=∠CDF,∴.△BED≌△CFD(AAS)。.BE=CF。(2)在Rt△BGE和Rt△CAF中， BG=CA:R△BGE≌R△CAF(HL)· BE=CF. BD=CD, ∴GE=AF。∴GE-AE=AF-AE,即AG=EF。由(ID知△BED2≌△CFD,DE=DF=EF。·AG=EF=2DE。 思维拓展 10.(-4,0) 专题五共顶点的等腰三角形一手拉手模型【回归教材】 1.证明：·BA=BC,BD=BE,∴.∠BAC=∠BCA,∠BDE=∠BED。∴.∠ABC=180°-∠BAC-∠BCA=180°-2∠BAC,∠DBE= 180°-∠BDE-∠BED=180°-2∠BDE。:∠BAC=∠BDE,∴.∠ABC=∠DBE。∴.∠ABC+∠CBD=∠DBE+∠CBD,即 BA=BC, ∠ABD=∠CBE。在△ABD和△CBE中， ∠ABD=∠CBE,.△ABD≌△CBE(SAS)。∠BAD=∠BCE。2.证明： BD=BE, (1):△ABC与△ADE都是等腰直角三角形，∴.AB=AC,AE=AD。:∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAC+∠CAE=∠DAE十∠CAE, AB=AC, 即∠BAE=∠CAD。在△ABE和△ACD中， ∠BAE=∠CAD,.△ABE≌△ACD(SAS)。(2)由(1)知△ABE≌△ACD, AE=AD, ∴.∠ABE=∠ACD。:∠BAC=90°，∴.∠ABE十∠ACB=90°。∠ACD+∠ACB=90°，即∠BCD=90°。DC⊥BE。3证明： (1):△ABC和△CDE都是等边三角形，.CA=CB,CD=CE,∠BCA=∠ECD=60°。∴∠BCD=180°-∠BCA-∠ECD=60°。 CA=CB. .∠ACD=∠BCE=120°。在△ACD和△BCE中，∠ACD=∠BCE,∴.△ACD≌△BCE(SAS)。∴.AD=BE。(2):△ACD≌ CD=CE, ∠MAC=∠NBC, △BCE,∴.∠DAC=∠EBC。由(1)，得∠ACM=∠BCN=60°。在△ACM和△BCN中，CA=CB, .△ACM≌△BCN ∠ACM=∠BCN, (ASA)。.CM=CN。∠MCN=60°，△CMN是等边三角形。4.解：(I)△ACB和△DCE均为等边三角形，.CA=CB, CD=CE,∠ACB=∠DCE=60°。∴∠ACD=60°-∠DCB=∠BCE。∴.△ACD≌△BCE(SAS)。∴.∠ADC=∠BEC。,'△DCE 为等边三角形，∴.∠CDE=∠CED=60°。.∠ADC=∠BEC=180°-∠CDE=120°，.∠AEB=∠BEC-∠CED=60°。(2)： △ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∴.CA=CB,CD=CE,∠ACB=∠DCE=90°。∴.∠ACB-∠DCB=∠DCE-∠DCB。即 ∠ACD=∠BCE。∴△ACD≌△BCE(SAS)。∴.AD=BE,∠ADC=∠BEC。:△DCE为等腰直角三角形，∴∠CDE=∠CED= 45°。：点A,D,E在同一直线上，∴∠ADC=∠BEC=180°-∠CDE=135°。·∠AEB=∠BEC∠CED=90°。CD=CE,CM ⊥DE,∴.DM=ME。.∠DCM=∠CDE=45°。∴.DM=CM。∴.AE=AD+DE=BE+2CM。 4线段的垂直平分线 第1课时线段垂直平分线的性质与判定 新知梳理 ①相等②垂直平分线 例题引路 【例I】证明：：AB=AD,点A在BD的垂直平分线上。：BC=DC,∴点C在BD的垂直平分线上。.AC垂直平分BD。又： 点E在AC上，∴.BE=DE。 易错典例 【例2】68°或22 基础过关 1.D2.B3.104.B5.证明：∠C=90,∠A=30,∠ABC=90°-30=60°。：BD平分∠ABC,∠ABD=号∠ABC 30°。.∠A=∠ABD。.DA=DB。.点D在线段AB的垂直平分线上。 能力提升 6.D7.48,证明：DE/∥BC,∠CDE=∠DCR。“DC平分∠EDF,∠CDF=∠CDE=∠EDR。÷∠CDF=∠DCE。 ∴.DF=CF。点F在线段CD的垂直平分线上。AD=AC,∴点A在线段CD的垂直平分线上。∴.AF垂直平分CD。 第6页（共48页） 9.(1)证明：连接AE。.EF是AB的垂直平分线，.AE=BE。AD⊥BC,且D为CE的中点，.AD是CE的垂直平分线。，∴.AE= AC。BE=AC。(2)解：：AE=BE,∠BAE=∠B=35°。∠AEC=∠B+∠BAE=70°。：AE=AC,∴.∠C=∠AEC=70°。 .∠BAC=180°-∠B-∠C=75°。 思维拓展 10.A 第2课时三角形三边的垂直平分线 例题引路 【例1】证明：连接OA,OB,OC。点O在AB,BC的垂直平分线上，.OA=OB=OC。.点O在AC的垂直平分线上。 【例2】解：如图所示： ①作BC=a,并作其垂直平分线MN交BC于点D;②在DM上截取DA=b;③连接AB,AC,则 △ABC即为所求。 基础过关 1.D2.解：如图，AF即为所求。 3.C4.解：点P为△ABC三边垂直平分线的交点，∴.PA=PC=PB。 ∠PAB=∠PBA∠PAC=∠PCA=18,∠PBC=∠PCB=32.÷ZPAB=180-2∠PAC-2∠PCB)=号XI80-2X 18°-2×32)=40°。5.C6.解：如图，点P即为所求。 能力提升 7.D8.B9.1210.解：如图，点P即为所求。 思维拓展 11.(1)证明：连接PB,PC。:PE垂直平分AB,PM垂直平分AC,∴.PA=PB,PA=PC。.PB=PC。∴点P在线段BC的垂直 平分线上。(2)证明：PE垂直平分AB,.PA=PB,FA=FB。.∠PAB=∠PBA,∠FAB=∠FBA。∠PAB-∠FAB= ∠PBA-∠FBA,即∠PAF=∠PBF。同理，得∠PAN=∠PCN。由(I),得PB=PC,.∠PBF=∠PCN。∴.∠PAF=∠PAN, 即AP平分∠FAN。(3)解：180-& 2 5角平分线 第1课时角平分线的性质与判定 新知梳理 ①相等②平分线 例题引路 【例1】证明：：∠C=90°，DE⊥AB,AD是∠BAC的平分线，∴DE=DC,∠C=∠DEB=90°。在△DEB和△DCF中， DE=DC, ∠DEB=∠C,∴.△DEB≌△DCF(SAS)。∴.BD=FD. BE=FC, ∠BFD=∠CED, 【例2】证明：：BE⊥AC,CF⊥AB,∴.∠BFD=∠CED=90°。在△BDF和△CDE中，∠FDB=∠EDC,∴.△BDF≌△CDE(AAS)。 BD=CD, .DF=DE。又DF⊥AB,DE⊥AC,.AD平分∠BAC。 第7页（共48页）