15.3 第1课时 分式方程及解法&专题2 由分式方程解的情况确定字母的值或取值范围-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年八年级下册数学（华东师大版·新教材）

15.3可化为一元 第1课时分 基础过关 ●◆逐点击破 知识点1分式方程的相关概念 1.下列是分式方程的是 A.x+x十4 x十1 3 B￥+25-0 2 cx-2)= 1 D.x+2+1=0 知识点2分式方程的解法 2.分式方程，22=1的解是 A.x=5 B.x=4 C.x=3 D.x=1 3(湖南中考)将分式方程上名去分母后 得到的整式方程为 ( A.x+1=2x B.x+2=1 C.1=2x D.x=2(x+1) 4.若代数式，2与代数式，2的值相等，则： 的值为 5.解下列方程： (1)(浙江中考)3一1 x+1x-7=0: (2)(威海中考)号-1=2 13第15章分式 次方程的分式方程 式方程及解法 (3)2.x-1_6x-5+1 x-33.x-9T3 知识点3分式方程的增根 二1=1十2”有增根，则增 6.若分式方程x 根是 A.x=1 B.x=2 C.x=3 D.x=4 7若关于x的分式方程二2一3=”2有增 根，则m的值为 ?易错点去分母时，常数项漏乘最简公 分母而致错 8.在解分式方程2二x=1 x-33-x 一2时，小明的解 法如下： 解：方程两边乘(x一3)， 得2-x=-1-2 ① 移项，得一x=一1一2一2， ② 解得x=5. ③ (1)小明在第 步出现了错误（填序 号)，错误的原因是 (2)小明的解题步骤完整吗？如果不完整， 说明他还缺少哪一步。 (3)请你写出正确的计算过程. 口能力提升 ◆··整合运用 9.已知x=3是关于x的方程、2- x-a x 3=0的 解，则a的值是 ( A.-1 B.0 C.1 D.2 10.(龙东中考)已知关于x的分式方程十 Ex-4 2k 4-x =3的解为负数，则的值为( A.k<-4 B.k>-4 C.<-4且k≠-4 3 D.k>-4且k+-3 4 11.在数轴上，不同的两个点A,B表示的数分 别是3一46 兰。且点A,B到原点的 距离相等，则x的值是 12.(教材P17习题T6变式)已知关于x的分 式方程是2十+x万干 mx 3 (1)若方程有增根，求m的值； (2)若方程无解，求的值. 思维拓展 ♪◆，强化素养 13.新定义新趋势我们把形如x+b=4十b (a,b不为0)，且两个解分别为x1=a,x2= b的方程称为“十字分式方程” 例如，x十5=6为“十字分式方程”，可化为 x+1X5=1+5,5=1,x,=5. 再如，x十6=一5为“十字分式方程”，可化 为x+-2》X-3》=(-2)+(-3, 01=-2,2=-3. 应用上面的结论，解答下列问题： (1)若x+10=一7为“十字分式方程”，则 x1= C2= (2)请利用上述方法求“十字分式方程”x一 20 =2的解 x-3 (3)若“十字分式方程”x一5=一7的两个 解分别为x1=m,x2=,求”+"的值. 77717 提示 情完成基本功专练（一） 数学八年级下册配HS版14 专题二由分式方程解的情！ 类型1已知分式方程解的正负求字母的取值 范围 1.若分式方程2 =1- x一的解为正数，则 m的取值范围是 ( A.m>-3 B.m>-3且m≠-2 C.m<3 D.m<3且m≠-2 2卫知关于x的分式方程+，)的 解为负数，则a的取值范围是 类型2已知分式方程的解是整数求字母的值 3若分式方程，一=3一的解为正整数， 则整数m的值为 ( A.-3 B.1 C.-1或1 D.-1 4.若关于x的分式方程十a+2a x-22-x =5的解 是非负整数，且a满足不等式a十2>1，则所 有满足条件的整数a的值之和是 5.若关于x的不等式组 3x一1≤x十3， 2 的解集 x≤d 为≤a,且关于y的分式方程y二8+3y一4 Ey-2 y-2 1有正整数解，则所有满足条件的整数a的 值之积是多少？ 15第15章分式 况确定字母的值或取值范围 类型3已知分式方程有增根求字母的值 6若关于x的分式方程3=1-色有增 根，则的值为 () A.3 B.1 C.-3 D.-1 7.若关于x的分式方程二】+m=x十5 平一22-4+有 增根，则m的值为 类型4已知分式方程有解或无解求字母的值 名师点拨：分式方程无解，可能有两种情况：(1)去分 :母后化成的整式方程有解，但这个解使原方程的最 简公分母为0（有增根）；(2)去分母后化成的整式方 程无解，即ax二b中：a=0且b≠0. 8.（教材P17习题T5变式)若关于x的分式方 程？-3=0有解，则实数m应清足的条 件是 A.m=-2 B.m≠-2 C.m=2 D.m≠2 9(送宁中考)若关于工的分式方程受 “2-1无解，则a的值为 ) A.2 B.3 C.0或2 D.-1或3 10.(教材P17习题T6变式)若关于x的分式 方程4=mx十m无解，求m的值。 x-1 x2-x参考答案 第15章分式 15.1分式及其基本性质 15.1.1分式 基础过关 1.D2.典，10229,2号3A4(2 2 (3)a.x十by x x十y 5.A 6A7解：1要使兰的值存在，则分母2江一3≠0，即≠子.(2)要使当 的值存在，则分母x2-1≠0，即x≠士1.8.A9.b=-3,a≠210.A 能力提升 1.C2.B13竿。14.515.解：1)由题意，得(x+2)2=0,解得x=-2当 x=一2时，分式无意义.(2)由题意，得(x十2)2≠0，解得x≠一2，.当x≠一2时，分式 有意义.(3)由题意，得3x2-12=0,且(x十2)≠0，解得x=2,.当x=2时，分式的值 为0.16.解：答案不唯一，如：某市对一段全长为1500m的道路进行改造，原计划每 天修xm,实际施工时，每天修的路比原计划的2倍还多ym,则实际修完这段路用了 多少天？取x-35y-30,侧”92X230=15.即实际修完这段路用了15天 思维拓展 17.解：(1)真 1叶名公共学=1叶产兴的值为整数 x-3 x-3 3=±4或士2或士1，.x=7或5或4或2或1或-1. 15.1.2分式的基本性质 她 基础过关 1.D2.D3.(1)xy(2)2(3)3b(4)2x 4.(1)3x (2)-m（3)-26 3n2 a 封(4)2y 2x2v2 3x 5.D6.D7.(1)x2(2)-18.解：(1)原式=- 3.(2)原式= (x十5)(x-5)=-x十5 9.C (x-5)2 x-5 10.解：1)最简公分母是18xy6zy=18ry' 3x 2y 2n 918y·(2)最简公分母是(n-2)(n十3，n”2 2n(n+3) 3n (n-2)(n+3)’n+3 3n(n-2) (n-2)(n+3) 11.D 能力提升 12.018.器(2②路14.g 15.解：a十b-3=0,∴a十b=3. ∴原式云-将- (a+b)2 316.解：不正确.正确过程及结果如下： x2(x-3) 3 线 最简公分母为(x+3)(x-3),x-g=(x-3)(x+3)=(x十3)(x-3)'6x-9-7 3 3(x+3) (x-3)2 (x+3)(x-3)2 思维拓展 17.解：b=ab+aa-6=-ab.原式=-5(a二月-7ab=-5x(一ab-7a地-2ab-l. a-b-ab -ab-ab -2ab 15.2分式的运算 15.2.1分式的乘除 基础过关 1A2D号 (2)-3.解：1)原式= 品(2)原式--+山. (2+1)9 4B59(2) a十a6.解：(1)原式=12xy.1522 52 4xy2 9g.(2)原式=x+1)(xD ·x+=子7A8a5 x-1 1 (x-1)2 9c2 9.解：(1)原式= 9x2· a y 9 0 49 能力提升 1D12,B13.号14.解：1)原式=名·（会）·a8=合公.2)原式 m十n)(m-n),(n-m)2 (m-n)2 1m2n2 ”。”.15.解：选取①@者两个式子相 m+n mn2 x(x+1) x2 22 (答案不唯一) 思维拓展 16.解：小明的说法正确.理由如下：原式=+2)一2.z十)x+2. x(x+1) .x-2)·(x+2=1 ∴.代数式的值恒为1，与x的值无关.∴.条件x=一3035是多余的.小明的说法正确。 15.2.2分式的加减 第1课时分式的加减 基础过关 1.A2.(1)2m=7 2m (2)5 3.解：1)原式=3红+41=33=3D=3. x-y x+1 x+1 x+1 (2)原式=5m+4-3m=2m+4_ 2(m十2) 2 n2-4 m-4m+2m②m22(3)原式-+0-2 a-ba-b 乌。号-14A526解1原式=少-2-.2②)原式 abc abc ac 2x -2(x-y) =2x-2x+2y 2y =+x-刀十x+产)=+号=+yx-(3)原式- 片-1.原式=2光a+a-=-a- x-1 x a-b a-b a-b =3b-a2 a-b 7.1 能力提升 =aad-a号- 1 8.C9.C10.C11.②12.解：(1)原式= “a≠0且a-1≠0，∴u≠0且a≠1.“当a=2时，原式=分，（或当a=-1时，原式 2b(a-2b) a(a+26) Aab -1)(2）原式=a千26(a2D-a+2b(a-2b+a+26(a-26 2ab-4b2-a'-2ab+4ab. .-(a-2b)2 (a+2b)(a-2b) -a+25.:a十3b=0,.a=-36,…原 (a+2b)(a=2b=a+26 式=36+2 3b+2b =-5. 思维拓展 1B.解，由题查，得甲队完成任务需要的时间为，20工-0，（天）.乙队完成任务需 2x+2y x+y 要的时间为(9+号)天.甲，乙两队完成任务的时间的差为0 0+10)= x+y x y +=9x>0,y>0,且x≠y心.10(z xy(x+y) +)>0.0兴<0，即，<9+号甲队先完成任务。 xy(x+y) 第2课时分式的混合运算 基础过关 1D2.1x-2(2)产y3解：1原式=3计.a+a-3》=+6、 a+3 a+6 a+3 g》-a-3(2原式=+×少六-房-品，（8原式 a+6 2·所0导4兴，s兰kmh m+2)(m-2÷m-2-2_=m+2)m-2.m-2=+2. (m-2)2 m-2 (m-2)2 x+y 6.解：(1)二第一个分式的分子在去括号时，括号内的1前面的符号没有变号 2原式=十·号·号·} 1-x+1 2-x 1 十“分式要有意义心x≠士1且x≠2小x=0.原式=0十市=一1. 50 能力提升 7.C8a+69x+110.解：1)原式-叶.2 (a-b)'x 2(a-2) a·a+2+a+2(a2 2 =a+2 (x-4)2 十2十a干2=a+2=1,(2)原式=x+1DxD÷中37十3争 x+1 (x-4)2一÷-4= (x-4)2 =x4 zvz-)1TDD·xz-5二 11.解：原 式-（号+。）·货-马·品。器-=号：分式要有意义…a 102≠00u≠120.a-4=0a=-2六原式=号月-号 思维拓展 卫解：由行=吉知x≠02中-5，即-3计士=十上=8， x x 与中=+1+=(e+2)-1-8-1=服中高 1 x29 专题一分式的化简与求值的常见技巧 1.解：原式=x+1)=x十1.当x=2-1时，原式=2-1十1=22.解：原式= x+1 于·品-贵得》=齐当x2时原式=异2。 -2 x-1 3解：原式=（侣号千包）2=异2·十a2=a-2a+2≠0a 2 2≠0，a≠士2，.x可取0或1.当a=0时，原式=0-2=-2.（或当a=1时，原式= 1-2=-1.)4.解：原式=1-2。· 1份1号2 x-2 x-2 x-21 :x≠0，x十2≠0，x-2≠0，∴.x≠0，士2.-2≤x≤2，且x为整数，∴x可取1或-1. 当x=1时，原式=2=4（或当x=-1时，原式=一千号）5解：原式 4 =「2x 3) ]·高·品中解不等式湘 x-37 2x<3x-1, 2十3红-1）<2（十1）.得1<1<3.不等式组的整数解为x=2原式=2十3 号6，解：原式=2红+十1.红+少2-x+2.x+1D =x(x+1)=x2+x x+1 x十2 x十1 x十2 2x 5xy2y “x+x-2=0,x+x=2.·原式=2.7.思路一：解：原式=yy= x+2xY+义 xy'xy ry 1+ )+2+日 一.“+=5，原式=2X5,5= x 5+2 7 ，思路二：解： x y :1+1=5,十y=5x.“原式=22型=2X522y-号.8.解： x x十y十2xy 5xy-+2xy +是=6(+)=36，即2+4+号6+号=2.9号10解设 2 十=+工=十y=,则kx=y十①，ky=x十x@,kx=x十y③.①十②+③，得 x y (x十y十)=2(x十y十z).若x十y十z≠0，则k=2.又由③，得x十y=2x..原式= 年元子：若十)十=0，则十y六原式==-2综上所述， 2-之=1 辛器的值为子或2 15.3可化为一元一次方程的分式方程 第1课时分式方程及解法 基础过关 1.D2.A3.A4.75.解：(1)方程两边都乘以(x十1)(x一1)，约去分母，得3(x- 1)-(x+1)=0.解这个整式方程，得x=2.检验：把x=2代入(x+1)(x-1),得(2+ 1)×(2-1)≠0..x=2是原方程的解.(2)方程两边都乘以2x一1，约去分母，得x 2-(2x-1)=-1,解这个整式方程，得x=0.检验：把x=0代入2x-1,得2×0-1≠ 0.∴x=0是原方程的解.(3)方程两边都乘以3(x-3),约去分母，得3(2x一1)=(6x 51 5)十x一3，解这个整式方程，得x=5.检验，把x=5代入3(x一3)，得3×(5-3)≠0. x=5是原方程的解.6.D7.28.解：(1)①常数项漏乘最简公分母(2)不完 整，没有验根.(3)方程两边都乘以(x一3)，约去分母，得2一x=一1一2(x一3)，解这个 整式方程，得x=3.检验：把x=3代入x一3，得3-3=0.x=3是原方程的增根. 原方程无解。 能力提升 9.C10.A11.312.解：方程两边乘(x十1)(x-2),得2(x+1)+mx=3(x-2), .(1-m)x=8.(1)若原分式方程有增根，则x一2=0或x十1=0，.x=2或x=-1. 当x=2时，(1-m)×2=8,m=-3;当x=-1时，(1-m)×(-1)=8,∴.m=9.综 上所述，当的值为一3或9时，原分式方程有增根.(2)当原分式方程无解时，分两种 情况讨论：①当1一m=0时，(1一m)x=8无解，∴.=1；②当原方式方程有增根时，由 (2)得当m=一3或m=9时，方程无解.综上所述，当m的值为1或一3或9时，原分式 方程无解。 思维拓展 13.解：(1)-2-5(2)x- 29写=2为十字分式方程”，∴x-3-29=-1为 “十字分式方程，可化为x-3十)X4=(一5)十4，x-3=-5,或工-3=4.x x-3 =一2，，=7.(3)：“十字分式方程”2一三=一7的两个解分别为1=m,=, x ∴x=mn=-5,x1十x2=m十n=-7.卫+n=m2十n=m十n)-2mn n 1721 17211 -7)-2×(-52=-59 -5 5 专题二由分式方程解的情况确定字母的值或取值范围 1.B2.a<1且a≠03.D4.165.解：解不等式组，得2S7,由不等式组的解集 x≤a. 为≤a,得a≤7，分式方程两边都乘y一2，得y一a十3y一4=y-2,解得y=a十2.：y 3 为正整数，且y≠2，∴.整数a的值为1或7..1×7=7..所有满足条件的整数a的值 之积为7.6.A7.-4或-128.B9.D10.解：方程两边都乘以x(x-1),得4x =m(x十1)，整理，得(4-m)x=,,分式方程无解，①当4-m=0时，即m=4时，整 式方程无解，∴.分式方程也无解；②当x(x-1)=0时，即x=0或x=1时，分式方程有 增根.当x=0时，m=0,当x=1时，4-m=m,解得m=2,∴.的值为0或2或4. 第2课时分式方程的应用 基础过关 1.C2.D3.604.405.解：设一盏B型节能灯每年的用电量为xkW·h,则一盏 A型节能灯每年的用电量为(2：一32)kW根据题意，得50品-9，解得= 96.经检验，x=96是所列方程的根，且符合题意.∴.2x-32=160,答：一盏A型节能灯 每年的用电量为160kW·.6.解：设一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨x公 里，根据题意，得80一5=2，解得x=2.经检验x=2是原方程的解，且符合题意。 答：一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨2公里。 能力提升 7.A8解：1)设每个A种挂件的价格为x元.根据题意，得30=200+7，解得x 4 62 x 25.经检验：x=25是原方程的解，且符合题意.答：每个A种挂件的价格为25元. (2)由(1)知，每个B种挂件的价格为号×25=20元).设该游客购买m个A种挂件. 根据题意，得25m十20(m十5)≤600，解得m≤11号.“m为整数，m的最大值为1. 答：该游客最多购买11个A种挂件， 思维拓展 9.解：提出问题：求出七年级、八年级两支志愿者的人数，设七年级志愿者有x人，则八 年级志感者有1-20⅓x人根据题意，得1720%7四0=2，解得=90.经检验， x x=90是原方程的解，且符合题意，.(1-20%)x=(1-20%)×90=72(人).答：七年 级志愿者有90人，八年级志愿者有72人 52 专题三分式方程实际应用中常见的四种类型 L解：设乙款书签的价格是x元/个，则甲款书签的价格是x元/个.根据题意，得 -00=3,解得=16.经检验x=16是原方程的解，且符合题意.“=20.答：甲 42 款书签的价格是20元/个，乙款书签的价格是16元/个.2.解：(1)B型玩具的单价 购进A型玩具的数量(2)由(1)，得A型玩具的单价为8元，B型玩具的单价为5元. 设可购进a个A型玩具.根据题意，得8a十5(200-a)<1350,解得a≤116号..整数 a的最大值是116.答：最多可购进116个A型玩具.3.解：设小林通过AB段时的速 度为：ms,侧道过C段时的速度为12zs根据愿意，科坚+品。=1，解得 2.经检验，x=2是原方程的解，且符合题意.∴.1.2x=2.4,答：小林通过AB段时的速 度为2m/s,通过BC段时的速度为2.4m/s.4.解：设大巴车的速度为xkm/h,则中 巴车建度是1.25：km小根据题意得尘瓷器，舒得=0，经检验=80是 原方程的解，且符合题意.答：大巴车的速度为80km/h.5.解：(1)设二号施工队单独 施工，完成整个工程需要x天.根据题意，得品×5十（品十）×(50-5-18)=1，解 得x=75.经检验，x=75是原方程的解，且符合题意.答：二号施工队单独施工，完成整 个工程需要75天，(21÷(0十房)-30（天）.答：此项工程一号、二号施工队同时进 场施工，完成整个工程需要30天.6解：(1)设每间A种客房的价格是x元，则每间 B种客房的价格是（：一80)元.根据题意，得9四0-0解得4=30.经检验= 300是所列方程的根，且符合题意..x一80=300一80=220.答：每间A种客房的价格 是300元，每间B种客房的价格是220元.(2)设租住A种客房m间，则租住B种客房 (30m间.根据您意，得m≥号30-m, 解得10≤m≤12.5.，'m是正 300m十220(30-m)≤7600， 整数，∴.m=10或11或12..有3种租住方案：方案一：租住A种客房10间，B种客房 20间：方案二：租往A种客房11间，B种客房19间；方案三：租住A种客房12间，B种 客房18间. 15.4零指数幂与负整数指数幂 15.4.1零指数幂与负整数指数幂 基础过关 1B2.≠-13.C4C5.(1(2)3 ·6.解：原式=2-1十(-6)=-5. 2 7D8解：1原式=之.(2)原式=8÷d=a=力 al. 能力提升 9A10.B11.1)4(2 ,12.x≠0且x≠213.解：(1)==(2)= 3)原式=(9)×()=(9×号)=3=9， 15.4.2科学记数法 基础过关 1.B2.C3.(1)7×10-4(2)2.04×10-3(3)-4.06×10-4.B5.B 6.(1)0.0000205(2)-0.00000000302 能力提升 7.D8.1.35×10-1°9.解：(1)原式=9×108×8×10-1%=(9×8)×(10-8×10-18) =7.2×10-5.(2)原式=(64×10-4)÷(8×10)=(64÷8)×(10-1“÷10)=8× 105.10.解：(1)6.4×102(2)需要的小立方块的个数为6.4×10-2÷(103)3= 6.4×10. 53 第15章章末复习 思维导图 1 考点整合 1.D2.A3.B4.x≥-1且x≠35.-26.67.A8.(1)1(2) x+ 9.解： 原式=[+成十红+]，=红+·号= y xy x 1 x (x+2)2+y-1=0,x+2=0,y-1=0,x=-2,0y=1原式=-2+=-1. 10.D11.A12.解：(1)方程两边都乘以2(x-1),约去分母，得2十2x-2=3,解这个 整式方程，得x=是检验：把x=号代入2(x-1),得2×（是-1）≠0，x=号是原 方程的解.(2)方程两边都乘以(x一2)(x十2)，约去分母，得(x一2)2一(x一2)(x十2)= 16,解这个整式方程，得x=一2.检验：把x=一2代入(x一2)(x十2)，得（一2一2）× (-2十2)=0.∴x=-2是原方程的增根.∴.原方程无解.13.A14.解：(1)设该厂 每天生产甲种文创产品的数量是x个，则每天生产乙种文创产品的数量是(x一50)个， 根据题意，得3x-4(x-50)=100,解得x=100,.x-50=100-50=50.答：该厂每天 生产甲种文创产品的数量是100个，每天生产乙种文创产品的数量是50个.(2)设每天 生产的乙种文创产品增加的数量是y个，则每天生产的甲种文创产品增加的数量是2y 个，根据题意，和300公=10，解得y=20经检验y=20是所列方程的解，日 符合题意.答：每天生产的乙种文创产品增加的数量是20个，15.A16.2.8×10 聚焦课标 17.解：(1)A种花卉 十3-罗（公由题意，码票-”屏得m=5经检晚， y =5是原方程的根且符合题意，∴.m的值为5. 第16章函数及其图象 16.1变量与函数 第1课时变量与函数 基础过关 1.C2D3D4.C5.6=号 能力提升 6.y=20-0.4x7.C8.(1)每月的乘车人数每月的利润(2)2000(3)3000 第2课时自变量的取值范围及函数值 基础过关 1.B2.解：(1)由题意，得y=3(4一x)=一3x十12.由等边三角形的边长是正数，得 0<x<4.(2)由题意，得Q=80-4t,且80-4t≥0，解得t20,又t≥0，.0t20. ∴自变量1的取值范围是0<1<20.3B4.解：1)x=-号时，y=2×(-)-3= -4;x=4时，y=2×4-3=5.(2)当y=-5时，2x-3=-5,解得x=-1. 能力提升 5.C6.D7.解：(1)由题意，得l=40-2x,S=x(40-2x)=-2x+40x.（2)由题意， 得0<40-2x25,解得7.5≤x<20.(3)24192 16.2函数的图象 16.2.1平面直角坐标系 基础过关 1.(4,3)2.B3.B4.D5.B6.C7.解：(1)A(3,2),B(-1,3),C(-2,-2), D(0,3),E(-5,0).(2)点F,G如图所示. 8.D9.B10.A 能力提升 11.A12.D13.(-3,-2)14.解：(1)点P在y轴上，.m-2=0,解得m=2. -54