微专题2 由分式方程解的情况确定字母的取值(范围)&微专题3 分式方程的应用-【探究在线】2025-2026学年八年级下册数学高效课堂导学案（华东师大版·新教材）

44 微专题2由分式方程解的 类型①方程同解确定字母的取值 1.已知关于x的分式方程a工一2 a十x一1=1的解 与方程乙十4=3的解相同，求a的值. 类型②方程有解确定字母的取值范围 2.(教材P17习题T5变式)当m为何实数时，关 于z的方程a02刀器2+有解？ 类型③方程无解确定字母的取值 3.(教材P17习题T6变式)已知关于x的分式 方程，22十a2+3x3 mx 1 (1)若该方程有增根，求m的值； 况确定字母的取值（范围）> (2)若该方程无解，求m的值. 类型④利用方程的解的特定条件求字母 的取值（范围） 4.若关于x的分式方程十0+2m=4的解为 x-33-x 正整数，求正数m的值. 5已知关于x的分式方程，二一4=”元 (1)若方程的解为x=一1，求m的值； (2)若方程的解为非负数，求m的取值范围. 第15章16 微专题3分 堡型①工程问题 1.（周口一模)某服装厂接到一学校的订单，生产 一段时间后，还剩880套校服未生产，厂家因 更换设备（所用时间忽略不计），生产效率比更 换设备前提高了20%，结果刚好提前5天完成 订单任务.设该厂家更换设备前每天生产x套 校服，则可列方程为 () A22+5 B.880=880+5 x0.2x c.80-80-5 D.880=880+5 1.2x x 1.2x 2.（新乡期末)为改善道路通行条件，某市在 75周年国庆前夕将城市一段主干道进行拓宽 改造.该项工程若由甲工程队单独施工，恰好 能在规定时间内完成；若由乙工程队单独施 工，则完成工程所需天数是规定天数的2倍. 如果由甲、乙两个工程队先合作施工6天，那 么余下的工程由甲工程队单独施工还需3天 完成 (1)求这项工程的规定时间是多少天； (2)已知甲工程队每天的施工费用为3万元， 乙工程队每天的施工费用为1.4万元.为了缩 短工期以减少对交通的影响，工程指挥部决定 该工程由甲、乙两个工程队合作来完成，则该 工程的施工费用是多少？ 17探究在线八年级数学（下）·HD 式方程的应用 堡型②行程问题 3.(南阳期中)某校八年级学生由距博物馆 10km的学校出发前往参观，一部分同学骑自 行车先走，过了20min后，其余同学乘汽车出 发，结果他们同时到达.已知汽车的速度是骑 车同学速度的2倍，求骑车同学的速度.设骑 车同学的速度为xkm/h, (1)根据题意，利用速度、时间、路程之间的关 系，用含有x的式子填写下表： 所走的路程 速度 走完10km所 /km /(km/h) 用的时间/h 骑自行车 10 2 乘汽车 10 (2)列出方程，并求出问题的解. 4.(周口期末)周口港是沙颍河上的重要港口，是 河南第一大港，被誉为“长江以北内河第一大 港”.2019年6月开通了至连云港的国内集装 箱航线，已知该航线上A、B两港之间的距离 为50km,河水流速为2km/h. (1)有一货船从A港顺流航行到B港所用的 时间是从B港逆流航行到A港所用时间的 号，求该货船在静水中的航行速度： (2)记某船在静水中的航行速度是vokm/h (>2),从A港顺流航行到B港，再从B港逆 流航行返回到A港所用的时间= 若该船从A港航行到B港再返回到A港均为 静水航行，所用时间t2= ,判断t1与t2 的大小关系为2（填“>”“<”或“=”）. 类型③购买与销售问题 5.(中考·成都)2025年8月7日至17日，第12届 世界运动会在成都举行，与运动会吉祥物“蜀 宝”“锦仔”相关的文创产品深受大家喜爱.某 文旅中心在售A、B两种吉祥物挂件，已知每 个B种挂件的价格是每个A种挂件价格的号， 用300元购买B种挂件的数量比用200元购 买A种挂件的数量多7个. (1)求每个A种挂件的价格； (2)某游客计划用不超过600元购买A、B两 种挂件，且购买B种挂件的数量比A种挂件 的数量多5个，求该游客最多购买多少个A种 挂件. 类型④其他 6.(驻马店月考)综合与实践：探究奶茶甜度. 【阅读材料】奶茶甜度的计算方法：奶茶甜度= 溶解在奶茶中糖的质量×100%.（注：所加入 奶茶的质量 的糖均能完全溶解) 【问题背景】某奶茶店一杯a克的奶茶含糖量 b克，称甜度为全糖；含糖量0.7b克，称甜度为 七分糖；含糖量0.5b克，称甜度为五分糖；含 糖量0.3b克，称甜度为三分糖.请结合奶茶甜 度的计算方法解决以下问题， (1)当a=500,b=50时，往一杯a克的七分糖 奶茶中再加入多少克的糖才能跟全糖奶茶的 甜度一样？ (2)一天，小明到这家奶茶店点了一杯a克的 五分糖奶茶，由于店员疏忽，做成了一杯α克 的三分糖奶茶，店员往这杯奶茶中又加入了 0.2b克糖，则店员最后做出来的奶茶与五分 糖奶茶哪个甜度更大？ 第15章1818.(1)①③ x(x-3)-3(x-1)=x(x-1) (2):分式心二4m(m为常数)是一个“巧分式”，它的 .3 x+3 解这个整式方程，得x= “巧整式”为x一7， .(x十3)(x-7)=x2-4x+m. 检验：把x=号代入x红-D,得（号-）0， .x2-4x-21=x2-4x十m.m=-21. 所以，工=子是原方程的解。 (3)0①：分式二2℃+2匹的“巧整式”为1-x A (2)方程两边都乘以x(x一1)，约去分母，得 ÷A=-2x+2x=2x1-01+D=2z1+x),即A x(x-a)-3(x-1)=x(x-1), 1-x 1-x 整理，得(a十2)x=3. =2x2+2x. ②：2x+4x2+2z-2x(x2+2x+1-(x+1)2」 原分式方程无解， 2x2+2x 2x(x+1) (x+1)=x+1, 则①(a十2)x=3无解，即a十2=0，∴.a=-2; 又x十1是整式，：2x+4+2红是“巧分式” ②(a+2)x=3有解，但它的解是原分式方程的增根， A 即x=1,代入(a十2)x=3,得a=1. 15.3可化为一元一次方程的分式方程 综上，若原分式方程无解，则a的值为1或-2. 第1课时分式方程及其解法 拓展在线 基础在线 16.B 1.D2.B3.A4.C5.3 第2课时分式方程的应用 6.(1)方程两边都乘以(x-1)(x十1)，约去分母，得 基础在线 3(x-1)-(x+1)=0, 1.C2.D3.B 解这个整式方程，得x=2. 检验：把x=2代入(x-1)(x十1)，得 4根据题意，得5×10%=90%，解得SPF=10, (2-1)(2+1)≠0. 经检验，SPF=10是原方程的解，且符合题意. 所以，x=2是原方程的解， 答：该产品的SPF应标示为10. (2)方程两边都乘以(x一4)，约去分母，得 5.设B种纪念章为x元/个，则A种纪念章为(x十4)元/个， 3=5(x-4)-2, 解这个整式方程，得x=5. 根据题意，得000=800，解得x=16. x+4 x 检验：把x=5代入(x-4),得5-4≠0. 经检验，x=16是原方程的解，且符合题意。 所以，x=5是原方程的解. .x十4=20. 7.x=28.C 答：每个A种纪念章和B种纪念章分别为20元和16元 9.(1)2(x+1)检验 (2)方程两边都乘以2(x十1)，约去分母，得 能力在线 2(x+1)-(x-3)=2×3x. 6.D7.A8.C 解这个整式方程，得x=1. 9.设B种书架的单价为x元，则A种书架的单价为(1十 检验：把x=1代入2(x十1)，得2×2=4≠0. 10%)x元，根据题意，得 所以，x=1是原方程的解. 11000_8000=4,解得x=500. 10.B (1+10%)xx 能力在线 经检验，x=500是原方程的解，且符合题意. ∴.(1+10%)x=(1+10%)×500=550. 山1答案不唯-） 答：A种书架的单价为550元，B种书架的单价为500元. 12.D13.A 拓展在线 14.(1)方程两边都乘以3(x一2)，约去分母，得 10.(1)设原计划每天改造排水管道xm,则实际每天改造排 3(5x-4)=4x+10-(3x-6). 水管道(1十20%)xm,根据题意，得 解这个整式方程，得x=2. 48004800 检验：把x=2代人3(x一2)，得3X(2一2)=0. x 1+20%)z-10,解得x=80. 所以，原方程无解。 经检验，x=80是原方程的解，且符合题意. (2)方程两边都乘以(x十2)(x一2)，约去分母，得 ∴.(1+20%)x=(1+20%)×80=96, (x-2)2-(x+2)2=8, 答：实际每天改造排水管道96m. 解这个整式方程，得x=一1. (2)改造完排水管道总长的一半所需时间为4800÷2÷ 检验：把x=-1代入(x十2)(x-2),得 96=25(天). (-1+2)(-1-2)≠0. 设接下来每天改造管道时，还要增加ym,根据题意，得 所以，x=一1是原方程的解 (96+y)(40-25)≥4800÷2，解得y≥64. 15.(1把a=3代人方程，得2=1. .y的最小值为64. 方程两边都乘以x(x一1)，约去分母，得 答：接下来每天改造管道时，至少还要增加64m. 18 一探究在线·八年 微专题2由分式方程解的情况 微专题3分式方程的应用 确定字母的取值（范围） 1.D 1,解分式方程+4=3，得x=2. 2.(1)设这项工程的规定时间是x天，由题意，得 经检验，x=2是原分式方程的解。 (+2)×6+-1,解得x=12. “关于x的分式方程。马-1的解与方程士-3 经检验，x=12是原分式方程的解. x 答：这项工程的规定时间是12天. 的解相同， 将x=2代人行吕1，得 2 (2)该工程由甲，乙两队合作完成，所需时间为1÷（位十 29-2=1,解得。=- 12×2-8(天). 1 则该工程的施工费用是(3+1.4)×8=35.2（万元）. 经检验，a=一3是原分式方程的解.a=-3. 答：该工程的施工费用为35.2万元. 2.方程两边都乘以(x一1)(x一2)，约去分母，得 2m-2=m(x-1)+(x-2), 3.92z碧 整理，得(m十1)x=3m, “方程有解m十1≠0，解得z,m≠-1. (2侬题意，得9-碧-器条得=15 经检验，x=15是原方程的解，且符合题意， 由于分式方程有增根x=2及x=1, 答：骑车同学的速度为15km/h. 当z=3=2时，解得m=2: 4.(1)设该货船在静水中的航行速度为xkm/h,由题意，得 当x一”-1时，解得m=号 1 2-2×号解得=10 经检验，x=10是原方程的解且符合题意. 即当m=2或m=名时，分式方程有增根。 答：该货船在静水中的航行速度为10km/h. 1 8210 7 综上，当m≠-1，m≠乞，m≠2时，关于x的方程 5.(1)设每个A种挂件的价格为x元，则每个B种挂件的价 云2”2十马有解 2m-2 格为号x元.根据题意，得 3.(1)化成整式方程，得2(x+3)+mx=x-2, 即(m+1)x=-8. 300_200=7,解得x=25. 5 4 x 若该方程有增根，则增根为x=2或x=一3， 当x=2时，2(m+1)=-8,解得m=-5; 经检验，x=25是原方程的解，且符合题意. 当x=-3时，-3(m十1)=-8，解得m=号 答：每个A种挂件的价格为25元. (2)设该游客购买y个A种挂件，则购买(y十5)个B种挂件， 综上，当m=-5或m=号时，该方程有增根。 由(1)得每个B种挂件的价格为号×25=20（元），根据题 (2)由(1)可知，当m=-5或m=号时，该方程有增根，即 意，得25y+20(十5)≤60，解得y<19 无解. 由于y为正整数，故该游客最多购买11个A种挂件. 去分母后的整式方程为(m十1)x=一8， 6.(1)当a=500,b=50时，七分糖奶茶的含糖量为0.7b= 当m十1=0时，即m=一1时，x无意义即无解. 综上可知，若原方程无解，则m=-5或m=号或m=-1, 0.7X50=35(克)，全糖奶茶的甜度为：×100%=积× 100%=10%. 4.方程两边都乘以(x-3),得x十m一2m=4(x一3)， 设往七分糖奶茶中再加人x克糖能跟全糖奶茶甜度一样， 解这个整式方程，得x=一弓m十4 此时七分糖奶茶加人糖后含糖量为(35十x)克，奶茶总质 x-3≠0x≠3-写m+4≠3.m≠8. 量为(50+)克，其甜度为瓶十×10%=10%， 分式方程有正整数解，.正数m的值是6或9. 解得x一9。 5.()当x=-1时，已一4=解得m=-7 772 经检验，x=9是原方程的根。 (2)方程两边都乘以(x一1)，得x-4(x-1)=-m, 答：再加入公克的糖才能跟全糖奶茶的甜度一样。 解这个整式方程，得=m十4. 3 (2)五分糖奶茶的甜度为°，5色×100%=05b, 分式方程的解为非负数，且x≠1， m字4>0且≠1，解得m>-4且m≠-1. 三分糖奶茶的含糖量为0.3b克，加入0.2b克糖后，含糖量 变为(0.3b十0.2b)=0.5b克，奶茶总质量为(a十0.2b)克， 级数学（下）·HD一 此时霍度为，品×100%=。。82 0.5b 解这个整式方程，得x=子 “6<6202a8 aa+0.26" 检验：把x=号代人23x-1),得2(3×号-1)=0， ∴.店员调整后的奶茶甜度小于五分糖奶茶甜度 ∴原分式方程无解 15.4零指数幂与负整数指数幂 17解方程马-1=名得x=4, 15.4.1零指数幂与负整数指数幂 基础在线 “关于x的方程一1=名的解比经 2k-1=2 1.B2.4(答案不唯一)3.04.C5.C6.D 的解多1， 7.(1)原式=a36c9= a3c9. 六美于x的方程经-20=2的解为x=3. x (2)原式=a26·Q6=a86= a8, 3k_2k-1=2,解得k=2. (3)原式=a(6c)= c3. .(k十3)2=(2+3)2=25. 18.(1)10亿=10×108=109， 能力在线 900÷109=9×10-7(mm2). 8.D9.1 .每个这样的元件约占9×10-？mm2。 10.(1)原式=1-号×(-3)-2=1+号-2= (2)1m2=106mm2,9×10-7÷10s=9X10-13(m2). (2原式=26·（）'÷=·器· a .每个这样的元件约占9×1013m2. 19.(1)设甲种钢笔式毛笔的进价为x元，则乙种钢笔式毛笔 的进价为(x+4)元，根据题意，得 46 480=2×360 11.①当a-3≠0，a十2=0时，(a一3)a+2=1,此时a=-2； x+4,解得x=8. ②：1的任何次幂都等于1，.当a一3=1，即a=4时满 经检验，x=8是原分式方程的解，且符合实际意义。 足条件； 所以x十4=12. ③一1的偶次幂等于1，.当a一3=一1，即a=2时， 答：甲、乙两种钢笔式毛笔的进价分别为8元、12元 a十2=4为偶数，满足条件. (2)设甲种钢笔式毛笔购买了a套，则乙种钢笔式毛笔购 综上所述，整数a的值为一2,2,4. 买了(50-a)套.依题意，得 拓展在线 8a+12(50-a)≤500，解得a≥25， 12号 最小整数a为25. 答：甲种钢笔式毛笔至少购买25套. 15.4.2科学记数法 单元综合复习（一）分式 基础在线 热门考点突破 1.C2.C3.C4.A 1.B2.D3.D4.25.D6.B 5.(1)0.002(2)-0.000024 能力在线 7.(1)原式=x-)2 1 x+7·(z-x+》=x+y 6.C7.A8.原式=-2×10-7， 2x 4x-8 拓展在线 (2限式=32-号+4=红+8 9.(1)5.12×10-1 x+21 (2),小立方块的棱长为2×10-2m, .装满集装箱需要5.12×10-1÷(2×102)3= 8.原式=a-1+1÷a2(a-2)=a2 ,(a-2)2=a-2 a-1 (a-2)2=a-1‘a2(a-2)=a-1 6.4×104个小立方块. :a满足a2-4=0,即a=±2但a-2≠0， 阶段测评2(15.3~15.4) 1.C2.D3.D4.B5.A6.D7.D8.A 。=-2当a=-2时，原式-二号-号 9.>10.0.000010.002511.-4 9.C10.D11.A 12.-113.1214.20 12.(1)方程两边都乘以2x(2x一5)，约去分母，得 15.原式=-2+1-（-0.25×4)2=-1-1=-2. 2x十2x-5=0, 16.(1)方程两边都乘以x(x十1)，约去分母，得 解这个整式方程，得x= 2x=3(x+1) 解这个整式方程，得x=一3. 检验：把x=号代人2x(2z-5),得 检验：把x=一3代人x(x十1)，得 -3×(-3+1)=6≠0. 2x号×（×2-5）≠0 所以，x=一3是原方程的解 (2)方程两边都乘以2(3x一1)，约去分母，得 所以，x=号是原方程的解。 3x+1-5(3x-1)=2, (2)方程两边都乘以(x十1)(x一1)，约去分母，得 一探究在线·八年 (x+1)2-4=x2-1, .点P的坐标为(0,10). 解这个整式方程，得x=1. (2):点P到y轴的距离为6， 检验：把x=1代人(x+1)(x一1)，得 .2x-6=6或-6.x=6或x=0. (1十1)(1-1)=0，分式无意义， .点P的坐标为(6,19)或(-6,1). .x=1是原方程的增根..原方程无解. (3)AP与x轴平行，A(2,4), 13.A .3x+1=4..x=1.∴.2x-6=-4. 14.设乙款书签的价格为x元，则甲款书签的价格为三z 4x元， 点P的坐标为（一4,4）. 拓展在线 由题意，得100-128-3，解得z=16. 17.(1)6 5. x 42 (2)点B(5-2a,-3)是“角平分线点”， 经检验，x=16是原方程的解，且符合题意。 .|5-2a=|-3. :甲款书签价格为号×16=20（元）， ∴.5-2a=3或5-2a=-3,解得a=1或a=4. (3)点D是“角平分线”.理由如下： 答：甲款书签价格为20元，乙款书签价格为16元. ,点C(-3,2b-1)的长距为7， 15.B 且点C在第三象限内， 16.原式=1十3-(-2)=6. ∴.2b-1=-7,解得b=-3..9+2b=3. 核心素养提升 点D的坐标为(3，一3) 17.C 点D到x轴、y轴的距离都是3. 第16章函数及其图象 点D是“角平分线点” 16.1变量与函数 16.2.2函数的图象 第1课时变量与函数 基础在线 基础在线 1.(1)-6 -4-2024 1.ht2.A3.C4.C5.D (2) 能力在线 6.C7.A8.A 第2课时 确定函数关系式及自变量的取值范围 基础在线 1.h=3x+802.A3.A4.3(答案不唯一)5.06.5 能力在线 (3)-0.35 7.-68.A 2.甲 9.(1y=-3x+20.0≤x≤9)(2)5 3.(1)800(2)100(3)3> 4.C5.B 拓展在线 能力在线 10.(1)①当0≤≤6时，y=2×8(6-)=24-4: 6.C7.C 8.(1)设P为BC上的一个动点（点P不与点B、C重合）， ②当>6时y=合×84-6)=4-24 且CP=x, ..BP=BC-CP=8-x, y (2):Sc=合X6X8=24,号5Ae=8, 1 S=2BP:AC=号×(8-x)X6 84 20 ,.24-4t=8或4t-24=8.∴.t=4或t=8. 16.2函数的图象 =24-3x. (2)0<x<8 16.2.1平面直角坐标系 04812 (3)画出函数图象如图所示， 基础在线 (4)12 1.B2.D3.B4.C5.C 拓展在线 6.(1)由题意，得学校（一2，一2），公园(1,2) 9.D (2)小刚经过的地方分别是副食店→汽车 娱乐中心y公园 食具店 微专题4平面直角坐标系中的规律探究 站→二姨家→娱乐中心→公园→文具店. 车站 1.B2.D3.A4.A5.B6.B (3)如图，由图可得，其路线图像一个箭头. 7.B8.A9.B10.C 字 微专题5函数图象信息题 1.D2.A3.D4.D5.B 能力在线 16.3一次函数 11.D12.C13.A14.C 16.3.1一次函数 15.(2,1)(答案不唯一) 基础在线 16.(1)点P(2x一6,3x+1)在y轴上 1.D2.B3.A4.B5.A .2x-6=0..x=3..3x+1=10. 6.(1)y=3.6x,是正比例函数，也是一次函数. 级数学（下）·HD一 19