精品解析：广西钦州市浦北县2025-2026学年上学期期末九年级数学试题

2025年秋季学期期末学业质量监测 九年级数学 （满分120分，作答时间120分钟） 一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题列出的四个备选项中，只有一项符合题目要求，错选、多选或未选均不得分．） 1. 如图，用放大镜将桂林日月双塔的图片放大，这种图形的变换是（ ） A. 相似变换 B. 平移变换 C. 旋转变换 D. 轴对称变换 2. 下列函数不是反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列四组线段中，是成比例线段的一组是（ ） A. 1，2，3，4 B. 2，4，6，8 C. 1，2，5，10 D. 2，3，5，8 4. 如图，已知，，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 若抛物线经过点，则k的值为（ ） A. -4 B. -2 C. 2 D. 4 6. 已知关于的一元二次方程有一根为，则的值是（　　） A. B. C. 或 D. 或 7. 如图，在中，将绕点逆时针旋转得到，点恰好落在的延长线上，则旋转角是（ ） A. B. C. D. 8. 酸溶液和碱溶液混合会发生中和反应，现有3瓶溶液标签缺失，分别为（酸溶液），（碱溶液），（碱溶液），若从中任取2瓶混合，则会发生中和反应的概率为（　　） A. B. C. D. 9. 如图，为的直径，是的弦且与平行，连接，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 10. 雪花也称银粟、玉龙、玉尘，是一种晶体，是天空中的水汽经凝华而来的固态降水，结构随温度的变化而变化，多呈六角形，像花，如图所示的雪花绕中心旋转后能与原来的图案重合，则的最小值为（ ） A. 30 B. 60 C. 90 D. 120 11. 小明在物理课做简谐运动实验，如图所示的是一个半径为的弧形光滑凹槽，为光滑凹槽中的中点，将一个小球从凹槽边缘的处由静止释放，小球摆到位置．现测得，间的距离为10，凹槽的深度为1，则该凹槽的半径为（ ） A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 12. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点，都在轴上，点在轴正半轴上，且反比例函数的图象经过边的中点，则四边形的面积为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．） 13. 二次函数的图象的顶点坐标是_________________． 14. 从单词“”中随机抽取一个字母，字母“”出现的概率是_____． 15. 已知反比例函数的图象在第二、四象限，则的取值范围是__________． 16. 如图，数轴的原点对应刻度尺的0刻度线，图中的虚线互相平行，则点对应的数是____________． 三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. （1）解方程：． （2）如图，一个矩形广场的长为，宽为，广场外围两条纵向小路的宽均为，如果两条横向小路的宽都为，那么当x为多少时，小路内、外边缘所围成的两个矩形相似？ 18. 为弘扬中华民族尊老、敬老、爱老、助老的传统美德，小美为敬老院做了四张背面完全相同的宣传卡片如图所示，正面分别对应着“尊老”“敬老”“爱老”“助老”的宣传语，把卡片洗匀背面向上摆放． （1）若随机翻一张卡片，卡片正面图案为“爱老”的概率为___________． （2）小美先随机翻一张卡片，放回洗匀后再随机翻一张卡片，求两次翻卡片，正面图案为“尊老”和“敬老”的概率． 19. 如图，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰的高度）不变时，火焰的像高（单位：）是关于物距（小孔到蜡烛的距离）（单位：）的反比例函数，当时，，请你解答下列问题． （1）求关于的函数解析式． （2）若火焰的像高为，求小孔到蜡烛的距离． 20. 如图，在平面直角坐标系中，A是反比例函数图象上一点，轴，垂足为B，若，一次函数的图象与轴交于点． （1）求的值． （2）过点作x轴的平行线，分别交和0）的图象于点M，N，求的长． 21. 如图，是的直径，弦相交于点，，点F在的延长线上，，连接． （1）求证：是的切线； （2）若，，求直径的长． 22. 如图，四边形为平行四边形，为边上一点，对角线与相交于点，且． （1）求证：． （2）若，求的值． 23. 如图，抛物线与轴交于，，与轴交于点，点在抛物线上． （1）求抛物线的解析式． （2）在抛物线的对称轴上有一点，若是以为底的等腰三角形，求点的坐标． （3）若点在抛物线上，且它的横坐标为，与交于点，当的值最小时，求点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋季学期期末学业质量监测 九年级数学 （满分120分，作答时间120分钟） 一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题列出的四个备选项中，只有一项符合题目要求，错选、多选或未选均不得分．） 1. 如图，用放大镜将桂林日月双塔的图片放大，这种图形的变换是（ ） A. 相似变换 B. 平移变换 C. 旋转变换 D. 轴对称变换 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查几何变换的类型，解题的关键是掌握：把形状相同的图形叫做相似图形，相似图形之间的互相变换称为相似变换．据此分析即可． 【详解】解：用放大镜将桂林日月双塔的图片放大，属于图形的形状相同，大小不相同， ∴这种图形的变换是相似变换． 故选：A． 2. 下列函数不是反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的定义，掌握反比例函数的定义是解答本题的关键；反比例函数的形式为，或，其中k为常数且，根据反比例函数的定义分别进行分析即可． 【详解】解：A、，是反比例函数，故此选项不符合题意； B、，即，是反比例函数，故此选项不符合题意； C、，即，是反比例函数，故此选项不符合题意； D、，为正比例函数，不是反比例函数，故此选项符合题意； 故选：D． 3. 下列四组线段中，是成比例线段的一组是（ ） A. 1，2，3，4 B. 2，4，6，8 C. 1，2，5，10 D. 2，3，5，8 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了成比例线段的定义，对于按顺序排列的四条线段、、、，如果，则它们成比例．计算每组中前两条线段的比值与后两条线段的比值是否相等，即可得解． 【详解】解：A、，，，不成比例； B、，，，不成比例； C、，，，成比例； D、，，，不成比例． 故选：C． 4. 如图，已知，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故选：A． 5. 若抛物线经过点，则k的值为（ ） A. -4 B. -2 C. 2 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】将点（-1，3）代入即可得． 【详解】解：将点（-1，3）代入得： 故选D 【点睛】本题考查了待定系数法，解题的关键是把点（-1，3）代入． 6. 已知关于的一元二次方程有一根为，则的值是（　　） A. B. C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程的定义，解一元二次方程，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 将代入关于的一元二次方程中得，且，解出的值即可． 【详解】解：由题意，得且， 或，且， ， 故选：A． 7. 如图，在中，将绕点逆时针旋转得到，点恰好落在的延长线上，则旋转角是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，根据旋转的性质求解即可． 【详解】解：∵将绕点逆时针旋转得到， ∴旋转角是和． 故选：C． 8. 酸溶液和碱溶液混合会发生中和反应，现有3瓶溶液标签缺失，分别为（酸溶液），（碱溶液），（碱溶液），若从中任取2瓶混合，则会发生中和反应的概率为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查概率计算，掌握简单事件的概率计算公式是解题的关键． 总共有3瓶溶液，任取2瓶混合，找出所有可能取法和发生中和反应的取法数，再求概率即可． 【详解】∵溶液有3瓶：HCl（酸）、NaOH（碱）、KOH（碱）， 任取2瓶混合，所有可能取法有三种，是否能反应如下： 1.和→酸和碱，发生中和反应； 2.和→酸和碱，发生中和反应； 3.和→碱和碱，不发生中和反应； ∴总取法数为3，发生中和反应的取法数为2. 故概率为， 故选D． 9. 如图，为的直径，是的弦且与平行，连接，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆的基本性质、平行线的性质以及等腰三角形的性质，解题的关键是利用等腰三角形与平行线性质求解角度． 先由得；再由得；结合求出；最后根据平行线同旁内角互补即可解答． 【详解】解：如图，连接, ∵，， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 10. 雪花也称银粟、玉龙、玉尘，是一种晶体，是天空中的水汽经凝华而来的固态降水，结构随温度的变化而变化，多呈六角形，像花，如图所示的雪花绕中心旋转后能与原来的图案重合，则的最小值为（ ） A. 30 B. 60 C. 90 D. 120 【答案】B 【解析】 【分析】根据旋转的性质求解即可． 【详解】解：∵该图形被平分成6部分，旋转的整数倍，都可以与自身重合， ∴故n的最小值为60． 故选：B． 【点睛】本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角． 11. 小明在物理课做简谐运动实验，如图所示的是一个半径为的弧形光滑凹槽，为光滑凹槽中的中点，将一个小球从凹槽边缘的处由静止释放，小球摆到位置．现测得，间的距离为10，凹槽的深度为1，则该凹槽的半径为（ ） A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理，熟知圆的性质是解题的关键．根据题意能得出，，，再根据勾股定理列出，求解即可． 【详解】解：连接，与交于点C， ∵，间的距离为10，为光滑凹槽中的中点，凹槽的深度为1， ∴，，， 在中，， ∴， 解得， 故选：D． 12. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点，都在轴上，点在轴正半轴上，且反比例函数的图象经过边的中点，则四边形的面积为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数系数k的几何意义，矩形的判定与性质． 过的中点作轴，交轴于点，交于点，作轴于点，则四边形和都是矩形，由反比例函数k的几何意义可得矩形的面积为2，证明得，然后根据即可求解． 【详解】解：如图，过的中点作轴，交轴于点，交于点，作轴于点，则四边形和都是矩形， ∴， ∵， ∴矩形的面积为2． 在和中， ， ， ． 故选B． 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．） 13. 二次函数的图象的顶点坐标是_________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数顶点式的性质，根据二次函数的图象的顶点坐标为求解即可． 【详解】解：根据二次函数的顶点式可得，二次函数的图象的顶点坐标为． 故答案为：． 14. 从单词“”中随机抽取一个字母，字母“”出现的概率是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了简单概率公式计算概率，熟练掌握公式是解题的关键．根据简单概率公式计算概率即可． 【详解】解∶∵在单词“”中，一共有11个字母，其中字母“”有2个， ∴字母“”出现的概率是， 故答案为∶． 15. 已知反比例函数的图象在第二、四象限，则的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据反比例函数的性质，即可求出k的值. 【详解】解：∵反比例函数的图象在第二、四象限， ∴， ∴； 故答案为：. 【点睛】本题考查了反比例函数的图像和性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数的性质进行解题. 16. 如图，数轴的原点对应刻度尺的0刻度线，图中的虚线互相平行，则点对应的数是____________． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查平行线分线段成比例．根据平行线分线段成比例定理，列出比例式求出即可． 【详解】解：如图， 依题意得，，，，． ，即． ． 故答案为：9． 三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. （1）解方程：． （2）如图，一个矩形广场的长为，宽为，广场外围两条纵向小路的宽均为，如果两条横向小路的宽都为，那么当x为多少时，小路内、外边缘所围成的两个矩形相似？ 【答案】（1），；（2）当x为时，小路内、外边缘所围成的两个矩形相似． 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，相似多边形的性质：如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形． （1）利用因式分解法求解即可； （2）内外矩形的对应角相等，所以当时，小路内、外边缘所围成的两个矩形相似，然后利用比例性质求出x即可． 【详解】（1）解：， 因式分解得， 解得，； （2）解：当时，小路内、外边缘所围成的两个矩形相似． 解得； 答：当x为时，小路内、外边缘所围成的两个矩形相似． 18. 为弘扬中华民族尊老、敬老、爱老、助老的传统美德，小美为敬老院做了四张背面完全相同的宣传卡片如图所示，正面分别对应着“尊老”“敬老”“爱老”“助老”的宣传语，把卡片洗匀背面向上摆放． （1）若随机翻一张卡片，卡片正面图案为“爱老”的概率为___________． （2）小美先随机翻一张卡片，放回洗匀后再随机翻一张卡片，求两次翻卡片，正面图案为“尊老”和“敬老”的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查用列表法或画树状图求概率、概率公式， （1）利用概率公式求解即可； （2）画树状图得，共有16种等可能的结果，正面图案为“尊老”和“敬老”的情况有2种，再利用概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得，卡片正面图案为“爱老”的概率为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：将“尊老”“敬老”“爱老”“助老”分别用A、B、C、D来表示． 根据题意，画出树状图如下： 由树状图可知共有16种等可能的结果，正面图案为“尊老”和“敬老”的情况有2种； ∴两次翻卡片，正面图案为“尊老”和“敬老”的概率为． 19. 如图，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰的高度）不变时，火焰的像高（单位：）是关于物距（小孔到蜡烛的距离）（单位：）的反比例函数，当时，，请你解答下列问题． （1）求关于的函数解析式． （2）若火焰的像高为，求小孔到蜡烛的距离． 【答案】（1） （2）小孔到蜡烛的距离为 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，理解题意是解题的关键． （1）利用待定系数法即可求解； （2）把代入（1）中的解析式即可求解． 【小问1详解】 解：根据题意，设函数解析式为， 把，代入，得， 关于的函数解析式为； 【小问2详解】 解：把代入，则， 解得， 小孔到蜡烛的距离为． 20. 如图，在平面直角坐标系中，A是反比例函数图象上一点，轴，垂足为B，若，一次函数的图象与轴交于点． （1）求的值． （2）过点作x轴的平行线，分别交和0）的图象于点M，N，求的长． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的综合问题，反比例函数的系数的几何意义，求反比例函数的解析式，求一次函数的解析式，反比例函数的图象与性质，一次函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数与一次函数的综合问题是关键． （1）根据反比例函数的系数的几何意义求解即可；用待定系数法求一次函数的解析式即可； （2）设，，将两个点的坐标分别代入，中，列出方程求解，得到M与N的坐标，即可求得答案． 【小问1详解】 解：， ， 图象位于第一象限， ， ； 一次函数的图象经过点， ， ； 【小问2详解】 解：如图，设，， 将，分别代入，中， 得，， 解得，， ，， ． 21. 如图，是的直径，弦相交于点，，点F在的延长线上，，连接． （1）求证：是的切线； （2）若，，求直径的长． 【答案】（1） 证明：， ． ， ， ， ， ， 是的直径， 是的切线； （2） 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，切线的判定，勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据，得出，根据，得出．结合三角形的内角和定理推出，即可推出是的切线． （2）由可得，根据勾股定理的得出．设，则，．根据勾股定理得出，列出方程，求出x的值，即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， 是的直径， ， ， ， ， ， 设，则，． 在中，， ， 解得， ， ． 22. 如图，四边形为平行四边形，为边上一点，对角线与相交于点，且． （1）求证：． （2）若，求的值． 【答案】（1） 证明：四边形为平行四边形， ， ． ， ， ， ； （2） 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质： （1）证明，即可得证； （2）由（1）的结论，求出的长，证明，列出比例式，结合面积比与相似比的性质进行求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）得，且，解得， ． ， . ． 23. 如图，抛物线与轴交于，，与轴交于点，点在抛物线上． （1）求抛物线的解析式． （2）在抛物线的对称轴上有一点，若是以为底的等腰三角形，求点的坐标． （3）若点在抛物线上，且它的横坐标为，与交于点，当的值最小时，求点的坐标． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）根据抛物线的性质可得对称轴为直线以及点，设，根据等腰三角形的定义和勾股定理列出方程，求出的值即可求解； （3）先求出直线的解析式为，过点作轴交于点，则，得到，分析可知当取得最大值时，有最小值；再利用二次函数的性质求出的最大值，即可求出点的坐标． 【小问1详解】 解：将点，，点代入中， 得， 解得 抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：抛物线的解析式为， 对称轴为直线， 令，则， ， 设， 是以为底的等腰三角形， ， ， 解得， 点的坐标为； 【小问3详解】 解：由（2）得，， 设直线的解析式为， 把代入，得， 解得， 直线的解析式为； 如图，过点作轴交于点， 则， ， 当取得最大值时，有最小值； 点的横坐标为， ，， ， ， 当时，有最大值，此时有最小值， 点的坐标为． 【点睛】本题考查了二次函数与几何综合，涉及待定系数法、等腰三角形的定义、勾股定理、相似三角形的性质与判定，运用数形结合思想是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $