精品解析：湖南省娄底市涟源市民办高中2025-2026学年高一第一学期期末考试数学试题

2025~2026学年度第一学期高一期末考试 数学 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5mm的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，请将答题卡上交. 4.本卷主要命题范围：必修第一册，必修第二册第六章6.1~6.2. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 下列物理量中，不能称为向量的是（ ） A. 质量 B. 速度 C. 位移 D. 力 3. 计算的值（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则下列说法正确是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C 若，且，则 D. 若，，则 5. 函数，则的值域是（ ） A. B. C. D. 6. 已知扇形的圆心角为，周长为，则该扇形的面积为（ ） A. B. C. D. 7. 在矩形中，为线段的中点，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数满足，当时，，则（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 以下关于平面向量的说法中，正确的是（ ） A. 既有大小，又有方向的量叫做向量 B. 所有单位向量都相等 C. 零向量没有方向 D. 平行向量也叫做共线向量 10. 下列函数既是偶函数，又在上是减函数的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数（，，）的部分图象如图所示，则（ ） A. 的最小正周期为 B. C. 将曲线向右平移个单位长度后得到的图象关于轴对称 D. 若在区间上单调递增，则 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 集合的真子集的个数是__________． 13. 函数的定义域为__________. 14. 若，且，则向量与的夹角为______． 四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤. 15. 已知，为第二象限角． （1）求的值； （2）求的值． 16. 已知向量均单位向量，且. （1）求与夹角的大小； （2）求值. 17. 已知函数． （1）求的最小正周期和单调递减区间； （2）求在上的最大值以及取得最大值时的值． 18. 已知函数且． （1）求的定义域，判断的奇偶性并给出证明； （2）若，求实数的取值范围． 19. 已知函数. （1）若，求值； （2）若，求在区间上的最大值； （3）设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度第一学期高一期末考试 数学 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5mm的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，请将答题卡上交. 4.本卷主要命题范围：必修第一册，必修第二册第六章6.1~6.2. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先利用自然数集的定义化简集合，再利用集合的交集运算求解. 【详解】因， 又，所以. 故选：D. 2. 下列物理量中，不能称为向量的是（ ） A. 质量 B. 速度 C. 位移 D. 力 【答案】A 【解析】 【分析】由向量的概念判断即可. 【详解】由于向量即有大小又有方向，故速度，位移，力为向量，质量只有大小不是向量. 故选：A 3. 计算的值（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用两角差的余弦公式计算可得. 【详解】. 故选：C． 4. 已知，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，且，则 D. 若，，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的性质以及作差法逐项分析判断. 【详解】当，时，，故A错误； 当时，，故B错误； ∵，，显然不能得到， 例如当，时，，故C错误； 若，，则，故D正确. 故选：D. 5. 函数，则的值域是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由指数函数单调性即可得出答案。 【详解】因为在上单调递减，所以在上的值域为. 故选：C 6. 已知扇形的圆心角为，周长为，则该扇形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将角度化为弧度，再由弧长公式求出扇形的半径，最后由扇形面积公式计算可得. 【详解】因为，设扇形的半径为，所以，解得， 所以该扇形的面积． 故选：B． 7. 在矩形中，为线段的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】应用向量线性运算的数乘和减法、加法法则即可得解. 【详解】在矩形中，为的中点， 故选：C． 8. 已知函数满足，当时，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得是以6为周期的函数，结合已知条件即可求解. 【详解】因为，所以是以6为周期的函数， 所以， 故选：D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 以下关于平面向量的说法中，正确的是（ ） A. 既有大小，又有方向的量叫做向量 B. 所有单位向量都相等 C. 零向量没有方向 D. 平行向量也叫做共线向量 【答案】AD 【解析】 【分析】根据给定条件结合平面向量的基本概念，逐项分析判断作答. 【详解】由向量的定义知，既有大小，又有方向的量叫做向量，A正确； 单位向量是长度为1的向量，其方向是任意的，B不正确； 零向量有方向，其方向是任意的，C不正确； 由平行向量的定义知，平行向量也叫做共线向量，D正确. 故选：AD 10. 下列函数既是偶函数，又在上是减函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用常见函数的奇偶性和单调性逐一判断即可. 【详解】A选项中：设，其定义域为，，故为偶函数， 且幂函数在上是减函数，故A正确； B选项中，设，其定义域为，，则为偶函数， 且，则其在上单调递减，故B正确； C选项中，设，其定义域为，则， 故是偶函数，且函数在上单调递减, 函数在定义域上为增函数， 所以在 上单调递减,故C正确； D选项中，设，是， 且其定义域为，关于原点对称，故其为奇函数，故D错误. 故选：ABC. 11. 已知函数（，，）的部分图象如图所示，则（ ） A. 的最小正周期为 B. C. 将曲线向右平移个单位长度后得到的图象关于轴对称 D. 若在区间上单调递增，则 【答案】AD 【解析】 【分析】由函数图像可确定函数最小正周期，判断A；将代入，求出，判断B；根据三角函数的图象的平移变换规律可得平移后图象的解析式，结合正弦函数性质可判断C；利用余弦函数的单调性可判断D. 【详解】由于，故，A正确， 由于，则，故， 即， 而，故，B错误； 由于， 故将曲线向右平移个单位长度后得到图象， 该图象关于原点对称，不关于轴对称，C错误； 当时，，当时， 由于在上单调递增，在上单调递减， 故在上单调递增，在上单调递减， 故由在区间上单调递增，得，D正确， 故选：AD 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 集合的真子集的个数是__________． 【答案】7 【解析】 【分析】．先根据题意写出集合的具体元素，再利将其真子集的个数给求出来即可. 【详解】因为， 则的元素个数为，故A有个真子集． 故答案为：. 13. 函数的定义域为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据正切函数的定义域，即可求出结果. 【详解】令，所以， 即函数的定义域为. 故答案：. 14. 若，且，则向量与的夹角为______． 【答案】 【解析】 【分析】由向量垂直、数量积的运算、夹角的运算计算即可； 【详解】设向量与的夹角为， 因为，且，则， 可得， 所以， 又，所以. 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤. 15. 已知，为第二象限角． （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据同角三角函数结合已知得出，即可根据二倍角的正弦公式代入数值得出答案； （2）根据两角和差的余弦公式代入数值得出答案. 【小问1详解】 ，为第二象限角， ， 则； 【小问2详解】 . 16. 已知向量均为单位向量，且. （1）求与夹角的大小； （2）求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量的模长与数量积的运算法则化简可得的值，根据两个向量夹角余弦值运算公式求值，即可得与夹角的大小； （2）根据数量积求解模长即可. 【小问1详解】 由题知，则， 所以 ，故， 又，所以，即与夹角的大小为； 【小问2详解】 由（1）得. 17. 已知函数． （1）求的最小正周期和单调递减区间； （2）求在上的最大值以及取得最大值时的值． 【答案】（1）；； （2）最大值为，取得最大值时为或 【解析】 【分析】（1）利用辅助角公式将化为，根据最小正周期的求法求得最小正周期，利用整体代入法求得单调递减区间； （2）根据正弦函数的图象及性质即可得出的最大值以及取得最大值时的值. 【小问1详解】 ， 则的最小正周期为； 令，解得， 故的单调递减区间为； 【小问2详解】 由，得， 则当时，取得最大值， 因为，所以，又为整数，所以或， 则或． 故的最大值为，取得最大值时为或． 18. 已知函数且． （1）求的定义域，判断的奇偶性并给出证明； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1）定义域为，奇函数，证明见解析； （2）答案见解析； 【解析】 【分析】（1）根据真数大于零求定义域，利用奇偶性定义判断并证明是奇函数即可； （2）利用奇函数和单调性求解不等式即可. 小问1详解】 要使有意义，需满足，解得，故定义域为； 是奇函数； 证明：定义域为，关于原点对称； 又， 所以为奇函数； 【小问2详解】 由，得． 由（1）知为奇函数，所以，所以. 因为， 令，则在上单调递增， 当时，在上单调递减，则，解得； 当时，在上单调递增，则，解得． 综上，当时，实数的取值范围是；当时，实数的取值范围是． 19. 已知函数. （1）若，求的值； （2）若，求在区间上的最大值； （3）设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）20 （3） 【解析】 【分析】（1）由代入可得； （2）设，换元后利用二次函数的性质可得； （3）先将条件转化为，因，故对任意的恒成立，即在上恒成立，进而可得. 【小问1详解】 由，得，解得. 【小问2详解】 当时，， 令，因为，所以， 所以， 当时，取最大值，所以在区间上的最大值为. 小问3详解】 若对任意的，总存在，使得， 可得：. 又， 所以， 所以对任意的，， 则对任意的恒成立， 即，. 令，即，令，. 因为在区间上为增函数，所以 所以实数的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $