5.2简单的轴对称图形寒假预习讲义-2025-2026学年北师大版七年级下学期数学（知识点梳理+题型精讲+综合测试）.

5.2简单的轴对称图形寒假预习讲义（北师大版） ✅ 课前预习★目标 ● 认识轴对称图形和对称轴，能判断一个图形是否为轴对称图形; ● 了解常见简单轴对称图形：线段、角、等腰三角形、长方形、正方形、圆等; ● 能找出简单轴对称图形的对称轴，并会画出对称轴; ● 初步感知轴对称图形“沿对称轴折叠后完全重合”的特点; ● 能结合生活实例，说出轴对称在生活中的应用. ☘ 重点知识★梳理归纳 【知识点1】等腰三角形 定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形． 性质：1.等腰三角形的两个底角相等，简写成 “等边对等角”; 2.等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合，也称 “三线合一”; 3.等腰三角形是轴对称图形，等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高所在的直线都是等腰三角形的对称轴． 判定：1.有两条边相等的三角形是等腰三角形． 2.如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边也相等． 【知识点2】线段的垂直平分线 定义：垂直于一条线段并且平分这条线段的直线，叫作这条线段的垂直平分线（简称中垂线）． 性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等． 对称性：线段是轴对称图形，有两条对称轴，一条是它的垂直平分线，另一条是它本身所在的直线． 【知识点3】角的平分线 对称性：角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴． 性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等． 角平分线的作法：在角的两边截取相等的线段，分别以这两个点为圆心，大于两点间距离一半的长度为半径作弧，两弧相交于一点，过角的顶点和这个交点的射线就是角平分线． 【知识点4】方法点拨 在等腰三角形有关计算或证明中，有时需要添加辅助线，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线 💦 核心考点★精讲讲练 题型1等边对等角 例1．如图，把绕着点A顺时针方向旋转，得到，点C刚好落在边上．则的度数为（    ） A． B． C． D． 变式1．已知一个等腰三角形的一个外角是，则该等腰三角形的顶角是 ． 变式2．如图，在中，，，，，垂足分别为点、．求证： 题型2三线合一 例2．如图，在等腰三角形中，，是边上的高，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C．平分 D． 变式1．等腰三角形的“三线合一”性质中的三线指顶角的平分线、底边上的高和 ； 变式2．已知：如图，，，，．求证：． 题型3线段垂直平分线的性质 例3．如图，作边的垂直平分线，交于D点，交于E点，连接，若，，则的周长是（   ） A．10 B．11 C．14 D．22 变式1．在锐角中，，，作边的垂直平分线分别交，于点，连接，的周长为 ． 变式2．如图，菱形的边长为，，对角线相交于点，点在对角线上，连接，作，且边与直线相交于点． (1)求菱形的面积； (2)求证： 题型4线段垂直平分线的判定 例4 ．下列说法中，正确的个数有（    ） （1）关于某直线对称的两个三角形是全等三角形 （2）有一个角是的三角形是等边三角形 （3）两个图形关于某直线对称，则这两个图形一定分别位于这条直线的两侧 （4）平面内，到三角形三个顶点距离相等的点是三角形三边垂直平分线的交点 （5）等腰三角形的角平分线、中线、高线互相重合 A． B． C． D． 变式1．如图，是的中线，于点，是的中线，且，，． (1)求； (2)求证：； (3)求的长． 变式2．如图，是的角平分线，，垂足分别是E，F，连接与相交于点G． (1)求证：是的垂直平分线； (2)若的面积为8，，求的长． 题型5作已知线段的垂直平分线 例5．已知中，，在上取一点，使，下列尺规作图的方法正确的是（    ） A． B． C． D． 变式1．如图，在坐标系中，，在轴上找一点，使为等腰三角形，则这样的点共有 个． 变式2．如图，某公园内有两条小路、，摩天轮、碰碰车分别位于、两处，现计划在公园内修建一个游客休息区，使得游客休息区到小路的距离与游客休息区到小路的距离相等，且，请运用尺规作图法在图中确定游客休息区的位置．（不写作法，保留作图痕迹） 题型6角平分线的性质定理 例6．如图，已知的周长是21，，分别平分和，于，且，的面积是（　　） A．25 B．84 C．42 D．21 变式1．如图，在中，，，．平分交于点D，则点D到的距离为 ．    变式2．如图，在中，分别是边上的点，，且． (1)填空：_____；（填“”、“”、“”） (2)试说明平分； (3)若，，求． 题型7作角平分线（尺规作图） 例7．如图，中，以为圆心，任意长为半径作弧，分别交延长线，于点，，再分别以，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，若，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 变式1．已知村政府现要在如图所示区域内，修建到，，三条公路距离相等的加油站P，则加油站的选址共有 种选择． 变式2．如图，锦簇公园有一块三角形菊花地．为了能更好地赏花，现计划在边上找一点D，向边各修一条小路，且使得点D到边的距离相等．请用直尺和圆规作出点D的位置，要求保留作图痕迹，不写作法． 题型8最短路径问题 例8 ．如图，直线是一条河，A，B两地相距，A，B两地到的距离分别为，欲在上某点M处修建一个水泵站，向A，B两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则铺设的管道最短的是（   ） A． B． C． D． 变式1．如图，在中，D是上一点，连接，将沿折叠，点B的对应点E恰好落在上，M是上一动点，连接，，若，，，则的最小值为 ． 变式2．如图，已知四点、、、，请用尺规作图完成．（保留作图痕迹） (1)画直线，画射线，连接． (2)延长线段到．使得． (3)在线段上取点，使的值最小． (4)在（2）的条件下，若，，求线段的长度． 题型9线段问题（轴对称综合题） 例9．如图，某城镇的主干道为一条东西走向的直线道路，路北有两个居民区和．现计划在上设立一个公交站，要求区和区的居民到车站的总路程最短．已知上有四个候选站点位置（依次自西向东排列），则车站应设在（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 变式1．如图，在直角中，，，，，D、E、F分别是、、边上的动点，则的周长的最小值是 ． 变式2．如图，在中，点D在边上，过点D作交于点E，P为上的一个动点，连接，．若最小，则点P应该满足什么条件？请说明理由． 题型10面积问题（轴对称综合题） 例10．如图，点P为内部任意一点，点P、关于对称，点P、关于对称,，则的面积为 ． 变式1．如图，在中，，，点A关于的对称点为，点B关于的对称点为，点C关于的对称点为． (1)在图中画出； (2)若的面积为，则的面积是______． 变式2．在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，三个顶点的均在格点上，位置如图所示． (1)请画出关于直线对称的； (2)连接、，并计算四边形的面积． 题型11角度问题（轴对称综合题） 例11．如图，，O为内部的一点，连接． (1)作线段关于直线对称的线段，分别是；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)求证：M，C，N三点在同一条直线上． 变式1．已知． (1)如图1，若射线在的内部，且射线，关于射线对称．射线，关于射线对称，则 ．    (2)如图2，若射线在的外部，且，射线，关于射线对称，射线，关于射线对称，求的度数．    (3)若射线，关于射线对称，，请直接写的度数．    变式2．如图，在菱形中，，P为AD边上一点，连接，作关于对称的，点F与点E关于对称．设，若点F在内（不包括边界），则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型12其他问题（轴对称综合题） 例12．如图，点、在直线的同侧，点是点关于的对称点，交于点．    (1)与相等吗？为什么？ (2)在上再取一点，并连接与，比较与的大小，并说明理由．  变式1．如图，三个顶点的坐标分别为，，．    (1)在图中作出关于y轴对称的图形； (2)若P为x轴上一点，画出点P，使得的值最小； (3)计算的面积． 变式2．如图，已知等腰直角三角形，，，，是过点A的任意一条直线，点M是点B关于直线的对称点．连接，则线段长度的最小值是 ．    题型13回顾与思考 例13.如图，中，是的角平分线，，F是中点，连接，若，，，则为（    ） A． B．12 C．15 D．30 变式1．如图，，与的平分线交于点，过点作交于点，交于点，，则下列说法：①为的中点；②点到的距离为5；③；④．正确的有 ．（请填写序号） 变式2．如图，在中，，D是的中点，E是上任意一点，连接，，试说明：． ✍ 强化巩固★综合测试 一、单选题 1．平面内到不在同一条直线的三个点的距离相等的点有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形，其中，，，，则约为（    ） A． B． C． D． 3．如图，中，，将绕点C逆时针旋转到的位置，当时，连接，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．如图，在一张长方形纸板上找一点P，使点P到的距离相等，且到点C，D的距离也相等，则下列作法错误的有（   ）个． （1）    （2）（3）（4） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．如图，在平面直角坐标系中，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别与轴的正半轴和轴的负半轴交于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，则的值是（   ） A． B． C． D．4 6．考古队员在清理遗址时，发现一块带有破损角的石碑．为了复原这个角的平分线，他们在角的两边上量出，再用带有刻度的工具，使工具两边相同的刻度分别对准两点（即，然后过工具顶点画出射线，这条射线就是的平分线．这种做法的依据是（    ） A． B． C． D． 7．如图，在正方形网格中，点，为格点，点为直线上的动点，则使的值为最小的点是（   ） A． B． C． D． 8．某景区有一条笔直的观光车道和两个著名景点，景区计划在观光车道旁修建一个休息站，并铺设步道分别连接两个景点．某同学用直线（虚线）表示车道，，两点表示景点，线段（实线）表示步道，画出了如下四个示意图，则所需步道最短的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 9．已知线段，利用尺规，按照以下步骤作图：①分别以点A和B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点C和D；②作直线，则直线就是线段的 ． 10．如图，点P为内一点，分别作出点P关于、的对称点、，连接交于M，交于N．若，则 ． 11．如图，在锐角中，，，的平分线交于点D，M、N分别是上的动点，则的最小值是 ． 12．如图，在中，，如果点分别为上的动点，那么的最小值是 ． 13．如图，与它的余角相等，在上，分别截取，，使，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内交于点，作射线，则的度数为 ． 14．如图，已知的周长是24，分别平分和，于点D，且，则的面积是 ． 15．如图，在中，的垂直平分线交于点D，连接，若，则的长是 ． 16．如图，在等腰中，，，为的中点，点在上，，若点是上的一点，则当是以为腰的等腰三角形时，的度数是 ． 三、解答题 17．如图，平原上有，，，四个村庄，为解决当地饮水问题，政府准备出资修建一个蓄水池． (1)不考虑其他因素，请你画图确定蓄水池的位置，使它到四个村庄的距离之和最小． (2)计划把河水引入蓄水池中，怎样开渠最短？请画出来，并说明依据． 18．如图，在中，，点E、F在边上． (1)求证：； (2)若，求的度数． 19．作图： (1)如图1，，平分，平分，分别交于点，请你仅用无刻度直尺作出的重心点； (2)已知：如图2，四边形是等腰梯形，点是边上一点，连接，请你仅用无刻度直尺作出，使得． 20．电信部门要修建一座电视信号发射塔，按照设计要求，发射塔到两城镇，的距离要相等，发射塔到两条高速公路和的距离要相等． ①连接，作线段的垂直平分线； ②作的平分线交于点； 则点就是所要修建的电视信号发射塔． 请你依据以上步骤，用尺规作图的方法在图中作出电视信号发射塔的位置（保留作图痕迹，不写作法）． 21．如图，在平面直角坐标系中，的三顶点都在格点上，位置如图．请完成下列问题： (1)画出关于y轴的对称图形（注意标出对应点字母）；并分别写出点、点、点的坐标； (2)求的面积； (3)在轴上找一点，使最小．在图中画出点，并写出点的坐标．（保留作图痕迹，不写作法，写出结论） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.2简单的轴对称图形寒假预习讲义（北师大版） ✅ 课前预习★目标 ● 认识轴对称图形和对称轴，能判断一个图形是否为轴对称图形; ● 了解常见简单轴对称图形：线段、角、等腰三角形、长方形、正方形、圆等; ● 能找出简单轴对称图形的对称轴，并会画出对称轴; ● 初步感知轴对称图形“沿对称轴折叠后完全重合”的特点; ● 能结合生活实例，说出轴对称在生活中的应用. ☘ 重点知识★梳理归纳 【知识点1】等腰三角形 定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形． 性质：1.等腰三角形的两个底角相等，简写成 “等边对等角”; 2.等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合，也称 “三线合一”; 3.等腰三角形是轴对称图形，等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高所在的直线都是等腰三角形的对称轴． 判定： 1.有两条边相等的三角形是等腰三角形． 2.如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边也相等． 【知识点2】线段的垂直平分线 定义：垂直于一条线段并且平分这条线段的直线，叫作这条线段的垂直平分线（简称中垂线）． 性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等． 对称性：线段是轴对称图形，有两条对称轴，一条是它的垂直平分线，另一条是它本身所在的直线． 【知识点3】角的平分线 对称性：角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴． 性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等． 角平分线的作法：在角的两边截取相等的线段，分别以这两个点为圆心，大于两点间距离一半的长度为半径作弧，两弧相交于一点，过角的顶点和这个交点的射线就是角平分线． 【知识点4】方法点拨 在等腰三角形有关计算或证明中，有时需要添加辅助线，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线 💦 核心考点★精讲讲练 题型1等边对等角 例1．如图，把绕着点A顺时针方向旋转，得到，点C刚好落在边上．则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了旋转的性质以及等腰三角形的性质等知识．根据题意得出，再利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵把绕着点A顺时针方向旋转，得到， ∴，， ∴． 故选：C． 变式1．已知一个等腰三角形的一个外角是，则该等腰三角形的顶角是 ． 【答案】/60度 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，邻补角的定义，是基础题．先求出与这个外角相邻的内角是，再分这个内角是底角和顶角两种情况讨论． 【详解】解：与相邻的内角为， 若角为顶角，则该等腰三角形的顶角是； 若角为底角，则该等腰三角形的顶角是； 综上所述该等腰三角形的顶角是． 故答案为：． 变式2．如图，在中，，，，，垂足分别为点、．求证： 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．先根据垂直的定义得到直角，再由等腰三角形的性质得出角相等，最后利用全等三角形的判定定理（）证明两个三角形全等，从而得出对应角相等． 【详解】证明：∵，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴（）． ∴． 题型2三线合一 例2．如图，在等腰三角形中，，是边上的高，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C．平分 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，熟记等腰三角形的性质是解题的关键．根据等腰三角形“三线合一”的性质逐项分析判定即可． 【详解】解：∵，是边上的高， ∴，，即平分， ∴， 故选项A、C、D正确，不符合题意， 而已知条件无法证明，故选项B错误，符合题意． 故选：B． 变式1．等腰三角形的“三线合一”性质中的三线指顶角的平分线、底边上的高和 ； 【答案】底边上的中线 【分析】本题主要考查的是等腰三角形的性质，根据等腰三角形的“三线合一”是指顶角平分线，底边上的高，底边上的中线互相重合，据此进行分析即可得出结果． 【详解】解：等腰三角形的“三线合一”性质中的三线是指顶角平分线，底边上的高，底边上的中线， 故答案为：底边上的中线． 变式2．已知：如图，，，，．求证：． 【答案】证明见详解 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质及垂直平分线的性质．通过证明两个三角形全等，进而利用全等三角形的性质和垂直平分线的性质来证明线段相等，需要用到的概念有全等三角形的判定条件和垂直平分线的性质． 【详解】证明：如图，连接、， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴． 题型3线段垂直平分线的性质 例3．如图，作边的垂直平分线，交于D点，交于E点，连接，若，，则的周长是（   ） A．10 B．11 C．14 D．22 【答案】C 【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可得，进而可得的周长；本题考查了垂直平分线的性质，熟练掌握垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴， ∵，， ∴的周长． 故选：C． 变式1．在锐角中，，，作边的垂直平分线分别交，于点，连接，的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 根据线段垂直平分线的性质得到，再根据三角形的周长公式计算即可． 【详解】 ∵是边的垂直平分线， ∴， ∴的周长， 故答案为：． 变式2．如图，菱形的边长为，，对角线相交于点，点在对角线上，连接，作，且边与直线相交于点． (1)求菱形的面积； (2)求证： 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定及性质，勾股定理，垂直平分线的判定及性质，合理作出辅助线是解题的关键． （1）利用菱形的性质证出是等边三角形，再利用等边三角形的性质分别求出菱形对角线的长度，结合面积公式运算即可； （2）连接，利用垂直平分线的判定及性质进行角的等量代换得出即可解答． 【详解】（1）解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴菱形的面积； （2）连接， ∵垂直平分， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 题型4线段垂直平分线的判定 例4 ．下列说法中，正确的个数有（    ） （1）关于某直线对称的两个三角形是全等三角形 （2）有一个角是的三角形是等边三角形 （3）两个图形关于某直线对称，则这两个图形一定分别位于这条直线的两侧 （4）平面内，到三角形三个顶点距离相等的点是三角形三边垂直平分线的交点 （5）等腰三角形的角平分线、中线、高线互相重合 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用轴对称的性质，等腰三角形的性质和等边三角形的判定及垂直平分线的判定判断即可得解 【详解】解：（1）关于某直线对称的两个三角形是全等三角形，故（1）正确，符号题意； （2）有一个角是的等腰三角形是等边三角形，故（2）错误，不符合题意； （3）两个图形关于某直线对称，则这两个图形不一定分别位于这条直线的两侧，故（3）错误，不符合题意； （4）平面内，到三角形三个顶点距离相等的点是三角形三边垂直平分线的交点，故（4）正确，符号题意； （5）等腰三角形的顶角的角平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合；故（5）不正确，不符合题意； 故选择：B 【点睛】本题主要考查了轴对称的性质，等腰三角形的性质和等边三角形的判定及垂直平分线的判定，属于基本概念，比较简单 变式1．如图，是的中线，于点，是的中线，且，，． (1)求； (2)求证：； (3)求的长． 【答案】(1) (2)见解析 (3)5 【分析】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，线段垂直平分线的性质与判定，直角三角形的性质： （1）直接利用勾股定理求解即可； （2）先求出，再求出的长，进而求出，则可利用勾股定理的逆定理证明； （3）证明，则由直角三角形的性质可得答案。 【详解】（1）解：∵， ∴， 在中，由勾股定理得； （2）证明：∵， ∴． 在中，由勾股定理得． 由（1）得， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵是的中线，， ∴垂直平分， ∴，． ∵是的中线， ∴． 变式2．如图，是的角平分线，，垂足分别是E，F，连接与相交于点G． (1)求证：是的垂直平分线； (2)若的面积为8，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)5 【分析】（1）由角平分线的性质得到，再证， 得，然后由等腰三角形的性质即可得出结论； （2）由列式计算即可． 本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、等腰三角形的性质以及三角形面积等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵是的角平分线，， ∴， 在和中， ∴， ∴， 又∵是的角平分线， ∴是的垂直平分线； （2）∵， ∴， ∴ ∴， 解得：， 即的长为5． 题型5作已知线段的垂直平分线 例5．已知中，，在上取一点，使，下列尺规作图的方法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查五类基本尺规作图-作垂直平分线，熟练掌握线段垂直平分线的作法是解决问题的关键． 根据题中要求，在上取一点，使得，根据，从而得到，即可得到本题的尺规作图是作线段的垂直平分线，结合选项即可得到答案． 【详解】解：在中，，在上取一点，使得， ， ，即作线段的垂直平分线， 故选：D． 变式1．如图，在坐标系中，，在轴上找一点，使为等腰三角形，则这样的点共有 个． 【答案】4 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，作线段的垂直平分线等知识，分三种情况∶∶以A为圆心，为半径画弧，与x轴有2个交点(除B外的1个，加上可能的另一个)；：以B为圆心，为半径画弧与x轴有2个交点；3．：作的垂直平分线，与x轴有1个交点．这三种情况结合，这样的点C共有4个． 【详解】解：如下图：C点共有4个： 故答案为：4. 变式2．如图，某公园内有两条小路、，摩天轮、碰碰车分别位于、两处，现计划在公园内修建一个游客休息区，使得游客休息区到小路的距离与游客休息区到小路的距离相等，且，请运用尺规作图法在图中确定游客休息区的位置．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【分析】本题考查了角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，作角平分线，作垂线等知识．依题意，为的角平分线与线段垂直平分线的交点，进而作图即可． 【详解】解：如图，点即为所作： 题型6角平分线的性质定理 例6．如图，已知的周长是21，，分别平分和，于，且，的面积是（　　） A．25 B．84 C．42 D．21 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，三角形面积公式，连接，作于，于，由角平分线的性质定理可得，，由题意可得，再由三角形的面积公式计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，连接，作于，于， ∵，分别平分和，， ∴，， ∵的周长是21， ∴， ∴， 故选：C． 变式1．如图，在中，，，．平分交于点D，则点D到的距离为 ．    【答案】 【分析】本题考查角平分线的性质、三角形的面积，作于点E，作于点F，根据角平分线的性质可以得到，再根据的面积的面积的面积，即可得到和的长，从而可以得到点D到的距离，本题得以解决． 【详解】解：作于点E，作于点F，    ∵平分， ∴， ∵在中，，，． ∴， 即， 解得：， ∴点D到的距离为， 故答案为：． 变式2．如图，在中，分别是边上的点，，且． (1)填空：_____；（填“”、“”、“”） (2)试说明平分； (3)若，，求． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】此题考查了等边对等角、角平分线的性质定理、角平分线的定义等知识，熟练掌握等边对等角、角平分线的性质定理是关键． （1）根据等边对等角即可得到答案； （2）利用平行线的性质得到，利用等量代换即可得到结论； （3）过点D作，垂足分别为，利用角平分线的性质定理得到，再根据三角形面积公式即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为： （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∴平分； （3）过点D作，垂足分别为， ∵平分， ∴， ∴． 题型7作角平分线（尺规作图） 例7．如图，中，以为圆心，任意长为半径作弧，分别交延长线，于点，，再分别以，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，若，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查尺规作一个角的平分线以及平行线的性质，根据题意可知平分，结合，即可求得答案． 【详解】根据题意可知平分． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． 故选：D 变式1．已知村政府现要在如图所示区域内，修建到，，三条公路距离相等的加油站P，则加油站的选址共有 种选择． 【答案】4 【分析】本题考查了角平分线的性质的灵活应用，注意：三角形的外角平分线的交点不要漏掉，思考问题要全面．加油站到三条公路的距离相等，那么加油站应该建在的内角角平分线的交点处或外角的角平分线的交点处，故满足要求的加油站位置共有4个，作出其中一个即可． 【详解】解：满足要求的加油站位置共有4个，如图所示，点即为所求．（答案不唯一，画出，，也可以） 故答案为：4． 变式2．如图，锦簇公园有一块三角形菊花地．为了能更好地赏花，现计划在边上找一点D，向边各修一条小路，且使得点D到边的距离相等．请用直尺和圆规作出点D的位置，要求保留作图痕迹，不写作法． 【答案】见解析 【分析】本题考查作图与应用，根据题意作的角平分线交于点即可， 【详解】如图，点即为所求， 题型8最短路径问题 ．如图，直线是一条河，A，B两地相距，A，B两地到的距离分别为，欲在上某点M处修建一个水泵站，向A，B两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则铺设的管道最短的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了最短路径的数学问题；利用对称的性质，通过等线段代换，将所求路线长转化为两定点之间的距离． 【详解】解：作关于的对称点，连接交直线于点，如图所示， 则， 根据两点之间，线段最短，可知选项B铺设的管道，则所需管道最短． 故选：B． 变式1．如图，在中，D是上一点，连接，将沿折叠，点B的对应点E恰好落在上，M是上一动点，连接，，若，，，则的最小值为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了折叠性质，轴对称−最短路线问题，关键是确定点M的位置． 根据折叠可知B和E关于AD对称，由对称的性质得出当M和D重合时，此时的值最小，即为． 【详解】解：连接，由题可知B和E关于AD对称， ∴， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴当点M和点D重合时，此时的值最小，即为， ∴则的最小值为5， 故答案为：5． 变式2．如图，已知四点、、、，请用尺规作图完成．（保留作图痕迹） (1)画直线，画射线，连接． (2)延长线段到．使得． (3)在线段上取点，使的值最小． (4)在（2）的条件下，若，，求线段的长度． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4) 【分析】本题考查的是画直线，射线，线段，两点之间线段最短的含义及线段的和与差，熟练的作图是解本题的关键． （1）过、画直线，以为端点，作过点的射线、连接即可； （2）先连接，再延长，以为圆心，为半径画弧，在延长线上截取即可； （3）与的交点即为点； （4）根据求出，根据即可得答案． 【详解】（1）解：如图，直线、射线，线段即为所求． （2）解：如（1）中图，点即为所求． （3）解：如（1）中图，点即为所求． （4）解：∵，， ∴， ∵， ∴． 题型9线段问题（轴对称综合题） 例9．如图，某城镇的主干道为一条东西走向的直线道路，路北有两个居民区和．现计划在上设立一个公交站，要求区和区的居民到车站的总路程最短．已知上有四个候选站点位置（依次自西向东排列），则车站应设在（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称的性质，根据题意，取关于的对称点，连接，交于点，即可求解． 【详解】解：如图，取关于的对称点，连接，交于点，则点与点重合， 故选：C． 变式1．如图，在直角中，，，，，D、E、F分别是、、边上的动点，则的周长的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称-最短问题、两点之间线段最短、垂线段最短等知识，如图作关于直线的对称点，作关于直线的对称点，连接，，，，，，．由，，，推出，可得、、共线，由，，可知当、、、共线时，且时，的值最小，最小值，求出的值即可解决问题， 解题的关键是灵活运用轴对称以及垂线段最短解决最短问题． 【详解】解：如图，作关于直线的对称点，作关于直线的对称点，连接，，，，，，， ∴，，，， ∴， ∵，，， ∴， ∴M、C、N共线， ∵， ∵， ∴当M、F、E、N共线时，且时，的值最小，最小值为， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． 故答案为． 变式2．如图，在中，点D在边上，过点D作交于点E，P为上的一个动点，连接，．若最小，则点P应该满足什么条件？请说明理由． 【答案】，理由见解析 【分析】本题考查了轴对称、最短路径问题、对顶角的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 作点关于直线的对称点，连接交于，此时的值最小，依据轴对称的性质即可得解． 【详解】解：如图，作点关于直线的对称点，连接交于，此时的值最小． 由对称性可知：， ∵， ∴， ∴的值最小时，点应该满足． 题型10面积问题（轴对称综合题） 例10．如图，点P为内部任意一点，点P、关于对称，点P、关于对称,，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查轴对称的性质，难度一般，要求学生熟练掌握轴对称的性质特点，并能灵活运用，便能简单做出此题． 连接，，根据轴对称的性质得到，，，求出，根据面积公式计算即可． 【详解】解：连接，， 点P、关于对称，点P、关于对称，， ，，， ， 的面积， 故答案为：． 变式1．如图，在中，，，点A关于的对称点为，点B关于的对称点为，点C关于的对称点为． (1)在图中画出； (2)若的面积为，则的面积是______． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查作图轴对称变换、三角形的面积，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． （1）根据轴对称的性质作点A关于的对称点为，即过点A向引垂线并倍长得到对称点，其他点同理作图即可． （2）设交于点，延长交于点，根据轴对称的性质可得，，，，则与关于点成中心对称，可得，，，，进而可得．根据三角形的面积公式可得，则可得的面积． 【详解】（1）解：如图，作点A关于的对称点为，即过点A向引垂线并倍长得到对称点，其他同理， 即为所求． （2）设交于点，延长交于点， 点关于的对称点为， ，． 点关于的对称点为， ， 点关于的对称点为， ， 与关于点成中心对称， ，， ，， ． 的面积为， ， 的面积是． 故答案为：． 变式2．在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，三个顶点的均在格点上，位置如图所示． (1)请画出关于直线对称的； (2)连接、，并计算四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)24 【分析】（1）根据对称点到对称轴的距离相等且与对称轴垂直，确定对称轴点，后依次连接得到图形即可． （2）利用梯形的面积公式计算即可． 本题考查了轴对称图形的基本作图，图形的面积计算，熟练掌握轴对称基本作图是解题的关键． 【详解】（1）解：根据轴对称的基本作图，画图如下： 则即为所求． （2） 解：根据题意，得四边形的面积为． 题型11角度问题（轴对称综合题） 例11．如图，，O为内部的一点，连接． (1)作线段关于直线对称的线段，分别是；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)求证：M，C，N三点在同一条直线上． 【答案】(1)图见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据要求作出图形， （2）证明即可， 本题考查轴对称，解题的关键是掌握轴对称变换的性质． 【详解】（1）解：图形如图所示： （2）证明：∵关于对称， ， ∵关于对称， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴共线． 变式1．已知． (1)如图1，若射线在的内部，且射线，关于射线对称．射线，关于射线对称，则 ．    (2)如图2，若射线在的外部，且，射线，关于射线对称，射线，关于射线对称，求的度数．    (3)若射线，关于射线对称，，请直接写的度数．    【答案】(1) (2) (3)的度数为或． 【分析】（1）由题意可得，，根据角的和差得出，计算即可求解； （2）根据和关于对称，得到，根据和关于对称，求得，根据角的和差即可得到结论； （3）①在内部，②当在外部，根据轴对称的性质即可得到结论． 【详解】（1）解：∵射线，关于射线对称．射线，关于射线对称， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）如图，    ∵射线，关于射线对称， ∴． 又∵射线，关于射线对称， ∴． ∵， ∴； （3）的度数为或． ①如图，当射线在的内部时，    ∵射线，关于射线对称， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ②当射线在的外部时， ∵射线，关于射线对称， ∴． 当射线在的下方时，． ∵， ∴射线不在射线的下方． 当射线在射线的上方时， 如图，，    ∴， ∴， ∴． 综上所述，的度数为或． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，角的和差，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． 变式2．如图，在菱形中，，P为AD边上一点，连接，作关于对称的，点F与点E关于对称．设，若点F在内（不包括边界），则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了折叠的性质，轴对称的性质. 分别求出两极值点即可. 【详解】由题意可知 当点F在上时，点E，F重合， 此时 即； 当点F在上时， ∴ ∵， ∴， 解得． 所以x的取值范围是． 故选B． 题型12其他问题（轴对称综合题） 例12．如图，点、在直线的同侧，点是点关于的对称点，交于点．    (1)与相等吗？为什么？ (2)在上再取一点，并连接与，比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1)相等，理由见解析 (2)，理由见解析 【分析】此题主要考查轴对称最短路线问题，及三角形三边的关系，掌握三角形的两边之和大于第三边是解题的关键． 【详解】（1）点是点关于的对称点， ， ， ． （2）如图：连接，， ， ， ．    变式1．如图，三个顶点的坐标分别为，，．    (1)在图中作出关于y轴对称的图形； (2)若P为x轴上一点，画出点P，使得的值最小； (3)计算的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了画轴对称图形、坐标与轴对称变换、两点之间线段最短等知识点，熟练掌握轴对称变换是解题关键． （1）先根据轴对称的性质画出点，，，再顺次连接即可得； （2）先作点A关于x轴对称的点，再连接，与x轴的交点即为点P； （3）依据割补法即可求得的面积． 【详解】（1）解：即为所求，如图：   ； （2）解：作点关于x轴对称的点，    由两点之间线段最短得：当点、、共线时，取得最小值， 连接，则， 的值最小， 点P即为所求； （3）解： ． 变式2．如图，已知等腰直角三角形，，，，是过点A的任意一条直线，点M是点B关于直线的对称点．连接，则线段长度的最小值是 ．    【答案】/ 【分析】由轴对称的性质可知，，点M在以A为圆心，5为半径的圆上，进而得出当点M在上时，长度最小，即可得到答案． 【详解】解：是过点A的任意一条直线，点M是点B关于直线的对称点， ， 点M在以A为圆心，5为半径的圆上， 当点M在上时，长度最小，此时， 故答案为：．    【点睛】本题考查了轴对称的性质和轨迹问题，解题关键是利用轴对称的性质确定点M的运动轨迹． 题型13回顾与思考 例13.如图，中，是的角平分线，，F是中点，连接，若，，，则为（    ） A． B．12 C．15 D．30 【答案】A 【分析】过点D作于点G，根据角平分线的性质可得，从而得到，再由F是中点，即可求解． 【详解】解：如图，过点D作于点G， ∵是的角平分线，，， ∴， ∴， ∵F是中点， ∴． 故选：A 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线上点到角两边的距离是解题的关键． 变式1．如图，，与的平分线交于点，过点作交于点，交于点，，则下列说法：①为的中点；②点到的距离为5；③；④．正确的有 ．（请填写序号） 【答案】①②③④ 【分析】本题考查了角平分线的性质定理、三角形全等的判定与性质等知识，熟练掌握角平分线的性质定理是解题关键．过点作于点，先根据平行线的性质可得，再根据角平分线的性质可得，，由此即可判断①正确；根据即可判断②正确；根据定理证出，，根据全等三角形的性质可得，由此即可判断③正确；根据全等三角形的性质可得，，由此可得，即④正确． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴为的中点，则说法①正确； ∵， ∴， 即点到的距离为5，则说法②正确； 在和中， ， ∴， ∴， 同理可证：， ∴， ∴，则说法③正确； ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，则说法④正确； 综上，说法正确的有①②③④， 故答案为：①②③④． 变式2．如图，在中，，D是的中点，E是上任意一点，连接，，试说明：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，由三线合一得垂直平分，然后由线段垂直平分线的性质可得． 【详解】解：因为，D是的中点， 所以，即垂直平分． 因为点E在上， 所以． ✍ 强化巩固★综合测试 一、单选题 1．平面内到不在同一条直线的三个点的距离相等的点有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质. 根据线段垂直平分线的性质可知平面内到不在同一条直线的三个点的距离相等的点有1个． 【详解】解：到距离相等的点在的垂直平分线上， 到距离相等的点在的垂直平分线上， 到距离相等的点在的垂直平分线上， 而三角形三边的垂直平分线交于一点． 故选A． 2．如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形，其中，，，，则约为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，解直角三角形，解题的关键是熟练掌握等腰三角形三线合一．先利用等腰三角形三线合一性质求出，然后利用等边对等角求出的度数，最后在中，利用余弦定义求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ， ∵，， ∴ ∵，， ， 故选B． 3．如图，中，，将绕点C逆时针旋转到的位置，当时，连接，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键．根据旋转的性质，得到等腰，，根据等腰三角形的性质，余角的性质解答即可． 【详解】解：∵，将绕点C逆时针旋转到的位置， ∴，，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 4．如图，在一张长方形纸板上找一点P，使点P到的距离相等，且到点C，D的距离也相等，则下列作法错误的有（   ）个． （1）    （2）（3）（4） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了作图-基本作图，利用角平分线的性质和线段的垂直平分线的性质得到点P为的平分线与的垂直平分线的交点，然后对各选项进行判断． 【详解】解：∵点P到的距离相等，且到点C，D的距离也相等， ∴点P为的平分线与的垂直平分线的交点． ∴没有符合题意的作图， 故选：D． 5．如图，在平面直角坐标系中，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别与轴的正半轴和轴的负半轴交于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，则的值是（   ） A． B． C． D．4 【答案】A 【分析】本题主要考查了坐标与图形性质，角平分线作图，熟知第四象限平分线上点的坐标特征是解题的关键．根据题意，得出点在第四象限的平分线上，再结合第四象限平分线上点的坐标特征即可解决问题． 【详解】解：由题知， 点在第四象限的平分线上． 因为第四象限的平分线上点的横纵坐标互为相反数， 所以， 解得． 故选：． 6．考古队员在清理遗址时，发现一块带有破损角的石碑．为了复原这个角的平分线，他们在角的两边上量出，再用带有刻度的工具，使工具两边相同的刻度分别对准两点（即，然后过工具顶点画出射线，这条射线就是的平分线．这种做法的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理和性质定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键．根据全等三角形的判定定理推出全等即可． 【详解】解：在和中， ， ∴， ∴， 即是的平分线． 故选：C． 7．如图，在正方形网格中，点，为格点，点为直线上的动点，则使的值为最小的点是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了作轴对称图形，轴对称最短线段问题，掌握轴对称图形的性质是解题的关键． 根据轴对称图形的性质作点A关于直线l的对称点；连接，与直线l相交于点，即为所求； 【详解】解：如图所示：作点A关于直线l的对称点；连接，与直线l相交于点，点即为所求； 故选：B． 8．某景区有一条笔直的观光车道和两个著名景点，景区计划在观光车道旁修建一个休息站，并铺设步道分别连接两个景点．某同学用直线（虚线）表示车道，，两点表示景点，线段（实线）表示步道，画出了如下四个示意图，则所需步道最短的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查最短路径问题，应作对称点，使三点的连线在同一直线上，这是此类问题的解题目标，把握此目标即可正确解题．根据轴对称分析即可得到答案． 【详解】根据题意，所需步道最短，应过点或点作对称点，再连接另一点，与直线的交点即为休息站，故选项A、B、D均错误，选项C正确， 故选：C． 二、填空题 9．已知线段，利用尺规，按照以下步骤作图：①分别以点A和B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点C和D；②作直线，则直线就是线段的 ． 【答案】垂直平分线 【分析】此题考查了垂直平分线的作图，根据垂直平分线的作图进行解答即可． 【详解】解：由垂直平分线的作图可知，直线就是线段的垂直平分线， 故答案为：垂直平分线 10．如图，点P为内一点，分别作出点P关于、的对称点、，连接交于M，交于N．若，则 ． 【答案】/60度 【分析】连接，，，根据对称的性质证明，，即可作答． 【详解】解：连接，，，如图， ∵点P关于的对称点， ∴，， ∴平分， ∴， 同理可证明：， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了对称的性质，掌握对称的性质是解答本题的关键． 11．如图，在锐角中，，，的平分线交于点D，M、N分别是上的动点，则的最小值是 ． 【答案】3 【分析】如图：在上取一点N'，使，连接，过点B作于点H，推出的最小值是，再求出的长即可． 【详解】解：如图：在上取一点N'，使，连接，过点B作于点H， ∵平分， ∴是的对称轴， ∴， ∴， ∴的最小值是， 在中，， ∴， ∵， ∴由勾股定理可得，即， ∴（负值已舍）， ∴的最小值是3． 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查了轴对称﹣最短路线问题、两点之间线段最短、垂线段最短、含45°角直角三角形的性质等知识点，能将两线段和的最小值用一条线段表示是解题的关键． 12．如图，在中，，如果点分别为上的动点，那么的最小值是 ． 【答案】//4.8 【分析】本题主要考查了轴对称-最短路径问题以及三角形面积公式的应用，熟练掌握利用轴对称转化线段是解题的关键． 通过作点关于的对称点，将转化为，则，当时，的长度即为的最小值，再利用三角形面积公式求解． 【详解】解：作点关于的对称点，连接，过作于，交于．则此时值最小，最小值为的长， ∵点与关于对称， ∴，， ∴． ∵，，，， ∴， ∴． 故答案为：． 13．如图，与它的余角相等，在上，分别截取，，使，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内交于点，作射线，则的度数为 ． 【答案】 【分析】题目主要考查角平分线的作法及角的计算，理解题意是解题关键． 根据题意得出，平分，然后求解即可． 【详解】解：∵与它的余角相等， ∴， 根据题意得平分， ∴， 故答案为：． 14．如图，已知的周长是24，分别平分和，于点D，且，则的面积是 ． 【答案】36 【分析】本题考查角平分线的性质，分割法求三角形的面积，连接，作，根据角平分线的性质推出，利用分割法求出的面积即可． 【详解】解：连接，作， ∵分别平分和，， ∴， ∴ ， ∵的周长是24， ∴， ∴； 故答案为：36． 15．如图，在中，的垂直平分线交于点D，连接，若，则的长是 ． 【答案】 【分析】此题考查三角函数，勾股定理，根据，设，求出，再根据勾股定理求出． 【详解】在中，， ∴， 设， ∵垂直平分， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴， 故答案为． 16．如图，在等腰中，，，为的中点，点在上，，若点是上的一点，则当是以为腰的等腰三角形时，的度数是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，四边形的内角和，连接，过作于，于，由，，则，，根据角平分线的性质得，然后证明，则，再根据四边形内角和求出，同理，掌握知识点的应用及正确的作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：连接，过作于，于， ∵，， ∴， ∴， 当是以为腰的等腰三角形， ∵，为的中点， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 同理证得， ∴， ∴， 得， 故答案为：或 三、解答题 17．如图，平原上有，，，四个村庄，为解决当地饮水问题，政府准备出资修建一个蓄水池． (1)不考虑其他因素，请你画图确定蓄水池的位置，使它到四个村庄的距离之和最小． (2)计划把河水引入蓄水池中，怎样开渠最短？请画出来，并说明依据． 【答案】(1)见解析 (2)见解析；依据：连接直线外一点与直线上各点的线段中，垂线段最短． 【分析】（1）由两点之间线段最短可知，连接、交于，则为蓄水池位置； （2）根据垂线段最短可知，要做一个垂直的线段． 【详解】（1）解：如图，点即为所求． （2）解：如图，过点作，垂足为．沿线段开渠最短． 依据：连接直线外一点与直线上各点的线段中，垂线段最短． 【点睛】此题主要考查了线段的性质以及垂线段的性质，正确掌握相关线段的性质是解题关键． 18．如图，在中，，点E、F在边上． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质： （1）根据等腰三角形的性质可得，即可证明； （2）根据全等三角形的性质可得，再由等腰三角形的性质可得，即可解答． 【详解】（1）证明：∵， ∴，   在和中， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，   ∴． 19．作图： (1)如图1，，平分，平分，分别交于点，请你仅用无刻度直尺作出的重心点； (2)已知：如图2，四边形是等腰梯形，点是边上一点，连接，请你仅用无刻度直尺作出，使得． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形重心的相关知识，线段垂直平行线的判定和性质等知识． （1）由等腰三角形三线合一的性质得出M，N分别为和的中点，则连接和交于点Q，点Q即为所求． （2）连接，它们相交于点O，延长，它们相交于V点，通过证明可判断垂直平分，同理可证点S在的垂直平分线上，从而得到，则，即． 【详解】（1）解：连接和交于点Q，点Q即为所求． （2）解：如图所示，即为所求． 20．电信部门要修建一座电视信号发射塔，按照设计要求，发射塔到两城镇，的距离要相等，发射塔到两条高速公路和的距离要相等． ①连接，作线段的垂直平分线； ②作的平分线交于点； 则点就是所要修建的电视信号发射塔． 请你依据以上步骤，用尺规作图的方法在图中作出电视信号发射塔的位置（保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】见解析 【分析】本题考查了尺规作图---线段的垂直平分线和角平分线，以及线段垂直平分线和角平分线的判定定理，正确掌握尺规作图的方法是解题的关键． 根据线段垂直平分线和角平分线的判定定理可得点为的角平分线与线段的垂直平分线的交点，据此利用尺规作图即可． 【详解】解：如图，点即为所求 21．如图，在平面直角坐标系中，的三顶点都在格点上，位置如图．请完成下列问题： (1)画出关于y轴的对称图形（注意标出对应点字母）；并分别写出点、点、点的坐标； (2)求的面积； (3)在轴上找一点，使最小．在图中画出点，并写出点的坐标．（保留作图痕迹，不写作法，写出结论） 【答案】(1)图见解析，，，， (2) (3)图见解析， 【分析】本题考查作图——轴对称变换，轴对称——最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． （1）根据轴对称的性质作图，即可得出答案； （2）利用割补法求三角形的面积即可； （3）取点关于轴的对称点，连接，交轴于点，则点即为所求． 【详解】（1）解：如图1，即为所求． ，，； （2）； （3）如图2，取点关于轴的对称点，连接，交轴于点，连接， 此时，为最小值， 此时点． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $