精品解析：山西晋中市平遥县2025一2026学年度第一学期期末学业水平质量监测试题 九年级数学

2025—2026学年度第一学期期末学业水平质量监测试题 九年级数学 （满分：120分 时间：120分钟） 一、选择题：（本大题10个小题，每小题3分，共30分） 1. 周末小李在广场看到如图所示的一块大理石材质立体图形，请你指出该立体图形的左视图应该是（ ） A. B. C. D. 2. 用配方法解方程，下列配方正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，智慧小组设计了一个探索杠杆平衡条件的实验，在一根匀质的木杆中点O处用一根细绳挂在支架上，在点O的左侧固定位置B处悬挂重物A，在点O的右侧用一个弹簧测力计向下拉木杆，使木杆达到平衡（杠杆平衡时，动力×动力臂＝阻力×阻力臂）改变弹簧测力计与点O的距离x（单位：cm），观察弹簧测力计的示数y（单位：N）的变化情况，实验数据记录如下： 1号 2号 3号 4号 5号 x（cm） … 10 15 20 25 30 … y（N） … 30 20 15 15 10 … 其中有一个数据记录错了，请你判断这组数据对应的是（ ） A. 2号 B. 3号 C. 5号 D. 4号 4. 如图，练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等，同一条直线上的两个点A、B都在横格线上，若线段，若点C在如图位置，则线段的长度可能是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，一只蚂蚁在如图所示位置向上爬，在树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每一个岔路口都会随机地选择一条路径，那么这只蚂蚁爬到树枝头E和F的概率的大小关系是（ ） A. F的概率大 B. E的概率大 C. 同样大 D. 无法比较 6. 某农机厂四月份生产零件万个，第二季度共生产零件万个．设该厂五、六月份平均每月的增长率为，那么满足的方程是（　　） A. B. C. D. 7. 在灯光秀观演活动中，有一直射灯垂直射向古城墙，小花想估计直射灯与城墙的距离，如图，用一块三角板与墙面平行放置，灯光照射下在城墙形成投影，小花妈妈帮助量得三角板的一边长为80cm，且投影三角板的对应边长为100cm，三角板中心点与其投影的中心点距离大约是，由此估计直射筒灯距离城墙大约（ ） A. B. C. D. 8. 王明同学在眼镜店进行近视矫正治疗，验光师对阶段治疗检测中近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）绘制了如图所示示意图，王明发现近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例，由图示可知经过一段时间的矫正治疗后，他的镜片焦距由0.25米调整到0.5米，则近视眼镜的度数减少了（ ） A. 150度 B. 200度 C. 250度 D. 300度 9. 数学小组探究这样一道题：已知，，，求的度数．该组的同学经过思考后，画出如图所示的的小正方形网格，把和放在网格中，使，，连接，得到，此时，根据网格可知，，．由此可知，．该小组的这种求解体现的数学思想是（ ） A. 数形结合思想 B. 分类思想 C. 统计思想 D. 方程思想 10. 我们知道：“分类讨论”是一种分析问题的逻辑方法，可以将一个复杂问题按不同情况分成若干子问题，分别讨论每种情况，再将结果综合得出结论，请你用分类讨论的方法解决下列问题．如图，在平面直角坐标系中，矩形的边，，点，在边上存在点P，使得为直角三角形，则点P的坐标可以为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或或 二、选择题：（本大题5个小题，每小题3分，共15分） 11. 若关于x的一元二次方程无实数解，请你写出一个符合题意的k的值是______． 12. 如图，点A是反比例函数的图象上的一点，点B在x轴的负半轴上且，若的面积为4，则k的值为 _______． 13. 如图，坡角的斜坡上有一棵垂直于水平地面的大树，当太阳光线与水平线成角沿斜坡照下时，在斜坡上的树影长为米，则大树的高为______米． 14. 我们学习了配方法，小王发现有的代数式可以用配方法分解因式， 例如：分解因式； 请你根据材料中小王的探究方法解决下列问题：分解因式______． 15. 如图，在中，点D在边上，，，若点E在边上，且，线段与线段交于点F，若，则______． 三、解答题：（本大题7个小题，共75分） 16. （1）计算： （2）解方程： 17. 一次函数的图象交轴于点，交反比例函数于点，若已知点的横坐标为1，试探究解决下列问题． （1）求反比例函数解析式； （2）连接，请你求出的面积． 18. 如图，四边形是平行四边形，点为边上一点，连接． （1）请在图中用无刻度的直尺和圆规，在边上找一点，连接，使得四边形是平行四边形．（要求：保留作图痕迹，不写作法） （2）在（）的条件下，结合你的作图原理，请试说明理由． 19. 老师为帮助学生正确理解物理变化与化学变化，将种生活现象分别制成表面看上去无差别的卡片，并分别放入甲、乙两个口袋中（如图）．甲口袋中装有，两张卡片，乙口袋中装有，，三张卡片．注：没有生成其他物质的变化叫做物理变化（、）；生成其他物质的变化叫做化学变化（、、）． （1）若从乙口袋中随机抽取张卡片，抽到化学变化的概率是______； （2）从两个口袋中分别随机取出张卡片，用画树状图或列表的方法，求抽出的两张卡片均是物理变化的概率． 20. 当前，政策扶持大学生自主创新创业，王明大学毕业后和同学创业，合伙开了一家网店，利用暑期销售原创设计的手绘图T恤衫，已知每件T恤衫的成本价为60元，当销售价为100元时，每天能售出20件；经过一段时间销售发现，当销售价每降低1元时，每天就能多售出2件． （1）王明希望每天获得的利润达到1050元，同时顾客优惠最大，则每件T恤衫的销售价应该定为多少？ （2）王明的同学想要每天获得1200元的利润，并且保证每件T恤衫的利润率不低于，请你分析能否实现？若能实现，求出售价应定为多少；若不能，请说明理由（利润率） 21. 项目化试题“制作形视力表” 【课题实施】根据标准对数视力表（测试距离为米），以小组合作方式，制作变更测试距离的视力表． （1）已知某视力表中视力值和字母的宽度值的部分对应数据如下表所示，其中视力值是该行字母的宽度值（）的______函数，若某行字母的宽度值，则该行对应的视力值是______． 宽度值（） 视力值 （2）在同一行的“”______（填“全等”或“相似”）不在同一行的“”______（填“全等”或“相似”） 【课题结论】 一：如图1，利用“”的高度与它到眼睛的水平距离之比（即）来刻画视力． 二：大小不同的“”，只要它们这一比值（即）相同，那么用它们测得的视力就相同． 　　　 （3）问题1：根据图2所示，水平桌面上依次放着①号和②号大小不一样的两个“”字，将②号“”沿水平桌面向右移动，直至从观测点看去，对应顶点，，在同一直线上为止，其中是①号“”字的高度，是②号“”字的高度，请用所学知识证明：此时①号字“”与②号“”字测试的视力相同． （4）问题2：小明想制作一张测试距离为米的“”形视力表，如图2所示，①号“”是标准对数视力表中视力为的“”字，其测试距离为，其高度为，求小明在制作视力表中视力为的②号“”字时，②号“”的高度应为多少？（在一条直线上，在一条直线上） 22. 综合与实践 【问题情境】 数学活动课上，老师要求九年级班各学习小组的同学测量操场上不同旗杆的高度，活动过程如下： 【实地测量】 （1）利用镜子测量：如图，小康站在操场上点处，前面水平放置镜面，并通过镜面观测到旗杆顶端，．小组中的同学测得小康的眼睛距地面高度米，小康到镜面的距离米，镜面到旗杆的距离米．求旗杆的高度． （2）利用标杆测量：如图，小英站在操场上的点处，她的眼睛，标杆的顶端和旗杆的顶端在一条直线上，小组中的同学测得小英的眼睛到地面的高度为米，标杆高米，米，米，，，均垂直于地面，与水平面平行．求旗杆的高度． （3）利用侧角仪测量：小华所在的小组决定先在水平地面上选取观测点，（，，在同一直线上），分别测得旗杆顶端的仰角，，再测得米，点，到地面的距离，均为米．求旗杆的高度（参考数据：，）． 23. 综合与探究 【问题情境】如图，点为正方形内一点，，，，将直角三角形绕点逆时针方向旋转度（），点、的对应点分别为点、． （1）【问题解决】 ①如图，请直接写出______； ②如图，在旋转的过程中，点落在了上，则此时______； （2）【问题拓展】 若，如图，得到（此时与重合），延长交于点， ①试判断四边形的形状，并说明理由； ②连接，求的长； （3）【拓展延伸】（温馨提示：本小题两个问题选择其中一个问题解决即可） ①在图中，若与交于点，请你探究并直接写出的长． ②请你思考直角三角形绕点逆时针方向旋转过程中，线段长度是否存在最大值和最小值？如果存在，请你直接写出最大值和最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第一学期期末学业水平质量监测试题 九年级数学 （满分：120分 时间：120分钟） 一、选择题：（本大题10个小题，每小题3分，共30分） 1. 周末小李在广场看到如图所示的一块大理石材质立体图形，请你指出该立体图形的左视图应该是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的知识点是几何体三视图，解题关键是理解左视图的定义． 左视图是从物体的左面看到的视图，根据该定义即可得解． 【详解】解：从该立体图形的左面看到的图形是． 故选：． 2. 用配方法解方程，下列配方正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】按照配方法的步骤和完全平方公式 即可得出答案． 【详解】 即 故选：A． 【点睛】本题主要考查配方法，掌握配方法和完全平方公式是解题的关键． 3. 如图，智慧小组设计了一个探索杠杆平衡条件的实验，在一根匀质的木杆中点O处用一根细绳挂在支架上，在点O的左侧固定位置B处悬挂重物A，在点O的右侧用一个弹簧测力计向下拉木杆，使木杆达到平衡（杠杆平衡时，动力×动力臂＝阻力×阻力臂）改变弹簧测力计与点O的距离x（单位：cm），观察弹簧测力计的示数y（单位：N）的变化情况，实验数据记录如下： 1号 2号 3号 4号 5号 x（cm） … 10 15 20 25 30 … y（N） … 30 20 15 15 10 … 其中有一个数据记录错了，请你判断这组数据对应的是（ ） A. 2号 B. 3号 C. 5号 D. 4号 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的实际应用； 先由表格数据求出与的函数关系，再找出其中错误的一组即可． 【详解】解：观察表格数据知，与成反比例函数关系， ∴设，则， ∴， 当时，， ∴其中有一组数据记录错了的是4号， 故选：D． 4. 如图，练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等，同一条直线上的两个点A、B都在横格线上，若线段，若点C在如图位置，则线段的长度可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查平行线分线段成比例，掌握平行线分线段所得线段对应成比例是解题的关键．过点A作于点E，交于点D，根据平行线分线段成比例可得，代入计算即可解答． 【详解】解：如图，过点A作于点E，交于点D， ∵练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等， ∴，即， ∴． 故选：C． 5. 如图，一只蚂蚁在如图所示位置向上爬，在树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每一个岔路口都会随机地选择一条路径，那么这只蚂蚁爬到树枝头E和F的概率的大小关系是（ ） A. F的概率大 B. E的概率大 C. 同样大 D. 无法比较 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了根据概率公式求概率，分别求出这只蚂蚁爬到树枝头E和F的概率，比较大小即可得出结果，解题的关键是熟练掌握两步完成的事件的概率第一步事件的概率与第二步事件的概率的乘积． 【详解】解：这只蚂蚁爬到树枝头E的概率为， 这只蚂蚁爬到树枝头F的概率为， ∵， 故这只蚂蚁爬到树枝头E和F的概率的大小关系是同样大， 故选：C． 6. 某农机厂四月份生产零件万个，第二季度共生产零件万个．设该厂五、六月份平均每月的增长率为，那么满足的方程是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，由该农机厂四月份的产量及五、六月份平均每月的增长率，可得出该农机厂五月份生产零件万个，六月份生产零件万个，再结合该农机厂第二季度共生产零件万个，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：∵该农机厂四月份生产零件万个，五、六月份平均每月的增长率为， ∴该农机厂五月份生产零件万个，六月份生产零件万个， 根据题意得：， 故选：B． 7. 在灯光秀观演活动中，有一直射灯垂直射向古城墙，小花想估计直射灯与城墙的距离，如图，用一块三角板与墙面平行放置，灯光照射下在城墙形成投影，小花妈妈帮助量得三角板的一边长为80cm，且投影三角板的对应边长为100cm，三角板中心点与其投影的中心点距离大约是，由此估计直射筒灯距离城墙大约（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的应用，分式方程的应用，如图，设直射灯所在的位置为点，三角板的中心为点，投影的中心为点，则，设直射筒灯距离城墙大约，则，，设，，连接、，根据题意知：，，证明，，进一步推出，代入数据求解即可．解题的关键是正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题． 【详解】解：如图，设直射筒灯所在的位置为点，三角板的中心为点，投影的中心为点，则，设直射筒灯距离城墙大约，则，，设，，连接、， 根据题意知：，， ∴，；，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 解得：， 经检验，是原方程的解且符合题意， ∴直射筒灯距离城墙大约． 故选：A． 8. 王明同学在眼镜店进行近视矫正治疗，验光师对阶段治疗检测中近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）绘制了如图所示示意图，王明发现近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例，由图示可知经过一段时间的矫正治疗后，他的镜片焦距由0.25米调整到0.5米，则近视眼镜的度数减少了（ ） A. 150度 B. 200度 C. 250度 D. 300度 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的应用，掌握待定系数法求反比例函数的关系式是解题的关键．用待定系数法求出反比例函数解析式，再分别把、代入解析式求出对应的y值并求差即可． 【详解】解：设y关于x的函数解析式为， 把代入， ∴， ∴函数解析式为， 当时，， 当时，， ∴度数减少了（度）． 故选：B． 9. 数学小组探究这样一道题：已知，，，求的度数．该组的同学经过思考后，画出如图所示的的小正方形网格，把和放在网格中，使，，连接，得到，此时，根据网格可知，，．由此可知，．该小组的这种求解体现的数学思想是（ ） A. 数形结合思想 B. 分类思想 C. 统计思想 D. 方程思想 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可知，采用的是数形结合的思想，进行作答即可． 【详解】解：该小组的这种求解体现的数学思想是是数形结合的思想， 故选：A． 【点睛】本题考查数形结合的思想．熟练掌握数学中常见的数学思想：数形结合思想，分类讨论思想，转化思想，方程思想，是解题的关键． 10. 我们知道：“分类讨论”是一种分析问题的逻辑方法，可以将一个复杂问题按不同情况分成若干子问题，分别讨论每种情况，再将结果综合得出结论，请你用分类讨论的方法解决下列问题．如图，在平面直角坐标系中，矩形的边，，点，在边上存在点P，使得为直角三角形，则点P的坐标可以为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质及勾股定理在几何图形坐标计算中的应用，数形结合、分类讨论并根据题意正确地列式是解题的关键．由题意可知，或，设，则，；分两种情况：①若，②若，根据勾股定理分别求出、、，并根据图形列出关于a的方程，解得a的值，则可得答案． 【详解】解：由题意可知，或， ∴设，则，， ①若，在中，由勾股定理得： ， 在中，由勾股定理得： ， 在中，由勾股定理得： ， 又∵， ∴， ∴， 解得：或， ∴或； ②若，在中，由勾股定理得： ， 在中，由勾股定理得： ， ∵， 在中，由勾股定理得： ， ∴， 解得：， ∴． 综上，或或． 故选：D． 二、选择题：（本大题5个小题，每小题3分，共15分） 11. 若关于x的一元二次方程无实数解，请你写出一个符合题意的k的值是______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程无实数根的条件，判别式需小于零，计算即可得出结果，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解此题的关键． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程无实数解， ∴， 解得：， ∴符合题意的k的值是， 故答案为：（答案不唯一）． 12. 如图，点A是反比例函数的图象上的一点，点B在x轴的负半轴上且，若的面积为4，则k的值为 _______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义以及等腰三角形的性质，过点A作轴，设点，由三线合一定理得到，则，由点是反比例函数的图象上，得到，再根据三角形的面积公式即可得出答案． 【详解】解：过点A作轴于点C，如图所示： 设， ∵，， ∴， ∴， ∵点是反比例函数的图象上， ∴， ∵的面积为4， ∴，即， ∴， 故答案为：． 13. 如图，坡角的斜坡上有一棵垂直于水平地面的大树，当太阳光线与水平线成角沿斜坡照下时，在斜坡上的树影长为米，则大树的高为______米． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了与坡角有关的解直角三角形，关键是熟练三角函数的公式解题；过点作交的延长线于点分别求出的值，则． 【详解】解：过点作交的延长线于点，则， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即：， ∴． 故答案为： ． 14. 我们学习了配方法，小王发现有的代数式可以用配方法分解因式， 例如：分解因式； 请你根据材料中小王的探究方法解决下列问题：分解因式______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查因式分解，理解题意，掌握配方法因式分解是解题的关键． 通过配方法，添加和减去一次项系数一半的平方，再应用平方差公式进行因式分解． 【详解】解： =． 故答案为：． 15. 如图，在中，点D在边上，，，若点E在边上，且，线段与线段交于点F，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】过点A作于点G，交于点H，连接并延长，交于点N，由题意易得，，则有，然后可得，则有，进而根据相似三角形的性质与判定可进行求解． 【详解】解：过点A作于点G，交于点H，连接并延长，交于点N，如图所示： ∵， ∴，，， ∴， ∵， ， ∴，即， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， 又∵，， ， ∴， 设，，则有， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 解得：（负根舍去）， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质与判定、平行线的性质、全等三角形的性质与判定及相似三角形的性质与判定，熟练掌握等腰三角形的性质与判定、平行线的性质、全等三角形的性质与判定及相似三角形的性质与判定是解题的关键． 三、解答题：（本大题7个小题，共75分） 16. （1）计算： （2）解方程： 【答案】（1）；（2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的运算，特殊角的三角函数值，零指数幂，负整数指数幂，二次根式，解一元二次方程，熟练掌握各种运算的运算法则和公式法解一元二次方程是解题的关键． （1）先分别计算特殊角的三角函数值，零指数幂，负整数指数幂，二次根式，最后计算加减即可； （2）用公式法解一元二次方程即可． 【详解】解：（1）原式 ； （2）∵，，， ∴， ∴， ∴，； 17. 一次函数的图象交轴于点，交反比例函数于点，若已知点的横坐标为1，试探究解决下列问题． （1）求反比例函数解析式； （2）连接，请你求出的面积． 【答案】（1） （2）6 【解析】 【分析】本题考查了一次函数和反比例函数的图象和性质； （1）求出点，再代入反比例函数中，求得的值即可； （2）连接，可求得，的高为，即可求解． 【小问1详解】 解：∵点的横坐标为1，且点在函数图象上， 将代入中，得， ∴， 将点代入反比例函数，得， ∴反比例函数解析式为； 【小问2详解】 解：如图所示，连接， ∵直线与轴交点为， ∴， ∵， ∴的边上高为， ∴， ∴的面积为． 18. 如图，四边形是平行四边形，点为边上一点，连接． （1）请在图中用无刻度的直尺和圆规，在边上找一点，连接，使得四边形是平行四边形．（要求：保留作图痕迹，不写作法） （2）在（）的条件下，结合你的作图原理，请试说明理由． 【答案】（1）作图见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（）以点为圆心，以为半径画弧，交于点，连接，则四边形即为所求； （）由平行四边形的性质得，，进而得，再根据平行四边形的判定即可求证； 本题考查了平行四边形的判定和性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 【小问1详解】 解：如图所示，四边形即为所求； 【小问2详解】 解：理由如下：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 即， ∴四边形是平行四边形． 19. 老师为帮助学生正确理解物理变化与化学变化，将种生活现象分别制成表面看上去无差别的卡片，并分别放入甲、乙两个口袋中（如图）．甲口袋中装有，两张卡片，乙口袋中装有，，三张卡片．注：没有生成其他物质的变化叫做物理变化（、）；生成其他物质的变化叫做化学变化（、、）． （1）若从乙口袋中随机抽取张卡片，抽到化学变化的概率是______； （2）从两个口袋中分别随机取出张卡片，用画树状图或列表的方法，求抽出的两张卡片均是物理变化的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了列表法或树状图法求概率、根据概率公式计算概率． （）由题意知，共有3种等可能的结果，其中抽到化学变化的结果有种，利用概率公式可得答案； （）列表可得出所有等可能的结果数以及抽出的两张卡片均是物理变化的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：乙口袋中有张卡片，其中是物理变化，、是化学变化， 共有种等可能的结果，其中抽到化学变化的结果有种， 从乙口袋中随机抽取张卡片，抽到化学变化的概率是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：甲口袋中是物理变化，是化学变化， 只有同时抽到和才符合要求， 根据题意，列表如下： 由表可知，所有等可能出现的结果共有种，其中两次抽出的卡片均为物理变化的情况有种， 抽出的两张卡片均是物理变化的概率为． 20. 当前，政策扶持大学生自主创新创业，王明大学毕业后和同学创业，合伙开了一家网店，利用暑期销售原创设计的手绘图T恤衫，已知每件T恤衫的成本价为60元，当销售价为100元时，每天能售出20件；经过一段时间销售发现，当销售价每降低1元时，每天就能多售出2件． （1）王明希望每天获得的利润达到1050元，同时顾客优惠最大，则每件T恤衫的销售价应该定为多少？ （2）王明的同学想要每天获得1200元的利润，并且保证每件T恤衫的利润率不低于，请你分析能否实现？若能实现，求出售价应定为多少；若不能，请说明理由（利润率） 【答案】（1）每件T恤衫的销售价应该定为75元 （2）能实现，每件T恤衫的销售价应该定为90元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、一元一次不等式的应用、有理数的混合运算的应用，理解题意，正确列出方程和不等式是解此题的关键． （1）设每件T恤衫降价x元，则每天的销售量为件，根据“每天获得的利润达到1050元”列出一元二次方程，解方程即可得出答案； （2）设每件T恤衫降价m元，根据“为了保证每件T恤衫的利润率不低于”列出一元一次不等式，解不等式即可得出的取值范围，再根据“获得1200元的利润”列出一元二次方程，解方程即可得出答案． 【小问1详解】 解：设每件T恤衫降价x元，则每天的销售量为件， 由题意得：， 解得：或， 当时，售价为（元）， 当时，售价为（元）， ∵优惠最大， ∴， ∴每件T恤衫的销售价应该定为75元； 【小问2详解】 解：能实现，理由如下： 设每件T恤衫降价m元， ∵为了保证每件T恤衫的利润率不低于， ∴， 解得：， 由题意得：， 解得：或， ∵， ∴符合题意， （元） ∴每件T恤衫的销售价应该定为90元． 21. 项目化试题“制作形视力表” 【课题实施】根据标准对数视力表（测试距离为米），以小组合作方式，制作变更测试距离的视力表． （1）已知某视力表中视力值和字母的宽度值的部分对应数据如下表所示，其中视力值是该行字母的宽度值（）的______函数，若某行字母的宽度值，则该行对应的视力值是______． 宽度值（） 视力值 （2）在同一行的“”______（填“全等”或“相似”）不在同一行的“”______（填“全等”或“相似”） 【课题结论】 一：如图1，利用“”的高度与它到眼睛的水平距离之比（即）来刻画视力． 二：大小不同的“”，只要它们这一比值（即）相同，那么用它们测得的视力就相同． 　　　 （3）问题1：根据图2所示，水平桌面上依次放着①号和②号大小不一样的两个“”字，将②号“”沿水平桌面向右移动，直至从观测点看去，对应顶点，，在同一直线上为止，其中是①号“”字的高度，是②号“”字的高度，请用所学知识证明：此时①号字“”与②号“”字测试的视力相同． （4）问题2：小明想制作一张测试距离为米的“”形视力表，如图2所示，①号“”是标准对数视力表中视力为的“”字，其测试距离为，其高度为，求小明在制作视力表中视力为的②号“”字时，②号“”的高度应为多少？（在一条直线上，在一条直线上） 【答案】（1）反比例； （2）全等；相似 （3）见解析 （4）②号“”的高度应为 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定、反比例函数的定义，关键是熟练应用相似三角形的性质列比例线段求解； （1）根据表格所给数据表得出为定值即可得到结论，由可计算出结果； （2）观察视力表得出结论； （3）通过论证，得到，即可说明； （4）将数值代入上一问的比例式即可求得结果． 【详解】（1）解：∵， ∴ ∴是的反比例； 当时，， 故答案为：反比例；； （2）解：由图形可知：在同一行的“”全等；不在同一行的“”相似； 故答案为：全等；相似； （3）解：根据题意得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴①号“”字与②号“”字测试的视力相同 （4）解：问题2：由（1）可得， ∵， ∴， ∴， 答：②号“”的高度应为． 22. 综合与实践 【问题情境】 数学活动课上，老师要求九年级班各学习小组的同学测量操场上不同旗杆的高度，活动过程如下： 【实地测量】 （1）利用镜子测量：如图，小康站在操场上点处，前面水平放置镜面，并通过镜面观测到旗杆顶端，．小组中的同学测得小康的眼睛距地面高度米，小康到镜面的距离米，镜面到旗杆的距离米．求旗杆的高度． （2）利用标杆测量：如图，小英站在操场上的点处，她的眼睛，标杆的顶端和旗杆的顶端在一条直线上，小组中的同学测得小英的眼睛到地面的高度为米，标杆高米，米，米，，，均垂直于地面，与水平面平行．求旗杆的高度． （3）利用侧角仪测量：小华所在的小组决定先在水平地面上选取观测点，（，，在同一直线上），分别测得旗杆顶端的仰角，，再测得米，点，到地面的距离，均为米．求旗杆的高度（参考数据：，）． 【答案】（1）米； （2）米； （3）米． 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质、解直角三角形．解决本题的关键是利用相似三角形对应边成比例找到边之间的关系． 首先根据、，可以证明，根据相似三角形对应边成比例可求旗杆的高度； 根据，，均垂直于地面，可证，根据相似三角形对应边成比例可得，解方程可求的高度，加上小英的眼睛到地面的高度就是旗杆的高度； 利用、，可得，解方程求出的高度，用加上即可求出旗杆的高度． 【小问1详解】 解：，， ， ， ， ． 答：旗杆的高度为米； 【小问2详解】 解：，，均垂直于地面， ， ， ， ， ，，， ， 解得：， ， 答：旗杆的高度为米； 【小问3详解】 解：由题意可得，， 由题意得：，， ，， ，， ， ， 解得：， ． 答：旗杆的高度为米． 23. 综合与探究 【问题情境】如图，点为正方形内一点，，，，将直角三角形绕点逆时针方向旋转度（），点、的对应点分别为点、． （1）【问题解决】 ①如图，请直接写出______； ②如图，在旋转的过程中，点落在了上，则此时______； （2）【问题拓展】 若，如图，得到（此时与重合），延长交于点， ①试判断四边形的形状，并说明理由； ②连接，求的长； （3）【拓展延伸】（温馨提示：本小题两个问题选择其中一个问题解决即可） ①在图中，若与交于点，请你探究并直接写出的长． ②请你思考直角三角形绕点逆时针方向旋转过程中，线段长度是否存在最大值和最小值？如果存在，请你直接写出最大值和最小值． 【答案】（1）①；② （2）①四边形是正方形，理由见解析；② （3）①；②最小值；最大值 【解析】 【分析】（1）①运用勾股定理得到，根据正弦的计算即可求解；②根据正方形的性质得到，由勾股定理得到，再根据旋转得到，由此即可求解； （2）①根据正方形和性质的性质得到，，结合正方形的判定即可求解；②如图所示，过点作于点，作于点，则四边形是矩形，则，由等面积法，勾股定理得到，在中，由勾股定理即可求解； （3）①根据题意得到点共圆，圆心是线段的中点，如图所示，设与交于点，连接，可证，得，设，，则，在中，由勾股定理列式，代入计算即可求解； ②直角三角形绕点逆时针方向旋转过程中，点在以点为圆心，以为半径的圆上运动，如图所示，结合图形，由点位置分类讨论即可求解． 【小问1详解】 解：①∵， ∴， ∴； ②∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵将直角三角形绕点逆时针方向旋转度（），点、的对应点分别为点、， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：①四边形是正方形，理由如下， 由旋转，且旋转角， ∴， ∵延长交于点， ∴， 由得，四边形是矩形， 由得到矩形是正方形； ②如图所示，过点作于点，作于点， ∴， ∴四边形是矩形，则， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，； 【小问3详解】 解：①∵四边形是正方形，是对角线， ∴， ∵， ∴点共圆，圆心是线段的中点，如图所示，设与交于点，连接， ∴，则，即是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，，则， 在中，， ∴， 整理得，， ∴， 解得，，（不符合题意，舍去）， ∴； ②直角三角形绕点逆时针方向旋转过程中，点在以点为圆心，以为半径的圆上运动，如图所示， ∵， ∴当点共线时，是最小值， 当点共线时，是最大值； 综上所述，最小值；最大值． 【点睛】本题主要考查正方形的性质，旋转的性质，勾股定理，正弦值的计算，相似三角形的判定和性质，半圆或直径所对圆周角为直角等知识的综合，掌握以上知识，数形结合分析是关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $