专题15 最值模型之逆等线模型（几何模型讲义）（北京专用）2026年中考数学一轮复习几何模型系列

该初中数学讲义聚焦中考几何最值热点“逆等线模型”，覆盖三角形边上、非边上、同边上及特殊平行四边形四大子模型，构建“模型定义-证明思路-例题解析-分层练习”完整体系，通过考点梳理明确构造全等转化线段的核心方法，结合真题训练突破动态最值难点，体现复习的系统性与针对性。 亮点在于“构造全等转化”教学策略，如模型1中过C作CF//AB构造△ADC≌△CEF，将CD+BE转化为BF利用线段最短求最值，培养几何直观与推理能力。设置选择、填空、解答题分层练习，融入安徽合肥一模等真题案例，确保高效复习，助力学生提升动态问题转化能力，教师可据此精准把控复习节奏。

扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题15最值模型之逆等线模型 目录导航 目录 例题讲模型 模型1.最值模型之三角形边上的逆等线模型 模型2.最值模型之非边上的逆等线模型 P 模型3.最值模型之同边上的逆等线模型 .11 模型4.最值模型之特殊平行四边形的逆等线模型 …13 习题练模型 7 例题讲模型 模型1.最值模型之三角形边上的逆等线模型 模型解读 逆等线：△ABC中，D、E分别是AB、AC上的动点，且AD=CE,即逆向相等，则称AD和CE为逆等线。 逆等线模型特点：动线段长度相等，并且位置错开。 模型证明 条件：如图，在△ABC中，∠ABC=a,BC=m,AC-,点D、E分别是AB、AC上的动点，且AD=CE, 求CD+BE的最小值。 1/10 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 证明思路：①AD在△ADC中，以CE为一边构造另一个三角形与之全等，这个也叫做一边一角造全等； ②即过点C作CF∥AB,且CF=AC。(构造一边一角，得全等)；③构造出△ADC≌△CEF(SAS:证出EF=CD ； ④CD+BE=EF+BE,根据两点之间，线段最短，连接BF,则BF即为所求，此时，B、E、F三点共线： ⑤求BF。构造直角三角形求出BG和FG,再利用勾股定理求出BF即可。 模型运用 例1.(25-26八年级上·重庆·月考)如图，在ABC中，∠BAC=75°，∠B=60°，AB=4,点M和点N分 别在射线AB与射线CB上，且AM=CN,则AN+CM的最小值为一：AN+MN的最小值为一 B 例2.(24-25九年级上江苏无锡·期末)如图，在等腰△ABC中，AB=AC=5,BC=6,点D、E分别是AB、 AC上两动点，且AD=CE,连接CD、BE,CD+BE最小值为一 B 例3.(23-24九年级下·广东广州阶段练习)如图，在Rt△ABC中，AB=3,AC=4,∠BAC=90°，D, E分别是边AB,AC上的动点，且BD=AE,则CD+BE的最小值为一， 2/10 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 例4.(24-25八年级上四川成都期中)如图，在ABC中，∠ABC=45°，∠BAC=75°，AC=2,点E 与点D分别在射线BC与射线AD上，且AD=BE,则AE+BD的最小值为一，AE+ED的最小值 为」 模型2.最值模型之非边上的逆等线模型 模型解读 条件：己知三角形ABC中，AB=a,BC=b,CD为高，CE=BF,求AF+BE的最小值。 D 模型证明 证明思路：①CE在△BEC中，以BF为一边构造另一个三角形与之全等，这个也叫做一边一角造全等； ②即过点B作BG//CE,且BG=BC-b。(构造一边一角，得全等)； ③构造出△BEC≌△GFB(SAS;证出EB=FG; ④AF+BE=AF+FG,根据两点之间，线段最短，连接AG,则AG即为所求，此时，A、F、G三点共线； ⑤求AG。在直角三角形求利用勾股定理求出AG即可。 模型运用 例1.(2024安徽合肥一模)如图，AD为等边△ABC的高，E、F分别为线段AD、AC上的动点，且AE =CF,当BF十CE取得最小值时，∠AFB= 3/10 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.112.5° B.105° C.90 D.82.5 例2.(2023四川成都.一模)如图，在三角形ABC中，∠BAC=50°，AB=AC,BD⊥AC于D,M,N 分别是线段BD,BC上的动点，BM=CN,当AM+AN最小时，∠MAD=一 B 例3.(2024四川乐山二模)如图，等腰△ABC中，∠BAC=100°，BD平分∠ABC,点N为BD上一点， 点M为BC上一点，且BN=MC,若当AM+AN的最小值为4时，AB的长度是一· 模型3.最值模型之同边上的逆等线模型 模型解读 条件：已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=a,点E、D是线段AB上的动点，且满足AD=BE, 求CD+CE的最小值。 C B D E B 4/10 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 模型证明 证明思路：①BE在△BEC中，以AD为一边构造另一个三角形与之全等，这个也叫做一边一角造全等； ②即过点A作AFI/BC,且AF=BC=b。(构造一边一角，得全等)； ③构造出△BEC≌△ADF(SAS;证出CE=FD; ④CD+CE=CD+FD,根据两点之间，线段最短，连接CF,则CF即为所求，此时，F、D、C三点共线： ⑤求FC。在直角三角形求利用勾股定理求出FC即可，或利用全等证明FC=AB也可。 模型运用 例1.(23-24八年级上北京朝阳期末)如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，D,E为AB边上的 两个动点，且AD=BE,连接CD,CE,若AC=2,则CD+CE的最小值为 A D B 例2.(23-24八年级下.黑龙江哈尔滨期末)如图，在矩形ABCD中，对角线AC上有两动点E和F,连 接BE和BF,若AE=CF,AC-AB=9,AC-BC=2,则BE+BF的最小值是 D B 模型4.最值模型之特殊平行四边形的逆等线模型 模型解读 特殊的平行四边形的逆等线模型我们就以矩形为例来研究即可。 条件：己知在矩形ABCD中，AD=a,AB=b,点E、F是边BC、BD上的动点，且满足BE=DF, 求AF+AE的最小值。 5/10 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D 4 D H G B B 模型证明 证明思路：①BE在△ABE中，以DF为一边构造另一个三角形与之全等，这个也叫做一边一角造全等； ②即过点A作∠FDG=∠ABE=90°，且DG=AB=b。(构造一边一角，得全等)； ③构造出△ABE≌△GDF(SAS;证出AE=FG; ④AF+AE=AF+FG,根据两点之间，线段最短，连接AG,则AG即为所求，此时，A、F、G三点共线； ⑤求AG。先利用相似求出DH和HG(若四边形为正方形或含特殊角度的菱形也可直接用勾股定理求出两 条线段的长度)，再利用勾股定理求出AG即可。 模型运用 例1.(2023山东德州校考一模)如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=4,E,F分别是边BC和 对角线BD上的动点，且BE=DF,则AE+AF的最小值为： 例2.(2023陕西西安模拟预测)如图，矩形ABCD中，AB=6,AD=8,点E、F分别是边BC和对角 线BD上的例2.动点，且BE=DF,则AE+AF的最小值是」 B E 例3.(2024福建南平.一模)如图，在菱形ABCD中，AB=2,LABC=120°，点E,F分别在AB,CD 上，且DF=BE,连接DE,AF,则DE+AF的最小值为 6/10 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D 习题练模型 一、单选题 1.(24-25九年级下·福建福州月考)如图，在菱形ABCD中，AB=m,LABC=a,点E,F分别在AB,CD 上，且DF=BE,连接DE,AF,下列对DE+AF的最小值判断中，正确的是() B A.与m有关 B.与a有关 C.与m,a都有关D.无法求最小值 2.(24-25八年级下山东济南·期末)在矩形ABCD中，AB=3,BC=4,点E、F分别是边AB,CD上的 动点，且AE=CF,则BF+CE的最小值为() D A.10 B.2万 C.213 D.√73 二、填空题 3.(2024湖北武汉·模拟预测)如图，AD为等腰ABC底边上的高，AB=AC=6,BC=4,E,F分别是 线段AC,AD上的动点，且AF=CE,则BE+CF取最小值时，其最小值为一 7/10 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B4 4.(24-25八年级上四川成都期中)如图，在ABC中，∠ABC=45°，∠BAC=75°，AC=2,点E与 点D分别在射线BC与射线AD上，且AD=BE,则AE+BD的最小值为一，AE+ED的最小值为 D B 三、解答题 5.(23-24八年级上·浙江宁波·期中)定义：如图1，等腰ABC中，点E,F分别在腰AB,AC上（不与 三角形的顶点重合)，连接EF,若AE=CF,则称EF为该等腰三角形的逆等线， B B (图1) (图2) (I)EF是等腰ABC的逆等线，若EF⊥AB,AB=AC=8,AE=3,求逆等线EF的长； (②)如图2，若等腰直角△DEF的直角顶点D恰好为等腰直角ABC底边BC上的中点，且点E,F分别在 AB,AC上（不与三角形的顶点重合）， ①EF一定是等腰ABC的逆等线吗？说明理由； ②说明AE2+EB2=EF2成立的理由. 6.(2025·吉林长春·三模)【问题呈现】小明在做一道数学题时遇到了一个问题：如图①，在等腰直角 ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=4,D、E分别是边AB、AC上的两个动点，AD=CE,连结BE、CD ,试探究BE+CD的最小值， 【问题分析】小明通过构造全等三角形，将双动点问题转化为单动点问题，利用B、E、F三点共线，将上 述问题解决。 8/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【问题解决】如图②，过C点作CF∥AB,且CF=AC,连结EF;在【问题呈现】的条件下，完成下列 问题： (1)证明：△ACD≌△CFE; (2)BE+CD的最小值为 【方法运用】如图③，在菱形ABCD中，AB=3,∠D=60°，E、F分别是边AB、AC上的两个动点， AE=CF,连结BF、CE,则BF+CE的最小值为 【拓展迁移】如图④，在等边ABC中，CD是高，点E在线段CD上，点F在边AC上，CE=AF,连结 AE,BF,若AB=2√5，则AE+BF的最小值为 图① 图② 图③ 图④ 7.(24-25八年级下山东淄博期中)问题引入】“逆等线问题”是几何最值中的一个热点问题，数学老师有 一天在讲到下面这个问题时：如图，矩形ABCD,AB=6,BC=3,点E是边AB上的动点，点F是射线BC上 的动点，且BF=AE,连接AF,CE,求AF+CE的最小值 图2 图3 【问题解决】(1)延长DA至点G,使得AG=AB,连接EG,当G,E,C三点共线时，AF+CE最小. ①证明：AF=EG;②求出AF+CE的最小值. 【能力运用】(2)铁柱同学发现，若将题目中的8F=AE改为8F=24E,我们就可以求出)AF+CE的最 小值，如图2，请求出)F+CE的最小值，并说明理由。 【挑战自我】(3)铁柱同学又发现，当点E,F在对角线上时，我们依旧可以用类似的方法，求出 2AE+AF的最小值，如图3，点E,F在对角线BD上，BF=2DE,请直接写出2AE+AF的最小值 8.(25-26九年级上陕西咸阳·月考)在“综合与实践”课上，老师和同学们一起探究解决双动点问题：他们 9/10 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 发现通过构造平行四边形，将双动点问题转化为单动点问题，再通过定角发现这个动点的运动路径，进而 解决问题， ()【问题呈现与发现】 问题呈现：如图①，在等边ABC中，AB=3,点M、N分别在边AC、BC上，且AM=CN,试探究线段 MN长度的最小值. 问题解决：智慧小组发现过点C、M分别作MN、BC的平行线并交于点P,作射线AP,如图②，从而得 到四边形CPMN是平行四边形，MN=CP,从而将MN的最值转化为求CP的最值，继而求出∠CAP的度数， 从而求出CP的最值 请帮助智慧小组写出：∠CAP的大小为一度，线段MN长度的最小值为一· (2)【问题探究迁移】 如图③，△AED是等腰三角形，∠AED=120°，EA=ED=DC=4,四边形ABCD是矩形，点M、N分别 为线段ED、线段BC上的动点，并始终保持EM=NC.求MN长度的最小值. (3)【实践拓展应用】 如图④，四边形ABCD是某公园示意图，其中A、B、C、D为公园的四个出口，AB=AD=6千米， CB=CD=2√3千米，∠B=LD=90°，为了方便工作人员，现在要修建一条快速通道MN,根据设计要求M ,N分别为边AD、BC上的一点，且满足DM=BN,则快速通道MN的长度是否存在最小值？若存在，请 求出MN的最小值；若不存在，请说明理由. D M B B 图① 图② 图③ 图④ 10/10 专题15 最值模型之逆等线模型 目录 1 模型1.最值模型之三角形边上的逆等线模型 1 模型2.最值模型之非边上的逆等线模型 8 模型3.最值模型之同边上的逆等线模型 11 模型4.最值模型之特殊平行四边形的逆等线模型 13 17 模型1.最值模型之三角形边上的逆等线模型 逆等线：△ABC中，D、E分别是AB、AC上的动点，且AD=CE，即逆向相等，则称AD和CE为逆等线。 逆等线模型特点：动线段长度相等，并且位置错开。 条件：如图，在△ABC中，∠ABC＝，BC=m，AC=n，点D、E分别是AB、AC上的动点，且AD=CE，求CD+BE的最小值。 证明思路：① AD在△ADC中，以CE为一边构造另一个三角形与之全等，这个也叫做一边一角造全等； ②即过点C作CF//AB，且CF=AC。（构造一边一角，得全等）；③构造出△ADC≌△CEF ( SAS)；证出EF=CD； ④CD+BE=EF+BE，根据两点之间，线段最短，连接BF，则BF即为所求，此时，B、E、F三点共线； ⑤求BF。构造直角三角形求出BG和FG，再利用勾股定理求出BF即可。 例1．（25-26八年级上·重庆·月考）如图，在中，，，，点和点分别在射线与射线上，且，则的最小值为 ；的最小值为 ． 【答案】 【分析】先作，求出，再根据勾股定理求出，即可求出，接下来作，使，连接，结合“边角边”证明，可得，然后确定的最小值为，下面作，求出，再根据勾股定理求得，进而得出，即的最小值；作点A关于的对称点，连接，再说明是等边三角形，接下来证明，可得，然后证明，可得是等边三角形，最后根据，可得的最小值. 【详解】解：作，交于点K， 在中，， ∴， ∴， 根据勾股定理，得. ∵， ∴， ∴， 根据勾股定理，得. 如图所示，作，使，连接， ∵， ∴. ∵， ∴， ∴， 即. ∵， ∴的最小值为. 过点A作，交于点E， ∵， ∴， 在中，， 根据勾股定理，得， ∴. 所以的最小值为； 作点A关于的对称点，连接， 根据对称可知， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴. ∵， ∴， ∴. ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 所以的最小值为. 故答案为：；. 例2．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）如图，在等腰△ABC 中，AB=AC=5，BC=6，点 D、E 分别是 AB、AC 上两动点，且 AD=CE，连接CD、BE，CD+BE 最小值为 ．    【答案】 【分析】过点A作AH∥BC，且AH=BC，连接DH，由题意易得∠HAD=∠BCE，进而可证△HAD≌△BCE，则有CD+BE=CD+HD，当CD+BE为最小时，即CD+HD为最小，当点C、D、H三点共线时即为最小，连接CH，交AB于点M，过点M作MN⊥BC于点N，点A分别作AF⊥BC于点F，如图所示，即CH的长度为CD+BE的最小值，然后可得，则有，，然后问题可求解． 【详解】解：由题意可得如图所示：       过点A作AH∥BC，且AH=BC，连接DH，如图所示，∴∠HAD=∠ABC， ∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠HAD=∠BCE， ∵AD=CE，∴△HAD≌△BCE（SAS），∴HD=BE，∴CD+BE=CD+HD， ∴当CD+BE为最小时，即CD+HD为最小， ∴当点C、D、H三点共线时即为最小，连接CH，交AB于点M，过点M作MN⊥BC于点N，点A分别作AF⊥BC于点F，如图所示，即CH的长度为CD+BE的最小值， ∵AB=AC=5，BC=6，∴BF=CF=3，∴， ∵，∴，∵， ∴（AAS），∴，， ∵AF∥MN，点M是AB的中点，∴， ∴，∴在Rt△MNC中，， ∴，∴CD+BE的最小值为；故答案为． 例3．（23-24九年级下·广东广州·阶段练习）如图，在中，，，，，分别是边，上的动点，且，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形和矩形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，过作，使，连接，，作交延长线于点，证明四边形是正方形，由勾股定理得，然后证明，当，，三点共线时，有最小值，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】过作，使，连接，，作交延长线于点， ∴，∴四边形是矩形，∴， ∴四边形是正方形，∴，∴，∴， ∵，，，∴， ∴，∴，即， 当，，三点共线时，有最小值，故答案为：． 例4．（24-25八年级上·四川成都·期中）如图，在中，，，，点E与点D分别在射线与射线上，且，则的最小值为 ，的最小值为 ． 【答案】 【分析】先根据已知条件求得各边数据，然后根据已知一边一角，构造全等三角形，当在上时，取得最小值，如图所示，过点作交的延长线于点，进而勾股定理即可求解；对于，构造等边三角形，进而即可求解． 【详解】如图所示，过作交的于， ∵，， ∴∴，， ∵，∴，∴ 如图所示，作且，连接，，∵ ∴∴∴， 当在上时，取得最小值，如图所示，过点作交的延长线于点， ∵，∴，∵∴ ∵在中，，∴ ∴，即的最小值为； 如图所示，作关于的对称点，连接,则 ∵则∴， ∵对称，∴∴都是等边三角形，连接， ∵，∴，则， 又∵∴∴， ∴∴是等边三角形，∴ ∴当在上时，， 如图所示 此时取得最小值，最小值 故答案为：，． 模型2.最值模型之非边上的逆等线模型 条件：已知三角形ABC中，AB=a，BC=b，CD为高，CE=BF，求AF+BE的最小值。 证明思路：①CE在△BEC中，以BF为一边构造另一个三角形与之全等，这个也叫做一边一角造全等； ②即过点B作BG//CE，且BG=BC=b。（构造一边一角，得全等）； ③构造出△BEC≌△GFB ( SAS)；证出EB=FG； ④AF+BE=AF+FG，根据两点之间，线段最短，连接AG，则AG即为所求，此时，A、F、G三点共线； ⑤求AG。在直角三角形求利用勾股定理求出AG即可。 例1．（2024·安徽合肥·一模）如图，AD为等边△ABC的高，E、F分别为线段AD、AC上的动点，且AE＝CF，当BF＋CE取得最小值时，∠AFB＝ A．112.5° B．105° C．90° D．82.5° 【答案】B 【分析】如图，作辅助线，构建全等三角形，证明△AEC≌△CFH，得CE＝FH，将CE转化为FH，与BF在同一个三角形中，根据两点之间线段最短，确定点F的位置，即F为AC与BH的交点时，BF+CE的值最小，求出此时∠AFB＝105°． 【详解】解：如图，作CH⊥BC，且CH＝BC，连接BH交AD于M，连接FH， ∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，∴AC＝BC，∠DAC＝30°，∴AC＝CH， ∵∠BCH＝90°，∠ACB＝60°，∴∠ACH＝90°﹣60°＝30°，∴∠DAC＝∠ACH＝30°， ∵AE＝CF，∴△AEC≌△CFH，∴CE＝FH，BF+CE＝BF+FH， ∴当F为AC与BH的交点时，如图2，BF+CE的值最小， 此时∠FBC＝45°，∠FCB＝60°，∴∠AFB＝105°，故选B． 例2．（2023·四川成都·一模）如图，在三角形中，，，于D，M，N分别是线段，上的动点，，当最小时， ． 【答案】 【分析】在下方作，使，连接，则最小值为，此时A、N、三点在同一直线上，推出，所以，即可得到． 【详解】解：在下方作，使，连接． 则，．∴， 即最小值为，此时A、N、三点在同一直线上． ∵，，∴， ∵，∴，∴，∴， ∴，∴， ∴，故答案为：． 例3．（2024·四川乐山·二模）如图，等腰中，，平分，点N为上一点，点M为上一点，且，若当的最小值为4时，的长度是 ． 【答案】4 【分析】由等腰中，，可得，由平分，可得，如图，作，使，连接，则，证明，则，，，可知当三点共线时，最小，即，证明是等边三角形，则，进而可求． 【详解】解：∵等腰中，，∴， ∵平分，∴，如图，作，使，连接， ∴，∵，，， ∴，∴，，∴， ∴当三点共线时，最小，即， ∵，，∴是等边三角形，∴，∴，故答案为：4． 模型3.最值模型之同边上的逆等线模型 条件：已知在中，∠ACB=90°，AB=a，点E、D是线段AB上的动点，且满足AD=BE， 求CD+CE的最小值。 证明思路：①BE在△BEC中，以AD为一边构造另一个三角形与之全等，这个也叫做一边一角造全等； ②即过点A作AF//BC，且AF=BC=b。（构造一边一角，得全等）； ③构造出△BEC≌△ADF ( SAS)；证出CE=FD； ④CD+CE=CD+FD，根据两点之间，线段最短，连接CF，则CF即为所求，此时，F、D、C三点共线； ⑤求FC。在直角三角形求利用勾股定理求出FC即可，或利用全等证明FC=AB也可。 例1．（23-24八年级上·北京朝阳·期末）如图，中，，，D，E为边上的两个动点，且，连接，，若，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】过点，分别作的垂线和的垂线交于点，连接，，先证，得，再证，得，进而得出，当，，三点不共线时，；当，，三点共线时，，然后根据直角三角形中，的角所对的直角边等于斜边的一半求出的值，从而得出结果． 【详解】过点，分别作的垂线和的垂线交于点，连接，， ，，，，，， ，，，， ，，，， 当，，三点不共线时，；当，，三点共线时，． 的最小值是的长，，，， ，，，的最小值是．故答案为：． 例2．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在矩形中，对角线上有两动点E和F，连接和，若，，，则的最小值是 ．    【答案】17 【分析】如图，连接，，由全等三角形判定（）可以证得，得到，进而得到，再根据题意及勾股定理求出的值，即可得出答案． 【详解】解：如图，连接，， 四边形是矩形，，，，， ，，，，， 又，为矩形的对角线，， 是直角三角形，，，， 移项得， 配方得，，解得，或 ，，，故答案为：17．    模型4.最值模型之特殊平行四边形的逆等线模型 特殊的平行四边形的逆等线模型我们就以矩形为例来研究即可。 条件：已知在矩形ABCD中，AD=a，AB=b，点E、F是边BC、BD上的动点，且满足BE=DF， 求AF+AE的最小值。 证明思路：①BE在△ABE中，以DF为一边构造另一个三角形与之全等，这个也叫做一边一角造全等； ②即过点A作∠FDG=∠ABE=90°，且DG=AB=b。（构造一边一角，得全等）； ③构造出△ABE≌△GDF ( SAS)；证出AE=FG； ④AF+AE=AF+FG，根据两点之间，线段最短，连接AG，则AG即为所求，此时，A、F、G三点共线； ⑤求AG。先利用相似求出DH和HG（若四边形为正方形或含特殊角度的菱形也可直接用勾股定理求出两条线段的长度），再利用勾股定理求出AG即可。 例1．（2023·山东德州·校考一模）如图，在菱形中，，，，分别是边和对角线上的动点，且，则的最小值为______． 【答案】 【分析】在的下方作，截取，使得，连接，．证明，推出，，根据求解即可． 【详解】解：如图，的下方作，截取，使得，连接，． 四边形是菱形，，，， ，，，，， ，， ，， ，，的最小值为，故答案为． 例2．（2023·陕西西安·模拟预测）如图，矩形中，，，点、分别是边和对角线上的例2．动点，且，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】设点D关于的对称点为G，在上截取，连接，可证，从而，那么，A、H都是固定点，过点H作于点M，结合相似三角形和勾股定理即可求得， 【详解】如图，设点D关于的对称点为G，在上截取，连接，过点H作于点M， ∵四边形是矩形，∴，，∴， ∵，∴，∴，∴， ∵，∴，∴，∴， 在中，，∵，∴∴， ∴，∴，∴，∴， 在中，，∴的最小值是． 故答案为：． 例3．（2024·福建南平·一模）如图，在菱形中，，，点E，F分别在，上，且，连接，，则的最小值为 ． 【答案】4 【分析】如图，连接，作关于直线的对称点，连接，，，，可得，，，证明四边形为平行四边形，可得，则，当三点共线时，此时取等于号，最小，证明当三点共线时，重合，从而可得答案． 【详解】解：如图，连接，作关于直线的对称点，连接，，，， ∴，，，∵菱形， ∴，，， ∵，，∴，， ∴四边形为平行四边形，∴，∴， 当三点共线时，此时取等于号，最小， ∵菱形，，∴，，∴为等边三角形，∴， ∵，∴，∵，，∴， ∴，，∵，∴， ∴三点共线，∴当三点共线时，重合， ∵，∴，即最小值为4．故答案为4 一、单选题 1．（24-25九年级下·福建福州·月考）如图，在菱形中，，点分别在上，且，连接，下列对的最小值判断中，正确的是（    ）    A．与有关 B．与有关 C．与都有关 D．无法求最小值 【答案】C 【分析】本题考查的是轴对称的性质，平行四边形的判定与性质，解直角三角形，菱形的性质，如图，连接，作关于直线的对称点，连接，，，，可得，，，证明四边形为平行四边形，可得，则，当三点共线时，此时取等于号，最小，最小为，可知与都有关，即可求解，作出合适的辅助线是解本题的关键． 【详解】解：如图，连接，作关于直线的对称点，连接，，，， ∴，，，    ∵菱形， ∴，，，则 ∵，， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， 当三点共线时，此时取等于号，最小， 则最小为，与都有关， 故选：C． 2．（24-25八年级下·山东济南·期末）在矩形中，，，点E、F分别是边，上的动点，且，则的最小值为（    ） A．10 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的性质，轴对称-最短路线问题，勾股定理，连接，根据矩形的性质得到，推出四边形是平行四边形，得到，要求的最小值，即求的最小值，作D点关于的对称点，连接交于E，则的值最小，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：连接， 四边形是矩形， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 要求的最小值，即求的最小值， 作D点关于的对称点，连接交于E， 则的值最小， ，， ，， ， 即的最小值为， 故选：D． 二、填空题 3．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，为等腰底边上的高，，，分别是线段上的动点，且，则取最小值时，其最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、勾股定理．作且使得，连接、、，先证，可以得到，再根据图形，可知的最小值就是线段的长，由勾股定理即可求得的长． 【详解】解：作且使得，连接、、， ∵，点为的中点， ∴， ， ， ， ， ， ， 又， 在和中 ， ， ， ， ∵当点、、三点共线时，最小，此时最小值为 , ． 故答案为：． 4．（24-25八年级上·四川成都·期中）如图，在中，，，，点E与点D分别在射线与射线上，且，则的最小值为 ，的最小值为 ． 【答案】 【分析】先根据已知条件求得各边数据，然后根据已知一边一角，构造全等三角形，当在上时，取得最小值，如图所示，过点作交的延长线于点，进而勾股定理即可求解；对于，构造等边三角形，进而即可求解． 【详解】如图所示，过作交的于， ∵，， ∴ ∴，， ∵， ∴， ∴ 如图所示，作且，连接，， ∵ ∴ ∴ ∴， 当在上时，取得最小值，如图所示，过点作交的延长线于点， ∵， ∴， ∵ ∴ ∵ 在中，， ∴ ∴，即的最小值为； 如图所示，作关于的对称点，连接,则 ∵则 ∴， ∵对称， ∴ ∴都是等边三角形， 连接， ∵， ∴，则， 又∵ ∴ ∴， ∴ ∴是等边三角形， ∴ ∴当在上时，， 如图所示 此时取得最小值，最小值 故答案为：，． 三、解答题 5．（23-24八年级上·浙江宁波·期中）定义：如图1，等腰中，点E，F分别在腰，上(不与三角形的顶点重合)，连接，若，则称为该等腰三角形的逆等线．    (1)是等腰的逆等线，若，，，求逆等线的长； (2)如图2，若等腰直角的直角顶点D恰好为等腰直角底边上的中点，且点E，F分别在，上(不与三角形的顶点重合)， ①一定是等腰的逆等线吗?说明理由； ②说明成立的理由． 【答案】(1) (2)①一定是等腰的逆等线；理由见解析；②见解析 【分析】（1）根据等腰三角形的逆等线的定义得到，根据勾股定理计算即可； （2）①根据等腰直角三角形的性质得到，，，证明，根据全等三角形的性质得到，根据等腰三角形的逆等线的定义证明即可； ②根据，，得出，根据勾股定理得出，即可证明结论． 【详解】（1）解：∵是等腰的逆等线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：①一定是等腰的逆等线；理由如下： ∵是等腰直角三角形，点D是上的中点， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 即是等腰的逆等线． ②证明：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 6．（2025·吉林长春·三模）【问题呈现】小明在做一道数学题时遇到了一个问题：如图①，在等腰直角中，，，分别是边上的两个动点，，连结，试探究的最小值． 【问题分析】小明通过构造全等三角形，将双动点问题转化为单动点问题，利用三点共线，将上述问题解决． 【问题解决】如图②，过点作，且，连结；在【问题呈现】的条件下，完成下列问题： （1）证明：； （2）的最小值为____________． 【方法运用】如图③，在菱形中，，分别是边上的两个动点，．连结，则的最小值为__________． 【拓展迁移】如图④，在等边中，是高，点在线段上，点在边上，，连结，若，则的最小值为__________． 【答案】（1）见解析；（2）；[方法运用] ；[拓展迁移] 【分析】（1）由已知条件得，即可得． （2）连接，过点F作，交延长线于点G，求出，，,得，由，可得 ，故的最小值即为． [方法运用] 连接，设交于点O，证明，可得，可得，得，得，即得的最小值是． [拓展迁移]过点A作，使，连接，证明，可得，证明，，得，得的最小值是． 【详解】（1）证明：∵过点作，使，连接． ∴． ∵， ∴． （2）解：连接，过点F作，交延长线于点G． 则． ∵，， ∴． ∴． ∴． ∴． ∵，， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴的最小值为． 故答案为：． [方法运用]连接，设交于点O． ∵菱形中，，， ∴与都是等边三角形． ∴．， ∵， ∴． ∴． ∴． ∴的最小值是的长． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴的最小值是． 故答案为：． [拓展迁移] 过点A作，使，连接． 则． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴的最小值是线段的长． ∵， ∴． ∴． ∵等边中，， ∴． ∴． ∴的最小值是． 故答案为：． 7．（24-25八年级下·山东淄博·期中）问题引入】“逆等线问题”是几何最值中的一个热点问题，数学老师有一天在讲到下面这个问题时：如图，矩形，点E是边上的动点，点F是射线上的动点，且，连接，求的最小值．    【问题解决】（1）延长至点G，使得，连接，当G，E，C三点共线时，最小． ①证明：；②求出的最小值． 【能力运用】（2）铁柱同学发现，若将题目中的改为，我们就可以求出的最小值，如图2，请求出的最小值，并说明理由． 【挑战自我】（3）铁柱同学又发现，当点E，F在对角线上时，我们依旧可以用类似的方法，求出的最小值，如图3，点E，F在对角线上，，请直接写出的最小值． 【答案】（1）①证明见解析；②；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识点，解题的关键是转化思想的运用． （1）①根据矩形的性质证明即可；②连接，由勾股定理求得，由于，则当点共线时，取得最小值为； （2）延长至点，使得，连接，证明，则，故，则当点共线时，取得最小值为，再由勾股定理求出即可； （3）延长至点，使得，连接，证明，则，由于，则当点三点共线时，取得最小值为，再由勾股定理求解即可． 【详解】（1）①证明：∵矩形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ②解：连接，    ∵矩形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当点共线时，取得最小值为； （2）解：延长至点，使得，连接，    ∵矩形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当点共线时，取得最小值为， ∵矩形， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为； （3）解：延长至点，使得，连接，    ∵， ∴， ∵矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当点三点共线时，取得最小值为， ∵在矩形中，， ∴， ∴的最小值为． 8．（25-26九年级上·陕西咸阳·月考）在“综合与实践”课上，老师和同学们一起探究解决双动点问题：他们发现通过构造平行四边形，将双动点问题转化为单动点问题，再通过定角发现这个动点的运动路径，进而解决问题． (1)【问题呈现与发现】 问题呈现：如图①，在等边中，，点M、N分别在边、上，且，试探究线段长度的最小值． 问题解决：智慧小组发现过点C、M分别作、的平行线并交于点P，作射线，如图②，从而得到四边形是平行四边形，，从而将的最值转化为求的最值，继而求出的度数，从而求出的最值． 请帮助智慧小组写出：的大小为　　 度，线段长度的最小值为　　 ． (2)【问题探究迁移】 如图③，是等腰三角形，，，四边形是矩形，点M、N分别为线段、线段上的动点，并始终保持．求长度的最小值． (3)【实践拓展应用】 如图④，四边形是某公园示意图，其中A、B、C、D为公园的四个出口，千米，千米，．为了方便工作人员，现在要修建一条快速通道，根据设计要求M，N分别为边、上的一点，且满足，则快速通道的长度是否存在最小值？若存在，请求出的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)30， (2)的最小值为 (3)快速通道的长度存在最小值，的最小值为千米 【分析】（1）通过构造平行四边形，将求线段的最值转化为求的最值，再利用等腰三角形和外角的性质求出的度数，最后根据垂线段最短求出的最小值，从而得到的最小值； （2）通过构造平行四边形，将求的最值转化为求的最值，再利用等腰三角形的性质求出和的度数，利用特殊角的三角函数求出的长度，最后根据垂线段最短求出的最小值，从而得到的最小值； （3）本题可通过构造平行四边形，将求的最值转化为求的最值，再利用等腰三角形和直角三角形的性质求出相关角度，最后根据垂线段最短求出的最小值，从而得到的最小值． 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴，， 又∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，且当时，取得最小值， 在中，，， ∴的最小值为，即的最小值为， 故答案为：30，； （2）解：∵四边形是矩形， ∴，， 如图③，过点C、M分别作、的平行线并交于点P，作射线，连接，过D作于H， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵是等腰三角形，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 当时，取得最小值， 的最小值为，即的最小值为； （3）解：快速通道的长度存在最小值；理由如下： 如图④，过点D、N分别作、的平行线相交于点P，连接，，交延长线于点H，交于Q，作射线， ∴四边形是平行四边形，，， ∵千米，千米，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，（千米）， ∴（千米）， 当时，取得最小值， 此时（千米）， ∴的最小值为千米． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $