专题12 最值模型之将军饮马模型（几何模型讲义）（北京专用）2026年中考数学一轮复习几何模型系列

该初中数学中考复习讲义聚焦“将军饮马模型”专题，覆盖中考几何最值三大核心模型，即双线段和最小值、双线段差最大值、多线段和最值，通过“模型条件-图形分析-方法归纳-真题演练”四步教学流程，帮助学生系统构建轴对称转化思想，突破动态几何最值难点。 亮点在于“模型可视化”与“真题情境化”结合，如通过等边三角形、正方形等图形实例，引导学生用几何直观发现对称转化规律，培养推理能力。设置基础例题到综合应用题的分层训练，配合即时反馈设计，助力学生快速掌握“化折为直”模型方法，教师可依托此资料精准把控复习节奏，提升学生中考几何最值题的解题效率。

扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题12最值模型之将军饮马模型 目录导航 目录 例题讲模型 1 模型1运用角平分线定理模型. 1 模型2构造等腰三角形模型 .7 模型3.构造轴对称图形模型.12 习题练模型 .16 例题讲模型 模型1.将军饮马模型（双线段和的最小值) 模型解读 条件：A,B为定点，m为定直线，P为直线m上的一个动点，求AP+BP的最小值。 模型（1)点A、B在直线m两侧： 模型(2)点A、B在直线同侧 A。 A。 模型证明 模型(1)点A、B在直线m两侧： 模型（2)点A、B在直线同侧： 1/13 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图(1) 图(2) 模型(1)：如图(1)，连结AB,根据两点之间线段最短，AP+BP的最小值即为：线段AB的长度。 模型(2)：如图(2)，作点A关于定直线m的对称点A',连结A'B,根据两点之间线段最短，AP+BP的最 小值即为：线段A'B的长度。 模型运用 例1.(25-26八年级上·北京月考)如图所示，在等边△ABC中，E是AC边的中点，AD LBC于点D,P 是AD上的动点，若AD=3,则EP+CP的最小值为一 例2.(2425八年级下北京期中)如图，点1川3,0在x轴上，直线=-+6与两坐标轴分别交于B,C 两点，D,P分别是线段OC,BC上的动点，则PD+DA的最小值为· A Bx 例3.(24-25八年级下·北京海淀期中)如图，在边长为2的正方形ABCD中，点M、N分别是边BC、 DC上的动点，且BM=CN,连接BN,DM,则BN+DM的最小值为一· 2/13 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 例4。(2425九年级上北京月考)已知：二次函数'=r+r+ 的图象与轴交于A,B两点，其中A 点坐标为 -3,0,与'轴交于点C,点D(-2-3引 在抛物线上 3 B 4-B-2101 234 -2 D +3 C 4 (1)求抛物线的解析式： (2)抛物线的对称轴上有一动点P,求出PA+PD的最小值： Q 6)若抛物线上有一动点°，使三角形4B0的面积为24，求°点坐标。 ABO 模型2.将军饮马模型（双线段差的最大值) 模型解读 条件：A,B为定点，m为定直线，P为直线I上的一个动点，求AP-BP的最大值。 模型（1)：点A、B在直线m同侧： 模型（2)：点A、B在直线m异侧： B m B 模型证明 3/13 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B' B B 图(1) 图(2) 模型(1)：如图(1)，延长AB交直线m于点P,当A、B、P不共线时，根据三角形三边关系，有：| P'A-P'B<AB,当A、B、P共线时，有PA-PB=AB,故PA-PB≤AB,即AP-BPI的最大值即为：线段AB的 长度。 模型（2)：如图(2)，作点B作关于直线m的对称点B',连接AB交直线m于点P,此时PB=PB'。 当A、B、P不共线时，根据三角形三边关系，有：P'A-PB=P'A-PB<AB', 当A、B、P共线时，有PA-PB=PA-PB=AB',故PA-PBISAB',即AP-BPI的最大值即为：线段AB的长度。 模型运用 xOy A(2,10,B(1,-1) 例1.(24-25八年级下·北京西城期末)如图，在平面直角坐标系 中， ,点P在直线 y=x上.有以下结论 y=x 1 -2-101234 -1F·B -2 ①当点”的坐标为 时，PA+P 1,1) 取得最小值： P ②当点的坐标 为D》时，PA+P 取得最大值： 2.5,2.5)PA-PB ③当点P的坐标为 时， 取得最大值： ④当点”的坐标为 0.5,0.5)IPA-PB 时， 取得最小值. 上述结论中，所有正确结论的序号是() A.①③ B.①④ C.②③ D.②④ 4/13 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 例2.(2024河南南阳一模)如图，已知△ABC为等腰直角三角形，AC=BC=6,∠BCD=15°，P为直 线CD上的动点，则PA一PB的最大值为 D B 例2.(24-25八年级上·四川自贡·月考)如图，在△ABC中，AB=AC,直线EF是AB的垂直平分线， D是BC的中点，M是EF上一个动点，△ABC的面积为12，BC=4,则BM+DM的最小值为， BM-DM 的最大值为 例4.(2024陕西渭南·二模)如图，在菱形ABCD中，E为AB边中点，而点F在DC边上，P为对角线 AC所在直线上一动点，已知4B=8,DF=2,且∠ABC=60°，则PF-PA的最大值为一 D B 模型3将军饮马（多线段和的最值模型） 模型解读 模型（1)：两定点+两动点 条件：A,B为定点，在直线m、n上分别找两点P、Q,使PA+PQ+QB最小。 两个点都在直线外侧（图1-1）；内外侧各一点（图1-2)；两个点都在内侧（图1-3） 5/13 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图1-1 图1-1 图1-1 图2 模型(2)：一定点+两动点 条件：如图2，A为定点，在直线m、n上分别找两点P、Q,使三角形APQ的周长(AP+PQ+QA)最小。 模型证明 1 1 B B 图1-1 图1-1 图1-1 图2 模型（1-1)（两点都在直线外侧型） 如图(1-I)，连结AB,根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段AB的长度。 模型（1-2)（直线内外侧各一点型) 如图(1-2)，作点B关于定直线n的对称点B',连结AB',根据对称得到：QB=QB',故 PA+PO+OB=PA+PO+OB', 根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段AB的长度。 模型（1-3)（两点都在直线内侧型） 如图(1-3)，作点B关于定直线n的对称点B',作点A关于定直线m的对称点A',连结A'B', 根据对称得到：QB=QB',PA=PA',故PA+PQ+QB=PA'+PQ+QB', 根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段A'B的长度。 模型(2)：如图(2)，作点A分别关于定直线m、n的对称点A'、A”,连结A'B, 根据对称得到：QA=QA',PA=PA”,故故PA+PQ+QA=PA”+PQ+QA', 再利用“两点之间线段最短”，得到PA+PQ+QA的最小值即为：线段A'A“的长度。 模型运用 6/13 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 例1.(24-25八年级上·北京东城期中)如图，已知∠AOB=20°，点M,N分别为OA,OB上的点， OM=ON=4 OA,OB O+PO+PN MO+PO+PN ,点P,Q分别为 上的动点，则 的最小值是，当 取得最小值时，∠QPN的度数是■ M N B 例2.(2025·陕西·模拟预测)如图，点P为矩形ABCD内一点，过点P作PG⊥CD,垂足为G,连接AP、 BP,若AD=4,AB=6,则PG+PA+PB的最小值为一· D Q 例3.(24-25九年级下·湖北黄冈·自主招生)如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD为正方形，点 A,B在r轴上，抛物线P=+br+ 经过点B, D(-4.5)两点，且与直线DC交于另一点E. (1)求抛物线的解析式： (2)F为抛物线对称轴上一点，Q为平面直角坐标系中的一点，是否存在以点Q,E,B为顶点的四边形 是以BE为边的菱形.若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由； 7/13 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ，探究EM+MP+PB ME,BP (3)P为y轴上一点，过点P作抛物线对称轴的垂线，垂足为M,连接 是否存 在最小值.若存在，请求出这个最小值及点M的坐标：若不存在，请说明理由 例4.(2025内蒙古鄂尔多斯二模)如图，抛物线”=-t+r+C与x轴交于本84,0，与y轴交于点 C0,,点Pm川在抛物线上，如图1，连接BC.PC.PB. 图1 图2 (1)求抛物线的解析式： (2)当1≤m≤5，求n的最大值与最小值的差： y=-x-1 (3)如图2，点E是y轴上一动点，点F为抛物线对称轴上一动点，点M为直线上一动点，连接 PE,EF,FM,当m=2时，求PE+EF+FM的最小值. 习题练模型 一、单选题 1.(24-25九年级上广东佛山期中)如图，在菱形ABCD中，对角线BD=12，,AC=16,点E、F分别 是边AB、BC边上的动点，点P在AC上运动，在运动过程中，存在EP+FP的最小值，则这个最小值是 () 8/13 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E B A.2.4 B.4.8 C.5 D.9.6 2.(2024安徽模拟预测)如图，矩形1BCD中， AD=4V3, AC,BD 对角线 ∠BOC=120° 交于点O, ,E 为AC上一动点.F为DE中点，则下列结论正确的是() D A.DE的最小值为35 B.DF的最小值为25 C. F0+FC的最小值为2N7 D.△OC 的周长最小值为2+2√万 3.(24-25九年级上北京西城期中)如图，抛物线》=r+6r+C与轴交于点1-，0，B3,0 交y轴 的正半轴于点C,对称轴交抛物线于点D,交x轴与点E,则下列结论：①2a+b=0:②b+2c>0;③ a+h>a+hm(m为任意实数)：④一元二次方程r+br+c+2=0有 0有两个不相等的实数根：⑤若点”为 对称轴上的动点，则PB-PC有最大值，最大值为+9.其中正确的有《) y iD A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 二、填空题 9/13 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4。(25-26九年级上·全国期未)已知：如图，抛物线” 上任意一点到定点 0,2)的距离与到定直 =)的距离相等，点G坐标为2，CH1/于点H,当位于y轴左侧的点C 时， CH-CG有最大值. H 5.(24-25八年级下·湖北黄石·期中)如图，在矩形ABCD中，AB=6,AD=2,E、F分别是AB和 DC上的两个动点，M为BC的中点，则 E B M (I)DE+EF+FM的最小值是一： (2)若∠EFD=45°，则DE+EF+FM的最小值为 6.(25-26八年级上·湖南株洲·期末)某班级在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型： 直线I同旁有两个定点A、B,在直线上存在点P,使得PA+PB的值最小.解法：如图1，作点A关于 直线I的对称点A,连接AB,则A'B与直线I的交点即为P,且PA+PB的最小值为AB.请利用上述模 型解决下列问题： D 图1 图2 图3 10/13 专题12 最值模型之将军饮马模型 目录 1 模型1.运用角平分线定理模型 1 模型2.构造等腰三角形模型 7 模型3.构造轴对称图形模型 12 16 模型1.将军饮马模型（双线段和的最小值） 条件：A，B为定点，m为定直线，P为直线m上的一个动点，求AP+BP的最小值。 模型（1）点A、B在直线m两侧： 模型（2）点A、B在直线同侧： 模型（1）点A、B在直线m两侧： 模型（2）点A、B在直线同侧： 图（1） 图（2） 模型（1）：如图（1），连结AB,根据两点之间线段最短，AP+BP的最小值即为：线段AB的长度。 模型（2）：如图（2），作点A关于定直线m的对称点A’,连结A’B,根据两点之间线段最短，AP+BP的最小值即为：线段A’B的长度。 例1．（25-26八年级上·北京·月考）如图所示，在等边中，E是边的中点，于点D，P是上的动点，若，则的最小值为 ． 【答案】3 【分析】题考查了等边三角形的性质和轴对称的性质，熟练掌握等边三角形和轴对称的性质是解题的关键．通过作辅助线转化，的值，从而找出其最小值求解． 【详解】是等边三角形，， ， 是的垂直平分线， 点E关于的对称点为F， 如图所示，作点E关于的对称点F，连接， 就是的最小值， 是等边三角形，E是边的中点， F是的中点， 是的中线， ， 即的最小值为3， 故答案为：3． 例2．（24-25八年级下·北京·期中）如图，点在x轴上，直线与两坐标轴分别交于B，C两点，D，P分别是线段，上的动点，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，轴对称-最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质和一次函数图象上点的坐标特征是解题的关键．作点A关于y轴的对称点E，过点E作于点H，交y轴于点，连接，连接，则的最小值即为的长度，分别求出，和的长度，根据，可得，求出的长度，即可确定的最小值． 【详解】解：作点A关于y轴的对称点E，过点E作于点H，交y轴于点，连接，连接，则的最小值即为的长度， 由题意得：点E坐标为， ∵直线与两坐标轴分别交于B，C两点， 令，则， ∴点C坐标为， 令，则， ∴点B坐标为， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 例3．（24-25八年级下·北京海淀·期中）如图，在边长为2的正方形中，点M、N分别是边、上的动点，且，连接，，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质和勾股定理的知识，掌握以上知识是解题的关键； 本题延长到点，使，连接、、，根据正方形的性质可得，，然后得到，，进而得到，再根据两点之间线段最短，然后通过勾股定理即可求解； 【详解】解：延长到点，使，连接、、，如图： ， ∵四边形为正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴由图可得的最小值为， 在中，勾股定理可得， ∵，， 解得：， ∴的最小值为：， 故答案为：； 例4．（24-25九年级上·北京·月考）已知：二次函数的图象与轴交于A，两点，其中A点坐标为，与轴交于点，点在抛物线上． (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线的对称轴上有一动点，求出的最小值； (3)若抛物线上有一动点，使三角形的面积为，求点坐标． 【答案】(1)； (2)的最小值为：； (3)，； 【分析】本题考查待定系数法求解析式，二次函数对称性最短距离和问题及三角形面积问题，解题的关键是先求出解析式，熟练掌握轴对称最短距离和问题． （1）将点，点代入求解即可得到答案； （2）根据对称性得到点A关于对称轴的对称点B的坐标，连接交对称轴即为点，此时距离和最小，根据两点间距离公式求解即可得到答案； （3）设点，根据面积列式求解即可得到答案； 【详解】（1）解：将点，点代入得， ，解得：， ∴； （2）解：当时，， 解得：，， ∴， 由抛物线的对称性得，连接交对称轴即为点，此时距离和最小， ∵A，B关于对称轴对称， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为：； （3）解：设点， ∵三角形的面积为， ∴， 解得：，， ∴，； 模型2.将军饮马模型（双线段差的最大值） 条件：A，B为定点，m为定直线，P为直线l上的一个动点，求|AP-BP|的最大值。 模型（1）：点A、B在直线m同侧： 模型（2）：点A、B在直线m异侧： 图（1） 图（2） 模型（1）：如图（1），延长AB交直线m于点P，当A、B、P不共线时，根据三角形三边关系，有：|P’A-P’B|＜AB，当A、B、P共线时，有|PA-PB|=AB，故|PA-PB|≤AB，即|AP-BP|的最大值即为：线段AB的长度。 模型（2）：如图（2），作点B作关于直线m的对称点B’，连接AB’交直线m于点P，此时PB=PB’。 当A、B、P不共线时，根据三角形三边关系，有：|P’A-P’B|=|P’A-P’B’|＜AB’， 当A、B、P共线时，有|PA-PB|=|PA-PB’|=AB’，故|PA-PB|≤AB’，即|AP-BP|的最大值即为：线段AB’的长度。 例1．（24-25八年级下·北京西城·期末）如图，在平面直角坐标系中，，点在直线上．有以下结论： ①当点的坐标为时，取得最小值； ②当点的坐标为时，取得最大值； ③当点的坐标为时，取得最大值； ④当点的坐标为时，取得最小值． 上述结论中，所有正确结论的序号是（  ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征、正比例函数的性质、轴对称-最短路线问题，解题时要熟练掌握并能灵活运用一次函数的性质是关键．依据题意，结合函数图象分三种情形计算分析即可逐个判断得解． 【详解】解：由题意，如图1， ， 关于直线的对称点， 连接交于点，此时取最小值等于， 又， 轴， ， 故①正确，②错误； 连接并延长交直线于，如图2， 此时，取最大值等于， 设直线为， ， ， ， 直线为， 联立方程组， ， 此时， 故③错误； 由题意，连接，作的垂直平分线交于点，如图3， ， 取得最小值为， 在的垂直平分线上， ， 的中点为， 直线为， 的垂直平分线为， 联立方程组， ， ，此时取得最小值， 故④正确； 综上，正确的有①④； 故选：B． 例2．（2024·河南南阳·一模）如图，已知△ABC为等腰直角三角形，AC＝BC＝6，∠BCD＝15°，P为直线CD上的动点，则|PA－PB|的最大值为____． 【答案】6 【分析】作A关于CD的对称点A′，连接A′B交CD于P，则点P就是使|PA-PB|的值最大的点，|PA-PB|=A′B，连接A′C，根据等腰直角三角形的性质得到∠CAB=∠ABC=45°，∠ACB=90°，根据角的和差关系得到∠ACD=75°，根据轴对称的性质得到A′C=AC=BC，∠CA′A=∠CAA′=15°，推出△A′BC是等边三角形，根据等边三角形的性质即可得到结论． 【详解】如图，作A关于的对称点，连接并延长交延长线于点P，则点P就是使的值最大的点，，连接， ∵为等腰直角三角形，，∴，， ∵，∴，∵点A与A′关于CD对称， ∴CD⊥AA′，，，∴， ∵AC=BC，∴，，∴， ∵，∴，∴是等边三角形，∴．故答案为：6 例2．（24-25八年级上·四川自贡·月考）如图，在中，，直线是的垂直平分线，是的中点，是上一个动点，的面积为12，，则的最小值为 ，的最大值为 ． 【答案】 【分析】连接，由三线合一及线段中点的定义可得，，由三角形的面积公式可得，由此即可求出的长，由“直线是的垂直平分线”可得点关于直线的对称点为点，由“轴对称的性质——最短路线问题”可知，的长即为的最小值；由三角形三边之间的关系可得，，进而可得，由绝对值的意义可得，由此即可得出的最大值；综上，即可得解． 【详解】解：如图，连接， ，是的中点， ，， ， ， 直线是的垂直平分线， 点关于直线的对称点为点， 的长为的最小值， 的最小值为； ，， ， ， 的最大值为； 故答案为：，． 例4．（2024·陕西渭南·二模）如图，在菱形中，为边中点，而点在边上，为对角线所在直线上一动点，已知，，且，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查菱形的性质，轴对称中最值问题，勾股定理．取的中点，连接，易得，故，即当共线时，最大，作于，先后求出，最后用勾股定理求即可． 【详解】解：如图，取的中点，连接，四边形是菱形 在和中 连接 当共线时，最大，图中处 作于 ．即的最大值为． 模型3.将军饮马（多线段和的最值模型） 模型（1）：两定点+两动点 条件：A，B为定点，在直线m、n上分别找两点P、Q，使PA+PQ+QB最小。 两个点都在直线外侧（图1-1）；内外侧各一点（图1-2）；两个点都在内侧（图1-3） 图1-1 图1-1 图1-1 图2 模型（2）：一定点+两动点 条件：如图2，A为定点，在直线m、n上分别找两点P、Q，使三角形APQ的周长（AP+PQ+QA）最小。 图1-1 图1-1 图1-1 图2 模型（1-1）（两点都在直线外侧型） 如图（1-1），连结AB,根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段AB的长度。 模型（1-2）（直线内外侧各一点型） 如图（1-2），作点B关于定直线n的对称点B’,连结AB’,根据对称得到：QB=QB’，故PA+PQ+QB=PA+PQ+QB’， 根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段AB’的长度。 模型（1-3）（两点都在直线内侧型） 如图（1-3），作点B关于定直线n的对称点B’,作点A关于定直线m的对称点A’,连结A’B’, 根据对称得到：QB=QB’，PA=PA’，故PA+PQ+QB=PA’+PQ+QB’， 根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段A’B’的长度。 模型（2）：如图（2），作点A分别关于定直线m、n的对称点A’、A’’,连结A’B, 根据对称得到：QA=QA’，PA=PA’’，故故PA+PQ+QA=PA’’+PQ+QA’， 再利用“两点之间线段最短”，得到PA+PQ+QA的最小值即为：线段A’A’’的长度。 例1．（24-25八年级上·北京东城·期中）如图，已知，点M，N分别为上的点，，点P，Q分别为上的动点，则的最小值是 ，当取得最小值时，的度数是 ． 【答案】 4 /20度 【分析】本题考查了轴对称﹣﹣最短路径问题，等边三角形的判定和性质，作M关于的对称点，作N关于的对称点， 连接交于点，交于点，连接，根据轴对称的性质，得到的最小值为，推出为等边三角形，进一步得出结果，先求出的度数，即可求出取得最小值时，的度数． 【详解】作M关于的对称点，作N关于的对称点， 连接交于点，交于点，连接， 则， ∴ ∴为的最小值． ∵，，， ∴， ∴为等边三角形， ∴ 即的值最小为4 当取得最小值时， 由作图知 故答案为： 4，． 例2．（2025·陕西·模拟预测）如图，点为矩形内一点，过点作，垂足为，连接、，若，，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了图形中求最短距离的问题．将绕点顺时针旋转，得到，连接、，由旋转可得和均为等边三角形，，则，当、、、在同一直线上时，取最小值，其最小值为点到的距离，求点到的距离即可得出结论． 【详解】解：如图，将绕点顺时针旋转，得到，连接、， 由旋转可得和均为等边三角形， ∴， ∴， 当、、、在同一直线上时，取最小值，其最小值为点到的距离， 设交于点， ∵，， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴的最小值是， 故答案为：． 例3．（24-25九年级下·湖北黄冈·自主招生）如图，在平面直角坐标系中，四边形为正方形，点A，B在x轴上，抛物线经过点B，两点，且与直线交于另一点E． (1)求抛物线的解析式； (2)F为抛物线对称轴上一点，Q为平面直角坐标系中的一点，是否存在以点Q，E，B为顶点的四边形是以为边的菱形．若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由； (3)P为y轴上一点，过点P作抛物线对称轴的垂线，垂足为M，连接，探究 是否存在最小值．若存在，请求出这个最小值及点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在以点为顶点，以为边的四边形是菱形，点的坐标为或或或 (3)存在，的最小值为，此时点的坐标为 【分析】（1）由题意得，进而可得，，然后把点B、D坐标代入抛物线解析式求解即可； （2）设点，当以点为顶点的四边形是以为边的菱形时，则根据菱形的性质可分①当时，②当时，然后根据两点距离公式进行分类求解即可； （3）如图所示，连接，由题意得，四边形是平行四边形，进而可得，则有，若使的值为最小，则需为最小，即当点三点共线时，的值为最小，然后求最小值，设线段的解析式为，代坐标求解析式，然后求时的值即可． 【详解】（1）解：∵四边形为正方形，点坐标为 ∴，A点坐标为 ∴， ∴点坐标为 把点的坐标代入抛物线得： 解得： ∴抛物线的解析式为． （2）解：存在， 由（1）中抛物线解析式为，则有抛物线的对称轴为直线 ∵点D与点E关于抛物线的对称轴对称 ∴点坐标为 ∴由两点距离公式可得 设点坐标为，当以点为顶点的四边形是以为边的菱形时，则根据菱形的性质可分： ①当时，如图1所示： ∴由两点距离公式可得，即 解得： ∴点F的坐标为或； ②当时，如图2所示： ∴由两点距离公式可得，即 解得： ∴点F的坐标为或； 综上所述：存在以点为顶点，以为边的四边形是菱形，点的坐标为或或或． （3）解：存在， 如图3所示： 由（2）可知点D与点E关于抛物线的对称轴对称，点坐标为 ∴ ∵过点作抛物线对称轴的垂线，垂足为 ∴， ∴四边形是平行四边形 ∴ ∴ 若使的值为最小，即为最小， ∴当点三点共线时， 的值为最小，此时与抛物线对称轴的交点为M，如图4所示： ∵点坐标为 ∴ ∴的最小值为，即的最小值为， 设线段的解析式为，代入点D的坐标得， 解得 ∴线段的解析式为 当时， ∴点坐标为． 例4．（2025·内蒙古鄂尔多斯·二模）如图，抛物线与x轴交于，与y轴交于点，点在抛物线上，如图1，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)当，求n的最大值与最小值的差； (3)如图2，点E是y轴上一动点，点F为抛物线对称轴上一动点，点M为直线上一动点，连接，当时，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）首先求出当时，y有最大值，然后根据求解即可； （3）首先求出，作P关于y轴的对称点，连接，求出，作M关于抛物线对称轴的对称点，求出，得出在直线上，过作的垂线交于H，得到即为的最小值，过作x轴的垂线交于N，然后求出，进而得到线解析式为，然后求出，进而求解即可． 【详解】（1）将代入得                           ； （2）∵ ∴对称轴 ∴开口向下 ∴当时，y有最大值            当时，m随n的增大而增大 ∴当时，此时n有最小值6 当时，m随n的增大而减小 ∴当时，此时n有最小值 ∴当时，n有最小值            的最大值与最小值的差为 （3）当时， 如图所示，与抛物线对称轴交于点G，连接 作P关于y轴的对称点，连接 作M关于抛物线对称轴的对称点 关于抛物线对称轴对称 关于抛物线对称轴对称的直线是 在直线上 过作的垂线交于H 即为的最小值                过作x轴的垂线交于N 当时， 代入， 可得直线解析式为 当时，    由题可知： ． 即的最小值为． 一、单选题 1．（24-25九年级上·广东佛山·期中）如图，在菱形中，对角线，，点分别是边边上的动点，点在上运动，在运动过程中，存在的最小值，则这个最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的性质，对称轴最短路径的计算，勾股定理等知识的运用，掌握菱形的性质，最短路径的计算方法是解题的关键． 如图所示，在上取一点，使得，连接，，过点作于点，根据菱形的性质可得点关于的对称点为点，，则有，的最小值为的长度，在中，根据勾股定理可得，结合，即可求解． 【详解】解：如图所示，在上取一点，使得，连接，，过点作于点， ∵四边形是菱形， ∴点关于的对称点为点，， ∴， ∴， ∴的最小值为的长度， 设菱形的对角交于点，则， ∴在中，， ∴， ∴， 故选：D ． 2．（2024·安徽·模拟预测）如图，矩形中，对角线交于点O，，E为上一动点． F为中点，则下列结论正确的是（   ） A．的最小值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的周长最小值为 【答案】C 【分析】先证明为等边三角形，进而得到，根据含30度角的直角三角形的性质求出的长，根据垂线段最短得到当时，最短，进而求出的最小值，根据F为中点，得到，进而求出的最小值，取的中点，的中点，连接，三角形的中位线定理，得到，进而得到三点共线，即点在直线上运动，作点关于直线的对称点，连接，进而得到当点在上时， 的值最小为的长，进而求出的最小值，利用的最小值加上的长即为周长的最小值，进行判断即可． 【详解】解：∵矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点为上一动点， ∴当时，的值最小， 在中，， ∴， 故的最小值为；故A选项错误； ∵为的中点， ∴， ∴的最小值为；故B选项错误； 取的中点，的中点，连接， 则：， ∴三点共线， ∴点在直线上运动， 作点关于直线的对称点，连接，连接交直线于点，则：，垂直平分， ∴当点在上时， 的值最小为的长， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴在中，， ∴的最小值为；故C选项正确； ∵的周长， ∴的周长最小值为；故D选项错误； 故选C． 3．（24-25九年级上·北京西城·期中）如图，抛物线与轴交于点，交y轴的正半轴于点，对称轴交抛物线于点，交轴与点，则下列结论：①；②；③（为任意实数）；④一元二次方程有两个不相等的实数根；⑤若点为对称轴上的动点，则有最大值，最大值为．其中正确的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查二次函数图象和性质，根据已知点的特点可求对称轴为直线，则；由函数的图象可知，，再由可知；当时，函数有最大值得；由图象得一元二次方程有两个不相等的实数根；根据三角形三连关系可得． 【详解】解：∵抛物线与x轴交于点， ∴对称轴为直线， ∴，即 ∴，故①正确； ∵抛物线开口向下， ∴， ∴， ∵抛物线交y轴的正半轴， ∴， ∴，故②正确； ∵对称轴为直线，开口向下， ∴时，y有最大值，最大值为， ∴（m为任意实数）， 即，故③错误； ∵抛物线开口向下，抛物线与轴交于点， 所以抛物线与直线有两个交点，如图， 所以，一元二次方程有两个不相等的实数根，故④正确； ∵对称轴交y轴的正半轴于点C， ∴， 由对称性可知， ∴，故⑤不正确； 综上，正确的结论是①②④，共3个， 故选：B． 二、填空题 4．（25-26九年级上·全国·期末）已知：如图，抛物线 上任意一点到定点的距离与到定直线l： 的距离相等，点G坐标为，于点H，当位于y轴左侧的点C的坐标为 时， 有最大值． 【答案】 【分析】连接，由题意得，推得，所以当点A，G，C三点共线时，取最大值，最大值是线段的长，然后求出直线的解析式为，求出该直线与抛物线的交点坐标即可． 【详解】解：连结， 由已知，，则， ， 当点A，G，C三点共线时，取最大值，最大值是线段的长， 设直线的解析式为， 把，代入，得， 解得， 直线的解析式为， 令， 解得，， 点C位于y轴左侧， ， 当时，， 点C的坐标为． 故答案为：． 5．（24-25八年级下·湖北黄石·期中）如图，在矩形中，，，、分别是和上的两个动点，为的中点，则 （1）的最小值是 ； （2）若，则的最小值为 ． 【答案】 / 【分析】（1）延长作点D的关于点A的对称点，延长作点M的关于点C对称点，作，且，即为最小值； （2）过点E作于P，可得，则，故求的最小值即先求的最小值．过点E作，且，可知当D，E，三点共线时，最小．利用，可求得，进一步计算即可得出答案． 【详解】解：（1）如下图所示，延长作点D的关于点A的对称点，延长作点M的关于点C对称点，作，且， 可得， ∴， ∴的最小值为， ∵，且，四边形为矩形， ∴四边形为矩形， ∵为的中点 ∴，， ∴； （2）过点E作于P， ∵， ∴， ∴， 则， ∴求的最小值即先求的最小值． 过点E作，且， ∴， ∴当D，E，三点共线时，最小． 此时， ∴， ∴， ∴， 设，则． ∴， 解得， ∴，， ，， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 6．（25-26八年级上·湖南株洲·期末）某班级在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型： 直线同旁有两个定点、，在直线上存在点，使得的值最小．解法：如图1，作点关于直线的对称点，连接，则与直线的交点即为，且的最小值为．请利用上述模型解决下列问题： 几何应用1：如图2，在边长为2的等边中，D，E分别是、的中点，是上的一动点，则的最小值为 ； 几何应用2：如图3，中，，，是的中点，是边上的一动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查轴对称的性质、等边三角形的性质、勾股定理及等腰直角三角形的性质，熟练掌握轴对称的性质、等边三角形的性质、勾股定理及等腰直角三角形的性质是解题的关键； 几何应用1：连接，由题意易得，则点B、C关于线段对称，然后可得当点C、P、E三点共线时，的值最小，即的值最小，最小值为线段的长，进而问题可求解； 几何应用2：作点A关于线段的对称点F，连接，由题意易得，，，，然后同理可得的最小值为线段的长，进而根据勾股定理可进行求解． 【详解】解：几何应用1：连接，如图所示： ∵是边长为2的等边三角形，D，E分别是、的中点， ∴， ∴点B、C关于线段对称， ∴， ∴， ∴当点C、P、E三点共线时，的值最小，即的值最小，最小值为线段的长， ∵， ∴， ∴的最小值为； 故答案为； 几何应用2：作点A关于线段的对称点F，连接，如图所示： ∴，， ∵，， ∴，， ∴， 同理可得：的最小值为线段的长， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴的最小值为； 故答案为． 三、解答题 7．（24-25九年级上·山东聊城·月考）几何模型： 条件：如图1，A、B是直线l同侧的两个定点． 问题：在直线l上确定一点P，使的值最小， 方法：作点B关于直线l的对称点，连接交l于点P，则的值最小． 直接应用： （1）如图2，正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且，N是AC上一动点，则的最小值为 ．    变式练习： （2）如图3，点A是半圆上（半径为1）的三等分点，B是弧AN的中点，P是直径MN上一动点，求的最小值．    深化拓展： （3）如图4，在锐角△ABC中，，，的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，求的最小值．    【答案】（1）10；（2）；（3）4 【分析】（1）如图2（详解），由正方形的性质可知点和点关于对称，连接,由题目中的几何模型可知是的最小值，由题可知,,根据勾股定理可求出即可； （2）如图3（详解），先作出点关于对称点,连接,,由几何模型可知是的最小值，因为点A是半圆上（半径为1）的三等分点，B是弧AN的中点，所以可得，根据勾股定理求出即可； （3）由题意和对称性可知,要求最小值，就是求出的最小值即可，根据垂线段最短过点作,是两线段之和最小值；因为，，根据解直接三角形即可得到答案. 【详解】（1）连接 在正方形中， ,， 又 ∴, 在中 ， 故的最小值为10.    （2）作出点关于对称点，连接,, ∵点A是半圆上（半径为1）的三等分点，B是弧AN的中点， ∴， 在中 ， 即的最小值．      （3）连接,过点作. ∵的平分线交BC于点D， ∴， 即要求最小值，就是求出的最小值，根据垂直段最短，是的最小值，即也是的最小值. 在中 ，， ∴， 即的最小值4.    8．（24-25八年级上·陕西西安·月考）【问题发现】 （1）如图1所示，将军每天从军营出发，先到河边饮马，再去河岸同侧的军营开会，为了方便，将军给自己制定了方案，找到了饮马的最佳位置，如图2，作关于直线的对称点，连接与直线交于，点就是所求位置． 直线是点，的对称轴， ． ． 根据“ ”可得的最小值是． 【问题探究】（2）如图3，在正方形中，，是边上的一点，且，是上的一个动点，求周长的最小值． 【问题解决】（3）如图4、在长方形中，，，是边上一点，且，点是线段上的任一点，连接，以为直角边在上方作等腰直角三角形，为斜边．连接，边上存在一个点，且，连接，的周长是否存在最小值？若存在，请求出周长最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）两点之间，线段最短；（2）12；（3）存在，周长最小值为 【分析】（1）根据两点之间线段最短可得答案； （2）连接，，利用正方形的性质、勾股定理可得出A、C关于对称，，，则周长=，当E、F、C三点共线时，周长最小，即可求解； （3）如图，过F作于G，交于K，过于H，交于O，过M作于N，交于，根据矩形的性质和勾股定理可求出，，证明四边形是矩形，得出，，结合是等腰直角三角形，可证明，得出，同理可证四边形是矩形，可求出，同理可证是矩形，可求出，证明是等腰直角三角形，得出，根据勾股定理可求出，则可判断；垂直平分，得出，则，当P、F、N三点共线时，最小，最小值为，然后利用三角形的周长公式求解即可． 【详解】解：（1）直线是点，的对称轴， ． ． 根据“两点之间，线段最短”可得的最小值是， 故答案为：两点之间，线段最短； （2）连接，， ∵在正方形中，， ∴，，A、C关于对称， ∴，， ∴ ∴周长=， 当E、F、C三点共线时，的周长最小，最小值为； （3）如图，过F作于G，交于K，过于H，交于O，过M作于N，交于， 在长方形中，，， ∴，， 又， ∴， ∴， 又 ∴， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴，， 又是等腰直角三角形， ∴，， ∴， 又， ∴， ∴， 同理可证四边形是矩形， ∴，， ∴， 同理可证是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴垂直平分，， ∴， ∴， ∴当P、F、N三点共线时，最小，最小值为， 又的周长为， ∴的周长最小值为． 9．（24-25九年级上·重庆江北·月考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于A，B两点，交轴于点，其中． (1)求该抛物线的表达式； (2)如图1，连接，点是直线下方抛物线上的动点，点是轴上一动点，于点，当取最大值时，求点的坐标及此时能使得取最大值的点的坐标； (3)如图2，连接，将抛物线沿着射线平移个单位得到新抛物线，取在（2）中使为最大值时的点E，上是否存在一点，使得？若存在，直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)， (3)存在点使，点的坐标为，，，， 【分析】（1）先求出，再根据得到，，代入计算即可； （2）过作轴于，交于点，通过等腰直角三角形得到，设，则，即可求出当时最大，此时，再根据，当、、三点共线时最大，求出； （3）先求出平移后的抛物线解析式，证明，可得，再根据在下方和上方两种情况分类讨论，分别画出图形求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于A，B两点，交轴于点， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴，， 把，代入可得， 解得， ∴该抛物线的表达式为； （2）解：如图，过作轴于，交于点， ∵， ∴， ∵轴于， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，则， ∵，， ∴直线解析式为 设， ∵过作轴于，交于点， ∴， ∴， ∴， ∴当时最大，此时， ∵， ∴当、、三点共线时最大， 设直线解析式为， 代入，可得，解得， ∴直线解析式为， 令可得， ∴； （3）解：∵，， ∴， ∵将抛物线沿着射线平移个单位得到新抛物线 ∴将抛物线沿着向左移动2个单位长度，再向下移动4个单位长度射得到新抛物线， ∴新抛物线解析式， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 当在下方时，取点，则，直线解析式为， ∴， ∴， ∵， ∴，即点为直线与抛物线的交点， 联立，解得， ∴，； 当在上方时，直线交与点， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， 设， ∵，， ∴， 解得， ∴， 设直线解析式为，代入得，解得， ∴设直线解析式为， 联立，解得， ∴，， 综上所述，存在点使，点的坐标为，，，，． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $