专题17 圆中的重要模型之隐圆模型（几何模型讲义）（北京专用）2026年中考数学一轮复习几何模型系列

该初中数学中考复习讲义聚焦“隐圆模型”专题，覆盖定点定长、定弦对定角、定边对等角、对角互补四大中考核心模型，通过“模型定义-技巧归纳-真题解析”三步教学流程，帮助学生系统构建隐圆知识体系，突破圆中动态问题难点。 亮点在于“模型化解题”策略，如通过“定弦对定角”模型解决直角顶点轨迹问题，培养学生几何直观与推理能力。精选2024-2025年各地中考模拟题，设置基础例题与综合解答题，配合即时反馈训练，确保学生快速掌握隐圆构造方法，教师可依托资料精准把控复习节奏，有效提升学生中考解题效率。

专题17 圆中的重要模型之隐圆模型 1 模型1.隐圆之定点定长模型 1 模型2.隐圆之定弦对定角模型 7 模型3.隐圆之定边对等角模型 13 模型4.隐圆之对角互补模型 17 25 模型1.隐圆之定点定长模型 圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的所有点构成的集合． 寻找隐圆技巧：若动点到平面内某定点的距离始终为定值，则其轨迹是圆或圆弧． 若P为动点，且AB=AC=AP，则B、C、P三点共圆，A圆心，AB半径。 通过构造以定点为圆心、定长为半径的圆，可以方便地解决与距离、角度等相关的问题。 例1．（2025·陕西渭南·三模）如图，在矩形中，，，P是线段上一动点，M是线段上一点，且，连接，则线段长的最小值为 ． 【答案】 【分析】取的中点，连接，．证明，推出，点M的运动轨迹是以O为圆心，5为半径的．利用勾股定理求出，可得结论． 【详解】解：如图，取的中点O，连接，． ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， 点M的运动轨迹是以O为圆心，5为半径的． ∴， ∵， ∴的最小值为． 故答案为：． 例2．（2024·四川成都·三模）如图，是等腰直角三角形，，若，是中点，则的最小值为 ． 【答案】/ 【详解】延长到，使，连接，， 过作，并截取，连接，，在中，，， 在中，，， ，，， ，，，， 点在以为圆心，为半径作的圆上，连接交圆上于点，如图所示；的最小值， 在中，， ，的最小值为：．故答案为：． 例3．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）已知正方形边长为2，点E是正方形边上的动点，点F在边上，，线段相交于点M，连接，则点E从点A运动到点B的过程中，线段扫过的面积是 ． 【答案】 【分析】先证明≌得到，进而证得，利用圆周角定理得到点M在以AD为直径的圆上运动，如图，设圆心为N，连接相交于O，连接，利用正方形的性质和圆周角定理得到点O在圆N上，根据图形结合已知得到在点E从点A运动到点B的过程中，点M在劣弧上运动，点F在上运动，由线段扫过的面积求解即可． 【详解】解：正方形边长为2， ，， 在和中， ， ≌， ， ， ， ， 点M在以为直径的圆弧上运动， 如图，连接相交于O，设圆心为N，连接，则，，， ， 点O在圆N上， ，， ，， 当点E在点A处时，点F在点B处，这时点M在点A处，当点E在点B处时，点F在点C处，这时点M在点O处， 在点E从点A运动到点B的过程中，点M在劣弧上运动，点F在上运动， 线段FM扫过的面积是， 故答案为：． 例4．（2025·安徽安庆·一模）如图，在正方形中，点在上，点在上，且，连接，交于点． (1)求证：； (2)连接，交于点，连接． 如图，当时，求证：平分； 如图，当时，的值． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；② 【分析】本题考查了正方形的性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据正方形性质可得，，证明，则，然后通过角度和差即可求证； （）取的中点，可得点在以点为圆心，为半径的圆上，根据圆周角定理得，又，则，从而求证； 先证明，则，设，，则，故，求出，（舍去），所以，然后代入求值即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）证明：如图，取的中点， ∵和都是直角三角形， ∴， ∴点在以点为圆心，为半径的圆上， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴平分； 解：∵，， ∴，， ∴，是等腰直角三角形， ∴， 设，，则， ， 解得：，（舍去）， ∴， ∵， ∴． 模型2.隐圆之定弦对定角模型 1）若有一固定线段AB及线段AB所对的∠C大小固定，则点C的轨迹是以AB为弦的圆的一部分。 应用：通过构造定弦定角模型，可以将问题转化为圆的问题，从而利用圆的性质进行求解。 2）在圆中，直径所对的圆周角为直角；反之，若一个角为直角，则其顶点在以这个角的两边为直径的圆上。 应用：当题目中出现直角条件时，可以考虑构造以直角两边为直径的圆，从而利用圆的性质解决问题。 1）固定线段AB所对动角∠C恒定值，则动点C的轨迹为经过A、B、C三点的圆。 2）特别地，若∠C为直角，则动点C的轨迹为以AB为直径的圆。 ‌定弦对定角‌：给定一个固定线段（弦）和该弦所对的固定角度，可以根据圆的知识确定满足条件的点位于 以一定点为圆心、定线段为半径的圆上。 ‌直角所对的是直径‌：如果一个角是直角，且该角所对的线段是某圆的直径，那么可以根据此性质确定其他点与该圆的关系。 例1．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，在边长为4的菱形中，，点O是两条对角线的交点，过点O的直线分别与交于点E，F，于点G，连接，则的最小值是 ． 【答案】/ 【分析】利用当动点和定点连线经过圆心时，线段有最值求解，连接，由题意得，点在以为直径的半圆上运动，连接，，，根据四边形为菱形，推出，所以，则可求，利用勾股定理求，当且仅当点在上时，取得最小值，最小值为． 【详解】解：如解图，连接， ∵，即， ∴点在以为直径的半圆上运动， 设该半圆的圆心为点，连接，，， 四边形是边长为4的菱形，， ，，， ， ， 在中，， 在中，， 当且仅当点在上时，取得最小值， ∴的最小值为． 故答案为：． 例2．（2025·江苏徐州·一模）如图，在Rt中，，，，是边上的一动点，连接，作于点，连接，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】由即、易知的长是定值，根据定弦定角可知：点D是在以为直径的圆上运动，取的中点O，的外接圆；连接，当三点在同一条直线上时，取最小值，此时，由此解答即可． 【详解】解：， ， 点D是在以为直径的圆上运动， 如图所示：取的中点O，则的外接圆为；连接， 当三点在同一条直线上时，取最小值，此时， ， ， 在中，， ． 故答案为：． 例3．（2025·黑龙江齐齐哈尔·一模）如图，正方形中，，点为正方形内部一点，连接，，，且，当为等腰三角形时，的长为 ． 【答案】或 【分析】由已知可得，即得点在以为直径的圆上，再分，和三种情况解答即可求解， 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点在以为直径的圆上， ∵为等腰三角形， 当时，点为正方形对角线的中点，如图， ∵    ， ∴； 当时，如图，过点作于，则，， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴； 当时，如图，仅当点和点重合时， ∵点为正方形内部一点， ∴此种情况不符合； 综上，的长为或， 故答案为：或． 例4．（2024·北京房山·模拟预测）如图，点P是正方形内一动点，满足且，过点D作交的延长线于点E． (1)依题意补全图形； (2)用等式表示线段之间的数量关系，并证明； (3)连接，若，请直接写出线段长度的最小值． 【答案】(1)图形见详解 (2)EP=BP+DE，理由见详解 (3) 【分析】（1）依题意补全图形即可； （2）过A点作AM⊥ED交ED的延长线于M点，先证明四边形APEM是矩形，在证明△APB≌△AMD，得到AP=AM，BP=MD，可得矩形APEM是正方形，有ME=PE，即有MD+DE=ME=PE，则结论得证； （3）取AB中点O，连接OC，利用勾股定理可求得OC，根据∠APB=90°，可知点P在以O为圆心、OB为半径的圆上，则有当P点落在线段OC上时，CP最短，即CP可求． 【详解】（1）解：补全图形如下： （2）线段PE=DE+BP， 理由如下：过A点作AM⊥ED交ED的延长线于M点，如图， ∵∠M=∠E=∠APE=90°=∠APB， ∴四边形APEM是矩形， ∴∠DAP+∠DAM=90°， ∵∠BAP+∠PAD=90°， ∴∠DAM=∠BAP， ∵在正方形ABCD中有AD=AB， ∴△APB≌△AMD， ∴AP=AM，BP=MD， ∴矩形APEM是正方形， ∴ME=PE， ∴MD+DE=ME=PE， ∴PE=DE+BP， 结论得证； （3）取AB中点O，连接OC，如图， ∵AB=4， ∴OB=2，BC=4， ∴在Rt△OBC中，有， ∵∠APB=90°， ∴点P在以O为圆心、OB为半径的圆上， ∴显然当P点落在线段OC上时，CP最短， ∴此时在Rt△ABP中，OP是斜边的中线， ∴OP=AB=2， ∴CP=OC-OP=-2． 模型3.隐圆之定边对等角模型 定边对等角模型：固定线段AB所对同侧动角∠D=∠C（为定值），则A、B、C、D四点共圆 图1 图2 条件：如图1，平面上A、B、C、D四个点满足，结论：A、B、C、D四点共圆。 证明：根据圆周角定理：同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角都相，逆向推导即可。 条件：如图2，AC、BD交于H，，结论：四点共圆。 证明：∵，∴， 又∵，。∴， ∴A、B、C、D四点共圆。 寻找隐圆技巧：AB为定值，∠D=∠C，且定角，则C、D点轨迹是同一个圆． 例1．（2025·广东深圳·二模）如图，在中，，，，点在线段上且满足，与交于点，若，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了四点共圆、勾股定理、解直角三角形等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．由C可知点A、B、C、F四点共圆，进而利用圆周角定理导角可得，，所以，进而利用角平分线性质定理结合面积可得，据此设参，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，即， ∴点A、B、C、F四点共圆， 连接， ∴，， ∴， ∴， ∴平分， ∴到、的距离相等， ∵， ∴， 设，则， 设，则， 在中，， 即， 解得， ∴； 故答案为：． 例2．（2024·四川成都·统考二模）如图，在矩形ABCD中，AB＝9，AD＝6，点O为对角线AC的中点，点E在DC的延长线上且CE＝1.5，连接OE，过点O作OF⊥OE交CB延长线于点F，连接FE并延长交AC的延长线于点G，则＝ ． 【答案】 【详解】解：作OM⊥CD于M，ON⊥BC于N， ∵四边形ABCD为矩形，∴∠D=90°，∠ABC=90°，∴OM∥AD，ON∥AB， ∵点O为AC的中点，∴OM=AD=3，ON=AB=4.5，CM=4.5，CN=3， ∵CE=1.5，∴ME=CM+CE=6，在Rt△OME中，OE==3， ∵∠MON=90°，∠EOF=90°，∴∠MOE+∠NOE=∠NOF+∠NOE=90°， ∴∠MOE=∠NOF，又∠OME=∠ONF=90°，∴△OME∽△ONF， ∴，即，解得，FN=9，∴FC=FN+NC=12， ∵∠FOE=∠FCE=90°，∴F、O、C、E四点共圆，∴∠GFC=∠GOE，又∠G=∠G，∴△GFC∽△GOE， ∴，故答案为：． 例3．（2024·湖北武汉·校考二模）如图，等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为BC边上一点，连接AD． （1）如图1，作BE⊥AD延长线于E，连接CE，求证：∠AEC＝45°； （2）如图2，P为AD上一点，且∠BPD＝45°，连接CP．若AP＝2，求△APC的面积； 【答案】（1）证明见解析；（2）①△APC的面积＝1；②． 【详解】证明：（1）∵等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°， ∴AC＝BC，∠ABC＝∠CAB＝45°，AB＝BC，∵BE⊥AD，∴∠AEB＝90°＝∠ACB， ∴点A，点B，点E，点C四点共圆，∴∠AEC＝∠ABC＝45°； （2）①如图2，过点B作BE⊥AD，交AD的延长线于点E，过点C作CF⊥AD于F， ∵∠BPD＝45°，BE⊥AD，∴∠PBE＝45°＝∠ABC，∴∠ABP＝∠CBE， ∵∠AEB＝90°＝∠ACB，∴点A，点B，点E，点C四点共圆， ∴∠BAE＝∠BCE，∠AEC＝∠ABC＝45°，∴△APB∽△CEB，∴CE＝＝， ∵CF⊥AD，∠AEC＝45°，∴∠FCE＝∠CEF＝45°，∴CF＝EF＝CE＝1， ∴△APC的面积＝×AP×CF＝1； 模型4.隐圆之对角互补模型 若平面上A、B、C、D四个点满足，则A、B、C、D四点共圆． 1）四边形对角互补；2）四边形外角等于内对角也可推出对角互补． 图1 图2 应用：当题目中出现四边形对角互补的条件时，可以考虑构造四点共圆模型，从而利用圆周角定理等性质进行求解。 条件：如图1，平面上A、B、C、D四个点满足，结论：A、B、C、D四点共圆． 条件：如图2，BA、CD的延长线交于P，， 结论：A、B、C、D四点共圆. 证明：∵，∴， 又∵，。∴，∵，∴ ∴A、B、C、D四点共圆。 例1．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）如图，在四边形中，，，对角线、的交于点．则下列结论：①；②；③；④若，则．其中一定正确的结论是： （将正确结论的序号填在横线上）． 【答案】①②③④ 【分析】根据题意点四点共圆，是直径，圆心是线段的中点，如图所示，根据同圆中，同弧所对圆周角相等可判定①；根据圆内接四边形的性质可判定②；如图所示，延长交于点，可得，可判定③；如图所示，连接，由圆周角定理得到是等腰直角三角形，可判定④；由此即可求解． 【详解】解：∵， ∴点四点共圆，是直径，圆心是线段的中点，如图所示， ∵， ∴，故①正确； ∵四边形是的内接四边形， ∴，故②正确； 如图所示，延长交于点， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形，， ∵， ∴，， ∴是等腰直角三角形，， ∴， ∴，故③正确； 如图所示，连接， ∵是直径， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，故④正确； 综上所述，正确的有①②③④， 故答案为：①②③④ ． 例2．（2024·广西柳州·二模）综合与实践 小明在刘老师的指导下开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆．小明继续利用上述结论进行探究． 【提出问题】如图1，在线段同侧有两点，，连接，，，，如果，那么，，，四点在同一个圆上．探究展示： 如图2，作经过点，，的，在劣弧上取一点（不与，重合），连接，， 则 又∵，∴__________，∴点，，，四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆）， ∴点，在点，，所确定的上∴点，，，四点在同一个圆上． 【反思归纳】（1）上述探究过程中的横线上填的内容是__________； 【拓展延伸】（2）如图3，在中，，，将绕点逆时针旋转得，连接交于点，连接、．小明发现，在旋转过程中，永远等于，不会发生改变． ①根据，利用四点共圆的思想，试证明； ②在（1）的条件下，当为直角三角形，且时，直接写出的长． 【答案】（1）；（2）①证明见解析；②或 【详解】解：（1）如图2，作经过点，，的，在劣弧上取一点（不与，重合），连接，，则，又∵，∴， ∴点，，，四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆）， ∴点，在点，，所确定的上，∴点，，，四点在同一个圆上， 故答案为：； （2）①证明：∵在中，，∴， 图3 图4 ∵，∴，∴，，，四点共圆，∴， ∵，∴，∴， ∵旋转得，∴，∴，∵，∴； ②如图，当时，∵，，∴， ∵，，∴，∴， ∵，∴，又∵，，， ∴，∴； 如图中，当时，过作交于， ∵，，∴，∵，， ∴，∴，∵，∴， ∵，，∴， ∵，∴，∴，∴． 例3．（2024·黑龙江鸡西·模拟预测）已知，四边形中，交于点E，若． (1)如图1，求证： 是的角平分线． (2)如图2，在线段上有一点F，连接交于点P，连接交于点Q，若，探究与的数量关系． (3)在（2）的条件下，如图3，作的角平分线与的延长线交于点M，，点B到直线的距离为，求线段的长度． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 (3)5 【分析】（1）证点A、B、C、D四点共圆，由圆的性质得出，则，即可得出结论； （2）由（1）得点A、B、C、D四点共圆，得出，再证垂直平分，得出，即可得出结果； （3）过点B作交DC延长线于点G，连接，则，，由（1）得点A、B、C、D四点共圆，得出，由（2）得垂直平分，先证，推出，得出点A、M、B、D四点共圆，得出，再由勾股定理求出，由垂直平分，求出，然后证，得，求出，由勾股定理求出，最后证，得出，即可求的长． 【详解】（1）证明：如图1，           图1 ∵， ∴点A，B，C，D四点共圆， ， ， ∴， ∴AC是的角平分线； （2）解：如图2，由（1）得点A，B，C，D四点共圆，            图2 ∴， ∵， ∴, ∴， ∵， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴； （3）解：如图3，过点B作交DC延长线于点G，连接，            图3 则， 由（1）得点A，B，C，D四点共圆， ∴， 由（2）得垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∵DM是的角平分线， ∴， ∴， ∴点A，M，B，D四点共圆， ∴， ， ， ， ∴， ∴， 即， 在中，由勾股定理得， ∵CF垂直平分BD， ∴， ∴， ∵， ∴， ，即，解得， 在中，由勾股定理得， ∵，， ∴， ，即， 解得， ∴线段的长度为5． 一、单选题 1．（2025·安徽安庆·一模）如图，矩形中，P为边上一点（不与A，D重合），连接，，过点作，垂足为，连接，，与相交于点．则下列结论错误的是（   ） A．若，则 B．若，则为等腰三角形 C．若，，则 D．若，，则最小为 【答案】C 【分析】利用矩形的性质结合平行线的性质，可得，证得，即可判断选项A正确；若，根据等腰三角形的性质可得，利用直角三角形的性质得，得证，即可判断选项B正确；过点作于点，根据矩形的性质得是等腰直角三角形，推出，即、、、四点共圆，通过圆周角定理得出，利用勾股定理求出、的值，通过即可判断C选项错误；通过题意可得点在以中点为圆心，为直径的圆上，当、、三点共线时，最小，利用勾股定理求出，再通过即可判断D选项正确． 【详解】解：A、四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， ， 在和中， , ， ，， ，故A选项正确； B、如图， ，， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ，， ． 在和中， ， ， ， 为等腰直角三角形，故B选项正确； C、如图，过点作于点， 四边形是矩形， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， 、、、四点共圆， ， ， ， 在中，， ， ， ， 在中，， ， ，故C选项错误； D、如图， ， ， 点在以中点为圆心，为直径的圆上， ， 当、、三点共线时，最小， 在中，， ，故D选项正确． 故选：C． 2．（2025·北京·模拟预测）如图，正方形边长为，点是正方形内一点，满足，连接．给出下面四个结论：①；②；③的度数最大值为；④当时，．上述结论中，所有正确结论的序号为（    ） A．①② B．①③ C．①②④ D．①③④ 【答案】C 【分析】本题主要考查了圆与正方形综合，解直角三角形，勾股定理等等，根据题意得到点E的运动轨迹是解题的关键．如图所示，连接交于H，取中点O，连接，先证明点E在以点O为圆心，为直径的圆上运动，当三点共线，即点E运动到点H时， 当三点共线时，有最小值，据此可判断①②；如下图所示，当与相切时有最大值，证明，得到，，则，再证明，得到，即可判断③④． 【详解】解：如图所示，连接交于H，取中点O，连接， ∵四边形是正方形， ∴； ∵， ∴点E在以点O为圆心，为直径的圆上运动， ∵， ∴点H在圆O上， ∵， ∴当三点共线，即点E运动到点H时，，故①正确； ∵点E在以点O为圆心，为直径的圆上运动， ∴当三点共线时，有最小值， 在中，由勾股定理得， ∴的最小值为，即，故②正确； 如下图所示，当与相切时有最大值， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴的度数最大值不是，故③错误； ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴，故④正确； 故选：C． 二、填空题 3．（2024·山西大同·一模）如图，在正方形中，，点在对角线上运动，连接，点在上运动，且，连接，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了直角所对的弦是直径，求一点到圆上的距离的最值问题，根据题意得出，进而可得在为直径的一段弧上运动，勾股定理求得，即可求解． 【详解】解：∵，， 即 ∴ ∴在为直径的一段弧上运动， 如图所示，设为的中点，连接，则, ∴当在上时，取得最小值，最小值为， 故答案为：． 4．（2025·黑龙江绥化·二模）在中，，，，在平面内有一点P，且始终有，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查线段的最值，根据题意知点的运动轨迹是以为直径的圆，得圆心，由勾股定理得，当点三点共线时的值最小，由勾股定理求出，即可得． 【详解】解：在中，，，， ∴， ∵，始终有， ∴点的运动轨迹是以为直径的圆，如图， 以点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系， 则圆心为， ， ∵， 当点三点共线时的值最小，最小值为， 在，， ∴，即的最小值为， 故答案为：． 5．（25-26九年级上·福建福州·期中）如图，在中，，，将射线绕点顺时针旋转到，在射线上取一点，连接，使得面积为9，连结，则的最大值是 ． 【答案】 【分析】过点D作，根据面积为9可取定长为6即可构造，从而得出，这样即确定了点D的轨迹圆心位置，再根据勾股定理求出长度，结合点D轨迹，在三点共线时有最大值即可求得答案． 【详解】解：如图，过点D作连接使得，取中点为点F，连接、，以点F为圆心，半径为3作， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 由题意得， ， 即点D轨迹为以线段为直径的圆， ， 当且仅当点B、F、D三点共线时取等， 在中， ， 解得， ， ， 最大值为． 故答案为：． 三、解答题 6．（2023·北京·中考真题）如图，圆内接四边形的对角线，交于点，平分，．        (1)求证平分，并求的大小； (2)过点作交的延长线于点．若，，求此圆半径的长． 【答案】(1)见解析， (2) 【分析】（1）根据圆周角定理得出，结合题意可得，再由三角形内角和定理得，最后由圆内接四边形对角互补可求解； （2）根据（1）的结论结合已知条件得出，，是等边三角形，进而得出，由是直径，根据含度角的直角三角形的性质可得，在中，根据含度角的直角三角形的性质求得的长，进而即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∵平分， ∴， 又∵ ∴ 又∵， ∴； （2）解：∵，， ∴，则． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴是等边三角形，则． ∵平分， ∴． ∵是直径， ∴，则． ∵四边形是圆内接四边形， ∴，则， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵是直径， ∴此圆半径的长为． 7．（2025·广东韶关·二模）【问题背景】菱形的边长为，其中，是边上的一个动点，作射线，点关于直线的对称点为，连接，直线与射线交于点，连接． 【知识技能】 （1）如图1，连接，求证：； （2）如图2，连接，求证：； 【拓展探索】 （3）当在直线上运动时，求时，的长度是多少？ 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）当在直线上运动，时，或 【分析】（1）根据对称得到垂直平分；得到，证出；得到，根据菱形性质得到，根据；得到；求出；即可证出结论． （2）结合（1）得到四点共圆，得到；结合菱形性质；证出，得到，得到；即可证出结论； （3）①当点在点右侧时，过点作的垂线，交的延长线于点；结合三角函数和勾股定理求出；②当点在点左侧时，过点作的垂线，交的延长线于点；结合三角函数和勾股定理，再证出，求出即可． 【详解】解：（1）证明：∵点关于直线对称； ∴垂直平分； ∴；          又∵； ∴； ∴；             ∵四边形为菱形； ∴； ∵； ∴； ∴； ∴              （2）证明：∵； 由（1）得：； ∴； ∴四点共圆；   ∵和是同弧所对圆周角； ∴； ∵在四边形中， ，且； ∴； ∵四边形为菱形； ∴，； ∴，； ∴； 又∵； ∴；     ∴，即；   ∵，； ∴； ∴； ∴                      （3）①当点在点右侧时，过点作的垂线，交的延长线于点； ∵； ∴； ∴，； ∴； ∴在中，； 由（2）得：，即； ∴；                        ②当点在点左侧时，过点作的垂线，交的延长线于点；如图所示： ∵； ∴，； ∴； ∴在中，； 同（1）可证：，且和都是同侧所对； ∴四点共圆； ∵和是同弧所对圆周角，和是同弧所对圆周角； ∴，； ∴； ∴；              ∴，即； ∴； 综上所得，当在直线上运动，时，或． 8．（2025·海南·模拟预测）综合与探究 【问题背景】 活动课上，同学们以矩形为背景，探究图形运动中的数学结论．在矩形中，，P是对角线上的一个动点（不与点B，D重合），，连接，过点P作的垂线交射线于点M，交于点N，连接． 【探索发现】 (1)如图1，当P是对角线的中点时，求的度数； (2)如图2，当时，请你解答如下问题： ①求线段的长； ②判断线段与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)①，②，理由见解析 【分析】（1）斜边上的中线得到，进而求出，得到，证明，得到，等边对等角结合三角形的外角的性质，进行求解即可； （2）①过点P作于点G，易得，解，得到，，解求出，设，根据，列出方程求出的值，进而求出的长即可；②取的中点O，连接，，易得，C，P，B四点共圆，进而得到，得到，即可得出结论． 【详解】（1）四边形是矩形， ， 是的中点， ， ， ， ， ， ，， ， ， ∴ ∵ ． （2）①如图，过点P作于点G． ，， ， ， 在中，， ，， ， 在中，，， ， 设，则 ， ， ， ． ②，理由如下： 如图，取的中点O，连接，． ， ， ，C，P，B四点共圆， ， ， 即． 9．（25-26九年级上·广东广州·期末）如图，在矩形中，． (1)如图1，过点D作，垂足为E，求证：； (2)如图2，在（1）条件下，点F为上一点，连接并延长至点G，交于点O，连接、，当时，判断的形状，并说明理由； (3)如图3，平面内一点M，满足，，，连接并延长至点H，使，连接，当线段取最小值时，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)是直角三角形，理由见解析 (3) 【分析】（1）根据矩形的性质得到，根据垂直的定义得到，则，通过证明，得到，再利用比例的性质即可证明； （2）先证明，得到，结合（1）中的结论得到，再证明，得到，结合垂直的定义得到，则有，即可得出结论； （3）根据题意可知点在以为圆心，半径为1的圆上运动，作交延长线于点，与交于点，连接，先证明，得到，再证明，得到，得出，则点在过点且与垂直的直线上运动，当时，线段取最小值，此时四边形是矩形，再利用矩形的性质和勾股定理即可求出线段的长． 【详解】（1）证明：∵矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴； ∴， 由（1）得，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，点F为上一点， ∴， ∴， ∴是直角三角形； （3）解：∵， ∴， ∴点在以为圆心，半径为1的圆上运动， 作交延长线于点，与交于点，连接， 则， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴是定点， ∴点在过点且与垂直的直线上运动， ∴当时，线段取最小值， ∵矩形， ∴， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴． 10．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）（1）【学习心得】 小宸同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得简单． 例如：如图1，在中，，，求的度数，若以点为圆心，为半径作辅助圆，则点必在上，是的圆心角，而是圆周角，从而可容易得到 ． （2）【问题解决】 如图2，在四边形中，，，求的度数．小宸同学认为用添加辅助圆的方法，可以使问题快速解决，他是这样思考的：是否能找到一个圆，确定圆心和半径，使得四点都在这个圆上，进而可以利用圆周角的性质求出的度数，请运用小宸的思路解决这个问题，并写出解题过程． （3）【问题拓展】 ①如图3，的三条高相交于点，求证：． ②如图4，在中，，是边上的高，且，，求出的长． 【答案】（1）45；（2）；（3）见解析；（4） 【分析】（1）利用同弦所对的圆周角是所对圆心角的一半求解； （2）由A、B、C、D共圆，得出； （3）①先判断出点A、F、H、E在以为直径的同一个圆上，得出，同理得出，即可得出结论；②如图4，作的外接圆，过圆心O作于点E，作于点F，连接．利用圆周角定理推得是等腰直角三角形，结合该三角形的性质求得；在等腰中，利用勾股定理得到；则在中，易得，进而得解． 【详解】（1）解：如图1， ∵， ∴点B、C、D都在以点A为圆心，以长为半径的圆上， ∵是的圆心角，而是圆周角， ∴， 故答案为：45； （2）解：如图2，取的中点O，连接． ∵， ∴点A、B、C、D共圆， ∴， ∵， ∴； （3）①证明：∵，如图3， ∴点A、F、H、E在以为直径的同一个圆上， ∴， 同理：点B、D、H、F在以BH为直径的同一个圆上，∠DFC=∠CBE， 又∵， ∴； ②解：如图4，作的外接圆，过圆心O作于点E，作于点F，连接． ∵， ∴． 在中，， ∴． ∵，O为圆心， ∴， ∴． 在中，，， ∴． 在中，，， ∴， ∴． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题17圆中的重要模型之隐圆模型 目录导航 例题讲模型 模型1.隐圆之定点定长模型 模型2.隐圆之定弦对定角模型 7 模型3.隐圆之定边对等角模型 13 模型4.隐圆之对角互补模型。 .17 习题练模型 25 例题讲模型 模型1.隐圆之定点定长模型 模型解读 圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的所有点构成的集合 寻找隐圆技巧：若动点到平面内某定点的距离始终为定值，则其轨迹是圆或圆弧. 模型证明 若P为动点，且AB=AC=AP,则B、C、P三点共圆，A圆心，AB半径。 P(动点 P(动点 模型运用 1/12 品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 通过构造以定点为圆心、定长为半径的圆，可以方便地解决与距离、角度等相关的问题。 例1.(2025陕西渭南三模)如图，在矩形ABCD中，AB=4,BC=10,P是线段BC上一动点，M是线 段AP上一点，且∠ADM=∠BAP,连接BM,则线段BM长的最小值为 D P C 例2.(2024四川成都.三模)如图，△ABC是等腰直角三角形，AB=AC,若AD=BD=4,E是CD中点， 则BE的最小值为 B 例3.(24-25九年级上江苏宿迁·期中)己知正方形ABCD边长为2，点E是正方形AB边上的动点，点F 在边BC上，BF=AE,线段AF、DE相交于点M,连接CM,则点E从点A运动到点B的过程中，线段 FM扫过的面积是」 B 例4.(2025安徽安庆一模)如图1，在正方形ABCD中，点E在AB上，点F在AD上，且BE=AF,连 接CE,BF交于点H. A F D G 图1 图2 图3 (I)求证：BF⊥CE; (②)连接AC,交BF于点G,连接EG. ①如图2，当EG⊥AC时，求证：CE平分∠ACB; 2/12 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ②如图3，当EG∥BC时， AG的值· G 模型2.隐圆之定弦对定角模型 模型解读 1)若有一固定线段AB及线段AB所对的∠C大小固定，则点C的轨迹是以AB为弦的圆的一部分。 应用：通过构造定弦定角模型，可以将问题转化为圆的问题，从而利用圆的性质进行求解。 2)在圆中，直径所对的圆周角为直角；反之，若一个角为直角，则其顶点在以这个角的两边为直径的圆上。 应用：当题目中出现直角条件时，可以考虑构造以直角两边为直径的圆，从而利用圆的性质解决问题。 模型证明 1)固定线段AB所对动角∠C恒定值，则动点C的轨迹为经过A、B、C三点的圆。 2)特别地，若∠C为直角，则动点C的轨迹为以AB为直径的圆。 一一C(动 C(动点 、C(动点 C(动点 B 定弦对定角：给定一个固定线段（弦）和该弦所对的固定角度，可以根据圆的知识确定满足条件的点位于 以一定点为圆心、定线段为半径的圆上。 直角所对的是直径：如果一个角是直角，且该角所对的线段是某圆的直径，那么可以根据此性质确定其他 点与该圆的关系。 模型运用 例1.(2025陕西西安·模拟预测)如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠ABC=60°，点O是两条对角线 的交点，过点O的直线分别与AB,CD交于点E,F,BG⊥EF于点G,连接AG,则AG的最小值是一 D 例2.(2025江苏徐州一模)如图，在Rt ABC中，∠ACB=90°，BC=3,AB=5,E是边BC上的一动 3/12 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 点，连接AE,作CD⊥AE于点D,连接BD,则BD的最小值为 C 例3.(2025黑龙江齐齐哈尔一模)如图，正方形ABCD中，AB=2,点E为正方形ABCD内部一点，连 接AE,BE,CE,且∠ABE=∠DAE,当△BCE为等腰三角形时，AE的长为 D 例4.(2024北京房山模拟预测)如图，点P是正方形ABCD内一动点，满足∠APB=90°且∠BAP<45°， 过点D作DE⊥BP交BP的延长线于点E. D B ()依题意补全图形： (②)用等式表示线段EP,DE,BP之间的数量关系，并证明； (3)连接CP,若AB=4,请直接写出线段CP长度的最小值. 模型3.隐圆之定边对等角模型 模型解读 定边对等角模型：固定线段AB所对同侧动角∠D=∠C(为定值)，则A、B、C、D四点共圆 模型证明 4/12 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D 图1 图2 条件：如图1，平面上A、B、C、D四个点满足∠ADB=∠ACB,结论：A、B、C、D四点共圆。 证明：根据圆周角定理：同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角都相，逆向推导即可。 条件：如图2，AC、BD交于H,AH·CH=BH·DH,结论：A、B、C、D四点共圆。 证明：：AH.CH=BH.DH,:4-D出 BH CH' 又∠AHD=∠BHC,.△AHD-ABHC。∴.∠ADB=∠ACB A、B、C、D四点共圆。 寻找隐圆技巧：AB为定值，∠D=∠C,且定角，则C、D点轨迹是同一个圆. 模型运用 例1.(2025广东深圳二模)如图，在ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，BD=BC,点E在线段CD上 且满足CE=4ED,AE与BD交于点F,若∠EAC=∠DBC,则tan∠DBC= B 例2.(2024四川成都统考二模)如图，在矩形ABCD中，AB=9,AD=6,点O为对角线AC的中点，点 E在DC的延长线上且CE=1.5,连接OE,过点O作OF⊥OE交CB延长线于点F,连接FE并延长交AC 的延长线于点G,则G=一· OG 5/12 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B G 例3.(2024湖北武汉校考二模)如图，等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为BC边上一点，连接AD. (1)如图1，作BE⊥AD延长线于E,连接CE,求证：∠AEC=45°； (2)如图2，P为AD上一点，且∠BPD=45°，连接CP.若AP=2,求△APC的面积； 图1 图2 模型4.隐圆之对角互补模型 模型解读 若平面上A、B、C、D四个点满足∠ABC+∠ADC=180°，则A、B、C、D四点共圆. 1)四边形对角互补；2)四边形外角等于内对角也可推出对角互补. D 图1 图2 应用：当题目中出现四边形对角互补的条件时，可以考虑构造四点共圆模型，从而利用圆周角定理等性质 进行求解。 模型证明 条件：如图1，平面上A、B、C、D四个点满足∠ABC+∠ADC=180°，结论：A、B、C、D四点共圆. 条件：如图2，BA、CD的延长线交于P,PA·PB=PD·PC, 结论：A、B、C、D四点共圆 6/12 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 PA PD 证明：PA·PB=PD·PC, PC PB 又：∠P=∠P,△PAD-△PCB。.∠ADP=∠B,:LADP+LADC=I80°，∴.LB+LADC=180 A、B、C、D四点共圆。 模型运用 例1.(2025黑龙江哈尔滨三模)如图，在四边形ABCD中，∠ABC=LADC=90°，LDAB=45°，对角 线AC、BD的交于点E,则下列结论：①∠ABD=∠ACD;②LDAB+∠DCB=180°；③ S日边形HBCD= AD2-BC2 ;④若AC=10,则BD=5√2.其中一定正确的结论是： (将正确结论的序 2 号填在横线上)· 例2.（2024广西柳州二模)综合与实践 小明在刘老师的指导下开展探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆.小明 继续利用上述结论进行探究， 【提出问题】如图1，在线段AC同侧有两点B,D,连接AD,AB,BC,CD,如果∠B=∠D,那么A ,B,C,D四点在同一个圆上.探究展示： 如图2，作经过点A,C,D的OO,在劣弧AC上取一点E(不与A,C重合)，连接AE,CE, 则∠AEC+∠D=180 又：∠B=∠D, 一，·点A,B,C,E四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆） 点B,D在点A,C,E所确定的OO上点A,B,C,D四点在同一个圆上. 【反思归纳】(1)上述探究过程中的横线上填的内容是 ； 【拓展延伸】(2)如图3，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,将△ABC绕点A逆时针旋转得 △ANM,连接CM交BN于点D,连接BM、AD.小明发现，在旋转过程中，∠CDB永远等于45°，不会 发生改变， ①根据∠CDB=45°，利用四点共圆的思想，试证明ND=DB; ②在(1)的条件下，当△BDM为直角三角形，且BN=4时，直接写出BC的长. 7/12 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D M B 0 E 图1 图2 图3 例3.(2024黑龙江鸡西模拟预测)已知，四边形ABCD中，AC,BD交于点E,若 DC=BC,∠DAB+LDCB=180°. D D B 图1 图2 图3 (I)如图1，求证：AC是∠DAB的角平分线. (2)如图2，在线段AB上有一点F,连接DF交AC于点P,连接CF交BD于点Q,若LCFB+LDCA=90°， 探究∠DFC与∠CFB的数量关系， (3)在(2)的条件下，如图3，作∠ADF的角平分线与CF的延长线交于点M,BD=6,点B到直线CD的 距离为，求线段DM的长度。 习题练模型 一、单选题 1.(2025安徽安庆一模)如图，矩形ABCD中，P为AD边上一点（不与A,D重合），连接BP,CP, 过C点作CE⊥BP,垂足为E,连接AE,DE,DE与CP相交于点F.则下列结论错误的是() 8/12 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A,若BP=BC,则PF⊥DE B.若PC=BC,则△CDE为等腰三角形 C.若PD=CD=6,CE=42,则DE=26 D.若AB=4,BC=6,则AE最小为2 2.(2025北京模拟预测)如图，正方形边长为a,点E是正方形ABCD内一点，满足∠AEB=90°，连接 C,给出下面四个结论：①4B+CE≥V2a:②CE2)a:③∠8CE的度数最大值为60°，④当 CE=a时，an∠48E=了上述结论中，所有正确结论的序号为(） A.①② B.①③ C.①②④ D.①③④ 二、填空题 3.(2024山西大同一模)如图，在正方形ABCD中，AB=4,点E在对角线AC上运动，连接BE,点F 在BE上运动，且∠BCF=∠ABE,连接AF,则AF的最小值为_ A B C 4.(2025·黑龙江绥化二模)在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8,AB=10,在平面内有一点P,且始终 有∠BCP=LPAC,则BP的最小值为一 5.(25-26九年级上福建福州期中)如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BC=3,将射线CA绕点C顺 时针旋转90到CA,在射线CA上取一点D,连接AD,使得△ACD面积为9，连结BD,则BD的最大值 是 A D 三、解答题 6. (2023北京·中考真题)如图，圆内接四边形ABCD的对角线AC,BD交于点E,BD平分∠ABC, 9/12 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 LBAC=∠ADB. A B (I)求证DB平分∠ADC,并求∠BAD的大小： (2)过点C作CF∥AD交AB的延长线于点F,若AC=AD,BF=2,求此圆半径的长. 7.(2025广东韶关二模)【问题背景】菱形ABCD的边长为6，其中∠DAB=60°，E是BC边上的一个 动点，作射线AE,点D关于直线AE的对称点为F,连接BF,直线BF与射线AE交于点G,连接 DF、DG. 【知识技能】 (1)如图1，连接AF,求证：∠ABF=∠ADG; (2)如图2，连接DB,求证：DB2=AE·DG; 【拓展探索】 (3)当E在直线BC上运动时，求BE=2时，DG的长度是多少？ D G E 图1 图2 备用图 8.（2025海南模拟预测)综合与探究 【问题背景】 活动课上，同学们以矩形为背景，探究图形运动中的数学结论.在矩形ABCD中，AB=3,P是对角线BD上 的一个动点（不与点B,D重合），∠CBD=30°，连接CP,过点P作CP的垂线交射线AB于点M,交BC于 点N,连接CM. 【探索发现】 10/12