专题16 最值模型之瓜豆模型（原理）（几何模型讲义）（北京专用）2026年中考数学一轮复习几何模型系列

该初中数学中考复习讲义聚焦“瓜豆模型”专题，覆盖中考几何最值核心考点，包含直线轨迹和圆弧轨迹两类模型，通过原理剖析、模型归纳、真题讲解构建知识体系，设计考点梳理、方法指导、分层训练环节，帮助学生突破轨迹确定与最值求解难点。 亮点在于“模型归类+轨迹分析”教学策略，如通过矩形中动点旋转问题，引导学生用几何直观确定从动点轨迹，培养推理能力。设置基础、提升、挑战三级练习及真题限时训练，确保高效复习，助力学生掌握最值求解通法，教师可据此精准把控复习节奏。

专题16 最值模型之瓜豆模型（原理） 1 模型1.最值模型之瓜豆原理（直线轨迹模型） 1 模型2.最值模型之瓜豆原理（圆弧轨迹类模型） 12 24 模型1.最值模型之瓜豆原理（直线轨迹模型） 瓜豆原理：一个主动点，一个从动点（根据某种约束条件，跟着主动点动），当主动点运动时，从动点的轨迹相同。 只要满足： 则两动点的运动轨迹是相似的，运动轨迹长度的比和它们到定点的距离比相同。 1、两“动”，一“定” 2、两动点与定点的连线夹角是定角 3、两动点到定点的距离比值是定值 动点轨迹基本类型为直线型和圆弧型，主动点叫瓜（豆），从动点叫瓜（豆），瓜在直线上运动，豆也在直线_上运动；瓜在圆周上运动，豆的轨迹也是圆。 模型1）如图，P是直线BC上一动点，A是直线BC外一定点，连接AP，取AP中点Q，当点P在直线上运动时，则Q点轨迹也是一条直线。 证明：分别过A、Q向BC作垂线，垂足分别为M、N，在运动过程中， 因为AP=2AQ，所以QN始终为AM的一半，即Q点到BC的距离是定值，故Q点轨迹是一条直线． 模型2）如图，在△APQ中AP=AQ，∠PAQ=为定值，当点P在直线BC上运动时，则Q点轨迹也是一条直线。 证明：在BC上任取一点P1，作三角形△AP1Q1，且满足∠P1AQ1=，AQ1=AP1，连结Q1Q交BC于点N， ∵AP=AQ，AQ1=AP1，∠P1AQ1=∠PAQ=，，∴∠APP1=∠AQQ1， ∵∠AMP=∠NMQ，∴∠MNQ=∠PAQ=，即Q点所在直线与BC的夹角为定值，故Q点轨迹是一条直线． 当动点轨迹为一条直线时，常用“垂线段最短”求最值。 1）当动点轨迹已知时可直接运用垂线段最短求最值； 2）当动点轨迹未知时，先确定动点轨迹，再垂线段最短求最值。 3）确定动点轨迹的方法（重点） ①当某动点到某条直线的距离不变时，该动点的轨迹为直线，即模型1）； ②当某动点与定直线的端点连接后的角度不变时，该动点的轨迹为直线，即模型2）； ③当一个点的坐标以某个字母的代数式表示时，若可化为一次函数，则点的轨迹为直线； ④观察动点运动到特殊位置时，如中点，端点等特殊位置考虑； 注意：若动点轨迹用上述方法不好确定，则也可以将所求线段转化（常用中位线、全等、相似、对角线）为其他已知轨迹的线段求最值。 例1．（2025·江苏宿迁·三模）如图，在矩形中，，，是对角线上的一动点，连接，若以为边向右上侧作等边；点从点运动到点的过程中，连接，则线段的最小值是 ． 【答案】 【分析】以为边作等边，连接．证明，得到，从而，因此是定值，即点G在与成定角的直线上运动．过点C作于点H，则点G在点H时，取得最小值，最小值为的长．当点E与点A重合时，过点G作于点M，过点F作于点N，求出，，的面积，得到，根据勾股定理求出，再由三角形的面积求出，即可解答． 【详解】解：如图，以为边作等边，连接． ∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵在矩形中，，， ∴， ∴， ∴是定值，即点G在与成定角的直线上运动． 过点C作于点H，则点G在点H时，取得最小值，最小值为的长． 如图，当点E与点A重合时， 过点G作于点M，过点F作于点N， ∴， ∴． ∵是等边三角形， ∴，， ∴． ∵，， ∴， ，， ∴在中， ∵， 又， ∴， ∴， ∴点从点运动到点的过程中，线段的最小值是． 故答案为： 【点睛】本题考查全等三角形的判定及性质，等边三角形的性质，解直角三角形，正确找出点G的运动轨迹，根据三角形的面积求解是解题的关键． 例2．（24-25八年级上·山东济宁·期末）如图，在直角坐标系中，点的坐标是，点是轴上的一个动点．以为边向右侧作等边三角形，连接，在运动过程中，的最小值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，坐标与图形等知识的综合，理解等边三角形的性质，构造三角形全等，数形结合分析是解题的关键． 如图所示，以为边，在左边作等边三角形，连接，证明，得到，当时，的值最小，根据等边三角形的性质，含角的直角三角形的性质，结合坐标与图形即可求解． 【详解】解：如图所示，以为边，在左边作等边三角形，连接， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴的值最小时，的值最小， 当时，的值最小， ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， 在中，， 故答案为：4 ． 例3．（2024·山东泰安·校考一模）如图，矩形的边，E为上一点，且，F为边上的一个动点，连接，若以为边向右侧作等腰直角三角形，连接，则的最小值为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【分析】过点G作GH⊥AB于H，过点G作MN∥AB，由“AAS”可证△GEH≌△EFA，可得GH＝AE＝1，可得点G在平行AB且到AB距离为1的直线MN上运动，则当F与D重合时，CG有最小值，即可求解． 【详解】解：如图，过点G作GH⊥AB于H，过点G作MN∥AB， ∵四边形ABCD是矩形，AB＝，BC＝3，∴∠B＝90°，CD＝，AD＝3， ∵AE＝1，∴BE＝，∵∠GHE＝∠A＝∠GEF＝90°， ∴∠GEH＋∠EGH＝90°，∠GEH＋∠FEA＝90°，∴∠EGH＝∠FEA， 又∵GE＝EF，∴△GEH≌△EFA（AAS），∴GH＝AE＝1， ∴点G在平行AB且到AB距离为1的直线MN上运动， ∴当F与D重合时，CG有最小值，此时AF＝EH＝3， ∴CG的最小值＝，故选B． 【点睛】本题考查矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，确定点G的运动轨迹是本题的关键． 例4．（2024·四川达州·一模）如图，在矩形中，，，点P在线段上运动（含B，C两点），连接，以点A为中心，将线段逆时针旋转到，连接，则线段的最小值为 . 【答案】// 【分析】如图，以为边向右作等边，作射线交于点E，过点D作于H．利用全等三角形的性质证明，推出，推出点Q在射线上运动，求出，可得结论． 【详解】解：如图，以为边向右作等边，作射线交于点E，过点D作于H． ∵四边形是矩形，∴，∵都是等边三角形， ∴，∴， 在和中，，∴，∴， ∵，∴， ∵，，∴点Q在射线上运动， ∵，∴，∵，∴．据垂线段最短可知，当点Q与H重合时，的值最小，最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查矩形的性质，旋转变换，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，本题的突破点是证明点Q的在射线上运动． 例5．（24-25九年级下·陕西西安·期中）【问题探究】 （1）如图 1，在 中， 为 的中点，连接 ，则 与 的位置关系是_____．     （2）如图 2，在 中， ， ， 是线段 上一动点(不与 、 重合)，连接 ，将线段 绕点 逆时针旋转 得到线段 ，连接 ，点 和点 分别是边 的中点． 试探究 和 的数量关系，并说明理由． 【问题解决】 （3）如图 3，正方形 是一块蔬菜种植基地，边长为 3 千米，对角线 为该基地内的一条小路，管理人员计划在小路 上确定一点 (不与点 重合)，连接 ，以线段 为斜边，在 右侧建等腰直角 区域( )，用来种植新品有机蔬菜，并在 处设立蔬菜仓库． 点和 点为基地的两个蔬菜打包装运点， 在 上且 ． 现要沿 修建蔬菜运输轨道，请确定运输轨道 的最小值． 并求出当 最小时，有机蔬菜种植区域的面积 (即 的面积)．      【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）运输轨道的最小值为千米，的面积为平方千米． 【分析】（1）根据全等三角形的判定得出，进一步根据，即可推出，即证； （2）由题意连接，，先得出，同理可得，，进一步利用即可进行证明； （3）首先确定出的运动轨迹，由两点之间线段最短可知，当三点共线时，取最小值，继而在中，由勾股定理得出，过作,交于点，利用相似性质得出，即可进一步求的面积． 【详解】解：（1）由题意知，在与中， ，（中点定义），， ， ， 又（平角定义）， ，即． 故答案为：． （2），理由如下： 如图，连接，， ， ， ， ， ， ， 同理可得，， ， ， ， ， ， ， ． （3）取中点，连接，过作，交于， 由正方形可得 , ， , ， ， , 是等腰直角三角形， 从而确定出的运动轨迹即如下图： , ，即最小值等于最小值, 由两点之间线段最短可知，当三点共线时，取最小值， 正方形边长为3千米，是中点， 在中，由勾股定理得千米, ， 千米，千米， 千米， 在中，由勾股定理得千米， 即运输轨道的最小值为千米， 过作,交于点，如图， , , , 千米， 此时的面积为平方千米． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质以及勾股定理和相似三角形的综合应用．整体难度相对大，需要学生有分析主从联动点（瓜豆原理）的运动轨迹的能力，同时还能够合理运用将军饮马的模型进行问题的综合解决． 模型2.最值模型之瓜豆原理（圆弧轨迹类模型） “主从联动”模型也叫“瓜豆”模型，出自成语“种瓜得瓜，种豆得豆”。这类动点问题中，一个动点随另一个动点的运动而运动，我们把它们分别叫作从动点和主动点，从动点和主动点的轨迹是一致的，即所谓“种”线得线，“种”圆得圆（而当主动点轨迹是其他图形时，从动点轨迹必然也是）。解决这一类问题通常用到旋转、全等和相似。 模型1、运动轨迹为圆弧 模型1-1. 如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，Q为AP中点．Q点轨迹是？ 分析：如图，连接AO，取AO中点M，任意时刻，均有△AMQ ∽△AOP，QM：PO=AQ：AP=1：2。 则动点Q是以M为圆心，MQ为半径的圆。 模型1-2. 如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，作AQ⊥AP且AQ=AP，当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是？ 分析：如图，连结AO，作AM⊥AO，AO=AM；任意时刻均有△APO≌△AQM，且MQ=PO。 则动点Q是以M为圆心，MQ为半径的圆。 模型1-3. 如图，△APQ是直角三角形，∠PAQ=90°且AP=kAQ，当P在圆O运动时，Q点轨迹是？ 分析：如图，连结AO，作AM⊥AO，AO:AM=k:1；任意时刻均有△APO∽△AQM，且相似比为k。 则动点Q是以M为圆心，MQ为半径的圆。 模型1-4.为了便于区分动点P、Q，可称P为“主动点”，Q为“从动点”。 此类问题的两个必要条件：①主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（∠PAQ是定值）；②主动点、从动点到定点的距离之比是定量（AP：AQ是定值）。 分析：如图，连结AO，作∠OAM=∠PAQ，AO:AM=AP：AQ；任意时刻均有△APO∽△AQM。 则动点Q是以M为圆心，MQ为半径的圆。 特别注意：很多题目中主动点的运动轨迹并未直接给出，这就需要我们掌握一些常见隐圆的轨迹求法。 （1）定义型：若动点到平面内某定点的距离始终为定值，则其轨迹是圆或圆弧。（常见于动态翻折中） 如图，若P为动点，但AB=AC=AP，则B、C、P三点共圆，则动点P是以A圆心，AB半径的圆或圆弧。 （2） 定边对定角（或直角）模型 1）一条定边所对的角始终为直角，则直角顶点轨迹是以定边为直径的圆或圆弧． 如图，若P为动点，AB为定值，∠APB=90°，则动点P是以AB为直径的圆或圆弧。 2）一条定边所对的角始终为定角，则定角顶点轨迹是圆弧． 如图，若P为动点，AB为定值，∠APB为定值，则动点P的轨迹为圆弧。 例1．（24-25九年级上·湖北荆州·期中）在矩形中，，点在上，点在平面内，，，连按，将线段绕着点顺时针旋转得到，则线段的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查矩形的性质，旋转的性质，勾股定理等知识，将线段绕点顺时针旋转得，得，将线段绕点顺时针旋转得，得，证明，得判断要使最大，则三点共线时最大，最大值为，根据勾股定理可求出即可得出结论 【详解】解：∵在平面内，且， ∴在以为圆心，3为半径的圆上，如图， 将线段绕点顺时针旋转得， ∴， 将线段绕点顺时针旋转得， ∴， ∴ ∴ ∴， ∴ ∴在点为圆心，3为半径的圆上， 要使最大，则三点共线时最大，最大值为； ∵四边形是矩形， ∴ ∵ ∴ ∴， ∴ ∴ ∴的最大值为， 故答案为：． 例2．（2024春·湖北黄石·九年级校考阶段练习）如图，四边形为正方形，P是以边为直径的上一动点，连接，以为边作等边三角形，连接，若，则线段的最大值为 ． 【答案】/ 【分析】连接、，将绕点B逆时针旋转得到，连接，通过证明，得出，从而得出点Q在以点为圆心，为半径的圆上运动；则当点O，，P三点在同一直线上时，取最大值，易证为等边三角形，求出，即可求出． 【详解】解：连接、，将绕点B逆时针旋转得到，连接， ∵绕点B逆时针旋转得到，∴，， ∵为等边三角形，∴，， ∴，即， 在和中，，∴， ∵，四边形为正方形，∴，则， ∴，∴点Q在以点为圆心，为半径的圆上运动； ∴当点O，，P三点在同一直线上时，取最大值， 在中，根据勾股定理可得：， ∵，，  ∴为等边三角形，∴， ∴，故答案为：． 【点睛】本题主要考查看瓜豆模型——圆生圆模型，解题的关键是确定从动点Q的运动轨迹，以及熟练掌握全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质． 例3．（2024·江苏南通·校考模拟预测）如图，已知正方形ABCD的边长为2，以点A为圆心，1为半径作圆，E是⊙A上的任意一点，将线段DE绕点D顺时针方向旋转90°并缩短到原来的一半，得到线段DF，连结AF，则AF的最小值是 ．    【答案】 【分析】通过证可得，由勾股定理可得，根据三角形三边关系求AF的最小值即可； 【详解】解：如图，取CD中点G，连接AE、GF、AG，    ∵ED⊥DF，∴∠EDF=90°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠GDA=90°， ∵∠GDF+∠FDA=90°，∠FDA+∠ADE=90°，∴∠GDF=∠ADE， ∵，∴，∴， 又AE=1，解得，由勾股定理可得，， 由三边的关系可得，AF的最小值为：AG-GF=；故答案为：. 例4．（2024·北京海淀·一模）在平面直角坐标系中，对于图形与图形给出如下定义：为图形上任意一点，将图形绕点顺时针旋转得到，将所有组成的图形记作，称是图形关于图形的“关联图形”．(1)已知，，，其中．若，请在图中画出点关于线段的“关联图形”；若点关于线段的“关联图形”与坐标轴有公共点，直接写出的取值范围；(2)对于平面上一条长度为的线段和一个半径为的圆，点在线段关于圆的“关联图形”上，记点的纵坐标的最大值和最小值的差为，当这条线段和圆的位置变化时，直接写出的取值范围（用含和的式子表示）． 【答案】(1)①见详解；②或(2) 【分析】（）根据新定义找出关键点的旋转后连接即可；同上理分情况讨论即可； （）画出分析图，如图所示，线段的长度为，圆的半径为，易得且相似比为，再移动图形即可求出；本题考查了旋转的性质，圆的有关性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：如图所示：线段即为所求； 如图：当 时，点关于线段的“关联图形”与轴恰有公共点， ∴时，点关于线段的“关联图形”与轴有公共点； 当 时，点关于线段的“关联图形”与轴恰有公共点， ∴时，点关于线段的“关联图形”与轴有公共点； 综上所述：或； （2）如图，画出分析图，如图所示，线段的长度为，圆的半径为， 点分别绕点顺时针旋转得到，分析可知且相似比为， 可得圆的半径均为，随意转动图，可得． 例5．（2025·北京海淀·一模）在平面直角坐标系中，对于点、和图形，将图形沿射线方向平移，平移距离为线段的长，得到图形．若点在图形上，则称点为图形关于点的“位移点”． 如图，点、． (1)若半径为1， ①在、、中，关于点的“位移点”是______； ②若在线段上存在一点，使得点为关于点的“位移点”，直接写出的长的取值范围； (2)已知点，半径为1，点在上，点为线段关于点的“位移点”．点，半径为，点在上．若存在点D，P，使为以点为直角顶点的等腰直角三角形，直接写出的取值范围． 【答案】(1)①、；② (2)或 【分析】（1）①将沿射线方向平移的长的距离，可以得到，且半径为1，根据新定义可知关于点的“位移点”在上，再逐个分析即可判断；②沿射线方向平移的长的距离，可以得到，且半径为1，根据新定义可知点在上，再利用线段的性质得到的最小值为，的最大值为，再对的长分情况讨论即可求解； （2）分①点在的右侧；②点在的左侧2种情况讨论，连接，以为斜边作等腰直角三角形，作轴于，作于，连接，利用相似三角形的性质求出，利用全等三角形的性质求出点的坐标，得出点的轨迹是以点为圆心，半径为1的圆，记为；将线段沿射线方向平移的长的距离，可以得到线段，根据新定义可知在线段上存在一点，使得点在以为圆心，半径为1的圆上，记此时的圆为，再讨论与的位置关系即可求出的取值范围． 【详解】（1）解：①，半径为1， 沿射线方向平移的长的距离，可以得到，且半径为1， ，，， 、在上， 关于点的“位移点”是、， 故答案为：、； ②由题意得，沿射线方向平移的长的距离，可以得到，且半径为1， 点为关于点的“位移点”， 点在上， ， ， ， 的最小值为，的最大值为， 点在线段上， 当时，最小；当点与点重合时，最大， 当时， ，， 是等腰直角三角形，， 又， ，此时的最小值为； 当点与点重合时， 则，此时的最大值为， 综上所述，的长的取值范围为． （2）解：①当点在的右侧，连接，以为斜边在右侧作等腰直角三角形，作轴于，作于，连接，如图所示， 和是等腰直角三角形， ，， ，即， ， ， ， ， ， 又， ， 又，， ， ，， 设，， 由点可得，解得， ， 点的轨迹是以为圆心，半径为1的圆，记为； 将线段沿射线方向平移的长的距离，可以得到线段，则有，， 半径为1，点在上， ， 又点为线段关于点的“位移点”， 在线段上存在一点，使得点在以为圆心，半径为1的圆上，记此时的圆为， 当点与点重合，且与相切（在右侧）时，此时，有最大值，如图所示， 此时， ， 当，且与相切（在左侧）时，此时，有最小值，如图所示，连接， 由（1）得，是等腰直角三角形，则有， 由平移的性质得，， ，， 轴， ， 是等腰直角三角形，， ， ； 的取值范围为； ②当点在的左侧，连接，以为斜边在左侧作等腰直角三角形，作轴于，作于，连接，如图所示， 同理①的方法可得，，， 点的轨迹是以为圆心，半径为1的圆，记为； 将线段沿射线方向平移的长的距离，可以得到线段，则有，， 半径为1，点在上， ， 又点为线段关于点的“位移点”， 在线段上存在一点，使得点在以为圆心，半径为1的圆上，记此时的圆为， 当点与点重合，且与相切（在下方）时，此时，如图所示， ， ， 解得：， 当时，满足题意； 综上所述，的取值范围为或． 一、单选题 1．（2025·四川绵阳·一模）如图，矩形中，，，与相交于为边上任意一点，将线段绕点O顺时针旋转后得到线段，则线段的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了旋转性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质. 取的中点，连接并延长交于点，连接，分别过点和点作的垂线，垂足分别点和点，设直线交于点，证明，推出，得到点在直线上运动，当在线段上即时，此时线段有最小值，据此即可求解. 【详解】解：如图，取的中点，连接并延长交于点，连接，分别过点和点作的垂线，垂足分别点和点， 设直线交于点， ∵点是中点， ∴，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵P为边上任意一点，将线段绕点O顺时针旋转后得到线段， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴点在直线上运动， ∴当在线段上即时，此时线段有最小值， 同理可得四边形是矩形， ∴， 故选：D. 2．（2025·江苏苏州·二模）如图，菱形的边长为4，，E是的中点，F是对角线上的动点，连接．将线段绕点F按逆时针旋转，G为点E对应点，连接，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了旋转的性质、菱形的性质、等边对等角、全等三角形的性质与判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键．将线段绕点F按顺时针旋转，得到，连接、，由旋转的性质得到，，，，通过证明得到，利用菱形的性质和等边对等角得到，，则有，分析可得点在过点且与夹角为的直线上运动，当时，有最小值，再利用等腰直角三角形的性质即可得出答案． 【详解】解：将线段绕点F按顺时针旋转，得到，连接、， 由旋转的性质得到，，，， ，即， ， ， 菱形的边长为4， ， ， ， E是的中点， ， ，， ， ， 点在过点且与夹角为的直线上运动， 当时，有最小值，此时为等腰直角三角形，则， 的最小值为，即的最小值为． 故选：A． 3．（24-25九年级上·山东济南·期末）如图，A是上任意一点，点C在外，已知是等边三角形，则的面积的最大值为（ ） A． B．4 C． D．6 【答案】A 【分析】以为边向上作等边三角形，连接，证明得到，分析出点D的运动轨迹是以点M为圆心，长为半径的圆，在求出点D到线段的最大距离，即可求出面积的最大值． 【详解】解：如图，以为边向上作等边三角形，连接， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点D的运动轨迹是以点M为圆心，长为半径的圆，要使的面积最大，则求出点D到线段的最大距离， ∵是边长为4的等边三角形， ∴点M到的距离为， ∴点D到的最大距离为， ∴的面积最大值是， 故选A． 【点睛】本题考查了动点轨迹是圆的问题，解决本题的关键是利用构造全等三角形找到动点D的轨迹圆，再求出圆上一点到定线段距离的最大值． 二、填空题 4．（2024·广东河源·二模）如图，已知，平面内点P到点O的距离为2，连接AP，若且，连接AB，BC，则线段BC的最小值为 ． 【答案】 【分析】如图所示，延长PB到D使得PB=DB，先证明△APD是等边三角形，从而推出ABP=90°，∠BAP=30°，以AO为斜边在AC下方作Rt△AMO，使得∠MAO=30°，连接CM，过点M作MH⊥AC于H，解直角三角形得到，从而证明△AMB∽△AOP，得到，则，则点B在以M为圆心，以为半径的圆上，当M、B、C三点共线时，即点B在点的位置时，BC有最小值，据此求解即可． 【详解】解：如图所示，延长PB到D使得PB=DB， ∵， ∴， 又∵∠APB=60°， ∴△APD是等边三角形， ∵B为PD的中点， ∴AB⊥DP，即∠ABP=90°， ∴∠BAP=30°， 以AO为斜边在AC下方作Rt△AMO，使得∠MAO=30°，连接CM，过点M作MH⊥AC于H， ∴， 同理可得， ∵∠OAM=30°=∠PAB， ∴∠BAM=∠PAO， 又∵， ∴△AMB∽△AOP， ∴， ∵点P到点O的距离为2，即OP=2， ∴， ∴点B在以M为圆心，以为半径的圆上， 连接CM交圆M（半径为）于， ∴当M、B、C三点共线时，即点B在点的位置时，BC有最小值， ∵AC=2AO=8， ∴AO=4， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴BC的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，解直角三角形，相似三角形的性质与判定，勾股定理，圆外一点到圆上一点的最值问题，解题的关键在于能够熟练掌握瓜豆模型即证明点B在以M为圆心，半径为的圆上运动． 5．（2014·江苏无锡·二模）如图，线段为的直径，点在的延长线上，，，点是上一动点，连接，以为斜边在的上方作，且使得，连接，则长的最大值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质、两圆的位置关系、轨迹等知识，如图，作，使得，，则，，，由，推出，即（定长），由点是定点，是定长，推出点在半径为的上，由此即可解决问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题． 【详解】解：如图，作，使得，，则，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 即（定长）， ∵点是定点，是定长， ∴点在半径为的上， ∵， ∴的最大值为， 故答案为：． 6．（24-25八年级下·山东济南·月考）如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴上，是边长为4的等边三角形，已知点，，点P是线段上一点，连接，将线段绕点B逆时针旋转得到线段，连接．在点P从点C运动到点D的过程中，线段扫过的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要涉及等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质以及图形面积的计算．解题的关键思路是通过等边三角形的性质构造全等三角形，找出线段扫过的图形，进而计算其面积． 具体来说，利用是等边三角形和的条件，证明和全等，从而将线段的运动转化为线段的运动，进而确定线段扫过的图形，再计算其面积． 【详解】解：是边长为4的等边三角形， ，． ， 又线段绕点逆时针旋转得到线段， ，． ， 即． 在和中， ， ． ，， ，， ，， ，即点Q的运动轨迹在射线上， 作射线，在射线上截取，连接， ， 即点P从点C运动到点D的过程中，点Q从图中的点Q运动到点，点Q的运动轨迹是下图中的线段， ，，此时， ， 线段扫过的图形的面积等于的面积． 作于， ， ， 线段扫过的面积， 故答案为：． 三、解答题 7．（2025九年级·全国·专题练习）如图1，在中，，，，以点为圆心，为半径作圆．点为上的动点，连接，作，使点落在直线的上方，且满足，连接，． （1）求的度数，并证明； （2）如图2，若点在上时，连接，求的长； （3）点在运动过程中，是否有最大值或最小值？若有，请求出当取得最大值或最小值时，的度数；若没有，请说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）有．① 当取得最大值时，；②当取得最小值时，． 【分析】（1）利用锐角三角函数求出∠BAC，先判断出，再判断出，即可得出结论； （2）先求出∠PAC，进而得出∠PAB＝90°，再利用相似求出AP，即可得出结论； （3）先求出AP＝1是定值，判断出点P在以点A为圆心，1为半径的圆上，分当点在的延长线上时和当点在线段上时，两种情况讨论即可． 【详解】（1）在中，，， ， ， ，， ， ， ， ， ； （2）由（1）知，， ， ， ， ，， ， ， ， 在中，，， 由勾股定理得； （3）有．由（1）知，， ， ， 是定值， 点是在以点为圆心，半径为的圆上， ①如图所示，当点在的延长线上时，取得最大值， ． ， ． 当取得最大值时，； ②如图所示，当点在线段上时，取得最小值， ， ， 当取得最小值时，． 8．（24-25九年级下·重庆北碚·自主招生）在中，，，为的中点，为上一点． (1)如图1，若，，求的长； (2)如图2，若为外部一点，为的中点，将绕点按顺时针方向旋转到（，均在直线的左侧），连接、．若，求证：； (3)将沿直线翻折至所在平面内得到，连接，将绕点按顺时针方向旋转得到线段，连接，当线段取得最小值时，请直接写出的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质与判定，旋转的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，求一点到圆上的距离的最值问题，熟练掌握旋转的性质是解题的关键； （1）根据等腰三角形的性质，以及勾股定理求得，作的中点，连接，进而根据中位线的性质求得，进而求得，在中，勾股定理即可求解； （2）连接，过点作交于点，延长交于点，交的延长线于点，证明得出，，证明是等腰直角三角形，进而证明得出，即可得证； （3）连接，将绕点按顺时针方向旋转得到线段，证明，得出，设，则，，则，即在以为圆心的上运动，当在上，取得最小值，最小值为，进而求得的值． 【详解】（1）解：在中，， ∴ ∵， ∴， 如图，作的中点，连接， ∴，， ∵， ∴ ∴ ∴ ∵， ∴ 在中，; （2）证明：如图，连接，过点作交于点，延长交于点，交的延长线于点， ∵在中，，，为的中点，为的中点， ∴， ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵将绕点按顺时针方向旋转到 ∴， ∴，即 ∴ ∴，， ∴ 又∵ ∴ ∵， ∴ ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴ ∴ 在 ∴ ∴ ∴，即 （3）解：如图所示，连接，将绕点按顺时针方向旋转得到线段， ∴ ∵将绕点按顺时针方向旋转得到线段， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵在中，，，为的中点， ∴ 设，则，， ∵将沿直线翻折至所在平面内得到， ∴ ∴，即在以为圆心的上运动 连接过点作于点，则 ∵ ∴， ∴是等腰直角三角形，则 ∴ ∴ ∵ ∴当在上，取得最小值，最小值为 ∴ 9．（2025九年级上·山东济南·专题练习）【特例感知】 （1）如图1，和是等腰直角三角形，，点在上，点在的延长线上，连接，，线段与的数量关系是___________； 【类比迁移】 （2）如图，将图中的绕着点顺时针旋转，那么第（1）问的结论是否仍然成立？如果成立，证明你的结论；如果不成立，说明理由． 【方法运用】 （3）如图，若，点是线段外一动点，，连接．若将绕点逆时针旋转得到，连接，则的最大值是___________． 【答案】（1），见解析； （2）成立，见解析； （3）． 【分析】（1）证明，即可得出结论； （2）利用旋转性质可证得，再证明，即可得出结论； （3）过点作，使，连接，，，，先证得，得出，即点的运动轨迹是以为圆心，为半径的圆，当在的延长线上时，的值最大，最大值为． 【详解】解：（1）．理由如下： 如图1，∵和是等腰直角三角形，， ∴，， ∵在和中， ， ∴， ∴． 故答案为：； （2）仍然成立． 证明：如图2，∵， ∴， 即， ∵在和中， ， ∴． ∴． （3）如图，过点作，使，连接，，，， ∵和都是等腰直角三角形， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∴． ，， ∴点的运动轨迹是以为圆心，为半径的圆， ∴当在的延长线上时，的值最大，最大值为． 故答案为：． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，瓜豆原理等知识点，关键是添加恰当辅助线，构造全等三角形或相似三角形解决问题，综合性较强，难度较大，属于中考压轴题． 10．（24-25九年级下·陕西西安·期中）（1）如图①，在矩形中，，，以为圆心，为半径在矩形内画弧，已知点是该弧上的一动点，点是边上的动点，则的最小值为______． （2）随着社会发展，人们生活品质日益提升，年轻人对高品质生活的追求愈发强烈．“荒野求生”、“生存大挑战”等栏目在网络上火爆，野外探险成为当下很多人想寻求刺激、提升生活品质的热门选择，图②是一片探险区域，其中四边形是探险途中的必经区域，米，米，，，且，点是探险入口，边界上点是探险出口，其中，点方圆米的圆形区域是危险禁区，严禁探险者进入为了保证探险者的安全，在危险区域边界上设有一个可移动监测点，一旦探险者靠近并跨入危险区，便会触发警报，一支探险小队计划进入此区域探险，为确保队员统一行动、节省体力并高效前行，领队需提前确定两个集结点和点，其中点在探险区域内，且满足，，点在边界上，探险路线是，请帮助领队计算的最小值． 【答案】（1）8；（2）最小值为米． 【分析】（1）由矩形的性质得到．作点关于的对称点，连接，则，连接，则，即，根据勾股定理求得，即可解答． （2）连接，过点作，交于点，在上取点，使得米，根据两边对应成比例且夹角相等证得，从而由相似三角形的对应边成比例求得米，即点在以点为圆心，半径为 500 米的圆上运动．作点关于的对称点，连接，则，因此有．连接，交于点，延长，交的延长线于点，过点作于点．通过解直角三角形在中，求得（米），（米），在中，（米），（米），（米），在中，（米），因此在矩形中，米，米，进而求得米，（米），在中，根据勾股定理求得米，即可解答． 【详解】解：（1）四边形是矩形， ，，， 作点关于的对称点，连接， 则， 连接，，， 则， ， 在中，，， ， ， 的最小值为， 故答案为：； （2）连接，过点作，交于点，在上取点，使得米， ， ，即， ，， ， ， ， 米， 点在以点为圆心，半径为米的圆上运动， 作点关于的对称点，连接，，则， ， ， 连接，交于点，延长，交的延长线于点，过点作于点， ，， ， 在中，米， 米， 点与关于对称， ， ，， 四边形，四边形，四边形都是矩形， 米， 在中，，又， ， ， 在中，米， 米， ， 米， ， ， ， 在中，米， 米， 在矩形中，米，米， 点与关于对称， 米， 米， 在中，米， ， 即的最小值为米． 【点睛】本题考查最短路径问题，相似三角形的判定及性质，轴对称的性质，矩形的判定及性质，解直角三角形，勾股定理等．掌握最短路径中的将军饮马问题，瓜豆原理是解题的关键． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题16最值模型之瓜豆模型（原理) 目录导航 例题讲模型 1 模型1.最值模型之瓜豆原理（直线轨迹模型） 模型2.最值模型之瓜豆原理（圆弧轨迹类模型） 12 习题练模型 24 例题讲模型 模型1.最值模型之瓜豆原理（直线轨迹模型) 模型解读 瓜豆原理：一个主动点，一个从动点（根据某种约束条件，跟着主动点动），当主动点运动时，从动点的 轨迹相同。 只要满足： 1、两“动”，一“定” 则两动点的运动轨迹是相似的，运动轨迹 长度的比和它们到定点的距离比相同。 2、两动点与定点的连线夹角是定角 3、两动点到定点的距离比值是定值 动点轨迹基本类型为直线型和圆弧型，主动点叫瓜（豆），从动点叫瓜（豆），瓜在直线上运动，豆也在 直线上运动；瓜在圆周上运动，豆的轨迹也是圆。 模型证明 模型1)如图，P是直线BC上一动点，A是直线BC外一定点，连接AP,取AP中点Q,当点P在直线上 运动时，则Q点轨迹也是一条直线。 1/12 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 证明：分别过A、Q向BC作垂线，垂足分别为M、N,在运动过程中， 因为AP=2AQ,所以QN始终为AM的一半，即Q点到BC的距离是定值，故Q点轨迹是一条直线. 模型2)如图，在△APQ中AP=AQ,∠PAQ=Q为定值，当点P在直线BC上运动时，则Q点轨迹也是一 条直线。 B 证明：在BC上任取一点P1,作三角形△AP1Q1,且满足∠PAQ1=a,AQ1AP1,连结Q1Q交BC于点N, :AP=AQ,AQ1AP1,∠PAQ1=∠PAQ=a,△APP-△A00,，∴.∠APP1=∠AQQ1, ∠AMP=∠NMMQ,∴.∠MNQ=∠PAQ=&,即Q点所在直线与BC的夹角为定值，故Q点轨迹是一条直线. 模型运用 当动点轨迹为一条直线时，常用“垂线段最短”求最值。 1)当动点轨迹己知时可直接运用垂线段最短求最值； 2)当动点轨迹未知时，先确定动点轨迹，再垂线段最短求最值。 3)确定动点轨迹的方法（重点） ①当某动点到某条直线的距离不变时，该动点的轨迹为直线，即模型1)： ②当某动点与定直线的端点连接后的角度不变时，该动点的轨迹为直线，即模型2)： ③当一个点的坐标以某个字母的代数式表示时，若可化为一次函数，则点的轨迹为直线： ④观察动点运动到特殊位置时，如中点，端点等特殊位置考虑； 注意：若动点轨迹用上述方法不好确定，则也可以将所求线段转化（常用中位线、全等、相似、对角线） 为其他已知轨迹的线段求最值。 例1.(2025江苏宿迁·三模)如图，在矩形ABCD中，AB=4,BC=2,E是对角线AC上的一动点，连 接BE,若以BE为边向右上侧作等边△BEG;点E从点A运动到点C的过程中，连接CG,则线段CG的最 2/12 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 小值是」 例2.(24-25八年级上·山东济宁.期末)如图，在直角坐标系中，点A的坐标是(0,8)，点B是x轴上的一 个动点，以AB为边向右侧作等边三角形ABC,连接OC,在运动过程中，OC的最小值为」 Y B 圆3.2024山东泰安校考楼加图，形ABCD的边AB)BC=3,E为B上一点，且AE,万 为AD边上的一个动点，连接EF,若以EF为边向右侧作等腰直角三角形EFG,EF=EG,连接CG,则CG 的最小值为() 0 C Q E B A.5 C.3 D.2√2 例4.(2024四川达州一模)如图，在矩形ABCD中，AB=4,BC=5√5，点P在线段BC上运动（含B, C两点)，连接AP,以点A为中心，将线段AP逆时针旋转60°到AQ,连接DQ,则线段DQ的最小值为一 例5.(24-25九年级下陕西西安期中)【问题探究】 3/12 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)如图1，在ABC中，AB=AC,D为BC的中点，连接AD,则AD与BC的位置关系 是 (2)如图2，在ABC中，AB=AC,∠BAC=120°，E是线段BC上一 D 图1 动点（不与B、C重合），连接AE,将线段AE绕点A逆时针旋转120°得到线段AF，连接 EF,点M和点N分别是边BC、EF的中点.试探究BE和MN的数量关系，并说明理由. A B E M 图2 【问题解决】 (3)如图3，正方形ABCD是一块蔬菜种植基地，边长为3千米，对角线BD为该基地内的一条小路， 管理人员计划在小路BD上确定一点E(不与点B、D重合)，连接AE,以线段AE为斜边，在AE 右侧建等腰直角△AEF区域（∠EFA=90°），用来种植新品有机蔬菜，并在F处设立蔬菜仓库.G点 和D点为基地的两个蔬菜打包装运点，G在BD上且BG=2DG,现要沿GF、DF修建蔬菜运输 轨道，请确定运输轨道GF+DF的最小值.并求出当GF+DF最小时，有机蔬菜种植区域的面积 (即△AEF的面积. B 图3 模型2.最值模型之瓜豆原理（圆弧轨迹类模型） 模型解读 4/12 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 “主从联动”模型也叫“瓜豆”模型，出自成语“种瓜得瓜，种豆得豆”。这类动点问题中，一个动点随另一 个动点的运动而运动，我们把它们分别叫作从动点和主动点，从动点和主动点的轨迹是一致的，即所谓“种” 线得线，“种”圆得圆（而当主动点轨迹是其他图形时，从动点轨迹必然也是）。解决这一类问题通常用到旋 转、全等和相似。 模型证明 模型1、运动轨迹为圆弧 模型1-1.如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP,Q为AP中点，Q点轨迹是？ 分析：如图，连接AO,取AO中点M,任意时刻，均有△AMQ∽△AOP,QM:PO=AQ:AP=1:2。 则动点Q是以M为圆心，MQ为半径的圆。 模型1-2.如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP,作AQ⊥AP且AQ=AP,当点P在圆O上运动 时，Q点轨迹是？ 分析：如图，连结AO,作AM⊥AO,AO=AM;任意时刻均有△APO≌△AOM,且MQ=PO。 则动点Q是以M为圆心，MQ为半径的圆。 模型1-3.如图，△4PQ是直角三角形，∠PAQ-90°且AP=kAQ,当P在圆O运动时，Q点轨迹是？ 分析：如图，连结AO,作AM⊥AO,AOAM=k1;任意时刻均有△APO∽△AQM,且相似比为k。 则动点Q是以M为圆心，MQ为半径的圆。 5/12 品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 模型1-4为了便于区分动点P、Q,可称P为“主动点”，Q为“从动点”。 此类问题的两个必要条件：①主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（∠PAQ是定值)；②主动点、从 动点到定点的距离之比是定量(AP:AQ是定值)。 分析：如图，连结AO,作∠OAM=∠PAQ,AOAM=AP:AQ;任意时刻均有△APOn△AQM。 则动点Q是以M为圆心，MQ为半径的圆。 特别注意：很多题目中主动点的运动轨迹并未直接给出，这就需要我们掌握一些常见隐圆的轨迹求法。 (1)定义型：若动点到平面内某定点的距离始终为定值，则其轨迹是圆或圆弧。（常见于动态翻折中） 如图，若P为动点，但AB=AC=AP,则B、C、P三点共圆，则动点P是以A圆心，AB半径的圆或圆弧。 P(动) (2)定边对定角（或直角）模型 1)一条定边所对的角始终为直角，则直角顶点轨迹是以定边为直径的圆或圆弧 如图，若P为动点，AB为定值，∠APB=90°，则动点P是以AB为直径的圆或圆弧。 2)一条定边所对的角始终为定角，则定角顶点轨迹是圆弧. 如图，若P为动点，AB为定值，∠APB为定值，则动点P的轨迹为圆弧。 模型运用 例1.(24-25九年级上湖北荆州期中)在矩形ABCD中，AB=6,点E在BC上，点F在平面内，BE=2 ,EF=3,连按AF,将线段AF绕着点A顺时针旋转90°得到AP,则线段PE的最大值为 6/12 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D B 例2.(2024春湖北黄石·九年级校考阶段练习)如图，四边形ABCD为正方形，P是以边AD为直径的 ⊙O上一动点，连接BP,以BP为边作等边三角形BPQ,连接OQ,若AB=2,则线段OQ的最大值 为 D P B 例3.(2024江苏南通校考模拟预测)如图，己知正方形ABCD的边长为2，以点A为圆心，1为半径作 圆，E是⊙A上的任意一点，将线段DE绕点D顺时针方向旋转90°并缩短到原来的一半，得到线段DF, 连结AF,则AF的最小值是 例4.(2024北京海淀一模)在平面直角坐标系xOy中，对于图形M与图形N给出如下定义：P为图形 N上任意一点，将图形M绕点P顺时针旋转90°得到M',将所有M组成的图形记作M',称M是图形M 关于图形N的“关联图形”.(1)已知A(-2,0),B(2,0),C(2,),其中t≠0.①若t=1,请在图中画出点A关 于线段BC的“关联图形”；②若点A关于线段BC的“关联图形”与坐标轴有公共点，直接写出t的取值范围； (2)对于平面上一条长度为a的线段和一个半径为"的圆，点S在线段关于圆的“关联图形”上，记点S的纵坐 标的最大值和最小值的差为d,当这条线段和圆的位置变化时，直接写出d的取值范围（用含Q和”的式子 表示)， 7/12 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 6 5 4 3 2 C B 6543-2-10 3456 5 例5.(2025北京海淀一模)在平面直角坐标系x0y中，对于点P、Q和图形M，将图形M沿射线00方 向平移，平移距离为线段OQ的长，得到图形M'.若点P在图形M'上，则称点P为图形M关于点Q的“位 移点” 如图，点A2,0)、B(0,2). y个 8 5 3 ,A, 876方432i01立345678元 -4 (1)若00半径为1， 中，⊙0关于点A的位移点”是 ②若在线段AB上存在一点C,使得点P为OO关于点C的位移点”，直接写出OP的长的取值范围； (2)已知点T(t,0),T半径为1，点E在T上，点P为线段AB关于点E的“位移点”.点S(2,6),⊙S半径 为√2，点D在⊙S上，若存在点D,P,使aODP为以点P为直角顶点的等腰直角三角形，直接写出t的取 值范围。 8/12 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 习题练模型 一、单选题 1.(2025·四川绵阳一模)如图，矩形ABCD中，AB=4V3,BC=4,AC与BD相交于O,P为CD边上任 意一点，将线段OP绕点O顺时针旋转90°后得到线段00，则线段BQ的最小值为() b A.4V5-4 B.2V5 C.22-2 D.2W5-2 2.(2025江苏苏州二模)如图，菱形ABCD的边长为4，∠B=120°，E是BC的中点，F是对角线AC上 的动点，连接EF,将线段EF绕点F按逆时针旋转30°，G为点E对应点，连接CG,则CG的最小值为() D A.√2 B.√5 C.2-1 D.√5-1 3.(24-25九年级上山东济南期末)如图，A是0B上任意一点，点C在0B外，己知 AB=2,BC=4,△ACD是等边三角形，则△BCD的面积的最大值为() D B A.4V5+4 B.4 C.4v5+8 D.6 二、填空题 4.(2024广东河源·二模)如图，已知AC=2A0=8,平面内点P到点O的距离为2，连接AP,若 ∠4P8=60且BP-4P,连接4B,BC,则线段BC的最小值为一 9/12 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 5.(2014江苏无锡二模)如图，线段AB为O0的直径，点C在AB的延长线上，AB=4,BC=2,点P 是⊙O上一动点，连接CP,以CP为斜边在PC的上方作Rt△PCD,且使得∠DCP=60°，连接OD,则 0D长的最大值为一 6.(24-25八年级下·山东济南·月考)如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴上，△0AB是边长为4的 等边三角形，已知点C(-8,O),D(2,O),点P是线段CD上一点，连接BP,将线段BP绕点B逆时针旋转 60°得到线段BQ,连接AQ.在点P从点C运动到点D的过程中，线段AQ扫过的面积为 0D大 三、解答题 7.(2025九年级全国专题练习)如图1，在ABC中，∠ACB=90°，AC=2,BC=2V3,以点B为圆 心，√5为半径作圆.点P为OB上的动点，连接PC,作P'C⊥PC,使点P落在直线BC的上方，且满足 P'C:PC=1:V3,连接BP,AP'. 图1 图2 备用图 (1)求∠BAC的度数，并证明△AP'C∽△BPC: (2)如图2，若点P在AB上时，连接BP',求BP'的长： (3)点P在运动过程中，BP'是否有最大值或最小值？若有，请求出当BP'取得最大值或最小值时， 10/12