专题13 最值模型之将军遛马模型与将军过桥（造桥）模型（几何模型讲义）（北京专用）2026年中考数学一轮复习几何模型系列

扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题13最值模型之将军遛马模型与将军过桥（造桥）模型 目录导航 目录 例题讲模型 模型1.将军遛马模型 模型2.将军造桥（过桥)模型 10 习题练模型 19 例题讲模型 模型1.将军遛马模型 模型解读 将军遛马模型：己知A、B是两个定点，P、Q是直线m上的两个动点，P在Q的左侧，且PQ间长度恒定 ,在直线m上要求P、Q两点，使得PA+PQ+QB的值最小。 点A、B在直线m异侧（图1-1）；点A、B在直线m同侧（图1-2）； 图1-1 图1-2 模型证明 将军遛马模型（异侧型)：如图1-1，过A点作AClm,且AC=PQ,连接BC,交直线m于Q,Q向左平移 PQ长，即为P点，此时P、Q即为所求的点。 ,PQ为定值，∴.求PA+PQ+QB的最小值，即求PA+QB的最小值+PQ。 ,ACm,AC=PQ,得到四边形APQC为平行四边形，故AP=QC。.PA+QB=QC+QB, 1/10 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 再利用“两点之间线段最短”，可得PA+QB的最小值为CB,故PA+PQ+QB的最小值=PQ+CB. 图1-1 图1-2 将军遛马模型（同侧型）：如图1-2，过A点作AEm,且AE=PQ,作B关于m的对称点B°，连接B'E,交 直线m于Q,Q向左平移PQ长，即为P点，此时P、Q即为所求的点。 ,PQ为定值，∴.求PA+PQ+QB的最小值，即求PA+QB的最小值+PQ。 :AElm,AE=PQ,得到四边形APQE为平行四边形，故AP=QE。∴.PA+QB=QE+QB, 根据对称，可得QB'=QB,即QE+QB=QE+QB', 再利用“两点之间线段最短”，可得QE+QB的最小值为EB',故PA+PQ+QB的最小值=PQ+EB'。 模型运用 例1.(2025陕西榆林.一模)如图，在菱形ABCD中，AB=5,BD=8,点E,F在BD上，连接AE, CF.若EF=2,则AE+CF的最小值为一 D 例2.(25-26九年级上陕西延安·月考)如图，抛物线y=-x2+2x+3与x轴分别交于A,B两点，与y轴交 于点C,P2为抛物线对称轴上的线段，且PQ=2,连接AC、CP、AQ,则四边形ACPQ周长的最小值 为 B 4 例3.(24-25九年级下北京开学考试)在平面直角坐标系x0y中，抛物线y=3(x-(x-3到与轴交于点 2/10 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 M,N(点M在点N的左侧)，与y轴交于点C,点A,B是抛物线对称轴上两点（点A在点B的上方） 且AB=2,则CA+BM的最小值为 例4.(2425八年级下山东威海·期末)数学研究小组发现，求线段最值问题的解决策略：对两条线段作 某种变换（平移、轴对称、旋转等），最终转化为“两点之间线段最短问题”去解决， 图1 图2 图3 (I)如图1，己知菱形ABCD,∠A=60°，AB=2,点E是BC边中点，点F是对角线BD边上的动点.连接 EF,CF,则EF+CF的最小值为 ； (2)如图2，已知矩形ABCD,AB=6,BC=3.点E是BC上的点，且CE=1,点F,G是CD上的动点， 且FG=1,连接AG,则EF+FG+AG的最小值为 ； (3)如图3，已知正方形ABCD,AB=2,E是AC上的动点，F是BC上的动点，且AE=CF.连接AF, DE,求AF+DE的最小值： 模型2.将军造桥（过桥）模型 模型解读 将军造桥（过桥）模型：已知，如图2，将军在图中点A处，现要过河去往B点的军营，桥必须垂直于河岸建 造，问：桥建在何处能使路程最短？（即：AM什MN+NB的值最小）。 图2-1 图2-2 模型证明 将军造桥（过桥)模型：如图2-2，过A点作AAMN,且AA'=MN,连接A'B, 3/10 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ,AAMN,且AA'=MN.四边形APQC为平行四边形，故AM=A'N, ,'MN为定值，.求AM什MN+NB的最小值，即求AM+NB的最小值+MN。 再利用“两点之间线段最短”，可得AM什NB的最小值为A'B,故AM+MN4NB的最小值=A'B+MN。 模型运用 例1.(2425八年级下·福建漳州期中)河的两岸成平行线，A,B是位于河两岸的两个车间（如图），要 在河上造一座桥，使桥垂直于河岸，并且使A,B间的路程最短.确定桥的位置的方案如下：作从A到河岸 的垂线，分别交河岸PQ,MN于F,G.在AG上取AE=FG,连接EB,EB交MN于D.在D处作到对 岸的垂线DC,那么DC就是造桥的位置，请你对方案可行性给出证明. P F ------------> M G D B 例2.(25-26八年级上·福建龙岩·期中)综合与实践 【提出问题】唐朝诗人李颀的诗《古从军行》中“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”里隐含着一个有趣的数 学问题一将军饮马，如图(1)，将军从山脚下的点A出发，到一条笔直的河边1饮马后再回到点B宿营， 他时常想，怎么走才能使他每天走的路程之和最短呢？ P 草地 图(1) 图(2) 图(3) 图(4) 图(5) 【分析问题】小亮：如图(2)，作点B关于直线1的对称点B,连接AB'与直线1交于点C,点C就是饮马 的地方，此时按路线走的路程就是最短的 小慧：你能详细解释为什么吗？ 小亮：如图(3)，在直线1上另取不同于点C的任一点C,连接AC',BC',B'C' :点B、B关于直线l对称，点C、C在直线1上， .CB=,C'B=, ∴AC+CB=AC+CB' :在△ACB'中，AB′<AC'+CB′， <AC'+CB',即AC+CB最小。 4/10 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【解决问题】 任务一 请将小亮的说明过程补充完整， (直接填在横线上) 如图(4)，将军从A地出发，先到草地边某一处牧马；再到河边饮马，然后回到B处，请在 任务二 图中设计一条路线，使其所走的路径最短.（保留画图痕迹） 如图(5)，在P、Q两村之间有一条河，且这条河的宽度处处相等，从P村前往Q村，要经 任务三 过这条河，现要在这条河上造一座垂直于河岸的桥MW,则这座桥MN造在何处可使由P村到 Q村的路程最短？（保留画图痕迹，在图上画出道路和桥的位置） 例3.(2023.山东中考二模)如图，抛物线y=ax2+bx+c(a0),经过点A(-1,0),B(3,0),C(0,3 )三点.(1)求抛物线的解析式及顶点M的坐标；(2)连接AC、BC,N为抛物线上的点且在第四象限，当SA wBc=S△4BC时，求N点的坐标；(3)在(2)问的条件下，过点C作直线lx轴，动点P(m,3)在直线1上， 动点Q(m,O)在x轴上，连接PM、PQ、NQ,当m为何值时，PM+PQ+ON最小，并求出PM+PQ+QN的 最小值. y个 图1 图2 备用图 例4.(24-25九年级下·湖南株洲开学考试)如图，在平面直角坐标系中，拋物线y=ax2+bx+4(a≠0)经 过点-l,6),与y轴交于点C,与x轴交于A,B两点(A在B的左侧)，连接AC,BC,tan∠CBA=4. M B B 备用图 ()求抛物线的表达式： (②)点P是射线CA上方抛物线.上的一动点，过点P作PE⊥x轴，垂足为E,交AC于点D.点M是线段 5/10 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 DE,上一动点，MN⊥y轴，垂足为N,点F为线段BC的中点，连接AM,NF. ①求线段PD长度的最大值 ②当线段PD长度取最大值时，求AM+MN+NF的最小值： ③将该抛物线沿射线CA方向平移，使得新地物线经过(2)中线段PD长度取得最大值时的点D,且与直线 AC相交于另一点K.点Q为新抛物线上的一个动点，当∠QDK=∠ACB时，接写出所有符合条件的点Q 的坐标。 习题练模型 1.如图，菱形ABCD的边长为2√5，∠ABC=60°，点E、F在对角线BD上运动，且EF=2,连接AE、AF ,则△AEF周长的最小值是() D A.4 B.4+V5 C.2+2V5 D.6 2.已知，在河的两岸有A,B两个村庄，河宽为4千米，A、B两村庄的直线距离AB=10千米，A、B两村 庄到河岸的距离分别为1千米、3千米，计划在河上修建一座桥MN垂直于两岸，M点为靠近A村庄的河 岸上一点，则AM+BW的最小值为) A.213 B.1+3V5 C.3+V37 D.V85 3.如图，在直角坐标系中，A-2,0),B(0,2),C是OB的中点，点D在第二象限，且四边形AOCD为矩 形，P是CD上一个动点，过点P作PH⊥OA于H,Q是点B关于点A的对称点，则BP+PH+HQ的最小 值为一 6/10 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4.(24-25九年级上河南信阳月考)如图，抛物线y=-x2+2x+3交x轴于A,B两点，交y轴于点C,，点 D为抛物线的顶点，点C关于抛物线的对称轴的对称点为E,点G,F分别在x轴和y轴上，则四边形 EDFG周长的最小值为」 B 5.如图，正方形ABCD中，点G是BC边上一定点，点E、F、H分别是边AD、AB、CD上的动点，若 ,则四边形EFGH的周长最小时 6. (2024江苏扬州一模)如图，在矩形ABCD中，点E、F是对角线BD上的两点，∠CBD=30°， AB=EF,点G是边BC的中点.当GE+AF取最小值时， DF的值为一 B E B G 7.(25-26八年级上·全国课后作业)综合与实践 【提出问题】唐朝诗人李颀的诗《古从军行》中“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”里隐含着一个有趣的数 学问题一将军饮马.如图①，将军从山脚下的点A出发，到一条笔直的河边1饮马后再回到点B宿营， 他时常想，怎么走才能使他每天走的路程之和最短呢？ 图① 图② 图③ 图④ 图⑤ 【分析问题】 7/10 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)小亮：如图②，作点B关于1的对称点B,连接AB'与1交于点C,点C就是饮马的地方，此时按路 线AC-CB走的路程就是最短的. 小慧：你能详细解释原因吗？ 小亮：如图③，在1上另取一点C,连接AC',BC',B'C',只要证明AC+CB<AC'+CB即可.请写出小 亮的证明过程. 【解决问题】 (2)任务一：如图④，将军牵马从军营P处出发，先到河边OA饮马，再到草地OB牧马，最后回到P处， 试分别在OA和OB上各找一点E,F,使得将军走过的路程最短（保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路径 用实线)； (3)任务二：如图⑤，在P,Q两村之间有两条河，且每条河的宽度处处相等，从P村前往Q村，要经过 这两条河.现在要在这两条河上分别造一座垂直于河岸的桥EF,MN,则这两座桥EF,MN造在何处可使 由P村到Q村的路程最短（要求在图上标出道路和大桥的位置）？ 8.(1)问题提出如图①，在△ABC中，AB=AC=6,LBAC=120°，点D,E分别是AB,AC的中点，若点 M,N分别是DE和BC上的动点，则AM+MN的最小值是一： (2)问题探究：如图②，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥（与河床垂直），桥造在何处， 才能使从A到B的路径A→M→N→B最短.博琳小组针对该问题展开讨论，小旭同学认为：过A作河 岸的垂线，使AA'=MN,MN为河宽，连接A'B,A'B与河的一岸交于点N,此时在点N处建桥，可使从A 到B的路径A→M→N→B最短.你认为小旭的说法正确吗？请说明理由.(3)问题解决：如图③，在 矩形ABCD中，AB=60,BC=80,E、F分别在AB,CD上，且满足EF∥BC，,BE=20.若边长为10的正 方形MNPO在线段EF上运动，连接BM、DP,当BM+DP取值最小时，求EN的长 D D N MN M W 图① 图② 图③ 9.（2025陕西西安模拟预测)问题提出 (I)如图1，ABC中，∠C=90°，AC=BC=3,E是AB的中点，P是BC边上的一动点，则PA+PE的最 小值为 8/10 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 图1 问题探究 (2)如图2，在平行四边形ABCD中，AB=6,AD=2,∠BAD=60°，E,F是CD边上的动点，且EF=1, 则AE+BF的最小值是多少？ DE F 图2 问题解决 (3)如图3是夹角为30的港湾（∠M0N=30),ON岸上有一个码头A,湾内有个小岛B,OA=2000m,小 岛B与OM的距离为500m,与ON的距离为2000m.现拟在0M,ON岸上设置C,D,E三处游客接驳点，点 C在OM上，点D,E在ON上，且为了游客方便及安全，D,E之间的距离为1000m,客船从码头A出发， 沿AC-CD-DE-EB前行，最终到达小岛B,请问，根据两岸接驳点的安排，是否存在最短的运输路线？ 若存在，请求出最短运输路线长；若不存在，请说明理由. M B N 图3 10.(25-26九年级上·重庆·月考)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2x+b的图像与一次函数 y=-x+1的图像交于A,B两点，已知B(6,-5). O B 9/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)求抛物线的表达式： (2)点C是直线AB上方抛物线上的一动点，连接AC，BC.点M,N是y轴上的两动点(M在N上方)， 且满足MN=3,连接CM,BN,当ABC的面积取得最大值时，求CM+MN+BN的最小值； (3)当(2)中CM+MN+BN取得最小值时，若Q是抛物线对称轴上位于直线MC上方的一动点，是否存在 以C、M(、Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出满足条件的点Q的坐标；若不存在，请 说明理由. 10/10 专题13 最值模型之将军遛马模型与将军过桥（造桥）模型 目录 1 模型1.将军遛马模型 1 模型2.将军造桥（过桥）模型 10 19 模型1.将军遛马模型 将军遛马模型：已知A、B是两个定点，P、Q是直线m上的两个动点，P在Q的左侧，且PQ间长度恒定，在直线m上要求P、Q两点，使得PA+PQ+QB的值最小。 点A、B在直线m异侧（图1-1）；点A、B在直线m同侧 （图1-2）； 图1-1 图1-2 将军遛马模型（异侧型）：如图1-1，过A点作AC∥m,且AC=PQ，连接BC，交直线m于Q，Q向左平移PQ长，即为P点，此时P、Q即为所求的点。 ∵PQ为定值，∴求PA+PQ+QB的最小值，即求PA+QB的最小值+PQ。 ∵AC∥m，AC=PQ，得到四边形APQC为平行四边形，故AP=QC。∴PA+QB=QC+QB， 再利用“两点之间线段最短”，可得PA+QB的最小值为CB，故PA+PQ+QB的最小值=PQ+CB. 图1-1 图1-2 将军遛马模型（同侧型）：如图1-2，过A点作AE∥m,且AE=PQ，作B关于m的对称点B’，连接B’E，交直线m于Q，Q向左平移PQ长，即为P点，此时P、Q即为所求的点。 ∵PQ为定值，∴求PA+PQ+QB的最小值，即求PA+QB的最小值+PQ。 ∵AE∥m，AE=PQ，得到四边形APQE为平行四边形，故AP=QE。∴PA+QB=QE+QB， 根据对称，可得QB’=QB，即QE+QB=QE+QB’， 再利用“两点之间线段最短”，可得QE+QB’的最小值为EB’，故PA+PQ+QB的最小值=PQ+EB’。 例1．（2025·陕西榆林·一模）如图，在菱形中，，，点，在上，连接，．若，则的最小值为 ．    【答案】 【分析】本题考查菱形的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理．通过添加辅助线构造平行四边形是解题的关键． 作，，构造平行四边形，推出，，可得，当点G，F，C共线时等号成立，的最小值等于，结合菱形的性质，勾股定理，即可求解． 【详解】解：如图，作，，菱形的对角线交于点O，    菱形中，，， ，， ， ． ，， 四边形是平行四边形， ，， ， 当点G，F，C共线时等号成立，的最小值等于， ，， ， ， 的最小值为． 故答案为：． 例2．（25-26九年级上·陕西延安·月考）如图，抛物线与轴分别交于，两点，与轴交于点，为抛物线对称轴上的线段，且，连接、、，则四边形周长的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了利用二次函数对称性求最短路径，二次函数与特殊四边形，二次函数的性质，先求出点，点，则抛物线的对称轴为，作点关于抛物线对称轴的对称点，将点向下平移个单位得到点，连接交抛物线对称轴于点，将点向上平移两个单位得到点，由且，则四边形为平行四边形，所以，由抛物线的对称性知，，故有四边形周长，则当三点共线时四边形周长最小为，然后通过两点间的距离公式即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由得，当时，， ∴点， 令，则或， ∴点，点， ∴抛物线的对称轴为直线， 如图，作点关于抛物线对称轴的对称点，将点向下平移个单位得到点，连接交抛物线对称轴于点，将点向上平移两个单位得到点， ∵且， ∴四边形为平行四边形， ∴， 由抛物线的对称性知，， ∴， ∴四边形周长， ∵、为定值，， ∴当三点共线时，取得最小值，最小值为， 即四边形周长的最小值， ∵，，，， ∴，， ∴， 故答案为：． 例3．（24-25九年级下·北京·开学考试）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点．点，是抛物线对称轴上两点（点在点的上方）且，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的几何综合，平行四边形的判定与性质，两点之间线段最短，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先得求出，连接，过点A作轴交于点E，连接，证明四边形是平行四边形，得出，结合二次函数的对称性得到，由两点之间线段最短，当三点共线时，有最小值，再根据平行四边形的性质得到，运用两点距离公式列式计算即可作答． 【详解】解：令，则或， 将代入，则， ∴， ∴抛物线的对称轴为， 如图，连接，过点A作轴交于点E，连接， 则四边形是平行四边形， ∴， ∵点，是抛物线对称轴上两点（点在点的上方）， ∴， 当三点共线时，有最小值，最小值为的长， ∵四边形是平行四边形，，， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 例4．（24-25八年级下·山东威海·期末）数学研究小组发现，求线段最值问题的解决策略：对两条线段作某种变换（平移、轴对称、旋转等），最终转化为“两点之间线段最短问题”去解决． (1)如图1，已知菱形，，，点E是边中点，点F是对角线边上的动点．连接，，则的最小值为________； (2)如图2，已知矩形，，．点E是上的点，且，点F，G是上的动点，且，连接．则的最小值为________； (3)如图3，已知正方形，，E是上的动点，F是上的动点，且．连接，，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）取中点记作点，连接，，，记与的交点为点，连接，，先根据三角形的中位线性质和菱形性质证明点是点E关于的对称点，则，当点F运动到点时，的最小值，即的长， 证明为等边三角形和为等腰三角形，利用等边三角形的性质和勾股定理求解即可求解； （2）在上取点H，使得，连接，证明四边形是平行四边形，得到，在延长线上取点，使得，连接，则，进而利用两点之间线段最短得到的最小值为，然后利用勾股定理求得即可求解； （3）在下方，过C作，且，连接，，证明得到，由，当A、F、P共线时取等号，可得的最小值为的长；过P作于H，延长线于Q，由等腰直角三角形的判定与性质求得，再证明四边形是矩形，得到，，在中利用勾股定理求得即可． 【详解】（1）解：取中点记作点，连接，，， 记与的交点为点，连接，， ∵点E，点分别是，边中点， ∴，，， 在菱形中，，, ∴，， ∴点是点E关于的对称点， ∴， ∴当点F运动到点时，的最小值，即的长， 在菱形中，，， ∴，则为等边三角形， ∴， ∴，则为等腰三角形， ∵点是边中点， ∴，，即， 又，， ∴，则， 在中，， 又∵，，， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：； （2）解：∵四边形是矩形， ∴，， 在上取点H，使得，连接，则 ∴四边形是平行四边形， ∴， 在延长线上取点，使得，连接，则， ∴，当H、F、共线时取等号， ∴的最小值为， ∵，． ∴中，，， ∴， ∴的最小值为； （3）解：在下方，过C作，且，连接，， ∵四边形是正方形，， ∴，，， ∴，， ∴，又， ∴， ∴， ∴，当A、F、P共线时取等号， ∴的最小值为的长； 过P作于H，延长线于Q，则， 在中，，，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， 在中，， ∴， ∴的最小值为． 模型2.将军造桥（过桥）模型 将军造桥（过桥）模型:已知，如图2，将军在图中点A处，现要过河去往B点的军营，桥必须垂直于河岸建造，问：桥建在何处能使路程最短？（即：AM+MN+NB的值最小）。 图2-1 图2-2 将军造桥（过桥）模型：如图2-2，过A点作AA’∥MN，且AA’=MN，连接A’B， ∵AA’∥MN，且AA’=MN ∴四边形APQC为平行四边形，故AM=A’N， ∵MN为定值，∴求AM+MN+NB的最小值，即求AM+NB的最小值+MN。 再利用“两点之间线段最短”，可得AM+NB的最小值为A’B，故AM+MN+NB的最小值=A’B+MN。 例1．（24-25八年级下·福建漳州·期中）河的两岸成平行线，A，B是位于河两岸的两个车间（如图），要在河上造一座桥，使桥垂直于河岸，并且使A，B间的路程最短．确定桥的位置的方案如下：作从A到河岸的垂线，分别交河岸，于F，G．在上取，连接，交于D．在D处作到对岸的垂线，那么就是造桥的位置，请你对方案可行性给出证明．    【答案】见解析． 【知识点】利用平行四边形的判定与性质求解、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】本题考查轴对称-最短问题，解题的关键是学会利用轴对称以及平行四边形的性质解决最短问题． 证明四边形为平行四边形得，可得，进而可说明方案可行． 【详解】解：，， ． ， ， 四边形为平行四边形， ． 根据两点之间线段最短可知， ． 与河岸垂直，为定值， 当时，路径最短． 例2．（25-26八年级上·福建龙岩·期中）综合与实践 【提出问题】唐朝诗人李颀的诗《古从军行》中“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”里隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马，如图（1），将军从山脚下的点出发，到一条笔直的河边饮马后再回到点宿营，他时常想，怎么走才能使他每天走的路程之和最短呢？ 【分析问题】小亮：如图（2），作点关于直线的对称点，连接与直线交于点，点就是饮马的地方，此时按路线走的路程就是最短的． 小慧：你能详细解释为什么吗？ 小亮：如图（3），在直线上另取不同于点的任一点，连接，，． ∵点、关于直线对称，点、在直线上， ∴______，______， ∴______． ∵在中，， ∴______，即最小． 【解决问题】 任务一 请将小亮的说明过程补充完整．（直接填在横线上） 任务二 如图（4），将军从地出发，先到草地边某一处牧马；再到河边饮马，然后回到处，请在图中设计一条路线，使其所走的路径最短．（保留画图痕迹） 任务三 如图（5），在、两村之间有一条河，且这条河的宽度处处相等，从村前往村，要经过这条河，现要在这条河上造一座垂直于河岸的桥，则这座桥造在何处可使由村到村的路程最短？（保留画图痕迹，在图上画出道路和桥的位置） 【答案】任务一: ,,,; 任务二:见详解； 任务三：见详解． 【分析】本题考查了轴对称之将军饮马模型，掌握轴对称变换和两点之间线段最短是解题的关键． 【详解】解：任务一 ∵点、关于直线对称，点、在直线上， ∴，， ∴． ∵在中，， ∴，即最小； 任务二 如图，即为最短路径． 任务三 如图，即为最短路径． 例3．（2023.山东中考二模）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0），经过点A（-1，0），B（3，0），C（0，3）三点．(1)求抛物线的解析式及顶点M的坐标；(2)连接AC、BC，N为抛物线上的点且在第四象限，当S△NBC=S△ABC时，求N点的坐标；(3)在（2）问的条件下，过点C作直线l∥x轴，动点P（m，3）在直线l上，动点Q（m，0）在x轴上，连接PM、PQ、NQ，当m为何值时，PM+PQ+QN最小，并求出PM+PQ+QN的最小值． 【答案】(1)y=-x2+2x+3，顶点M坐标为（1，4）；(2)点N坐标为（4，-5）； (3)当m=时，PM+PQ+QN有最小值，最小值为3+3． 【分析】（1）将点A、B、C坐标代入解析式，解关于a、b、c的方程组可得函数解析式，配方成顶点式即可得点M坐标；（2）设N（t，-t2+2t+3）（t＞0），根据点N、C坐标用含t的代数式表示出直线CN解析式，求得CN与x轴的交点D坐标，即可表示BD的长，根据S△NBC=S△ABC，即S△CDB+S△BDN=AB•OC建立关于t的方程，解之可得；（3）将顶点M（1，4）向下平移3个单位得到点M′（1，1），连接M′N交x轴于点Q，连接PQ，此时M′、Q、N三点共线时，PM+PQ+QN=M′Q+PQ+QN取最小值，由点M′、N坐标求得直线M′N的解析式，即可求得点Q的坐标，据此知m的值，过点N作NE∥x轴交MM′延长线于点E，可得M′E=6、NE=3、M′N=3，即M′Q+QN=3，据此知m=时，PM+PQ+QN的最小值为3+3． 【详解】（1）解：∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点A（-1，0），B（3，0），C（0，3）， ∴，解得：，∴y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，则抛物线的顶点M坐标为（1，4）； （2）解：∵N是抛物线上第四象限的点，∴设N（t，-t2+2t+3）（t＞3）， 又点C（0，3），设直线NC的解析式为y=k1x+b1， 则，解得：，∴直线NC的解析式为y=（-t+2）x+3， 设直线CN与x轴交于点D，当y=0时，x=，∴D（，0），BD=3-， 　　 ∵S△NBC=S△ABC，∴S△CDB+S△BDN=AB•OC，即BD•|yC-yN|= [3-（-1）]×3， 即×（3-）[3-（-t2+2t+3）]=6，整理，得：t2-3t-4=0，解得：t1=4，t2=-1（舍去）， 当t=4时，-t2+2t+3=-5，∴点N坐标为（4，-5）； （3）解：将顶点M（1，4）向下平移3个单位得到点M′（1，1），连接M′N交x轴于点Q，连接PQ， 则MM′=3，∵P（m，3）、Q（m，0），∴PQ⊥x轴，且PQ=OC=3， ∴PQ∥MM′，且PQ=MM′，∴四边形MM′QP是平行四边形，∴PM=QM′， 由作图知当M′、Q、N三点共线时，PM+PQ+QN=M′Q+PQ+QN取最小值， 设直线M′N的解析式为y=k2x+b2（k2≠0）， 将点M′（1，1）、N（4，-5）代入，得：，解得：， ∴直线M′N的解析式为y=-2x+3，当y=0时，x=，∴Q（，0），即m=， 此时过点N作NE∥x轴交MM′延长线于点E，在Rt△M′EN中，∵M′E=1-（-5）=6，NE=4-1=3， ∴M′N=，  ∴M′Q+QN=3，∴当m=时，PM+PQ+QN的最小值为3+3． 例4．（24-25九年级下·湖南株洲·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，拋物线经过点，与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），连接，，． (1)求抛物线的表达式； (2)点P是射线上方抛物线．上的一动点，过点P作轴，垂足为E，交于点D．点M是线段．上一动点，轴，垂足为N，点F为线段的中点，连接，． ①求线段长度的最大值 ②当线段长度取最大值时，求的最小值； ③将该抛物线沿射线方向平移，使得新地物线经过（2）中线段长度取得最大值时的点D，且与直线相交于另一点K．点Q为新抛物线上的一个动点，当时，接写出所有符合条件的点Q的坐标． 【答案】(1)； (2)①；②；③或． 【分析】（1）由题意利用正切函数求得，得到，再利用待定系数法即可求解； （2）①求得，利用待定系数法求得直线的解析式，设，即可求得最大值； ②证明四边形是平行四边形，得到，推出当共线时，取最小值，即取最小值，据此求解即可； ③求得，再利用平移的性质得到新抛物线的解析式，再分两种情况讨论，计算即可求解． 【详解】（1）解：令，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 将和代入得， 解得， ∴抛物线的表达式为； （2）①解：令，则， 解得或， ∴， 设直线的解析式为， 代入，得， 解得 ：， ∴直线的解析式为， 设（），则， ∴， ∵， ∴当时，最大，此时， ∴ ②由①得：，，， ∴，， 连接， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴当共线时，取最小值，即取最小值， ∵点为线段的中点， ∴， ∴， ∴的最小值为； ③解：由①得点的横坐标为，代入，得， ∴， ∴新抛物线由向左平移2个单位，向下平移2个单位得到， ∴， 过点作交抛物线于点， ∴， 同理求得直线的解析式为， ∵， ∴直线的解析式为， 联立得， 解得，， 当时，， ∴， 作关于直线的对称线得交抛物线于点， ∴， 设交轴于点， 由旋转的性质得到， 过点作轴，作轴于点，作于点， 当时，， 解得， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 同理直线的解析式为， 联立， 解得或， 当时，， ∴， 综上，符合条件的点的坐标为或． 1．如图，菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝60°，点E、F在对角线BD上运动，且EF＝2，连接AE、AF，则△AEF周长的最小值是（    ） A．4 B．4+ C．2+2 D．6 【答案】D 【分析】作AH∥BD，使得AH＝EF＝2，连接CH交BD于F，则AE+AF的值最小，进而得出△AEF周长的最小值即可． 【详解】解：如图作AH∥BD，使得AH＝EF＝2，连接CH交BD于F，则AE+AF的值最小，即△AEF的周长最小． ∵AH＝EF，AH∥EF，∴四边形EFHA是平行四边形，∴EA＝FH，∵FA＝FC，∴AE+AF＝FH+CF＝CH， ∵菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝60°，∴AC＝AB＝2， ∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∵AH∥DB，∴AC⊥AH，∴∠CAH＝90°， 在Rt△CAH中，CH＝ ∴AE+AF的最小值4， ∴△AEF的周长的最小值＝4+2＝6，故选：D． 2．已知，在河的两岸有A，B两个村庄，河宽为4千米，A、B两村庄的直线距离AB＝10千米，A、B两村庄到河岸的距离分别为1千米、3千米，计划在河上修建一座桥MN垂直于两岸，M点为靠近A村庄的河岸上一点，则AM+BN的最小值为(   ) A．2 B．1+3 C．3+ D． 【答案】A 【分析】作BB'垂直于河岸，使BB′等于河宽，连接AB′，与靠近A的河岸相交于M，作MN垂直于另一条河岸，则MN∥BB′且MN＝BB′，于是MNBB′为平行四边形，故MB′＝BN；根据“两点之间线段最短”，AB′最短，即AM+BN最短，此时AM+BN＝AB′． 【详解】解：如图，作BB'垂直于河岸，使BB′等于河宽，连接AB′，与靠近A的河岸相交于M，作MN垂直于另一条河岸，则MN∥BB′且MN＝BB′，于是MNBB′为平行四边形，故MB′＝BN． 根据“两点之间线段最短”，AB′最短，即AM+BN最短． ∵AB＝10千米，BC＝1+3+4＝8千米，∴在RT△ABC中，， 在RT△AB′C中，B′C＝1+3＝4千米，∴AB′＝千米；故选A． 3．如图，在直角坐标系中，，，C是的中点，点D在第二象限，且四边形为矩形，P是上一个动点，过点P作于H，Q是点B关于点A的对称点，则的最小值为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了一次函数点的坐标的求法、三角形面积的求法和三点共线及最值，综合性强，是中考常见题型．连接，根据、的坐标先确定和的长，证明四边形是矩形，得，再证明四边形是平行四边形，则，在中，是定值，所以只要的值最小就可以，当、、在同一直线上时，的值最小，利用平行四边形的性质求出即可． 【详解】解：如图，连接，，，，， 是的中点，，，四边形是矩形，， ，四边形是平行四边形，，， 要使的值最小，只需、、三点共线即可， 点是点关于点的对称点，，又点，根据勾股定理可得， 此时，，即的最小值，6；故答案为：6 4．（24-25九年级上·河南信阳·月考）如图，抛物线交轴于，两点，交轴于点，点为抛物线的顶点，点关于抛物线的对称轴的对称点为，点，分别在轴和轴上，则四边形周长的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了二次函数综合，轴对称最短路径问题，勾股定理，先求出顶点D的坐标为，对称轴为直线，再求出，则由对称性可得，利用勾股定理求出；作点D关于y轴的对称点H，作点E关于x轴的对称点T，连接，则，，可推出当H、F、G、T四点共线时，最小，即此时四边形的周长最小，最小值为，据此利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：∵抛物线解析式为， ∴顶点D的坐标为，对称轴为直线， 在中，当，， ∴， ∵点关于抛物线的对称轴的对称点为， ∴， ∴； 如图所示，作点D关于y轴的对称点H，作点E关于x轴的对称点T，连接， ∴，， ∴四边形的周长， ∴当H、F、G、T四点共线时，最小，即此时四边形的周长最小，最小值为， ∵， ∴四边形的周长最小值为． 故答案为：． 5．如图，正方形中，点是边上一定点，点、、分别是边、、上的动点，若，则四边形的周长最小时 ．    【答案】 【分析】如图，作点G关于的对称点，作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接交于点，交于点，连接，交于点，连接、，四边形的周长最小，求出此时即可． 【详解】解：如图，作点G关于的对称点，作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接交于点，交于点，连接，交于点，连接、，四边形的周长最小，    由对称的性质知，， ∴，当、、三点共线时值最小； 同理可得：，当、、、四点点共线时值最小； ∵，正方形是正方形； ∴，， 由对称的性质知，，，，，， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴． ∴ 故答案为：． 6．（2024·江苏扬州·一模）如图，在矩形中，点E、F是对角线上的两点，，，点G是边的中点．当取最小值时，的值为 ． 【答案】2 【分析】取的中点，连接．根据点是边上的中点，则，推出四边形是平行四边形，所以，因此，当、、三点在同一直线上时，最小，即，由，推出，代入计算得出答案． 【详解】解：如图，取的中点，连接． ∵点是边上的中点，∴是的中位线，∴． ∵是矩形，，∴，，∴，∴， ∵，∴，∴四边形是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)， ∴，∴，∴当、、三点在同一直线上时，最小， ∵，，∴，∴， ∴，∴，故答案为：2． 7．（25-26八年级上·全国·课后作业）综合与实践 【提出问题】唐朝诗人李颀的诗《古从军行》中“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”里隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马．如图①，将军从山脚下的点A出发，到一条笔直的河边l饮马后再回到点B宿营，他时常想，怎么走才能使他每天走的路程之和最短呢？ 【分析问题】 （1）小亮：如图②，作点B关于l的对称点，连接与l交于点C，点C就是饮马的地方，此时按路线走的路程就是最短的． 小慧：你能详细解释原因吗？ 小亮：如图③，在l上另取一点，连接，只要证明即可．请写出小亮的证明过程． 【解决问题】 （2）任务一：如图④，将军牵马从军营P处出发，先到河边饮马，再到草地牧马，最后回到P处，试分别在和上各找一点，使得将军走过的路程最短（保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路径用实线）； （3）任务二：如图⑤，在P，Q两村之间有两条河，且每条河的宽度处处相等，从P村前往Q村，要经过这两条河．现在要在这两条河上分别造一座垂直于河岸的桥，则这两座桥造在何处可使由P村到Q村的路程最短（要求在图上标出道路和大桥的位置）？ 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析 【分析】本题考查将军饮马问题，熟练掌握轴对称的性质，是解题的关键： （1）根据成轴对称的性质，结合三角形的三边关系即可得出结论； （2）分别作点P关于的对称点C，D，连接，分别交于点E，F，则路线即为所求； （3）分别过点P和点Q作的垂线，垂足分别为A，B，在上截取等于靠近P村的河的宽，在上截取等于靠近Q村的河的宽，连接分别交于点E，M，分别过点E，M作的垂线，垂足分别为F，N，连接，则路线即为所求． 【详解】（1）解：∵点关于l对称， ， ， ， ， ∴作点B关于l的对称点，连接与l交于点C，点C就是饮马的地方，此时按路线走的路程是最短的． （2）任务一：如答图①所示，路线即为所求． （3）任务二：如答图②所示，路线即为所求． 8．（1）问题提出如图①，在中，，点D，E分别是的中点．若点M，N分别是和上的动点，则的最小值是______． （2）问题探究：如图②，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥（与河床垂直），桥造在何处，才能使从A到B的路径最短．博琳小组针对该问题展开讨论，小旭同学认为：过A作河岸的垂线，使，为河宽，连接，与河的一岸交于点N，此时在点N处建桥，可使从A到B的路径最短．你认为小旭的说法正确吗？请说明理由．（3）问题解决：如图③，在矩形中，．E、F分别在上，且满足，．若边长为10的正方形在线段上运动，连接，当取值最小时，求的长．    【答案】（1）3；（2）小旭的说法正确，理由见解析；（3）38或14 【分析】（1）连接，过点A作于点F，根据两点之间线段最短，可得当时，最短，此时点N与点F重合，即的最小值为的长，再根据直角三角形的性质，即可求解； （2）根据题意可得四边形为平行四边形，从而得到，再根据“两点之间线段最短”，当点，N，B三点共线时，最短，即可求解； （3）过点N分别作，分别交于点H，G，连接交于点T，过点G作于点X，则，，证明四边形，四边形都是平行四边形， 可得，从而得到当点H，T，G三点共线时，的值最小，此时点N与点T重合，然后证明，可得，可求得的长；过点Q分别作，分别交于点K，L，连接交于点S，当点K，S，L三点共线时，的值最小，此时点N与点S重合，同理可求出的长，即可求解． 【详解】解：（1）如图，连接，过点A作于点F，∴，    当时，最短，此时点N与点F重合，即的最小值为的长， ∵，∴，∴， ∴的最小值为3；故答案为：3 （2）解：小旭的说法正确，理由如下：根据题意得：，， ∴四边形为平行四边形，∴， 根据“两点之间线段最短”，当点，N，B三点共线时，最短， ∵为河宽，∴在点N处建桥，可使从A到B的路径最短． （3）如图，过点N分别作，分别交于点H，G，连接交于点T，过点G作于点X，则，，       根据题意得：，， ∴四边形，四边形都是平行四边形， ∴，∴， 即当点H，T，G三点共线时，的值最小，此时点N与点T重合， ∵，∴，，， ∵，∴，∴，∴，解得：， ∴； 如图，过点Q分别作，分别交于点K，L，连接交于点S，当点K，S，L三点共线时，的值最小，此时点N与点S重合，同理； 综上所述，当取值最小时，的长为38或14． 9．（2025·陕西西安·模拟预测）问题提出 （1）如图1，中，是的中点，是边上的一动点，则的最小值为_______； 问题探究 （2）如图2，在平行四边形中，，是边上的动点，且，则的最小值是多少？ 问题解决 （3）如图3是夹角为的港湾，岸上有一个码头，湾内有个小岛，小岛与的距离为，与的距离为．现拟在岸上设置三处游客接驳点，点在上，点在上，且为了游客方便及安全，之间的距离为，客船从码头出发，沿前行，最终到达小岛，请问，根据两岸接驳点的安排，是否存在最短的运输路线？若存在，请求出最短运输路线长；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）的最小值是；（3）存在最短的运输路线，最短运输路线长 【分析】本题考查线段和差的最值问题，涉及对称的性质，矩形的判定与性质，勾股定理等知识点； （1）延长至，使，连接，，，得到垂直平分，，则，，得到，当三点共线时，最小，在中利用勾股定理求解即可； （2）如图，作点关于的对称点，交延长线于，在线段上取一点，使，连接，，，先证明四边形是平行四边形，得到，根据点关于的对称点，得到， ，则，当、、三点共线时，最小，中利用勾股定理求解即可； （3）过作，，连接，得到四边形是平行四边形，，作点关于的对称点，点关于的对称点，连接、，则，，得到，当、、、四点共线时，最小，中利用勾股定理求解即可． 【详解】解：（1）如图，延长至，使，连接，，，则， ∵， ∴垂直平分，， ∴，， ∴， ∴当三点共线时，最小， ∵，， ∴， ∵是的中点， ∴， 中，， ∴的最小值为， 故答案为：； （2）如图，作点关于的对称点，交延长线于，在线段上取一点，使，连接，，， ∵在平行四边形中，， ∴，， ∴四边形是平行四边形，，， ∴， ∵点关于的对称点， ∴垂直平分， ∴，， ∴， ∴当、、三点共线时，最小， 中，，，则， ∴，， 中，，， ∴， ∴的最小值是； （3）存在最短的运输路线； 过作，，连接，如图 ∴四边形是平行四边形， ∴， 如图，作点关于的对称点，点关于的对称点，连接、，则，， ∴， ∴当、、、四点共线时，最小， 过作于，于，交于，过作于，于，则四边形、都是矩形， ∴，，，， ∵小岛与的距离为，与的距离为， ∴，， ∵，， ∴， ∴，即在上， ∵，点关于的对称点， ∴，，， ∴是等边三角形， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 中，，， ∴，， ∴， ∵中，，， ∴， ∴最小值为， 即最短运输路线长为. 10．（25-26九年级上·重庆·月考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图像与一次函数的图像交于A，B两点，已知．      (1)求抛物线的表达式； (2)点C是直线上方抛物线上的一动点，连接，．点M，N是y轴上的两动点（M在N上方），且满足，连接，，当的面积取得最大值时，求的最小值； (3)当（2）中取得最小值时，若Q是抛物线对称轴上位于直线上方的一动点，是否存在以C、M、Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）首先确定，将，两点代入并求解即可； （2）过点C作轴交直线于点E， 设点C坐标为，易得点E 坐标为，可知，结合三角形面积公式可得，由二次函数的性质可得当时，有最大值，此时，将点 B 关于y轴的对称点，再向上平移3个单位得到，连接、，,则有，即可获得答案； （3）根据待定系数法求出直线解析式，则可求点M的坐标，设，分三种情况讨论：；；，根据两点间距离公式构建关于m的方程，求解即可． 【详解】（1）解：对于一次函数，令，可得， ∴， 将，两点代入， 可得，解得， 则抛物线的表达式为； （2）解：过点C作轴交直线于点E， 设点C坐标为，    ∴点E 坐标为， ∴， ∵，， ∴， ∴当时，有最大值， 此时， 将点 B 关于y轴的对称点，再向上平移3个单位得到，连接、，,则， ，， 是平行四边形， ， ， ， 即当点、、三点共线时，有最小值， ， ， 即最小值为； （3）解：设直线解析式为， 把，代入，得， 解得， ∴， 当时，， ∴， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 对于，当时，， 设， 当时，， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴； 当时，， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴； 当时，， 解得（不符合题意，舍去）， 综上，点Q的坐标为或． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $