专题05 全等三角形模型之截长补短与倍长中线模型（几何模型讲义）（北京专用）2026年中考数学一轮复习几何模型系列

该初中数学中考复习讲义聚焦全等三角形核心模型，覆盖截长补短与倍长中线两大中考高频考点，通过"模型原理-证明思路-例题解析"系统架构知识体系。教案设计包含考点梳理（模型条件与结论）、方法指导（截长法、补短法、倍长中线法）、真题训练（各地月考及模拟题），助力学生突破几何证明难点，体现复习的系统性与针对性。 亮点在于以核心素养为导向，如通过截长补短模型中"在线段AC上截取AB'=AB"的辅助线构造，培养学生的几何直观与推理意识。设置分层练习（选择、填空、解答题）和真题精讲（如2025山东济宁一模题），确保学生掌握模型应用，提升问题解决能力，教师可据此精准把控复习节奏，实现高效备考。

专题05 全等三角形模型之截长补短与倍长中线模型 目录 1 模型1.截长补短模型 1 模型2.倍长中线模型 9 19 模型1.截长补短模型 条件：AD为△ABC的角平分线，∠B=2∠C。 结论：AB＋BD＝AC。 证明：法1（截长法）:在线段AC上截取线段AB′＝AB，连接DB。 ∵AD为△ABC的角平分线，∴∠BAD=∠B′AD，∵AD=AD，∴△ABD≌△AB′D（SAS） ∴∠B=∠AB′D，BD=B′D，∵∠B=2∠C，∴∠AB′D=2∠C，∴∠AB′D=2∠C，∴∠B′DC=∠C， ∴B′C＝B′D，∴BD=B′C，∵AB′＋B′C＝AC，∴AB＋BD＝AC。 法2（补短法）:延长AB至点C′使得AC′＝AC，连接BC′。 ∵AD为△ABC的角平分线，∴∠C′AD=∠CAD，∵AD=AD，∴△C′AD≌△CAD（SAS） ∴∠C′=∠C，∵∠B=2∠C，∴∠B=2∠C′，∴∠BDC′=∠C′，∴BC′＝BD， ∵AB＋BC′＝AC′，∴AB＋BD＝AC。 例1．（25-26八年级上·上海普陀·月考）在中，，平分交边于点，，则 °． 【答案】 【分析】本题考查等腰三角形的性质、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质以及角度计算．已知，说明是等腰三角形，底角相等；由，可能通过截取线段（在上取一点，使，连接）构造全等三角形来转化等量关系，得到等腰，进而结合三角形内角和定理求解． 【详解】解：设， ∵， ∴， 在上取一点，使，连接， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：45． 例2．（24-25八年级下·湖南岳阳·月考）在四边形中，，与互补，点E、F分别在射线、上，且，当，，时，的周长等于 ． 【答案】13 【分析】考查了全等三角形的判定与性质，证明三角形全等是解决问题的关键． 在上截取，先证，再证，可得，再由的周长即可解答． 【详解】解：在上取点G，使， ∵，， ∴， 在与中 ， ∴， ∴，， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 在与中 ， ∴ ∴． ∴ ∴的周长等于， ∵，，， ∴的周长等于 故答案：． 例3．（2025·山东济宁·一模）（1）如图①，在中，若，，则边上的中线的取值范围是_____； （2）如图②，在中，D是边上的中点，于点交于点交于点F，连接，求证：； （3）如图③，在四边形中，，，，以为顶点作一个角，角的两边分别交，于E，F两点，连接，探索线段，，之间的数量关系，并加以证明． 【答案】（1）；（2）见解析；（3），证明见解析 【分析】本题考查了三角形全等的判定定理与性质、三角形的三边关系定理、角的和差等知识点，通过作辅助线，构造两个全等三角形是解题关键． （1）延长至，使，连接，证明，得出，再利用三角形三边关系即可得出答案； （2）延长至点，使，连接，，同（1）得，，得出再证明，得出，最后再利用三角形三边关系即可得出答案； （3）延长至点，使，连接，证明得出，再证明，得出，即可得证． 【详解】（1）解：延长至，使，连接，如图1所示： ∵是边上的中线， ∴， 在和中， ∴， ∴， 在中，由三角形的三边关系得：， ∴，即， ∴； 故答案为：； （2）证明：延长至点，使，连接，，如图所示， 同（1）得，， ，， ∴， 在中，由三角形的三边关系得， ； （3）， 证明如下：延长至点，使，连接，如图所示， ，， 在和中， ， ∴， ， ， ， 在和中， ∴， ． ， ． 例4．（2025·吉林松原·三模）（1）【问题探究】如图1，已知是的中线，延长至点，使得．连结，求证：四边形是平行四边形． （2）【拓展提升】如图2，在的中线上任取一点（不与点、点重合），过点、点分别作， ，连结，，求证：四边形是平行四边形． （3）【灵活应用】如图3，在中，，，，点是的中点，点是直线上的动点，且，，当取得最小值时，求线段的长度． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，倍长中线构造全等三角形及运用等面积法是解题的关键． （1）由对角线互相平分的四边形是平行四边形即可证明； （2）延长到点，使，连接，利用证明，得，，可说明四边形是平行四边形，得，即可证明结论； （3）延长到点，使，连接，由（2）知，，，则取最小值时，最小，故时，最小，利用等面积法求出的长，再利用勾股定理即可求得答案． 【详解】（1）证明：是的中线， ， ， 四边形是平行四边形； （2）证明：延长到点，使，连接，如图2， ，是的中线， ， 在和中， ， ，， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是平行四边形； （3）解：延长到点，使，连接，如图3， 由（2）知，，， 则取最小值时，最小，故时，最小， 是的中线， ， ， 在中， 模型2.倍长中线模型 1）倍长中线模型（中线型） 条件：AD为△ABC的中线。 结论： 证明：延长AD至点E，使DE=AD，连结CE。 ∵AD为△ABC的中线，∴BD=CD，∵∠BDA=∠CDE，∴△ABD≌△ECD（SAS） 2）倍长类中线模型（中点型） 条件：△ABC中，D为BC边的中点，E为AB边上一点（不同于端点）。 结论：△EDB≌△FDC。 证明：延长ED，使DF=DE，连接CF。 ∵D为BC边的中点，∴BD=DC，∵∠BDE=∠CDF，∴△EDB≌△FDC（SAS） 例1．（24-25八年级上·北京·期中）如图，线段为的中线，且，，若，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定．解题的关键是作辅助线，构造全等三角形．延长至点，使得，连接，证明，可得，再证得，最后根据等腰三角形判定求解可． 【详解】解：如图，延长至点，使得，连接， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：2 例2．（24-25九年级上·北京西城·开学考试）如图所示，在中，，，中线，则长为 ． 【答案】 【分析】延长至，使，连接，先根据全等三角形的判定定理得出，再由勾股定理的逆定理可知，再根据勾股定理得到的长度，则． 【详解】解：延长至，使，连接， 是的中线， ， 在和中 ， ， ， ， ， ∵， ∴， ， ∴， ， 在中，， ， 故答案为：． 例3．（24-25八年级上·北京海淀·期中）已知，在四边形中，，，、分别是边、上的点，且． (1)为探究上述问题，小王同学先画出了其中一种特殊情况，即如图1，当时． 小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接． 请你在图1中添加上述辅助线，并补全下面的思路． 小明的解题思路：先证明_____；再证明了_____，即可得出，，之间的数量关系为_____． (2)请你借鉴小王的方法探究图2，当时，上述结论是否依然成立，如果成立，请证明你的结论，如果不成立，请说明理由． (3)如图3，若、分别是边、延长线上的点，其他已知条件不变，此时线段，，之间的数量关系为_____．（不用证明） 【答案】(1)图见解析，，， (2)成立，证明见解析 (3) 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是利用截长补短法，构造全等三角形． （1）根据题意，画出图形，先证明，再证明，即可得出结论； （2）延长到点，使，连接，先证明，再证明，即可得出结论； （3）在上取一点，使，先证明，再证明，即可得出结论． 【详解】（1）解：补全图形，如图： 解题思路为：先证明，再证明，即可得出之间的数量关系为； 故答案为：，，； （2）解：成立，证明如下： 延长到点，使，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，即：， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：在上取一点，使， ∵，， ∴， 又， ∴， ∴，， ∴， ∴， 又， ∴， ∴． 故答案为：． 例4．（2025·山东青岛·模拟预测）问题背景： （1）如图，在四边形中，，，，，，绕点旋转，它的两边分别交、于、．探究图中线段，，之间的数量关系． 小李探究此问题方法是：延长到，使，连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论就是______； 探究延伸： （2）如图，在四边形中，，，，，绕点旋转．它的两边分别交、于、，上述结论是否仍然成立？请直接写出结论（直接写出“成立”或者“不成立”）并说明理由； 探究延伸： （3）如图，在四边形中，，，，绕点旋转．它的两边分别交、于、．上述结论是否仍然成立？并说明理由； 实际应用： （4）如图，在某次消防演习中，同学甲在指挥中心（处）北偏西的处．同学乙在指挥中心南偏东的处，且两同学到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，同学甲向正东方向以米秒的速度前进，同时同学乙沿北偏东的方向以米秒的速度前进，分钟之后，指挥中心观测到甲、乙两同学分别到达、处．且指挥中心观测两同学视线之间的夹角为，试求此时两同学之间的距离． 【答案】（1）； （2）上述结论仍然成立，即，理由见解析； （3）上述结论仍然成立，即，理由见解析； （4） 米 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确作出辅助线构造全等三角形，解答时注意类比思想的灵活应用． （1）延长到，使，连接，先证明，得到，，结合，，进行等量代换得到，进而证明，即可得出结论：； （2）延长到，使，连接，先证明，得到，，结合，进行等量代换得到，进而证明，即可得出结论：； （3）延长到，使，连接，根据 ，，得到， 先证明，得到，，结合，进行等量代换得到，进而证明，即可得出结论：； （4）连接，延长交的延长线于， 将题干信息转换到几何图形上，可判断得到其符合第（3）问中的条件，由第（3）问中的结论可得：，根据距离速度时间求得、的长，代入计算即可得到两舰艇之间的距离的长． 【详解】解：（1）如图，延长到，使，连接， 在和中， ， ， ，， ，， ， ，即， ， 在和中， ， ， ， ， ； 故答案为：； （2）上述结论仍然成立，即，理由如下： 如图，延长到，使，连接， 在和中， ， ， ，， ， ， ，即， 在和中， ， ， ， ， ； （3）上述结论仍然成立，即，理由如下： 如图，延长到，使，连接， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ，即， 在和中， ， ， ， ， ； （4） 如图，连接，延长交的延长线于， 同学甲在指挥中心（处）北偏西的处．同学乙在指挥中心南偏东的处， ，， 指挥中心观测两同学视线之间的夹角为， ， ． 两同学到指挥中心的距离相等，同学乙沿北偏东的方向以米秒的速度前进， ，， ， 符合第（3）问中的条件， 由第（3）问中的结论可得：， 根据题意得，（米）， （米）， （米）． 答：此时两同学之间的距离为米． 一、单选题 1．（25-26八年级上·江苏镇江·月考）已知的边长为4，边长为8，则边上的中线的长度的取值范围（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了三角形的三边关系，全等三角形的判定和性质，延长到E，使，再连接，再证明可得，然后再根据可得答案． 【详解】解：延长到点E，使得，连接，则， ∵点D是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴，即， 故选：B． 2．（24-25八年级上·河南南阳·期末）如图，在边长为5的正方形内作，交于点，交于点，连接．若，则的长为（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的性质与判定、勾股定理，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键．延长至使得，连接，根据正方形的性质证明，得出，，进而再证出，得到，设，在中利用勾股定理列出方程，求出的值即可解答． 【详解】解：如图，延长至使得，连接， ∵边长为5的正方形， ∴，， ∴，， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 又∵， ∴， ∴， 设，则，， ∵在中，， ∴， 解得：， 即． 故选：A． 3．（24-25八年级上·辽宁本溪·期中）如图，于点，于点，点是中点，若，则的长是（   ）    A．10 B．12 C． D．9 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质，学会结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．延长交于，利用得出，从而得到，再用全等三角形的判定定理证出，利用全等三角形的性质得到和的长，最后在运用勾股定理即可解答． 【详解】解：如图，延长交于，   ， ， ， ， 点是中点， ， 在和中， ， ， ，， ，， 在中，， ． 故选：B． 4．（24-25九年级上·重庆·期中）矩形和矩形按照如图所示位置摆放，其中点B，C，G共线，点E，D，C共线，连接，点H是的中点，连接，若，，则的长（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点并作出合适的辅助线是解题的关键．延长交延长线于点，根据题意由矩形的性质可得，，，从而推出，，可证，得到，，从而推出，再利用勾股定理求得，即可得到答案． 【详解】解：延长交延长线于点，如图， 四边形与四边形是矩形， ，，， ，， 的中点， ， 在和中 ， ， ，， ， 在中，， ， 故选：C． 二、填空题 5．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）如图，中，D是中点，过D作于点E，的垂直平分线分别交，于F，G，且．若，，则长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，先倍长中线法证明得出，，进而得出，证明是等腰直角三角形，得出，，进而根据线段的和差关系即可求解． 【详解】解：如图，延长至，使得，连接，，， ∵是的中点， ∴， 又∵ ∴ ∴， ∴ ∵， ∴ ∵垂直平分， ∴， ∴，是等腰直角三角形， ∴ ∴ ∴是等腰直角三角形， 又∵ ∴ ∴ ∴， ∵ ∴ 故答案为：． 6．（24-25八年级上·安徽亳州·期末）如图，在△ABC中，AD为中线，． （1）若，AD长度为a，则a的取值范围为 ； （2）若，，则AC的长度为 ． 【答案】 3 【分析】（1）延长中线AD到E，使，可证△ACD≌△EBD（SAS），得，根据三角形的三边关系可得，求解即可； （2）延长AD，使，连接CF，可证△ABD≌△FCD（SAS），得，，在Rt△AFC中，根据30°所对的直角边等于斜边的一半可得，从而可求． 【详解】解：（1）如图1，延长中线AD到E，使， ∵AD是三角形的中线， ∴， 在△ACD和△EBD中， ， ∴△ACD≌△EBD（SAS）， ∴， ∵，，第三边上的中线为a， ∴， 即， ∴． 故答案为：． （2）如图2，延长AD，使，连接CF， ∵AD为中线， ∴， 在△ABD和△FCD中， ， ∴△ABD≌△FCD（SAS）， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 7．（25-26八年级上·北京·月考）如图，是的高，，，，过点作交于点．下列四个结论中： ①；②当时，；③；④． 所有正确结论的序号是 ． 【答案】②④ 【分析】①在线段上截取，连接，可证，得，，可证，得，即； ②当时，，由得，利用角的和差可证，即； ③由得，利用角的和差可证，则与不一定相等； ④由得，利用角的和差可证，，由三角形全等的性质可证，从而可证． 【详解】解：①在线段上截取，连接， ∵是的高， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即； 则①错误； ②当时，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 则②正确； ③∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， 则当时，， 此时， 但题目中未给出的具体值，所以与不一定相等； 则③错误； ④∵， ∴， ∴， 由③得， ∵， ∴， 则， ∴， ∴； 则④正确； 故答案为：②④． 8．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）已知如图等腰，，，于点D，点P是延长线上一点，点O是线段上一点，．下面的结论：①；②；③是等边三角形；④；⑤；其中正确的有 ． 【答案】①③④⑤ 【分析】连接，利用等边对等角，即可证得，，则，可判断①；因为点O是线段上一点，所以不一定是的角平分线，可判断②；证明且，即可证得是等边三角形，可判断③；在上截取，连接，通过证明，得到，再利用线段的和差得到，可判断④；过点作于，根据，再利用三角形的面积公式即可证明，可判断⑤，即可得出结论． 【详解】解：①如图1，连接， ∵，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴；故①正确； ②由①知：，， ∵点O是线段上一点， ∴与不一定相等，则与不一定相等，故②不正确； ③∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形；故③正确； ④如图2，在上截取，连接， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴；故④正确； ⑤如图3，过点作于， ∵，， ∴， 由④得，， ∴ ， ∴；故⑤正确； 综上，正确的有①③④⑤． 故答案为：①③④⑤． 三、解答题 9．（25-26八年级上·河南安阳·期中）（1）如图①，在中，是的中点，过点作直线，使，交的延长线于点，求证：．请结合图①写出完整的证明过程． （2）如图②，，，，连接、，是的中点，延长交于点，，，则的面积为________． 【答案】（1）见解析；（2）8 【分析】（1）证明，即可解答； （2）过点A作，交的延长线于点G，证明，可得，从而得到，，，再结合，可得到，可证明，可得，，从而得到，进而得到，然后三角形的面积公式解答即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴； （2）如图，过点A作，交的延长线于点G， ∵， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 故答案为：8． 10．（25-26八年级上·上海·月考）已知在中，，射线、在内部，分别交线段于点、． (1)如图1，若，，作于点，分别交、于点、． ①求证：； ②若，连接，求的度数； (2)如图2，点为上一点，交于点，连接．若，求的值． 【答案】(1)①见解析；② (2) 【分析】本题是三角形的综合题，考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的判定和性质，三角形的面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键． （1）①由，得到为等边三角形，根据等边三角形的性质得到，，求得，推出证得，根据全等三角形的性质即可得到结论； ②证明即可解决问题； （2）如图2，在上取，连接，推出，根据全等三角形的性质得到，，证得是等腰三角形，根据等腰三角形的性质得到，即可得到结论． 【详解】（1）解：①，， 为等边三角形， 则，， ，， ， ，， ， 在与中， ， ， ； ②如图1，取的中点连接， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰三角形， ， ， ， ， ， ，，， ， 在与中， ， ， ， ； （2）解：如图2，在上取，连接， ， ， ， ， 在与中， ， ， ，， ， ， ， ， 是等腰三角形， ， ， ， ， ． 11．（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）定义：如图1，在中，把绕点A顺时针旋转得到，把绕点A逆时针旋转得到，连接．当时，我们称是的“旋补三角形”，边上的中线叫做的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”．在图2，图3中，是的“旋补三角形”，是的“旋补中线”． (1)如图2，当为等边三角形时，与的数量关系为____________； (2)如图3，当，时，则长为____________； (3)在图1中，当为任意三角形时，猜想与的数量关系，并给予证明． 【答案】(1) (2) (3)，证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，等边三角形的性质，直角三角形的性质，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和中线倍长的辅助线作法是解题的关键． （1）利用等边三角形的性质，得到，证得是顶角为的等腰三角形，由等腰三角形三线合一得到，即可求解． （2）证，得到，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可求解． （3）结论，延长到点M，使得，连接，，先证四边形是平行四边形，得到，，再由，得到，即，可证，即可求解． 【详解】（1）解：为等边三角形， ， ，， ， ， 又是的中线， ， ， ． （2）解：，， ， 又， ， ， 是斜边上的中线， ． （3）解：结论，， 证明：如图，延长到点M，使得，连接，， ，， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， 又， ， ， ． 12．（25-26八年级上·云南昆明·期末）【发现问题】小明遇到这样一个问题，如图1，在中，，求边上的中线的取值范围． 【初步探索】小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法： ①延长到，使得； ②连接，易证，于是我们把转化在中； ③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围． 【总结方法】在利用中线解决几何问题时，当条件中出现“中点”、“中线”等条件时，可以考虑作辅助线，即把中线延长一倍构造全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法”． 【问题解决】（1）如图1，与的位置关系是_____；的取值范围是_____． 【问题应用】（2）如图2，是的中线，点在的延长线上，平分，，试探究线段与的数量关系． 【拓展延伸】（3）如图3，在中，平分，且交于点，的中点为，过点作平行于，交于点，交的延长线于点．若，求的长． 【答案】 （1）平行； （2） （3） 【分析】本题主要考查三角形全等的判定与性质、三角形三边关系、以及等腰三角形的判定，核心方法是“倍长中线法”和构造全等三角形，同时结合平行线与角的转化解决问题． （1）考查倍长中线法构造全等三角形，利用全等得到平行关系，再结合三角形三边关系求中线范围； （2）考查倍长中线法构造全等三角形，结合角平分线性质与全等三角形的判定，推导线段的倍数关系； （3）考查平行线的性质、等腰三角形的判定与全等三角形的构造，通过角的转化和线段的等量代换求解长度． 【详解】解：（1）由，得，故． 在中，，，由三边关系，即，化简得． 故答案为：平行；． （2）如图，延长到，使，连接． ∵，，， ∴， ∴，． ∵平分， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴； （3）如图，过作，交的延长线于，则． ∵是中点， ∴． ∵，， ∴， ∴． ∵，平分， ∴， ∴，， ∴， 设，则，，故． 由，解得， ∴． 13．（25-26八年级上·陕西榆林·期末）【问题背景】“转化”是解决数学问题的重要思想方法，通过构造图形全等转化线段或角，将零散的线段或角集中在一个图形上，建立数量关系是处理问题的重要手段． 【问题探究】 （1）如图1，在中，平分交于点，，点在边上，且，连接，试说明：． 【综合研究】 （2）2025年是国家安全法颁布施行十周年，在第十个全民国家安全教育日来临之际，某校组织了一次推动人工智能技术与国家安全深度融合的校园活动，如图2是活动场地平面示意图，在中，米，校学生会在边、上分别取点、，使得点为的中点，于点，在线段上找点，使得米，为等腰直角三角形，，并沿其三条边搭建安全文化宣传长廊（宽度不计），其他区域规划为展示区．为了预算，需要知道的长，请你帮助校学生会计算出的长． 【答案】（1）见解析；（2）米． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、三角形外角的性质、角平分线的性质等，熟练掌握一线三等角的全等模型和倍长中线的全等模型是解题的关键． （1）先证明，得出，从而证得，所以，即可得出结论； （2）过点作，交的延长线于点，根据等腰的性质证明，再根据倍长中线证明，最后通过等量代换求解即可． 【详解】解：（1）∵平分， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． （2）过点作，交的延长线于点，如图2所示： ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形，， ∴，， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴，， ∵点是的中点， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵米， ∴（米）， ∴米， ∵米， ∴（米）． 14．（25-26八年级上·吉林长春·期末）同学们学习了华师版数学八年级上册教材中信息技术应用“探索三角形的边、角关系”后，发现可以通过轴对称的性质及“截长补短”法解决一些几何图形问题． (1)（1）在中，平分，，求证：；任选下面一种方法，并写出完整的证明过程： 方法一：如图①，在上截取，使得，连接，可以得到全等三角形，进而解决问题； 方法二：如图②，延长到点F，使得，连接，可以得到等腰三角形，进而解决问题． (2)如图③，在中，，交于点H，直接写出之间的等量关系________． (3)如图④，在中，平分，，分别为的角平分线，，，直接写出________． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的性质、解分式方程、等腰三角形的判定和性质等知识，准确添加辅助线构造全等三角形和熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． （1）选择方法一：证明．则，证明，则，即可得到结论；选择方法二：证明．则，即可得到结论； （2）在上取点G，使，证明，，则，即可得到； （3）根据角平分线的性质定理可知点D到的距离等于点D到的距离，得到，又由，得到，同理，，设，列出方程组并解方程组即可得到答案． 【详解】（1）若选择方法一． 证明：如图①，在上截取，使得，连接， ∵平分， ∴． 又∵， ∴． ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 若选择方法二． 证明：如图②，延长到点F，使得，连接， ∵平分， ∴． 又∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∵ ∴． ∴， ∴， ∴． （2）解：在上取点G，使， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：； （3）解：∵平分， ∴点D到的距离等于点D到的距离， ∴， ∵， ∴， 同理， 设，则 ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 15．（24-25八年级下·河北唐山·月考）【问题情境】如图①，在正方形中，，，分别与，交于点E，F． 【探索发现】 (1)如图①，为探究线段，，之间的数量关系，小杨延长至点G，使得，连接．先证明，再证明，即可得到，，之间的数量关系为：______； 【操作探究】 (2)如图②，当点E，F分别在，的延长线上时，请根据上述小杨的思路，探究线段，，之间的数量关系； 【问题解决】 (3)如图③，在中，，，点D，E在边上，且，若，，则的长为______． 【答案】(1) (2) (3)12 【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的性质与判定、勾股定理，学会结合图形添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）利用正方形的性质证明，得到，，再证明，推出，再利用线段的和差即可得出结论； （2）在上截取，连接，利用正方形的性质证明，得到，，再证明，推出，再利用线段的和差即可得出结论； （3）过点作且，连接，通过证明，得到，，再证明，得到，再利用勾股定理求出长，再利用线段的和差即可求出的长． 【详解】（1）解：正方形， ，， 又， ， ，， ， ， ，即， ， 又， ， ， ． 故答案为：． （2）解：如图，在上截取，连接， 正方形， ，， 又， ， ，， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， ． （3）解：如图，过点作且，连接， ，， ， ， ， ， ， 又，， ， ，， ， ， ，即， ， 又， ， ， ， ， ． 故答案为：12． 16．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）[方法储备]如图1，在中，为的中线，若，，求的取值范围．中线倍长法：如图2，延长至点，使得，连结，可证明，由全等得到，从而在中，根据三角形三边关系可以确定的范围，进一步即可求得的范围． 在上述过程中，证明的依据是______，的范围为______； [思考探究]如图3，在中，，为中点，、分别为、上的点，连结、、，，若，，求的长； [拓展延伸]如图4，为线段上一点，，分别以、为斜边向上作等腰和等腰，为中点，连结，，． ①求证：为等腰直角三角形； ②若将图4中的等腰绕点转至图5的位置（，，不在同一条直线上），连结，为中点，且，在同侧，连结，．若，，求和的面积之差． 【答案】[方法储备]，；[思考探究] ；[拓展延伸]①见解析；② 【分析】[方法储备] 由得出，在中，根据三边关系得到，即可求解， [思考探究] 延长至点，使得，由得出，，从而得，应用勾股定理求出，结合垂直平分，即可求解， [拓展延伸] ①延长至点，使得，由，可得，，由，，，即可求证， ②延长至点，使得，由，可得，，导角得，由，可得，，作，， ，通过勾股定理得到边长间的关系，代入，即可求解， 本题考查了全等三角形的性质与判定，三角形的三边关系，勾股定理，解题的关键是：熟练应用“倍长中线法”． 【详解】[方法储备]解： 在和中，， ， ， 在中，，即：， ， ， ， 故答案为： ，， [思考探究]解： 延长至点，使得，连结，， 在和中，， ， ，， ， ， ， 在中，， 而，， 垂直平分， ， 故答案为：， [拓展延伸]解： ①延长至点，使得，连结，， 在和中，， ， ，， ， 又， ， ，， 又， ， 为等腰直角三角形， ②如图，延长至点，使得，连结，，， 为中点，同上“倍长中线”方法可得， ，， 设， ， ，， ，，， 分别过，作，，，为垂足， ， 设，，，， ，，， 解得， ， ， 故答案为：． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题05全等三角形模型之截长补短与倍长中线模型 目录导航 目录 例题讲模型 1 模型1.截长补短模型 模型2.倍长中线模型… .…9 习题练模型 .19 例题讲模型 模型1.截长补短模型 模型解读 条件：AD为△ABC的角平分线，∠B=2∠C。 结论：AB十BD=AC。 证明：法1（截长法）：在线段AC上截取线段AB=AB,连接DB。 ,AD为△ABC的角平分线，，∠BAD=∠BAD,,AD=AD,∴.△ABD≌△ABD(SAS) ∠B=∠AB'D,BD=B'D,∠B=2∠C,∴.∠AB'D=2∠C,.∠AB'D=2∠C,∴.∠B'DC=∠C, ∴B'C=BD,.BD=B'C,,AB+B'C=AC,AB+BD=AC。 法2（补短法）：延长AB至点C使得AC'=AC,连接BC'。 ,AD为△ABC的角平分线，.∠CAD=∠CAD,,AD=AD,△CAD≌△CAD(SAS) .∠C=∠C,∠B=2∠C,∴.∠B=2∠C,.∠BDC"=∠C',∴.BC=BD, ,AB十BC=AC,AB+BD=AC。 1/11 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 模型运用 例1.(25-26八年级上：上海普陀月考)在ABC中，AB=AC,BD平分∠ABC交AC边于点D, BC=AB+AD,则∠ABC= 例2.(24-25八年级下·湖南岳阳·月考)在四边形ABCD中，AB=AD,∠ABC与∠ADC互补，点E、F 分别在射线CB、DC上，且∠BAF=∠BAD,当BC=4,DC=7,CF=1时，△CEF的周长等于一 H 例3.（2025山东济宁.一模)(1)如图①，在ABC中，若AB=10,AC=6,则BC边上的中线AD的 取值范围是； (2)如图②，在ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF于点D,DE交AB于点E,DF交AC于点F, 连接EF,求证：BE+CF>EF; (3)如图③，在四边形ABCD中，∠B+∠D=180°，CB=CD,∠BCD=140°，以C为顶点作一个70°角， 角的两边分别交AB,AD于E,F两点，连接EF,探索线段BE,DF,EF之间的数量关系，并加以证明. 图① 图② 图③ 例4.(2025·吉林松原三模)(1)【问题探究】如图1，已知AD是ABC的中线，延长AD至点E,使 得DE=AD.连结BE,CE,求证：四边形ABEC是平行四边形 (2)【拓展提升】如图2，在ABC的中线AD上任取一点M(不与点A、点D重合)，过点M、点C分 别作ME∥AB,CE∥AD,连结AE,BM,求证：四边形ABME是平行四边形. (3)【灵活应用】如图3，在ABC中，LB=90°，AB=8,BC=12,点D是BC的中点，点M是直线 AD上的动点，且ME∥AB,CE∥AD,当ME+MC取得最小值时，求线段CE的长度. 2/11 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 M D D (图1) (图2) (图3) 模型2.倍长中线模型 模型解读 1)倍长中线模型（中线型) B D B D 图1 图2 条件：AD为△ABC的中线。 结论：△ABD兰△ECD 证明：延长AD至点E,使DE-AD,连结CE。 ,AD为△ABC的中线，∴.BD=CD,,∠BDA=∠CDE,.△ABD≌△ECD(SAS) 2)倍长类中线模型（中点型） 倍长类中线 D B D 条件：△ABC中，D为BC边的中点，E为AB边上一点（不同于端点）。结论：△EDB≌△FDC。 证明：延长ED,使DF=DE,连接CF。 ,D为BC边的中点，∴.BD=DC,∠BDE=∠CDF,∴△EDB≌△FDC(SAS) 例1.(24-25八年级上·北京·期中)如图，线段BD为ABC的中线，且BD⊥BC,BC=4,若 ∠A+∠C=45°，则BD= B D 3/11 扇学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 例2.(24-25九年级上北京西城开学考试)如图所示，在ABC中，AB=5,AC=3,中线AD=2,则 BC长为」 D B 例3.(24-25八年级上·北京海淀·期中)己知，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B+∠ADC=180°，E、F分 别是边BC、CD上的点，且∠EAF=∠BAD」 E 图1 图2 图3 (I)为探究上述问题，小王同学先画出了其中一种特殊情况，即如图1，当∠B=∠ADC=90°时. 小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G,使DG=BE,连接AG, 请你在图1中添加上述辅助线，并补全下面的思路. 小明的解题思路：先证明△ABE≌；再证明了△AEF≌，即可得出BE,EF,FD之间的数量 关系为 (②)请你借鉴小王的方法探究图2，当∠B+∠ADC=180°时，上述结论是否依然成立，如果成立，请证明你的 结论，如果不成立，请说明理由 (3)如图3，若E、F分别是边BC、CD延长线上的点，其他己知条件不变，此时线段EF,BE,FD之间 的数量关系为·（不用证明） 例4.(2025山东青岛模拟预测)问题背景： (1)如图1，在四边形ABCD中，∠BAD=90°，∠BCD=90°，BA=BC,∠ABC=120°，∠MBN=60°， ∠MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD、DC于E、F,探究图中线段AE,CF,EF之间的数量关系. 小李探究此问题方法是：延长FC到G,使CG=AE,连接BG,先证明△BCG≌aBAE,再证明 △BFG≌△BFE,可得出结论，他的结论就是； 探究延伸1： (2)如图2，在四边形ABCD中，∠BAD=90°，∠BCD=90°，BA=BC,LABC=2LMBN,∠MBN绕B 4/11 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 点旋转，它的两边分别交AD、DC于E、F,上述结论是否仍然成立？请直接写出结论(（直接写出“成立” 或者“不成立”)并说明理由； 探究延伸2： (3)如图3，在四边形ABCD中，BA=BC,∠BAD+∠BCD=180°，∠ABC=2∠MBN,∠MBN绕B点旋 转，它的两边分别交AD、DC于E、F,上述结论是否仍然成立？并说明理由； 实际应用： (4)如图4，在某次消防演习中，同学甲在指挥中心(0处)北偏西30°的A处.同学乙在指挥中心南偏 东70°的B处，且两同学到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，同学甲向正东方向以7.5米/秒的速度前 进，同时同学乙沿北偏东50°的方向以10米/秒的速度前进，12分钟之后，指挥中心观测到甲、乙两同学分 别到达E、F处.且指挥中心观测两同学视线之间的夹角为70°，试求此时两同学之间的距离。 N 图 图2 图3 图4 习题练模型 一、单选题 1.(25-26八年级上江苏镇江月考)已知ABC的AB边长为4，AC边长为8，则BC边上的中线AD的 长度的取值范围() A.1<AD<5B.2<AD<6 C.3<AD<7 D.4<AD<8 2.(24-25八年级上河南南阳期末)如图，在边长为5的正方形ABCD内作LEAF=45°，AE交BC于点E ,AF交CD于点F,连接EF,若DF=2,则BE的长为() 5/11 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E 3 B. D.2 3.(24-25八年级上辽宁本溪期中)如图，AB⊥BC于点B,AB⊥AD于点A,点E是CD中点，若 8C=5,4D=1DBE=,则B的长是（) Be E D 口A A.10 B.12 C.11.5 D.9 4.(24-25九年级上重庆期中)矩形ABCD和矩形CEFG按照如图所示位置摆放，其中点B,C,G共线， 点E,D,C共线，连接AF,点H是AF的中点，连接DH,若AB=CG=I,BC=EC=2,则DH的长 () E H O C G A.1 B.0.5 c号 D 二、填空题 5.(25-26八年级上浙江宁波期末)如图， ABC中，D是AC中点，过D作DE⊥AB于点E,BC的垂 直平分线分别交BC,DE于R,G,且FG=)BC.若AE=2,BE=5,则DG长为一 6.(24-25八年级上安徽毫州期末)如图，在△ABC中，AD为中线，AB=6. 6/11 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)若AC=4,AD长度为a,则a的取值范围为. (2)若AD⊥AC,∠BAD=30°，则AC的长度为 7.(25-26八年级上北京·月考)如图，AP是ABC的高，∠BAP=u,AD=AC,∠DAC=2a,过点D作 DE∥AB交BC于点E.下列四个结论中： ①LACB=∠BDE;②当=45时，BD⊥BC;③BD=DE;④BC=2BP+BE. 所有正确结论的序号是 8.(25-26八年级上·黑龙江哈尔滨期末)己知如图等腰ABC,AB=AC,∠BAC=120°，AD⊥BC于 点D,点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP=OC,下面的结论：①LAP0+∠DC0=30°； ②LAP0=LDC0;③△OPC是等边三角形；④AC=A0+AP;⑤S△4Bc=S四边形AOCP;其中正确的有一 B D 三、解答题 9.(25-26八年级上河南安阳·期中)(1)如图①，在ABC中，D是BC的中点，过点C作直线CE,使 CE∥AB,交AD的延长线于点E,求证：AD=ED.请结合图①写出完整的证明过程. B D 图① 图② (2)如图②，OA=0B,OC=OD,∠AOB=∠C0D=90°，连接AC、BD,E是AC的中点，延长EO交 7/11 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 BD于点F,OF=2,OE=4,则△BOD的面积为 10.(25-26八年级上·上海·月考)已知在ABC中，AB=AC,射线BM、BN在∠ABC内部，分别交线 段AC于点G、H. F E 图1 图2 (I)如图1，若LABC=60°，∠MBN=30°，作AE⊥BN于点D,分别交BC、BM于点E、F. ①求证：AE=BG; ②若AD=BF,连接CF,求LCFE的度数： ②)如图2，点E为BC上一点，AE交BM于点F,连接CF.若LBFE=LBAC=2LCFE,求S的值· 11.(25-26九年级上黑龙江哈尔滨·期末)定义：如图1，在ABC中，把AB绕点A顺时针旋转 a(0°<a<180)得到AB',把AC绕点A逆时针旋转B得到AC',连接B'C'.当a+阝=180°时，我们称 △AB'C'是ABC的“旋补三角形”，边B'C'上的中线AD叫做ABC的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”.在 图2，图3中，△AB'C'是ABC的“旋补三角形”，AD是ABC的“旋补中线”. C D D B B B B B 图1 图2 图3 (I)如图2，当ABC为等边三角形时，AD与BC的数量关系为 (2)如图3，当LBAC=90°，BC=8时，则AD长为 (3)在图1中，当ABC为任意三角形时，猜想AD与BC的数量关系，并给予证明. 12.(25-26八年级上云南昆明·期末)【发现问题】小明遇到这样一个问题，如图1，在ABC中， AB=6,AC=4,求BC边上的中线AD的取值范围 【初步探索】小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法： 8/11 品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ①延长AD到E,使得DE=AD; ②连接BE,易证△ACD=△EBD,于是我们把AB,AC,2AD转化在AABE中； ③利用三角形的三边关系可得AE的取值范围为AB-BE<AE<AB+BE,从而得到AD的取值范围 【总结方法】在利用中线解决几何问题时，当条件中出现“中点”、“中线”等条件时，可以考虑作辅助线，即 把中线延长一倍构造全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为 “倍长中线法”. 【问题解决】(1)如图1，AC与BE的位置关系是；AD的取值范围是· 【问题应用】(2)如图2，AD是ABC的中线，点E在BC的延长线上，AC平分∠DAE,∠E=∠BAD, 试探究线段AE与AD的数量关系， 【拓展延伸】(3)如图3，在ABC中，AD平分∠BAC,且AD交BC于点D,BC的中点为G,过点G 作GF平行于AD,交AB于点E,交CA的延长线于点F,若AB=I0,AC=6,求BE的长. D GD 图1 图2 图3 13.(25-26八年级上陕西榆林期末)【问题背景】“转化”是解决数学问题的重要思想方法，通过构造图 形全等转化线段或角，将零散的线段或角集中在一个图形上，建立数量关系是处理问题的重要手段， 【问题探究】 (1)如图1，在ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D,∠C=2∠B,点K在边AB上，且AK=AC,连 接DK,试说明：AB=AC+CD. K D 图1 图2 【综合研究】 (2)2025年是国家安全法颁布施行十周年，在第十个全民国家安全教育日来临之际，某校组织了一次推动 人工智能技术与国家安全深度融合的校园活动，如图2是活动场地平面示意图，在ABC中，AC=100米， 9/11 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 校学生会在边AB、AC上分别取点E、F,使得点E为AB的中点，EF⊥AC于点F,在线段EF上找点 G,使得EG=30米，△BCG为等腰直角三角形，∠BGC=90°，并沿其三条边搭建安全文化宣传长廊（宽度 不计)，其他区域规划为展示区.为了预算，需要知道CF的长，请你帮助校学生会计算出CF的长 14.(25-26八年级上·吉林长春·期末)同学们学习了华师版数学八年级上册教材中信息技术应用“探索三角 形的边、角关系”后，发现可以通过轴对称的性质及“截长补短”法解决一些几何图形问题 图① 图② 图③ 图④ (I)(1)在ABC中，AD平分∠BAC,LABC=2LC,求证：AC=AB+BD;任选下面一种方法，并写 出完整的证明过程： 方法一：如图①，在AC上截取AE,使得AE=AB,连接DE,可以得到全等三角形，进而解决问题； 方法二：如图②，延长AB到点F,使得BF=BD,连接DF,可以得到等腰三角形，进而解决问题， (2)如图③，在ABC中，∠ABC=2LC,AH⊥BC交BC于点H,直接写出AB、BH、BC之间的等量关 系 (3)如图④，在ABC中，AD平分∠BAC,∠ABC=2LC,AD、BG分别为∠BAC、∠ABC的角平分线， -50:3,4G:行，直接写出GC 15.(24-25八年级下·河北唐山月考)【问题情境】如图①，在正方形ABCD中，∠EAF=45°，AE,AF分 别与BC,CD交于点E,F B B 图① 图② 图③ 【探索发现】 (I)如图①，为探究线段BE,EF,DF之间的数量关系，小杨延长CB至点G,使得BG=DF,连接AG,先 证明△ABG≌△ADF,再证明△AEF≌△AEG,即可得到BE,EF,DF之间的数量关系为： 【操作探究】 10/11