专题14 最值模型之胡不归模型、阿氏圆模型与费马点模型（几何模型讲义）（北京专用）2026年中考数学一轮复习几何模型系列

专题14 最值模型之胡不归模型、阿氏圆模型与费马点模型 1 模型1.最值模型之胡不归模型 1 模型2.最值模型之阿氏圆模型 11 模型3.最值模型之费马点模型 22 32 模型1.最值模型之胡不归模型 从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家．根据“两点之间线段最短”，虽然从他此刻位置A到家B之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭．邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？” 看到这里很多人都会有一个疑问，少年究竟能不能提前到家呢？假设可以提早到家，那么他该选择怎样的一条路线呢？这就是今天要讲的“胡不归”问题. 一动点P在直线MN外的运动速度为V1，在直线MN上运动的速度为V2，且V1<V2，A、B为定点，点C在直线MN上，确定点C的位置使的值最小．（注意与阿氏圆模型的区分）。 1），记，即求BC+kAC的最小值. 2）构造射线AD使得sin∠DAN=k，，CH=kAC,将问题转化为求BC+CH最小值. 3）过B点作BH⊥AD交MN于点C，交AD于H点，此时BC+CH取到最小值，即BC+kAC最小． 【解题关键】在求形如“PA+kPB”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB相等的线段，将“PA+kPB”型问题转化为“PA+PC”型．（若k>1，则提取系数，转化为小于1的形式解决即可）。 【最值原理】垂线段最短。 例1．（2025·黑龙江佳木斯·一模）如图，平行四边形中，，，，为边上的一动点，则最小值等于 . 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，锐角三角形函数的应用，垂线段最短等知识，根据题意添加合适的辅助线是解题的关键． 过点作，交的延长线于点，由锐角三角函数可得，即，则当点，点，点三点共线，且时，有最小值，即最小值为． 【详解】解：如图，过点作，交的延长线于点， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴当点，点，点三点共线，且时，有最小值，即最小值为， ∵， ∴， 故答案为：． 例2．（24-25八年级下·北京·期中）如图，在菱形中，对角线，交于点，，点在线段上，且，点为线段上的一个动点． （1） ； （2）的最小值为 ． 【答案】 30 【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理等知识，解题的关键是： （1）证明是等边三角形，得出，然后根据菱形的性质求解即可； （2）过P作于Q，过M作于H，根据含角的直角三角形性质得出，则，故当M、P、Q三点共线，即Q和H重合时，最小，最小值为，可求出，根据含角的直角三角形性质，然后根据勾股定理求解即可． 【详解】解：（1）∵菱形， ∴，， 又， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 故答案为：30； （2）过P作于Q，过M作于H， ∵， ∴， ∴， ∴当M、P、Q三点共线，即Q和H重合时，最小，最小值为， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 例3．（25-26九年级上·天津·月考）已知抛物线经过点两点，与轴交于点，顶点为． (1)求的值及顶点的坐标； (2)点为直线下方抛物线上的一点，当时，求点的坐标； (3)点为轴上的一动点，连接，当取得最小值时，求点的坐标，并求出这个最小值． 【答案】(1)，， (2) (3)点的坐标为，这个最小值为 【分析】（1）将代入抛物线的解析式，求出a、b的值即可，根据二次函数解析式求出顶点坐标即可； （2）连接，取的中点F，连接并延长，交于点G，连接并延长，交抛物线于点E，根据F为的中点，得出，求出直线的解析式为，直线的解析式为，联立，求出，根据，得出直线的解析式为，联立，求出点E的坐标即可； （3）过点M作于点N，过点B作于点G，交y轴于点H，证明和都是等腰直角三角形，得出，从而说明，根据两点之间线段最短，且垂线段最短，得出当点M在点H处时，最小，且最小值为的长，根据等腰直角三角形的性质求出点M的坐标和这个最小值即可． 【详解】（1）解：将代入得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为：， ∴顶点坐标； （2）解：连接，取的中点F，连接并延长，交于点G，连接并延长，交抛物线于点E，如图所示： 把代入得：， ∴， ∵， ∴， ∵F为的中点， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴此时点E符合题意， ∵F为的中点， ∴， 设直线的解析式为，把代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 设直线的解析式为，把，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：， ∴， 同理根据，可得直线的解析式为， 联立， 解得：，， ∴点E的坐标为； （3）解：过点M作于点N，过点B作于点G，交y轴于点H，如图所示： 则， ∵，， ∴， ∴和都是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵两点之间线段最短，且垂线段最短， ∴当点M在点H处时，最小，且最小值为的长， ∵，， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴当取得最小值时，点的坐标为，这个最小值为． 例4．（2025·四川眉山·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线关于直线对称，与x轴交于、B两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)点P为抛物线对称轴上一点，连接，将线段绕点P逆时针旋转，使点B的对应点D恰好落在抛物线上，求此时点P的坐标； (3)在线段上是否存在点Q，使存在最小值？若存在，请直接写出点Q的坐标及最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)存在，，的最小值为 【分析】（1）对称性求出点坐标，两点式写出函数解析式即可； （2）设对称轴与轴交于点，设，，分点在轴上方和点在轴下方两种情况进行讨论求解即可； （3）在轴上取点，连接，过点作于点，交轴于，过点作于点，易得为等腰直角三角形，进而得到，推出，得到当点与点重合时，的值最小为的长，等积法求出的长，证明为等腰直角三角形，求出点坐标即可． 【详解】（1）解：∵抛物线关于直线对称，与x轴交于、B两点， ∴， ∴抛物线的解析式为：； （2）∵点在对称轴上，设对称轴与轴交于点 ∴设，； ∵旋转， ∴， 当点在轴上方时， ∵关于对称轴对称， ∴， ∴当时，满足题意，此时点与点重合，， ∵，， ∴， ∴， ∴； 当点在轴下方时，如图，作对称轴于点，则：， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 把代入，得：， 解得：或（舍去）； ∴； 综上：或； （3）存在； 在轴上取点，连接，过点作于点，交轴于，过点作于点，则：，， ∵， ∴当时，， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴当点与点重合时，的值最小为的长， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为， 在中，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴； 综上：，的最小值为． 模型2.最值模型之阿氏圆模型 动点到两定点距离之比为定值（即：平面上两点A、B，动点P满足 PA/PB=k（k为常数，且k≠1）），那么动点的轨迹就是圆，因这个结论最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现的，故称这个圆称为阿波罗尼斯圆，简称为阿氏圆。 如图 1 所示，⊙O的半径为 r，点 A、B都在⊙O 外，P为⊙O上一动点，已知r=k·OB（即）， 连接PA、PB，则当“PA+k·PB”的值最小时，P点的位置如何确定？最小值是多少呢？ 如图2，在线段OB上截取OC使OC=k·r（即），∵，∴， ∵∠POC=∠BOP，∴△POC∽△BOP，∴，即k·PB=PC。 故本题求“PA+k·PB”的最小值可以转化为 “PA+PC”的最小值。 其中与A与C为定点，P为动点，故当A、P、C三点共线时，“PA+PC”值最小，如图3所示。 阿氏圆求最值的本质就是通过构造母子相似，化去比例系数，转化为两定一动将军饮马型求最值，难点在于如何构造母子相似。 阿氏圆最值问题常见考法：点在圆外：向内取点（系数小于1）；点在圆内：向外取点（系数大于1）；一内一外：提系数；隐圆型阿氏圆等。 注意区分胡不归模型和阿氏圆模型：在前面的“胡不归”问题中，我们见识了“k·PA+PB”最值问题，其中P点轨迹是直线，而当P点轨迹变为圆时，即通常我们所说的“阿氏圆”问题． 例1．（24-25九年级上·江苏宿迁·月考）如图，已知正方形的边长为2，点O是边的中点，G为正方形内一动点，且．点P是边上另一动点，连接、，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了轴对称求最短线段，矩形和正方形的性质，圆的定义，勾股定理等知识，利用对称的性质作线段的等量转移是解题关键．作点关于直线的对称点，连接，以为圆心，长为半径作圆，点在圆上运动，、与交于点、，则，，，当点、在、位置时，此时点、、、四点共线，有最小值为长，过点作于点，求出，即可求解． 【详解】解：正方形的边长为2，点O是边的中点， ，，， 如图，作点关于直线的对称点，连接，以为圆心，长为半径作圆，点在圆上运动，与与交于点、， 则，，， ， 当点、在、位置时，此时点、、、四点共线，有最小值为长， 过点作于点，则四边形是矩形， ，， ， ， 的最小值为， 的最小值为，即， 故答案为：． 例2．（2025·广东清远·模拟预测）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，．抛物线的对称轴直线与经过点A的直线交于点D，与x轴交于点E． (1)求抛物线的表达式； (2)若在抛物线上存在点M，使得是以为直角边的直角三角形，求出所有点M的坐标； (3)以点B为圆心，画半径为2的圆，P为上一个动点，请求出的最小值． 【答案】(1) (2)存在，或或 (3) 【分析】（1）根据题意，可求出点的坐标，再运用待定系数法即可求解； （2）根据直角三角形的性质，分类讨论：①当时；②当时；分别求出直线的解析式，再联立二次函数为二元一次方程组求解即可； （3）如图，在上取点，使，连接，可证，得，当点三点共线时，的值最小，运用勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴，， ∴ ，． ∴将代入， 得， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：存在点，理由如下： 直线的解析式为，将代入得 解得： ∴直线的解析式为： ∵抛物线对称轴与轴交于点， ∴当时，， ∴， ①当时，设直线交对称轴于点， ∵，，二次函数对称轴为， ∴，，轴， ∴是等腰直角三角形，， ∵， ∴，且， ∵ ∴， ∴， ∴点坐标为， 设直线的解析式为，将点坐标代入， 得， 解得， 直线的解析式为， 解方程组， 得或， ∴点的坐标为； ②∵，， ∴ ∴ ∴是直角三角形， 当时，根据点关于抛物线对称轴对称， 则直线经过点坐标为， 设直线的解析式为，将点坐标代入， 得， 解得， 直线的解析式为， 解方程组， 解得或， ∴点的坐标为或； 综上，点的坐标为或或； （3）解：已知，以点为圆心，画半径为的圆，点为上一个动点， 如图，在上取点，使，连接， ， ∴， ， ， 又， ， ，即， ， 当点三点共线时，的值最小，即为线段的长， ， ， 的最小值为． 例3．（2024·安徽·模拟预测）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交轴于两点，为抛物线顶点． (1)求的值； (2)点为直线下方抛物线上一点，过点作轴，垂足为点，交于点，是否存在？若存在，求出此时点坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图2，以为圆心，2为半径作圆，为圆上任一点，求的最小值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）通过长度先得到点坐标，再将两点代入函数解析式，解方程即可； （2）先求出直线的函数表达式，设出点坐标为，进而得到两点坐标，再通过列出方程，解方程即可； （3）取取，连接，，先证得，得到，进而可得到，再通过两点坐标求得长度． 【详解】（1）解：， 点坐标为， 将，代入， 得， 解得， （2）解：设直线的表达式为， 由（1）可知抛物线的表达式为， 故点坐标为， 直线的表达式为 设点坐标为， 则， ， ， 若， 则， 解得， ， 故，此时点坐标为； （3）如图，取，连接， ，，， 又， ， ， ， ， ， 故的最小值为． 例4．（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）问题提出：如图1，在中，，，，的半径为2，P为圆上一动点，连接，，求的最小值． (1)尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图1，连接，在上取一点D，使，连接，则．又因为，所以，所以．所以．所以．请你完成余下的思考，并求出的最小值； (2)自主探案：在“问题提出”的条件不变的前提下，求的最小值； (3)拓展延伸：如图2，已知在扇形中，，，，，P是上一点，求的最小值． 【答案】(1)见解析 (2) (3)13 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质、勾股定理、圆的性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质是关键． （1）连接，得到当点A，P，D在同一条直线上时，最小，即的最小值为的长．求出的长即可； （2）连接，在上取点D，使，连接，，证明．得到．则．当点B，P，D在同一直线上时，的值最小，即的最小值为的长，进一步求出的长即可； （3）延长到点E，使，连接，．证明．得到．．当E，P，B三点共线时，取得最小值，即的最小值为的长．进一步求出的长即可． 【详解】（1）解：如图，连接， ，要使最小，即最小． 当点A，P，D在同一条直线上时，最小，即的最小值为的长． 在中，，，． 的最小值为． （2）如图，连接，在上取点D，使，连接，，． ， ． ． ． ． 当点B，P，D在同一直线上时，的值最小，即的最小值为的长， 在中，． 的最小值为． （3）如图，延长到点E，使，连接，． ． ，， ． ， ． ． ． ． 当E，P，B三点共线时，取得最小值，即的最小值为的长． 在中，． 的最值为13． 模型3.最值模型之费马点模型 结论：如图1，点M为△ABC内任意一点，连接AM、BM、CM，当M与三个顶点连线的夹角为120°时，MA+MB+MC的值最小。 图1 图2 图3 注意：上述结论成立的条件是△ABC的最大的角要小于120º，若最大的角大于或等于120º，此时费马点就是最大角的顶点A。（这种情况一般不考，通常只考查三角形的最大顶角小于120°） 证明：如图2，以AB为一边向外作等边三角形△ABE，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN． ∵△ABE为等边三角形，∴AB＝BE，∠ABE＝60°．而∠MBN＝60°，∴∠ABM＝∠EBN． 在△AMB与△ENB中，∵，∴△AMB≌△ENB（SAS）． 连接MN．由△AMB≌△ENB知，AM＝EN．∵∠MBN＝60°，BM＝BN，∴△BMN为等边三角形． ∴BM＝MN．∴AM+BM+CM＝EN+MN+CM．∴当E、N、M、C四点共线时，AM+BM+CM的值最小． 此时，∠BMC＝180°﹣∠NMB＝120°；∠AMB＝∠ENB＝180°﹣∠BNM＝120°； ∠AMC＝360°﹣∠BMC﹣∠AMB＝120°． 费马点的作法：如图3，分别以△ABC的AB、AC为一边向外作等边△ABE和等边△ACF，连接CE、BF，设交点为M，则点M即为△ABC的费马点。 【最值原理】两点之间，线段最短。 例1．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，点是边长为的正方形内一点，连接，点在线段上运动，连接，则的最小值是 ． 【答案】/ 【分析】如图所示，将绕点顺时针旋转得到，连接，过点作，交于点，则，，，可证是等边三角形，得到，当点四点共线且时，取得最小值，即可求解． 【详解】解：如图所示，将绕点顺时针旋转得到，连接，过点作，交于点，则，， ∴， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 当点四点共线且时，取得最小值， ∵四边形是正方形，边长为，绕点顺时针旋转得到， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值是， 故答案为： ． 例2．（2023九年级下·全国·专题练习）如图，正方形的边长为4，点是正方形内部一点，求的最小值． 【答案】 【分析】延长到，使得，则，在的内部作射线，使得，使得，连接，，．先证明，可得，再证明，可得：，从而得到，计算出的长度即可． 【详解】解：延长到，使得，则，在的内部作射线，使得，使得，连接，，． ，， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 的值最小，最小值为． 例3．（24-25八年级下·广东广州·期中）已知等腰，，点为三角形内一点，连，，． (1)如图，若为等边三角形，且，，求的度数以及边长； (2)如图，若，，求的最小值． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）将绕点逆时针旋转，点的对应点为，点的对应点于点重合，连接，过点作交的延长线于点，如图所示，可得是等边三角形，，，在中，，，，可得，则是直角三角形，所以，在中，，，则，，在中，由勾股定理得：，即可求解； （2）将绕点逆时针旋转得到，点的对应点为，点的对应点为，连接，，过点作于点，连接，如图所示，可证和均为等边三角形，则，在中，由勾股定理得：，在中，由勾股定理得：，根据“两点之间线段最短”得：，即，由此即可求解． 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ， 将绕点逆时针旋转，点的对应点为，点的对应点于点重合，连接，过点作交的延长线于点，如图所示： 由旋转的性质得：，，， 是等边三角形， ，， 在中，，，， ， ， 是直角三角形，即， ， ， 在中，，， ， 由勾股定理得：， ， 在中，由勾股定理得：， 的度数是，边的长为； （2）解：将绕点逆时针旋转得到，点的对应点为，点的对应点为，连接，，过点作于点，连接，如图所示： 由旋转的性质得：，，，， 和均为等边三角形， ，， ， 在中，，，于点， ，， 在中，由勾股定理得：， 是等边三角形，， ， ， ， 点，，在同一条直线上， ， 在中，由勾股定理得：， ， 根据“两点之间线段最短”得：， ， 即， 的最小值为． 例4．（24-25八年级下·河南·月考）阅读下面材料，并解决问题： (1)思维指引 如图①等边内有一点，若点到顶点的距离分别为，求的度数．为了解决本题，我们可以将绕顶点旋转到处，此时，连接，这样就可以利用旋转变换，将三条线段转化到一个三角形中，从而求出___________； (2)知识迁移 如图②，中，，，、为上的点且，，求的长度； (3)方法推广 如图③，在中，，，，点为内一点，连接，直接写出的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（）由全等三角形和旋转的性质可得为等边三角形，即得， ，进而由勾股定理的逆定理可得，进而可得，即可求解； （）把绕点逆时针旋转得到，可证，得到，再根据等腰直角三角形和旋转的性质可得，进而利用勾股定理求出的长即可求解； （）在内部任取一点，连接，将绕点顺时针旋转得到，由旋转的性质可得，可知当四点共线时，取最小值，最小值为，过点作的垂线交延长线于点，分别求出和的长，再利用勾股定理求出的长即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴，，， ∵为等边三角形， ∴， 由旋转得，， ∴为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴为直角三角形，且， ∴， 故答案为：； （2）解：如图②，把绕点逆时针旋转得到， 由旋转得，，，，，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：如图③，在内部任取一点，连接， 将绕点顺时针旋转得到， 由旋转得，，，， ， ∴， ∴， ∴当四点共线时，取最小值，最小值为， 如图，过点作的垂线交延长线于点，则， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴的最小值为． 一、单选题 1．（2024九年级·全国·专题练习）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝7，AC＝9，以C为圆心、3为半径作⊙C，P为⊙C上一动点，连接AP、BP，则AP＋BP的最小值为（    ）      A．7 B．5 C． D． 【答案】B 【详解】思路引领：如图，在CA上截取CM，使得CM＝1，连接PM，PC，BM．利用相似三角形的性质证明MPPA，可得AP+BP＝PM+PB≥BM，利用勾股定理求出BM即可解决问题． 答案详解：如图，在CA上截取CM，使得CM＝1，连接PM，PC，BM． ∵PC＝3，CM＝1，CA＝9， ∴PC2＝CM•CA， ∴， ∵∠PCM＝∠ACP，    ∴△PCM∽△ACP， ∴， ∴PMPA， ∴AP+BP＝PM+PB， ∵PM+PB≥BM， 在Rt△BCM中，∵∠BCM＝90°，CM＝1，BC＝7， ∴BM5， ∴AP+BP≥5， ∴AP+BP的最小值为5． 故选：B． 2．（2025·安徽黄山·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于点A，C两点，与y轴交于点B，对称轴与x轴交于点D，若P为y轴上的一个动点，连接，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作射线，作于E，作于F，交y轴于，可求得，从而得出，进而得出，进一步得出结果． 【详解】解：如图， 作射线，作于E，作于F，交y轴于， 抛物线的对称轴为直线， ∴， 当时，， ∴， 当时，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，当点P在时，最小，最大值等于， 在中，，， ∴， ∴， 故选：A． 二、填空题 3．（24-25九年级上·四川成都·月考）如图，在中，，P是内一点，求的最小值为 ． 【答案】 【分析】将△APC绕点C顺时针旋转得△DFC，可得PC=PF，DF=AP，将转化为，此时当B、P、F、D四点共线时，的值最小，最小值为BD的长；根据勾股定理求解即可． 【详解】解：将△APC绕点C顺时针旋转得△DFC，连接PF、AD、DB，过点D作DE⊥BA，交BA的延长线于点E； ∴AP=DF，∠PCF=∠ACD=，PC=FC，AC=CD， ∴△PCF、△ACD是等边三角形， ∴PC=PF，AD=AC=1，∠DAC= ∴， ∴当B、P、F、D四点共线时，的值最小，最小值为BD的长； ∵，∠CAD=， ∴∠EAD=， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的值最小值为． 故答案为：． 4．（2024·内蒙古鄂尔多斯·中考真题）如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠CAB＝30°，AD⊥BC，垂足为D，P为线段AD上的一动点，连接PB、PC．则PA+2PB的最小值为 ． 【答案】4 【分析】在∠BAC的外部作∠CAE＝15°，作BF⊥AE于F，交AD于P，此时PA+2PB＝2＝＝2BF，通过解直角三角形ABF，进一步求得结果． 【详解】解：如图， 在∠BAC的外部作∠CAE＝15°，作BF⊥AE于F，交AD于P， 此时PA+2PB最小， ∴∠AFB＝90° ∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴∠CAD＝∠BAD＝， ∴∠EAD＝∠CAE+∠CAD＝30°， ∴PF＝， ∴PA+2PB＝2＝＝2BF， 在Rt△ABF中，AB＝4，∠BAF＝∠BAC+∠CAE＝45°， ∴BF＝AB•sin45°＝4， ∴（PA+2PB）最大＝2BF＝， 故答案为：． 三、解答题 5．（2024·四川成都·模拟预测）探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究． 【尝试初探】 （1）如图①，在四边形中，若，，，求的长； 【深入探究】 （2）如图②，在四边形中，若，，，求的长； 【拓展延伸】 （3）如图③，在四边形中，若，，，延长相交于点，，是线段上一动点，连接，求的最小值． 【答案】（1）10；（2）8；（3）． 【分析】本题是三角形综合题，涉及了解特殊的直角三角形、对角互补模型、最值胡不归模型、角平分线性质及判定、全等三角形的判定，解题关键是利用三角形全等转化线段和角的关系，由30度角、45度角的解直角三角形，求边长，构造胡不归模型利用垂线段最短求出最值． （1）易证，从而可得，，进而由含30度直角三角形性质可得； （2）如图2，取的中点O，连接、， 由直角三角形斜边中线等于斜边一半可证明是等腰直角三角形，，即可求出． （3）由已知可以求得证明，，再构造含30度的直角三角形求出，再利用胡不归模型构造的折线段，根据垂线段最短，得出的最小值即可求解． 【详解】解：（1）∵，，； ∴； ∴， ∴， ∴． （2）如图②，取的中点O，连接、， ∵， ∴，， ∴，， ∴，； ∴，即， ∵， ∴， 又∵， ∴， （3）如图③，过点A作， ∵，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 过点A作交于点Q， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 如图④，作，过点P作，垂足为H，过点D作，垂足为N，交于M， ∴，， ∴，， ∵，当点P在点M位置时，点H与N重合，取最小值，最小值为， ∴的最小值为， ∴最小值为． 6．（24-25九年级上·广东珠海·期末）如图，以直径，已知，点为⊙上一动点． (1)如图1所示，时，求的长． (2)如图2所示，移动点使它和边上的点满足且，四边形是什么四边形，请说明理由； (3)如图3，在中，，线段绕点在平面内旋转，过点作的垂线，交射线于点．若，求的最大值． 【答案】(1) (2)菱形，见解析 (3) 【分析】本题是圆的综合题，考查了等腰直角三角形性质和判定，圆周角定理及其推论，垂径定理，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握圆周角定理． （1）先根据圆周角定理得，再由勾股定理即可解答； （2）先根据垂径定理得：，再证明，得，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可得结论； （3）如图3，连接，先根据圆周角定理可知：点在以为直径的圆上，且，由旋转可得：点在以为圆心，2为半径的圆上，则当为相切时，的值最大，即可解答． 【详解】（1）∵为直径， ∴在中． ∵在中， （2）∵为直径 ，． 四边形是平行四边形 ∴四边形是平行四边形 ∴平行四边形是菱形 （3）如图，，， ∴点是在以为直径的圆上运动， ，且是绕点C旋转， ∴点是在以为圆心，以为半径的圆上运动， ， ∵当最小时，最大，此时与圆C相切于点D， ， ， 连接 ， ， ， 此时，即AE的最大值为． 7．（24-25九年级下·河南周口·阶段练习）【问题背景】在已知所在平面内求一点P，使它到三角形的三个顶点的距离之和最小（如图1）．这个问题是有着“业余数学家之王”美誉的法国律师费马在1640年前后向意大利物理学家托里拆利提出的，所求的点被人们称为“费马点”．解决方法如下：如图2，把绕A点逆时针旋转得到（点P，C的对应点分别为点，），连接，则，． ∵______，∴为等边三角形，∴，∴， ∴当B，P，，四点在同一直线上时，的值最小，即点P是的“费马点”． 任务：（1）横线处填写的条件是______；（2）当点P是的“费马点”时，______； （3）如图3，△ABC中，，，E，F为BC上的点，且，判断之间的数量关系并说明理由； 【实际应用】图4所示是一个三角形公园，其中顶点A，B，C为公园的出入口，，，AC＝4km，工人师傅准备在公园内修建一凉亭P，使该凉亭到三个出入口的距离最小，则的最小值是______． 【答案】问题背景：（1）见解析；（2）；（3） ，理由见解析；实际应用； 【分析】问题背景：（1）先证明为等边三角形，得到，则，由此可得当B，P，，四点在同一直线上时，的值最小，即点P是的“费马点”． （2）由旋转的性质可得，，进而利用三角形内角和定理得到，再由等边三角形的性质得到，则，，即可利用周角的定义得到； （3）将绕点逆时针旋转，得到，连接，利用旋转的性质和等边对等角，得到，为直角三角形，进而得到，证明，得到，即可得出结论； 实际应用：如图所示，将绕点A逆时针旋转得到，连接，由问题背景（1）可得当B，P，，四点在同一直线上时，的值最小，最小值为，过点作交延长线于D，证明是等腰直角三角形，得到，则，利用勾股定理得到，则得最小值为． 【详解】解：问题背景：（1）如图2，把绕A点逆时针旋转得到（点P，C的对应点分别为点，），连接，则，． ∵，∴为等边三角形，∴，∴， ∴当B，P，，四点在同一直线上时，的值最小，即点P是的“费马点”． （2）如图2所示，设交于O，由（1）可得当B，P，，四点在同一直线上时，的值最小，由旋转的性质可得，，又∵，∴ ∵为等边三角形，∴，∴，， ∴，∴，故答案为：；    （3） ，理由如下：∵，，∴， 如图所示，将绕点逆时针旋转，得到，连接， 则：， ∴，∴， ∵，∴，∴， 又∵，，∴，∴，∴； 实际应用：如图所示，将绕点A逆时针旋转得到，连接， 由问题背景（1）可得当B，P，，四点在同一直线上时，的值最小，最小值为， 过点作交延长线于D，由旋转的性质可得，， ∵，∴，∴是等腰直角三角形， ∴，∴， ∴，∴得最小值为，故答案为：． 8．（24-25九年级上·海南三亚·期末）如图1，已知抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点． (1)求该抛物线所对应的函数关系式； (2)已知点是抛物线的顶点，点是线段上的一个动点（与点、不重合），过点E作轴于点，交抛物线于点． ①求四边形的面积； ②求的边上的高的最大值； ③如图2，在②的条件下，在x轴上是否存在点G，使得的值最小？若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①9；②．③ 【分析】（1）根据抛物线与x轴交于，两点，设函数解析式为，再将点代入求解即可． （2）①先求出抛物线的顶点坐标为，再根据四边形的面积计算即可； ②求出直线的解析式为：，求出，设的边上的高为，设点E为，则，在中，，即可求出答案； ③以点A为顶点作，过点G作于点M，得到三点共线时，有最小值，即为的长，此时点G在点的位置，利用解直角三角形求出答案即可． 【详解】（1）∵抛物线与x轴交于，两点， ∴设该抛物线的解析式为：． ∵过点， ∴， 解得， ∴该抛物线的解析式为：． （2）∵， ∴抛物线的顶点坐标为 ∴四边形的面积； 即四边形的面积 ②设直线的解析式为：， 把点，代入，得 ，解得， ∴直线的解析式为：． ∵， ， ∴， ∵， ∴， ∴， 设的边上的高为，如图， 设点E为，则， 则， 在中，， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为； ③以点A为顶点作，过点G作于点M， ∴， ∴，即三点共线时，有最小值，即为的长，此时点G在点的位置， 如图： 由可知，当时，， ∴有最大值时，点E的坐标为， 则， 在中，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 即的最小值为 9．（24-25九年级上·重庆九龙坡·期末）已知与有公共顶点C，为等边三角形，在中，． (1)如图1，当点E与点B重合时，连接AD，已知四边形ABDC的面积为，求的值； (2)如图2，， A、E、D三点共线，连接、，取中点M，连接，求证：； (3)如图3，，，将以C为旋转中心旋转，取中点F，当的值最小时，求的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）延长到T，使得连接，过点D做于N，证明，得出，，证明为等边三角形，设，得出，求出x的值即可得出答案； （2）延长到使得，连接、，证明，得出，证明为的中位线，得出，即可证明结论； （3）连接，过点A作于点G，以点C为圆心，为半径作圆，在上截取，连接，证明，得出，即，得出，连接与交于一点，当点F在此点时，最小，即最小，过点M作于点N，过点A作于点Q，求出，即可得出答案． 【详解】（1）解：延长到T，使得连接，过点D做于N，如图所示： ∵为等边三角形，， ∴，， 四边形中，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴为等边三角形， ∵四边形ABDC的面积为， ∴， ∵， ∴， 设， ∴， ∴， ∴， ∴， （2）证明：延长到使得，连接、，如图所示： ∵，， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴，， ∵为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵A为中点，M为中点， ∴为的中位线， ∴， ∴； （3）解：如图，连接，过点A作于点G，以点C为圆心，为半径作圆，在上截取，连接， ∵，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵点F为等边三角形的边中点， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵的长度为定值， ∴在旋转时，点F在以C为圆心，为半径的圆上运动， ∴如图，连接与交于一点，当点F在此点时，最小，即最小，过点M作于点N，过点A作于点Q， ， ， ， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 10．（2025春·重庆·九年级专题练习）背景资料：在已知所在平面上求一点P，使它到三角形的三个顶点的距离之和最小.这个问题是法国数学家费马1640年前后向意大利物理学家托里拆利提出的，所求的点被人们称为“费马点”．如图1，当三个内角均小于120°时，费马点P在内部，当时，则取得最小值． (1)如图2，等边内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求的度数，为了解决本题，我们可以将绕顶点A旋转到处，此时这样就可以利用旋转变换，将三条线段、、转化到一个三角形中，从而求出_______； 知识生成：怎样找三个内角均小于120°的三角形的费马点呢？为此我们只要以三角形一边在外侧作等边三角形并连接等边三角形的顶点与的另一顶点，则连线通过三角形内部的费马点．请同学们探索以下问题．(2)如图3，三个内角均小于120°，在外侧作等边三角形，连接，求证：过的费马点．(3)如图4，在中，，，，点P为的费马点，连接、、，求的值．(4)如图5，在正方形中，点E为内部任意一点，连接、、，且边长；求的最小值． 【答案】(1)150°；(2)见详解；(3)；(4)． 【分析】（1）根据旋转性质得出≌，得出∠BAP=∠CAP′，∠APB=∠AP′C，AP=AP′=3，BP=CP′=4，根据△ABC为等边三角形，得出∠BAC=60°，可证△APP′为等边三角形，PP′=AP=3，∠AP′P=60°，根据勾股定理逆定理，得出△PP′C是直角三角形，∠PP′C=90°，可求∠AP′C=∠APP+∠PPC=60°+90°=150°即可； （2）将△APB逆时针旋转60°，得到△AB′P′，连结PP′，根据△APB≌△AB′P′，AP=AP′，PB=PB′，AB=AB′，根据∠PAP′=∠BAB′=60°，△APP′和△ABB′均为等边三角形，得出PP′=AP，根据，根据两点之间线段最短得出点C，点P，点P′，点B′四点共线时，最小=CB′，点P在CB′上即可； （3）将△APB逆时针旋转60°，得到△AP′B′，连结BB′，PP′，得出△APB≌△AP′B′，可证△APP′和△ABB′均为等边三角形，得出PP′=AP，BB′=AB，∠ABB′=60°，根据，可得点C，点P，点P′，点B′四点共线时，最小=CB′，利用30°直角三角形性质得出AB=2AC=2，根据勾股定理BC=，可求BB′=AB=2，根据∠CBB′=∠ABC+∠ABB′=30°+60°=90°，在Rt△CBB′中，B′C=即可； （4）将△BCE逆时针旋转60°得到△CE′B′，连结EE′，BB′，过点B′作B′F⊥AB，交AB延长线于F，得出△BCE≌△CE′B′，BE=B′E′，CE=CE′，CB=CB′，可证△ECE′与△BCB′均为等边三角形，得出EE′=EC，BB′=BC，∠B′BC=60°，，得出点C，点E，点E′，点B′四点共线时，最小=AB′，根据四边形ABCD为正方形，得出AB=BC=2，∠ABC=90°，可求∠FBB′=180°-∠ABC-∠CBB′=180°-90°-60°=30°，根据30°直角三角形性质得出BF=，勾股定理BF=，可求AF=AB+BF=2+，再根据勾股定理AB′=即可． 【详解】（1）解：连结PP′，∵≌，∴∠BAP=∠CAP′，∠APB=∠AP′C，AP=AP′=3，BP=CP′=4， ∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC=60°∴∠PAP′=∠PAC+∠CAP′=∠PAC+∠BAP=60°， ∴△APP′为等边三角形，,∴PP′=AP=3，∠AP′P=60°，在△P′PC中，PC=5，， ∴△PP′C是直角三角形，∠PP′C=90°，∴∠AP′C=∠APP+∠PPC=60°+90°=150°， ∴∠APB=∠AP′C=150°，故答案为150°； （2）证明：将△APB逆时针旋转60°，得到△AB′P′，连结PP′，∵△APB≌△AB′P′，∴AP=AP′，PB=PB′，AB=AB′， ∵∠PAP′=∠BAB′=60°，∴△APP′和△ABB′均为等边三角形，∴PP′=AP， ∵，∴点C，点P，点P′，点B′四点共线时，最小=CB′， ∴点P在CB′上，∴过的费马点． （3）解：将△APB逆时针旋转60°，得到△AP′B′，连结BB′，PP′， ∴△APB≌△AP′B′，∴AP′=AP，AB′=AB， ∵∠PAP′=∠BAB′=60°，∴△APP′和△ABB′均为等边三角形，∴PP′=AP，BB′=AB，∠ABB′=60°， ∵∴点C，点P，点P′，点B′四点共线时，最小=CB′， ∵，，，∴AB=2AC=2，根据勾股定理BC=∴BB′=AB=2， ∵∠CBB′=∠ABC+∠ABB′=30°+60°=90°，∴在Rt△CBB′中，B′C= ∴最小=CB′=； （4）解：将△BCE逆时针旋转60°得到△CE′B′，连结EE′，BB′，过点B′作B′F⊥AB，交AB延长线于F， ∴△BCE≌△CE′B′，∴BE=B′E′，CE=CE′，CB=CB′， ∵∠ECE′=∠BCB′=60°，∴△ECE′与△BCB′均为等边三角形，∴EE′=EC，BB′=BC，∠B′BC=60°， ∵， ∴点C，点E，点E′，点B′四点共线时，最小=AB′， ∵四边形ABCD为正方形，∴AB=BC=2，∠ABC=90°，∴∠FBB′=180°-∠ABC-∠CBB′=180°-90°-60°=30°， ∵B′F⊥AF，∴BF=，BF=， ∴AF=AB+BF=2+，∴AB′=，∴最小=AB′=． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题14最值模型之胡不归模型、阿氏圆模型与费马点模型 目录导航 例题讲模型 模型1.最值模型之胡不归模型… 模型2.最值模型之阿氏圆模型 11 模型3.最值模型之费马点模型 .22 习题练模型 ....32 例题讲模型 模型1.最值模型之胡不归模型 模型解读 从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家.根据“两点之间线段最短”，虽 然从他此刻位置A到家B之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙 子追悔莫及失声痛哭.邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？” 看到这里很多人都会有一个疑问，少年究竞能不能提前到家呢？假设可以提早到家，那么他该选择怎样的 一条路线呢？这就是今天要讲的“胡不归”问题 B 边c ∠A的对边a ∠4的邻边b C 模型证明 一动点P在直线MN外的运动速度为，在直线MN上运动的速度为V2,且V<,A、B为定点， 1/13 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 点C在直线MN上，确定点C的位置使4C+BC的值最小.（注意与阿氏圆模型的区分）。 V 1) 即求BC+kAC的最小值 2)构造射线AD使得sn∠D4Nk,C=k,CHk4C,将问题转化为求BC+CH最小值， AC 3)过B点作BH⊥AD交MN于点C,交AD于H点，此时BC+CH取到最小值，即BC+kAC最小 【解题关键】在求形如“PA+kPB”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB相等的线段，将“PA+PB型问题 转化为“PA+PC型.（若>1，则提取系数，转化为小于1的形式解决即可)。 【最值原理】垂线段最短。 模型运用 例1.(2025黑龙江佳木斯一模)如图，平行四边形ABCD中，∠DAB=60°，AB=8,BC=2,P为边 CD上的一动点，则PB+5PD最小值等于 2 D P B 例2.(24-25八年级下·北京·期中)如图，在菱形ABCD中，对角线AC,BD交于点0，AB=AC=6, 点M在线段AC上，且AM=2,点P为线段BD上的一个动点. (1)L0BC=°； (2)MP+PB的最小值为 2/13 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 例3.(25-26九年级上·天津月考)已知抛物线y=ax2+bx-3(a≠0)经过点A(-3,0),B(1,0)两点，与y轴 交于点C,顶点为D. (1)求a,b的值及顶点D的坐标； (2)点E为直线AC下方抛物线上的一点，当LECA=∠DAC时，求点E的坐标： (3③)点M为y轴上的一动点，连接BM,当BM巨CM取得最小值时，求点M的坐标，并求出这个最小值. 例4.（2025四川眉山中考真题)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx+c关于直线x=-3对称， 与x轴交于A(-L,0)、B两点，与y轴交于点C. B x=-3 X=-3 (1)求抛物线的解析式： (②)点P为抛物线对称轴上一点，连接BP,将线段BP绕点P逆时针旋转90°，使点B的对应点D恰好落在 抛物线上，求此时点P的坐标： (3)在线段0C上是否存在点Q,使2AQ+√2CQ存在最小值？若存在，请直接写出点Q的坐标及最小值： 若不存在，请说明理由. 模型2.最值模型之阿氏圆模型 模型解读 动点到两定点距离之比为定值（即：平面上两点A、B,动点P满足PAPB=k(k为常数，且1）)， 那么动点的轨迹就是圆，因这个结论最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现的，故称这个圆称为阿波罗尼斯圆， 简称为阿氏圆。 3/13 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 模型证明 如图1所示，⊙0的半径为n点4、B都在⊙0外，P为⊙0上一动点，已知kOB(即0P=k),连 OB 接PA、PB,则当PA+kPB的值最小时，P点的位置如何确定？最小值是多少呢？ 图2 图3 如图2布线段08上发取00俊00r（8S-),:8 =k,..OP_OC OB OB OP :∠POC=∠BOP,△POC∽△BOP,:.PC=k,即kPB=PC。 PB 故本题求“PA+kPB”的最小值可以转化为“PA+PC的最小值。 其中与A与C为定点，P为动点，故当A、P、C三点共线时，“PA+PC值最小，如图3所示。 阿氏圆求最值的本质就是通过构造母子相似，化去比例系数，转化为两定一动将军饮马型求最值，难点在 于如何构造母子相似。 阿氏圆最值问题常见考法：点在圆外：向内取点（系数小于1）；点在圆内：向外取点（系数大于1）；一 内一外：提系数；隐圆型阿氏圆等。 注意区分胡不归模型和阿氏圆模型：在前面的“胡不归”问题中，我们见识了“kPA+PB”最值问题，其中P点 轨迹是直线，而当P点轨迹变为圆时，即通常我们所说的阿氏圆”问题. 模型运用 例1.(24-25九年级上江苏宿迁·月考)如图，已知正方形ABCD的边长为2，点O是BC边的中点，G为 正方形内一动点，且G0=1.点P是CD边上另一动点，连接PG、PA,则PA+PG的最小值为 4/13 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 G 0 例2.(2025广东清远模拟预测)如图，抛物线y=ax2+bx+5与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C, AB=4.抛物线的对称轴直线x=3与经过点A的直线y=x-1交于点D,与x轴交于点E. V 备用图 (1)求抛物线的表达式； (②)若在抛物线上存在点M,使得△ADM是以AD为直角边的直角三角形，求出所有点M的坐标； (3)以点B为圆心，画半径为2的圆，P为☐B上一个动点，请求出PC+二PA的最小值， 例3.(2024安徽模拟预测)如图1，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象交x轴于 A(-1,0),B两点，AB=4,C为抛物线顶点. B B 图1 图2 (1)求b,c的值： (2)点P为直线AC下方抛物线上一点，过点P作PQ⊥x轴，垂足为点Q,交AC于点M,是否存在 OM=3PM？若存在，求出此时P点坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图2，以B为圆心，2为半径作圆，N为圆B上任一点，求CN+行AN的最小值. 5/13 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 例4.(24-25九年级上江苏宿迁·期末)问题提出：如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，CB=4,CA=6, ⊙C的半径为2，P为圆上一动点，连接4P,BP,求P+号8P的最小值， B 图1 图1备用图 图2 (I)尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图1，连接CP,在CB上取一点D,使 C01,连接PD,则号5又因为∠PCD:∠BCP,所X△PCD△BCP,所以PD_CD1 CP CB2 Cn·所 以PD=PB。所以4P+8BP=AP+PD.请你完成余下的思考，并求出4P+号BP的最小值： 2 ②)自主探案：在“问题提出的条件不变的前提下，求；AP+BP的最小值； (3)拓展延伸：如图2，已知在扇形C0D中，∠C0D=90°，0C=6,0A=3,0B=5,P是CD上一点，求 2PA+PB的最小值. 模型3.最值模型之费马点模型 模型解读 结论：如图1，点M为△ABC内任意一点，连接AM、BM、CM,当M与三个顶点连线的夹角为120°时， MA+MB+MC的值最小。 E B 图1 图2 图3 注意：上述结论成立的条件是△ABC的最大的角要小于120°，若最大的角大于或等于120°，此时费马点就 是最大角的顶点A。(这种情况一般不考，通常只考查三角形的最大顶角小于120°) 模型证明 6/13 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 证明：如图2，以AB为一边向外作等边三角形△ABE,将BM绕点B逆时针旋转6O°得到BN,连接EN. ,△ABE为等边三角形，AB=BE,∠ABE=60°.而∠MBN=60°，∴.∠ABM=∠EBN. 「AB=BE 在△AMB与△ENB中，：∠ABM=∠EBN,∴△AMB≌△ENB(SMS)· BM=BN 连接MN.由△AMB≌△ENB知，AM=EN.,'∠MBN=6O°，BM=BN,∴.△BMN为等边三角形， ∴.BM=MN..AM什BM什CM=EN+MN+CM.∴.当E、N、M、C四点共线时，AM什BM什CM的值最小. 此时，∠BMC=180°-∠NMMB=120°；∠AMB=∠ENB=180°-∠BNM=120°： ∠AMC=360°-∠BMC-∠AMB=120°. 费马点的作法：如图3，分别以△ABC的AB、AC为一边向外作等边△ABE和等边△ACF,连接CE、BF, 设交点为M,则点M即为△ABC的费马点。 【最值原理】两点之间，线段最短。 模型运用 例1.(2025湖北武汉模拟预测)如图，点E是边长为2的正方形ABCD内一点，连接BE,AE,点P在线 段DC上运动，连接EP,则AE+EP+BE的最小值是 B E D 例2.(2023九年级下，全国.专题练习)如图，正方形ABCD的边长为4，点P是正方形内部一点，求 PA+2PB+V5PC的最小值. A D B 例3.(24-25八年级下·广东广州期中)已知等腰△CAB,CA=CB,点P为三角形内一点，连PA,PB, PC. 7/13 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图1 图2 (I)如图1，若ABC为等边三角形，且PA=2,PB=√5，PC=√万，求∠BPA的度数以及AB边长； (2)如图2，若CA=CB=13,AB=10,求PA+PB+PC的最小值： 例4.(24-25八年级下·河南月考)阅读下面材料，并解决问题： 图① 图② 图③ (1)思维指引 如图①等边ABC内有一点P,若点P到顶点A、B、C的距离分别为8,15,17，求∠APB的度数.为了解决 本题，我们可以将△ABP绕顶点A旋转到△ACP'处，此时△ACP'≌△ABP,连接PP',这样就可以利用旋转 变换，将三条线段PA、PB、PC转化到一个三角形中，从而求出∠APB= (2)知识迁移 如图②， ABC中，∠CAB=90°，AB=AC,E、F为BC上的点且∠EAF=45,BE=3,CF=2,求EF 的长度； (3)方法推广 如图③，在ABC中，∠ABC=30°，AB=4,BC=6,点P为ABC内一点，连接PA、PB、PC,直接写 出PA+√2PB+PC的最小值. 习题练模型 一、单选题 8/13 品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1.(2024九年级全国.专题练习)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CB=7,AC=9,以C为圆心、3 为半径作OC,P为oC上一动点，连接AP、B即，则4P+BP的最小值为（） A.7 B.5√2 C.4+10 D.213 2.(2025安徽黄山模拟预测)如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=525x-V5的图象与x轴 2 交于点A,C两点，与y轴交于点B,对称轴与x轴交于点D,若P为y轴上的一个动点，连接PD,则 2PB+PD的最小值为() V A D B A.35 B.3 C.5 D.55 4 2 4 二、填空题 3.(24-25九年级上四川成都月考)如图，在ABC中，∠CAB=90°，AB=AC=1,P是ABC内一点， 求PA+PB+PC的最小值为 4.(2024内蒙古鄂尔多斯中考真题)如图，在△ABC中，AB=AC=4,∠CAB=30°，AD⊥BC,垂足为D ,P为线段AD上的一动点，连接PB、PC.则PA+2PB的最小值为一· 9/13 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A D 三、解答题 5.(2024四川成都模拟预测)探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究. 【尝试初探】 (1)如图①，在四边形ABCD中，若∠ABC=∠ADC=90°，AB=AD=5,∠BAD=120°，求AC的长； 【深入探究】 (2)如图②，在四边形ABCD中，若∠ABC=∠ADC=90°，∠BCD=45°，AC=8√2，求BD的长； 【拓展延伸】 (3)如图③，在四边形ABCD中，若LABC+LADC=180°，∠ADC=60°，AD=AB=2√5，延长DA,CB相 交于点E,DE⊥CE,P是线段AC上一动点，连接PD,求2DP+CP的最小值. D D B 图① 图② 图③ 6.(24-25九年级上广东珠海期末)如图，以AB直径⊙0，已知AC=BC,点D为⊙0上一动点. O 图1 图2 图3 (I)如图1所示，AD=6cm,BD=8cm时，求AC的长. (②)如图2所示，移动点D使它和边BC上的点E满足OE⊥BD且DE∥AB,四边形OBED是什么四边形， 请说明理由； 10/13