专题09 旋转全等与旋转函数2考点4重难题型（期中复习讲义）九年级数学上学期新教材人教版

函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题09 旋转全等与旋转函数 内容概览 01期中考情透视 02复习目标锚定 03知识体系构建 04核心考点精讲 考点一旋转全等棋型（手拉手/共顶点旋转/旋转构造全等） 考点二旋转函数（坐标系中的坐标变换规律与图像旋转） 05重难题型突破 题型一旋转与全等填空小压轴 题型二旋转与最值填空小压轴 题型三旋转全等（手拉手）证明与求值（应用) 题型四旋转函数坐标变换与压轴综合（应用·综合） 06限时分层演练 基础固本练/综合进阶练 01期中考情透视 解答题 7~8分 旋转全等（手拉手）证明与角度/线段求值 应用 重点 旋转函数：坐标系旋转+坐标变换+面积 压轴题 9~12分 区分度最大 /函数结合 应用·综合 02复习目标锚定 识记 能准确复述定义与性质：能在图形中指认旋转中心、旋转角、对应点 理解 能说明“为什么成立”；能由旋转条件独立推出角度与坐标 应用 能独立完成压轴题设问，条理清晰、步骤完整 1/71 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 03知识体系构建 定义：图形绕平面内一定点转动一个角度 三要素：旋转中心0/旋转方向/旋转角 ①对应点到中心距离相等 图形的旋转 性质 ②对应点与中心连线夹角=旋转角 ③旋转前后图形全等 旋转作图：连（连心线）一转（定方向角）一截（取等长）一连（连接对应点） 定义：绕某点旋转180与原图形重合 性质：对称点连线过中心且被中心平分；两图形全等 旋转全等与 中心对称 中心对称图形：图形本身绕中心旋转180与自身重合 旋转函数 如线段、平行四边形、圆、正偶数边形 关于原点对称的点的坐标：P(ab)一P(-a,b)(横纵坐标都变号) 手拉手模型（等边/等腰共顶点旋转一手拉手全等） 旋转全等模型 共顶点旋转（旋转前后图形全等，对应边、对应角相等） 旋转构造全等（把分散条件集中到同一对全等三角形） 坐标系旋转：绕原点90/180270的坐标变换规律 旋转函数 旋转中心一般化：先平移使旋转中心归原点，再套用规律 函数图像旋转：如抛物线绕原点旋转180等 04核心考点精讲 考点一旋转全等模型（手拉手/共顶点旋转/旋转构造全等） ①共顶点旋转：一个图形绕其上一个点（常为顶点)旋转，旋转前后对应边、对应角相等，据此证全 等或求值。②手拉手模型：两个等腰/等边三角形共顶点（如△AOB与△COD均绕O旋转），其对应边可 组成一对“手拉手”全等三角形，如证△AOC≌△BOD。③旋转构造全等：把分散的线段、角“搬”到同 一对全等三角形中，化难为易。 △概念辨析 手拉手全等的判定多采用SAS:共顶点处的旋转角相等（∠AOC=∠BOD),两组对应边相等。须先明确“哪两个三 角形全等”，再写对应关系。 △记忆口诀 “见旋转，先标对应；同顶点，手拉手”：找旋转中心→标对应点→证全等SAS)→转化线段角。 △易混易错 ①手拉手全等的两个三角形是“跨两边”的组合三角形，不是旋转前后的原三角形；②漏证旋转角相 等这一组角。 2171 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 △避坑指南 X把“共顶点的一对角”与“旋转角”区分开：SAS中角必须是两对应边的夹角。 考点二旋转函数（坐标系中的坐标变换规律与图像旋转） 点P(x,y)绕原点O旋转：顺时针90°得P'y,-x):逆时针90°得P'(y,x:旋转180°得P'(-x,-y)。旋转中 心不在原点时，先平移（把旋转中心移到原点）再套用规律，最后平移回去。 P(x,y P'y,-x P(x,yP'-y,x △概念辨析 顺/逆时针90°的差异只在“变号位置”：顺时针90°是纵坐标变负、横纵互换：逆时针90°是横坐标变 负。旋转180°与中心对称等价，坐标都变号。 △记忆口诀 “绕心转九十，横纵互换、一个变号；转平角，坐标皆反”：90°先互换横纵坐标，再看顺逆定负 号；180°两坐标皆反。 △易混易错 顺时针与逆时针90°的符号混淆；旋转中心不在原点时忘记先平移；坐标变换后不加验证（描点核 对)。 △避坑指南 X背熟四个结论：绕原点顺90°→心，-)、逆90°-→(y,8、180°一→(x,y)、原点对称一(xy):复杂 情形先画草图。 05重难题型突破 题型一 旋转与全等填空小压轴 典例1-1(25-26九年级上江西宜春期中)如图，正方形ABCD的边长为3，E,F分别是AB,BC边上的 点，且∠EDF=45°，将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM,下列结论正确的是 (填序 号) ①EF-FM;②DE=DF:③EF=AE+FC:④∠AED=∠DEF. B 3/71 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【答案】①③④ 【详解】解：：正方形ABCD的边长为3， ∴.∠A=∠BCD=90°，AB=BC=3, ',将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM, .DM=DE,CM=AE,∠EDM=90°，∠DCM=∠A=90°，∠M=∠AED ∴.∠BCD+∠DCM=90°+90°=180°. ∴B,C,M共线， :∠EDF=45°， ∴.∠MDF=∠EDM-∠EDF=90°-45°=45°， ∴.∠MDF=∠EDF, 在△MDF与△EDF中， DM=DE ∠MDF=∠EDF DF=DF :.△MDF≌AEDF(SAS) ·.∠M=∠DEF,MF=EF,故①正确： ∴.∠AED=∠DEF,故④正确：EF=MF=CM+FC=AE+FC,故③正确： 由题意无法证明DE=DF,故②错误： 故答案为：①③④ 典例1-2((25-26九年级上河南洛阳期中)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=12,点 E是线段AB上一点，连接CE,把CE绕点C逆时针旋转60°到CE,连接BE',EE',当BE'=2时，则 AE= E C 【答案】8或4 【详解】解：如图：取AB中点记为点D,连接CD, 4/71 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B D A .∠ACB=90°，∠A=30°，AB=12 ·∠CBA=600, DC=DB=DA= AB=6」 ∴△BCD为等边三角形， .∠BCD=60°，CB=CD=6」 当点E'在BC左侧，由旋转得：CE=CE,LECE=60°， .∠ECE'=∠BCD=60°. ·.∠BCE'=∠DCE ·.△BCE'≌ADCE(SAS) ∴.DE=BE=2, .AE=AD+DE=6+2=8: 当点E'在BC右侧，同理可得：△BCE'≌aDCE(SAS) E 2 .'DE=BE'=2, .AE=AD-DE=6-2=4」 故答案为：8或4. 迁移应用 1.(25-26九年级上：陕西西安期中)如图，正方形ABCD的对角线相交于点O,正方形A'B'C"O与正方形 15 ABCD的边长相等，在正方形4BCO绕点O旋转的过程中，当重叠部分为四边形BEOF且面积为4时， 则正方形ABCD的边长为， 5171 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D E B 【答案】V5 【详解】解：∵四边形ABCD是正方形 ,.OB=OC,∠OBE=∠OBC=∠OCB=45°，∠BOC=90°， .∠BOF+∠FOC=90° ,四边形A'B'CO为正方形 .∠EOF=∠EOB+LBOF=90°， ∴.∠EOB=∠FOC, 在aOEB与△OFC中， ∠EOB=∠FOC OB=OC ∠OBE=∠OCF .aOEB≌aOFC(ASA). .SAOEB=S△orc, ,.∴S四边形OEBC=SAOER+S△OBr=SAOFC+S△OBr=SAORC S.oBc= 1 4, 解得：BC=V15, ∴.正方形的边长为：V5 故答案为：√5 2.(25-26九年级上四川南充期中)如图，己知点A的坐标为(-3,0)，点B的坐标为(-山，4)，将线段AB 绕点A顺时针旋转9O°得到AC,则点C坐标是 6171 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B C 【答案】(（1，-2) 【详解】解：如图，过点B作BE⊥x轴于点E,过点C作CF⊥x轴于点F, ,BE⊥x轴于点E,过点C作CF⊥x轴，线段AB绕点A顺时针旋转9O°得到AC, .∠BEA=∠AFC=∠BAC=90°，BA=AC, B .∠BAE+∠ABE=90°，∠BAE+∠CAF=90° ∴.∠ABE=∠CAF .△AEB≌aCFA(AAS). .BE=AF,AE=CF 由点A的坐标为(-3,0)，点B的坐标为(-山，4)， ..BE=AF=4,AE=CF=0A-OE=3-1=2. ..OF=AF-OA=1, 故C(1,-2), 故答案为：(1，-2). 3.(25-26九年级上福建厦门期中)如图，在矩形ABCD中，AB=4,BC=3.将矩形ABCD绕点B顺 时针旋转得到矩形BEFG,点A,C,D的对应点分别为G,E,F.当D,G,F三点在同一条直线 上时，BG与CD交于点H,则△DGH的面积为一· 7171 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 G D B 1 【答案】16 【详解】解：，矩形ABCD绕点B顺时针旋转得到矩形BEFG, ∴BD=BF,∠A=∠C=∠BGF=90°，AD=BC=GF=3,AB=DC=4, :D,G,F三点在同一条直线上， .∠BGD=∠BGF=∠C=90°， ..DG=FG=BC, 在△DGH和△BCH中， ∠DHG=∠BHC ∠DGH=∠BCH, DG=BC ·.△DGH≌aBCH(AAS), .S.DGn =S.ncn,DH=BH, 设CH=x,则DH=BH=4-x, .CH2+BC2=BH2, 7 ∴x2+32=(4-x,解得x=8, :CH=7 8 CH×BC=28X 17 .SH=2 321 16' 21 .S.DGH= 16 21 故答案为： 16 4.(25-26九年级上·天津期中)如图，0是等边△ABC内一点，0A=6,OB=8,OC=10,将线段B0 以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO',连接AO. 8171 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B (1)线段A0的长为 (2)四边形AOBO'的面积为 【答案】 10 16√3+24/24+16N3 【详解】(1)解：由旋转得，OB=O'B,∠OB0=60°， △ABC为等边三角形， .AB=AC,∠ABC=60° ∴.∠ABC=∠OBO=60°， ∴.∠CBO=∠ABO ∴.△ABO'2ACBO .A0'=0C=10 故答案为：10. (2)解：如图， F 连接OO',过点B作BF⊥OO于点F, 由旋转得，OB=OB=8,∠OB0=60°， .△OBO'为等边三角形. ∴.OO'=OB=OB=8, ∠FB0=∠0B0=30°， F0=B0=4. 2 .BF=V82-42=4V3, 9171 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .S.mo-xOOxBF-x8x43=165 2 由(1)可知，△ABO'≌aCB0. A0=0C=10, 0A+002=62+82=102=A02, :△400为直角三角形， ..m0x04- ×8×6=24 ·S边形A080-=S.00+S。A00=16V5+24。 故答案为：16V3+24 题型二旋转与最值填空小压轴 典例21(25-26九年级上：陕西西安期中)如图，在等边△ABC中，BC=4,BD是AC边上的高线，点 P是线段BD上的动点，连接CP,将线段CP绕点C顺时针旋转6O°得到线段CN,连接DN,则线段DN 的最小值为， D B 【答案】1 【详解】解：如图，连接AW, 根据题意可知∠PCN=60°，PC=NC, :△ABC为等边三角形，BD是AC边上的高线， ZABC-ZACB-60P:AC-BC=4:ZABD=ZCBD=ZABC=30 AD=CD-7AC=2 2 :∠BCP=∠ACB-∠ACP=6O°-∠ACP,∠ACN=∠PCN-∠ACP=60°-∠ACP, 10/71 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴∠BCP=∠ACN, :在△BPC和△ANC中， BC=AC ∠BCP=∠ACN, PC=NC :.△BPC≌aAWC(SAS). .∠CAN=∠CBD=30°， ∴.点N在与AC夹角为30°的直线上运动， 当DN⊥AN,DN取得最小值， 在RteADN中，∠DAN=30°，AD=2, DN-24D-1, .DN的最小值为1， 典例22(25-26九年级上安徽阜阳期中)如图，在等边△ABC中，AB=8,点D是BC边上一动点，连 接AD,将AD绕点A逆时针旋转60°得到AE,连接CE. D (1)若点D是BC中点，则CE=，: (2)若点F是AC边的中点，连接EF,则EF的最小值是 【答案】 4 23 【详解】解：(1)：△ABC是等边三角形，AB=8, .AB=AC=BC=8,∠B=∠BAC=60°， ,将AD绕点A逆时针旋转60°得到AE, ∴.AD=AE,∠DAE=60°， .∠BAD=∠BAC-∠DAC=6O°-∠DAC,∠CAE=∠DAE-∠DAC=60°-∠DAC. 、∠BAD=∠CAE :.△ABD≌△ACE(SAS) ∴.∠ACE=∠B=60°，BD=CE ,点D是BC中点，△ABC是等边三角形， 11/71 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :BD=BC-4-CE: (2)由(1)可知点E在以点C为顶点，且与AC夹角为60°的直线上运动， 如图，过点F作EG⊥CE于点G, D 当点E在点G处时，EF取得最小值，即为FG的长， :点F是AC边的中点， CF=)4C=4, 21 在Rt△CGF中，∠ACE=60°， ∴.∠CFG=30°， :.CG-1CF-2, 2 由勾股定理得：FG=VCF2-CG=23, 即EF的最小值是2V3, 故答案为4,2V5 迁移应用 1.(25-26九年级上：广东东莞期中)如图，在△ABC中，∠ACB=30°，BC=6,AC=5,△ABC内部有 一点P,连接PA,PB,PC,求PA+PB+PC最小值= B 【答案】V61 【详解】解：将△APC绕点C顺时针旋转60°得到△A'P'C,连接PP',AB 12171 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 1111111111 B 由旋转的性质可知：AP=AP,CP=CP',∠PCP'=60°=∠ACA,AC=AC=5, :.△PCP是等边三角形 ..PC=PP', .PA+PB+PC=A'P'+PB+PP'4'B. ,当P,P'在直线AB上时，PA+PB+PC的值最小， :∠BCA=∠BCA+∠AC=90°， 4B=V4C2+BC2=+6=61. ∴.PA+PB+PC的最小值为V61, 故答案为：V61 2.(25-26九年级上湖北襄阳期中)如图，平面直角坐标系中，己知点A(6,0),点B(10,0),P为y轴正 半轴上一个动点，将线段PA绕点P逆时针旋转90°，点A的对应点为Q, YA B (1)若点P的坐标为(0，)，则点9的坐标为： (2)在点P运动过程中，线段BQ的最小值是一 【答案】 (1,7) 8V2 【详解】解：(1)如图，过点Q作QC1y轴于点C,QD1x轴于点D, B 13171 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 由旋转得：PA=P9,∠QPA=90° :.∠QPC+∠APO=90° :∠0CP=∠P0A=90°， .∠PA0+∠AP0=90°， ·.∠QPC=∠PAO .aPCO≌aAOP(AAS), ..OA=PC=6.Co=OP=1. 则0C=PC+OP=6+1=7 即点0的坐标为(1,7)： 故答案为：（山，7） (2)与(1)同理证明△PCO2aAOP(AAS), ..OA=PC=6,OP=CO. 设P(0,x),则OP=x, (x,x+6) ..OD=x+6, :B(10,0), :.BD=10-x, B02=BD2+0D2=(x-102+(x+6}=2x2-8x+136=2(x-2)}2+128, ∴.当x=2时，BQ取最小值128， :B9=128=8W2(负值已舍去) ∴.BQ的最小值为8V2, 故答案为：8V2 3.(25-26九年级上湖北荆州期中)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC绕点C顺时针旋转得 到△A'B'C,点A的对应点为A',当点B'在AB上时，A'B'∥BC, (1)∠A的度数为. 度， (2)P为AB上一点，且B'P:PA'=2:3,若BC=5,则在旋转一周的过程中，线段BP长度的最大值为 14/71 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【答案】 30 5+V21 【详解】解：(1)由旋转性质得∠AB'C=∠CBB,CB=CB, ∴.∠CBB=∠CB'B A'B'll BC ∴.∠AB'C=∠BCB', .∠BCB'=∠CBB'=∠CB'B. ,∠BCB'+∠CBB'+∠CB'B=180°， .∠CBA=60° ∠ACB=90°， .∠A=30°， 故答案为：30 (2)如图所示，过点C作CH⊥AB'于H,连接CP, :在Rt△ABC中，∠ACB=90,∠A=30°，BC=5, .AB=2AC-10. .AC=AB2-BC2 =53, 由旋转的性质可得A'B'=AB=10,AB'=AB=10,∠A=∠A=30°， :B'PPA=23」 .PA=6. 在Ra10中，cH=4c-59 2 .AH=A'C2 -CH2 =7.5, PH=1.5, ..PC=CH2+PH2=21; :BP≤BC+CP ∴，当点P在线段BC的延长线上时，BP有最大值，最大值为BC+CP,即5+V21, 故答案为：5+√21」 15171 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B4 4.(25-26九年级上·安徽芜湖期中)如图，△ABC为等边三角形，P为BC边上一动点（不与点B,C重 合)，将线段AP绕点A逆时针旋转60°至线段A0,M是边AC的中点，连接OM,若AB=4V3,QM的 长为整数. (1)∠BAP ∠MAg.(填“>”“<”或“=”) (2)M的长有最小值，最小值为一 P 【答案】 3 【详解】解：(1)△ABC为等边三角形 .∠BAC=60°， 由旋转得：∠PAQ=60° ∴∠BAC=∠PAQ=60° ∴.∠BAP=∠MAQ 故答案为：= (2)如图，取AB的中点D,连接DP,由旋转得AP=A0,∠PA0=60° D M G P :△ABC为等边三角形， .AB=AC, :M是边AC的中点，D是边AB的中点， 4B=—AC=AM小 2 16/71 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :∠BAP=∠MAQ ..DAP2MAO(SAS). ..OM=PD 过点D作DG⊥BC于点G, 则DP的最小值为DG, .AB=4V3. BD=2√5. ∠B=60°， aG5 .DG=√BD2-BG=3, .DP的最小值为3， “.M的最小值为3. 故答案为：3. 题型三 旋转全等（手拉手）证明与求值（应用） 典例31(25-26九年级上四川广元期中)如图，△ABC中，∠BAC=45°，AB=AC,将△ABC绕A点逆 时针旋转得到△ADE,连接BD,CE交于点F,E. B (1)求证：∠CEA=∠BDA, (2)求∠EFD的度数： (3)若AB=4,四边形ABFE是菱形，求FC的长度 【详解】(1)证明：△ABC绕A点逆时针旋转得到△ADE,∠BAC=45°， ∴.∠DAE=∠BAC=45°，AD=AB,AE=AC, .∠DAE+∠CAD=∠BAC+∠CAD. .∠CAE=∠BAD ACAE≌aBAD(SAS). 17/71 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴.∠CEA=∠BDA: (2)解：设AD、CE相交于O,如图， :∠AOE+∠OEA+∠OAE=180°，∠DOF+∠ODF+∠OFD=180°，∠AOE=∠DOF,∠CEA=∠BDA, :∠0FD=∠0AE=45°，即∠EFD=45°： (3)解：：AC=AB=4,四边形ABFE是菱形， ∴.EF=AB=AC=AE=4,AE‖BF, .∠ACE=∠AEC=∠EFD=45°， .∠CAE=180°-∠ACE-∠AEC=90°. “.CE=√AC2+AE2=V42+42=4V2, .FC=CE-EF=42-4. 典例32(25-26九年级上：陕西西安期中)探究以下问题： D' E 图1 图2 【探索求知】 (1)如图1，在四边形ABCD中，连接AC,BD,∠CAB=60°，∠ADC=30°，CD=3V2,AD=6,AB=AC,以 AD为边在△ACD左侧作等边△ADD',连接CD'. ①判断△CAD'能否由△BAD旋转得到，并说明理由： ②求BD的长： 【实践运用】 (2)如图2，步道CD,CE将等腰△ABC广场分为三部分，用于规划不同的功能区，经测量，∠ACB=120°， AC=BC,∠DCE=60°，AD=2km,BE=3km,求DE的长. 【详解】(1)①△CAD'能由△BAD旋转得到， 18/71 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 理由：：△ADD是等边三角形，∠CAB=60°， ∴.AD=AD',∠DAD'=60°=∠CAB, .∠BAD=∠CAD', 在△BAD和△CAD'中， AB=AC :∠BAD=∠CAD', AD=AD' .ABAD≌ACAD'(SAS) :点A为△BAD和△CAD'的共同顶点， .△CAD'可以由△BAD旋转得到； ②：△BAD绕点A按顺时针方向旋转得到△CAD', ..BD=CD', :△ADD'是等边三角形， ∴.∠ADD'=60°，DD'=AD=6. ∠ADC=30° ∴.∠CDD'=90° CD=VDD2+CD-62+32=36, ..BD=36: (2)解：AC=BC,∠ACB=120°， ∠A=∠ABC=2180°-120)=30°， :∠DCE=60°， .∠ACD+∠BCE=60°， 将△ACD绕点C逆时针旋转120°得aBCF,作FG⊥AB于G,连接EF, B D E ..△ACD≌△BCF ∠A=∠CBF=30°，CD=CF,∠ACD=∠BCF,AD=BF, ∴.∠EBF=∠ABC+∠CBF=60°， ∴.∠BCF+∠BCE=∠ECF=60°， 19/71 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .∠ECF=∠DCE, 在△CDE和aCFE中， CD=CF ∠ECD=LECF, CE=CE ∴ACDE≌aCFE(SAS). ∴DE=FE, :FG⊥AB于G, ∴.∠EGF=∠BGF=90°， ∠EBF=60°， .∠BFG=30°， .BG=BF =lkm, BE=3 km, .EG=BE-BG=2 km, RtABFG中，FG=VBF2-BG=V22-P=√3km, :.RtEFG中，EF=VEG2+FG=22+5=V7km, :DE=√7km. 典例33(25-26九年级上·安徽芜湖期中)如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠B1C=90°，点E,F分 别为AB,AC的中点，H为线段EF上一动点（不与点E,F重合），将线段AH绕点A逆时针方向旋转 90°得到AG,连接GC,HB, B 图1 图2 (1)证明：△AHB≌△AGC: (2)如图2，连接FG、HG,HG交AF于点】 ①证明：在点H的运动过程中，总有∠HFG=90°； ②若AB=AC=4,当EH的长度为多少时，△4QG为等腰三角形？请直接写出答案. 20/71 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【详解】(1)证明：，线段AH绕点A逆时针方向旋转90°得到AG, .AH=AG,∠HAG=90°， ,在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC, :.∠BAH=90°-∠CAH=∠CAG. :△AHB≌aAGC(SAS): (2)①证明：：在等腰直角三角形ABC中，AB=AC,点E,F分别为AB,AC的中点， ∴.AE=AF,△AEF是等腰直角三角形， :AH=AG,∠BAH=∠CAG, :△AEH≌aAFG(SAS), ∠AEH=∠AFG=45°， .∠HFG=∠AFG+∠AFE=45°+45°=90°， 即∠HFG=90°. ②：AB=AC=4,点E,F分别为AB,AC的中点， ∴AE=AF=2, :∠AGH=45°，△A0G为等腰三角形，分3种情况： (a)当∠0AG=∠0GA=45°时，如图，则∠HAF=90°-45°=45°， ∴.AH平分∠EAF, 点H是EF的中点， EH-ARAFx 2 G (b)当∠GA0=∠G01=(180°-45)÷2=67.5°时，如图，则∠EAH=∠GA0=67.5°， .∠EHA=180°-45°-67.5°=67.5°， ·.∠EHA=∠EAH, ∴.EH=EA=2: 21171 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B (c)当∠A0G=∠AG0=45°时，点H与点F重合，不符合题意，舍去. 综上所述：当EH的长度为2或V2时，△AG为等腰三角形. ?破题要诀 “四步走”：①找旋转中心并标对应点；②证“跨两边的组合三角形”全等（手拉手，用SAS):③ 把待求线段角转化为全等三角形对应边角；④结合勾股定理、特殊角或相似求值。 迁移应用 1(25-26九年级上·贵州遵义期中)如图，在菱形ABCD中，∠BAD=120°，E是CD边上一点（不与点 C,D重合)，将线段AE绕点A逆时针旋转60°得到线段AF,连接FD, (1)求证：△ACE≌△ADF； (2)求证：AC∥FD, (3)连接BF,若AB=4,CE=1,求线段BF的长. 【详解】(1)证明：~线段AE绕点A逆时针旋转60°得到线段AF, ∴∠EAF=60°，AE=AF, 在菱形ABCD中，∠BAD=120°， AB=BC,∠BMC=∠CAD=2BAD=60, .△ABC、△ACD是等边三角形， .AC=AD,∠CAD=60°， .∠CAD=∠EAF, ·.∠CAD-∠EAD=∠EAF-∠EAD, .∠CAE=∠DAF, :△ACE≌△ADF(SAS)」 22171 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)证明：，△ACE≌△ADF, ∠ADF=∠ACD ,△ACD是等边三角形， ∴.∠ACD=∠CAD=60°. ∴.∠ADF=∠CAD=60°， .DF∥AC: (3)如图，连接BF,BD,设BD与AC相交于点O, Be=-- 四边形 是菱形， ABCD ∴.BD⊥AC.BD=2BO :AB=4,△ABC是等边三角形， .A0=2,B0=VAB2-A02=V42-22=2N5, BD=43, 由(1)可得△ACE≌aADF,，AC∥DF, DF=CE=1,DF⊥BD .BF=DF2+BD2=7. 2.(25-26九年级上·河南洛阳期中)'(1)问题发现如图1，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形， ∠ACB=90,B,C,D在一条直线上.填空：线段AD,BE之间的关系为 (2)拓展探究如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，请判断AD,BE的关 系，并说明理由. (3)解决问题如图3，线段PA=2,点B是线段PA外一点，PB=7,连接AB，,将AB绕点A逆时针旋转 90°.得到线段AC,随着点B的位置的变化，直接写出PC的取值范围. E B 图1 图2 图3 【详解】(1)AD=BE,AD⊥BE, 23171 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 证明：如图1中， D C B 图1 ,△ACB和△DCE均为等腰直角三角形， :.AC=BC,CE=CD,∠ACB=∠ACD=90°. AC=BC 在 和 中∠ACD=∠BCE RtAACD RtABCE CD-CE △ACD≌aBCE(SAS),AD=BE,LEBC=∠CAD, 延长BE交AD于点F, :BC⊥AC, ∴.∠EBC+∠CEB=90°， ∠CEB=AEF, .∠EAD+∠AEF=90°， ∴.∠AFE=90°，即AD⊥BE. AD=BE,AD⊥BE: (2)结论：AD=BE,AD⊥BE. 证明：如图2中，设AD交BE于H,AD交BC于O. 花 均为等腰直角三角形， 图2 △ACB△DCE .AC=BC,CE=CD,∠ACB=∠ECD=90°，.ACD=∠BCE, AC=BC 在 和 中， ∠ACD=∠BCE △ACD△BCE CD-CE △ACD≌aBCE(SMS),·AD=BE,∠CAD=LCBE, .∠CAO+∠AOC=90°，∠AOC=∠BOH,.∠BOH+∠OBH=90°， .∠OHB=90°，.AD⊥BE,.AD=BE,ADLBE 24/71 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (3)如图3，作AE⊥AP,使得AE=PA=2,则：PE=2V2: 由(1)(2)可得△ABE≌△ACP, .PC=BE. E 图3 图4 图5 图4中，当P、E、B共线时，BE最小，最小值=PB-PE=7-2√2 图5中，当P、E、B共线时，BE最大，最大值=PB+PE=7+2√2， .7-22≤BE≤7+22， 即7-2W2≤PC≤7+2W2. 3.(25-26九年级上：江苏南通期中)如图1，已知四边形ABCD是正方形，将线段CD绕点C逆时针旋转 得到线段CF,旋转角为(0°<a<90),连接BF,DF. G (图1) (图2)， (图3) (1)若a=40°，则∠BFC=-: (2)过点B作BG⊥DF,交DF的延长线于点G,连接AG ①如图2，若AG=6,求DF的长； ②在图3中，取BF的中点E,作射线CE交DF的延长线于点G,连接BG.请探究线段CG、BG、FD 之间的数量关系，并给出证明， 【详解】(1)解：~四边形ABCD是正方形， .CD=CB,∠BCD=90°。 ~旋转角为a=40°，即∠FCD=40°， ∴.∠BCF=90°-40°=50° :将线段CD绕点C逆时针旋转得到线段CF, ∴.CF=CD 25171 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ..CB=CF, ∠BFC=∠CBF=080-50)=65°， 故答案为：65°： (2)解：①如图2中，过点A作AH II DG，,交BG的延长线于点H,AE‖BH交DG于点E,过点C作 CK⊥DG于点K, (图2) :AHI‖DG AEBH ∴四边形AHGE为平行四边形， :BG⊥DF .∠HGE=∠BGF=90° .四边形AHGE为矩形， ∴.∠AEG=∠HAE=∠H=90°， .∠HAB+∠BAE=90°，∠AED=90°. :四边形ABCD是正方形， ∴.AB=AD=DC=BC,∠BAD=∠ADC=90°， ∴.∠BAE+∠DAE=90° ∴.∠HAB=∠EAD, 在△BAH和△DAE中， ∠H=∠AED=90° ∠HAB=∠EAD, AB=AD .∴△BAH≌△DAE(AAS) .AH AE, ∴四边形AHGE为正方形， .AG=2AE. .∵AG=6 26171 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ..AB=6 35 2 CD=CF,CK⊥DG, .DK-KF-IDF. :∠KDC+∠KCD=90°，∠KDC+∠ADE=90°， ∴.∠ADE=∠KCD 在△DCK和△ADE中， ∠DKC=∠AED=90° ∠KCD=∠ADE CD=AD '△DCK≌△ADE(AAS), .DK=AE, .DF=2AE=6V2: ②结论：CG=V2BG+2DF. 2 证明：如图3，过点C作CH⊥DF于点H. (图3) .CF=CD ∠c0-20F-08w-a）-w-20, 在aCEB中，CE=CB,∠BCE=90°-a, ∠CEB=∠CBE=2180°-∠BCE)=80°-(90°-a】=45°+)a, Brc=18o-crD-2B=1s0-o-j45+04. :CD=CF,CH⊥DF. DH=FH=号DF, 2 点E是BF的中点， 27171 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ..BE=EF, CB=CF, .CG⊥BF, ∴.CG垂直平分BF, ∴.GB=GF,∠EGF=90°-∠EFG=45°， CG(GF+FH)-G+DF ..CG=2BG+ 2DF 题型四 旋转函数坐标变换与压轴综合（应用•综合） 典例41(2425九年级上广西南宁·期中)阅读以下材料，并解决相应问题： 小明在课外学习时遇到这样一个问题： 定义：如果二次函数y=ax2+bx+G(a≠0，a,b,G是常数)与y=ar2+bx+c2(a≠0，a,b, 92是常数)满足4+4=0,6=b,G+G?=0,则称这两个函数互为“旋转函数”.求函数 y=2x2-3x+1的“旋转函数”，小明是这样思考的，由函数y=2x2-3x+1可知，4=2,6=-3，G=1, 根据4+4=0,6=b2,G+c2=0,求出凸，b2,C2就能确定这个函数的“旋转函数”. 请思考小明的方法解决下面问题： (1)写出函数y=x-4x+3的“旋转函数”； ②刨若函数y=5x2+(m+)x+n与y=-5x2-r-3互为“旋转函数”，求(m+n)05的值； (3)已知函数y=2(x-x+3)的图象与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C,点A,B,C关于原点的对 称点分别是4，B,G,试证明：经过点A,B,G的二次函数与y=2(x-)(x+3)互为“旋转函数” 1+a=0 【详解】(1)解：根据题意得了b=-4 3+c=0 a=-1 解得 b=-4 c=-3 故解析式为：y=-x2-4x-3 (2)解：函数y=5x2+(m+)x+n与y=-5x2-x-3互为“旋转函数”， 28/71 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 m+1=-n .1n-3=0 「m=-4 n=3, .(m+n）25=(4+3)05=(-1)25=-1 (3)证明：当x=0时，y=2×(-1)×3=6 ∴.C(0,6) 当y=0时，2(x-1)(x+3)=0. 解得：x=1,x2=-3, A(,0),B(-3,0), :点A、B、C关于原点的对称点分别是4BG, .4(-1,0),B(3,0),C(0,6), 设过点4、B、C的二次函数解析式为y=a(x+)(x-3), 将C(0,6)代入y=a(x+1x-3),得：6=-3a, 解得：a=-2, 过点4BC的二次函数解析式为y=-2(x+1)(x-3)=-2x2+4x+6 4=-2,6=4,02=6, :y=2(x-1)(x+3)=2x2+4x-6. 4=2,6=4,G=6, a+42=2+(-2)=0 ,6=b2=4 9+C2=-6+6=0 两个函数互为“旋转函数” 典例42如图1，在平面直角坐标系x0中，一次函数y=-x+b的图象与反比例函数y=6 的图象交于A B两点，点A的横坐标为1. 29/71 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 y A B B- 图1 图2 (1)①b的值为-： @关于的不等式x+b<的解类为： (2)若点C在y轴上，且△ABC的面积为5，求点C的坐标： (3)如图2，若点P坐标是(m,2),将线段4B绕点P顺时针旋转90°至线段AB,且当线段A?B与反比例函 6 数y=在第三象限的图象有交点时，求m的取值范围。 【详解(4)解：0将1代入y中，得，=6 .A1,6), 将A(1,6)代入y=-x+b中，得6=-1+b, 解得b=7: ②令-x+7=6 解得：=1，，=6， 6 把x=6代入少=x得y=1: 点A(山，6)，点B(6,1), 由图象得，关于x的不等式x+b<的解集为0<x<1或x>6: 6 (2)解：由(1)得y=-x+7, 30/71 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B 记直线y=-x+7交y轴于点D, 令x=0,则y=7, .D(0,7） :△ABC的面积为5， CDX6--CDx1=5 解得CD=2, “点C的坐标为(0,5)或(0,9)： (3)解：如图，过点P作x轴的垂线MN,再分别过点A和A'作MN的垂线，垂足分别为M和N, Mh. Nh. B 根据(1)可知：A(,6),B(6,1), :∠M=∠N=∠APA=90°. .∠APM=90°-∠APN=∠PA'N, .PA=PA', ..APMPA'N(AAS). P(m,2),A1,6) .AM=PN=1-m,MP='N=6-2=4, .A'(m+4,1+m) 同理：B'(m-l,m-4), 31171 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 6 :线段4B与反比例函数少x的图象有交点， 6 六将4”B分别代入y=x中， x :.(1+m)(m+4)=6或(m-4)(m-)=6, .m2+5m-2=0或m2-5m-2=0, :m=-5±V33 2 m-5±y 2 :交点在第三象限， -5-V33 .5-V33 2 2 迁移应用 1.(2523九年级上广东江门期中)知图1，地物线=a+引x-4a≠0)分别与箱，y精交于4， B(0,-4)两点，M为OA的中点. A 图1 图2 (1)求抛物线的表达式： (2)连接AB,过点M作OA的垂线，交AB于点C,交抛物线于点D,连接BD,求△BCD的面积： (3)点E为线段AB上一动点（点A除外），将线段OE绕点O顺时针旋转90°得到OF.当AE=√2时，求 点F的坐标，并判断点F是否在抛物线上，说明理由， 【详解1(a)解：EB0,-4代入y=x+引x-4a≠0)，得： 2 4=-10a’解得：a= 5; 5t-4 ②照：当y引+-到=5-=4 32/71 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A(4,0). :M是OA的中点， M(2,0), .OM=2, :B(0,-4), 设直线AB的解析式为：y=a-4, 把A(4,0)代入，得：4=4k-4,解得：k=1, .y=x-4 ',点M作OA的垂线，交AB于点C,交抛物线于点D, c2o2) 1 88 ÷ABCD的面积=2CD-0M=2×2×兮号 (3)点F在抛物线上 理由如下：由题意，作图如下，连接BF,作F№⊥OB于点Q, E 由(2)可知 ， B 图2 OA=OB=4 ∠OAB=∠OBA=45° ',将线段OE绕点O顺时针旋转90°得到OF. ∴.OE=OF,LEOF=∠B0A=90° ∴.∠AOE=∠BOF, 又.0A=OB,OE=OF ·.△AOE≌aBOF(SAS), .∠OBF=∠OAE=45°、BF=AE=V2, :F9⊥OB :.△FOB为等腰直角三角形， 33171 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :0=B0-2B那=l, 2 ..00=OB-BO=3. .F(1,-3), 对于y= -4,当x-1时，y=号}4=3， 223 5+5 ∴点F在抛物线上。 之(2324九年级上济江金华期肿)已知平面直角坐标系中，直线B与反比制压数y:>0的图象 交于点A(,3)和点B(3,m),与x轴交于点C,与y轴交于点D. A 图1 图2 (1)求反比例函数的表达式及n的值： (2)将△OCD沿直线AB翻折，点O落在第一象限内的点E处，EC与反比例函数的图象交于点F, ①请求出点F的坐标： ②将线段BF绕点B旋转，在旋转过程中，求线段OF的最大值. 【详解】(1)解：将A(1,3)代入y=x(x>0)中得， 3 解得：k=3, 之反比例函数解析式为：y=3 3 :B3,n)在反比例函数y=￥上， 3 m=3: (2)解：①设直线DC的解析式为：y=x+b(≠0)，图象经过点A(,3)、B(3,),将其代入得： 34/71 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 [3=t+b [t=-1 1=31+b, 解得： 1b=4 ∴.直线DC的解析式为：y=-x+4, 令y=0,则0=-x+4,解得x=4, 令x=0,则y=4, ∴0D=0C=4, 又，将△OCD沿直线AB翻折，点落在第一象限内的点E处， DE=4, 即F点的横坐标为4，且在反比例函数的图象上， 3 “当x=4时，y=4 4 3 故F点坐标为(4，日： ②由①可知， B眼).F4, 由题意可知；线段BF绕点B旋转过程中，F始终在以B点为圆心，BF为半径的圆上， 当BF旋转到线段OB的延长线上时，如图所示，OF为线段OF的最大值， 2 OF=0B+=0 4 综上，线段Br绕点g在旋特过程中，线段Or的最大值为v0+ 4 3.(25-26九年级上广东江门期中)如图，二次函数4=㎡2+2x+3的图象与x轴交于点A(-1,0), B(3,0),与y轴交于点C. 35171 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 V (1)填空：a的值为， -:点C的坐标是 (2)若点P0,)是y轴上的点，将点(-5,0)绕着点P按照顺时针方向旋转90°得到点E,当点E恰好落在二 次函数图像上时，求t的值： (3)将二次函数的图像沿x轴翻折得到2，设与2组成的图形为M,直线L:y=-x+m与M有公共点， 写出：L与M的公共点为3个时，m的值. 【详解】(1)解：二次函数=x+2x+3的图象与x轴交于点4A(-1,0),B(3,0), .a-2+3=0, .a=-1, .y=-x2+2x+3 ,与y轴交于点C. 令x=0时，则以=02+2×0+3=3. 即C(0,3), (2)解：如图所示，过点B作EH1y轴， D 0 B :∠P20+∠OPQ=90°，∠OPQ+∠HPE=90° .∠HPE=∠PO0 由旋转可知，Pg=PE, 在△EPH和△POO中， ∠PHE=∠QOP=90° ∠HPE=∠PQO PO=PE 36171 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .△EPH≌aPQO(AAS) 、.EH=OP=-t,HP=O9=5, E(-4,5+), .当E恰好在二次函数图象上时，5+t=--2t+3, ∴.5+1=-2-21+3， .2+3t+2=0, 4=-2,6=-1, (3)解：设y与2组成的图形为M,直线L:y=-x+m与M有公共点， 如图，翻折得到， 与2关于x轴对称， 如图中的，当1与只有一个公共点时，y=-x2+2x+3=-x+m, 得到-x2+2x+3=-x+m, .-x2+3x+3-m=0, 此时有一个交点，即△=b2-4ac=0, 故32-4×1×(-)×(3-m)=0, .9+12-4m=0, m21 4； 如图中的2，当过点A时， 设马2的解析式为y=-x+m, 把点A(-l,0)代入得0=1+m, 37171 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .m=-l: 如图中的，与少只有一个公共点， ,与y2关于x轴对称， h=x2-2x-3, x2-2x-3=-x+m, .x2-x-(3-m)=0, △=b2-4ac=1+4×1x(3+m)=0, ∴.4m=-13 13 .m=一 4: 如图图中的4，当I过点B时， 设4的解析式为y=-x+m, 把B(3,0)代入可得：0=-3+m, 解得：m=3: 21 13 综上所述：m=4或1或4或3。 4.25-26九年级上浙江金华期中)定义：将函数C的图像绕点P(0,n)旋转180°，得到新的函数C的图 像，我们称函数C是函数c关于点p的相关函数.例如：当m=1时，画数y=(x-6+3关于点P0,) 的相关函数为y=+6-1. 3 2 -3-2-1012345 -3 -4 (1)当n=0时，①二次函数y=x关于点P的相关函数为 ②点A(2,3)在二次函数y=ar2-2c+a(a≠0)关于点P的相关函数的图像上，求a的值. 38/71 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ②函数y=-+名反关于点p的相关函数是y=-子2，求点p的坐标。 3 4 3 当-1≤x≤3n+3时，二次函数y=-2x+心3r的相关函数的最小值为3，求u的 4 8 【详解】(1)解：①当n=0时，点P(0,0),相关函数顶点坐标为(0,0) 则相关函数为：y=-x2, 故答案为：y=-x; ②：二次函数y=ax2-2ax+a的顶点坐标为(l,0), .相关函数的顶点坐标为(-1,0)， ∴.新函数的表达式为y=-a(x+1)2, 将点A2,3)代入上式并解得a3: (2)解：函数y=-x+52和函数y=2_72的顶点坐标分别为 4 5W27N2 由中点公式得：m=3.4-2, 2 24 即P0,-24: (3)y=-2x2+x- =x--的顶点为 81 (月 设相关函数顶点为：(e,f), 由中点公式得： 4=0,f-m 2 2=n, 解得：e=- 4f=+2n, 则相关函数顶点为：4h+2n 则相关函数的表达式为：少=2+ +n2+2n: 4 可知开口向上，对称轴为直线x=年 39/71 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 如图： ix=-n 3 0当4n+3s- 即n≤-3时， +3+ 2 函数在x=3n+3时，取得最小值，即2 +n2+2n=3. 4 4 2(n+32+n2+2n=3. 2n2+12n+18+n2+2n=3, 3n2+14n+15=0, △=142-4×3×15=196-180=16. n=-14±16--14±4-7±2 2×36 3 期得：4=723,4=72-号c合去)， 3 3 故n=-3: ②当a-124即n21时， 西数在x子0-1时，取得0小值，即2得-1+ +n2+2n=3. 4 2(n-1}+m2+2n=3, 2n2-4n+2+n2+2n=3, 3n2-2n-1=0 △=(-2)2-4×3×(-1)=4+12=16， n=--2)ti62±4 2×36 2+4-1,n4- 2-41 解得：%=6 6=3(舍去)， 40/71 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 故n=1: ③当n+3>-1且2 4且4”-1< 4即-3<n<1时， 函数在顶点处取得最小值，即n2+2n=3, n2+2n-3=0, △=22-4×1×(-3)=4+12=16， n=-2±f6 -2±4 2×1 2 解得：n= 241(含去)，儿=243（含去）： 2 综上所述，n=-3或n=1. 06限时分层演练 基础固本练（限时：20分钟） 1.(25-26九年级上湖北期中)如图，正方形ABCD的边长为5，将边AD绕点A顺时针旋转至AE, 连接CE,DE,若∠CED=90°，则线段CE的长为 E 【答案】V5 【详解】解：作AF⊥DE于F,如图所示： C B 3 E F 2 D A∴.∠AFD=90, 正方形ABCD中，∠CDA=90,CD=AD, 41/71 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .∠1+∠2=90°， ∠CED=90, ∴.∠1+∠3=90， .∠2=∠3， 在△CDE和△DAF中， ∠CED=∠DFA=90 ∠3=∠2 CD=AD .△CDE≌△DAF(AAS) ∴.CE=DF, :AD=AE,AF⊥DE, ∴.DF=EF, ∴.DE=2CE, 在R1aCDE中，设CE=x,则DE=2x, 由CE2+DE2=CD2,即x2+(2x}-52, x=V5,或x=-5(舍去)， .CE=√5 2.(25-26九年级上北京海淀期中)如图，在平面直角坐标系x0y中，点A(2,0),B(0,4).将线段4B绕 点A顺时针旋转90°得到线段AC,则点C的坐标为 B 【答案】(6,2) 【详解】解：：点A(2,0),B(0,4), .0A=2,0B=4, 过点C作CD⊥x轴于点D,则∠BOA=∠ADC=90 B 0 A 42171 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 由旋转得，AB=AC,LBAC=90°， ∴.∠BAO=∠ACD=90°-∠CAD. .△BAO≌aACD(AAS). ..OA=CD=2,AD=BO=4. .OD=A0+AD=2+4=6, C(6,2) 故答案为：(6,2)」 3.(25-26九年级上四川泸州期中)在平面直角坐标系x0y中，己知点P(,),对于点P的“变换线 段”给出如下定义：点P关于原点O的对称点为M,将点M分别向上平移2个单位长度，向右平移3个 单位长度得到点N,称线段MN为点P的“变换线段”.已知线段MN是点P的“变换线段”，则 PM-PN的最大值为 【答案】V3 【详解】设点P的坐标为（七），则点M的坐标为(-x-y),点N的坐标为(-x+3,-y+2) ÷.PM=Vx+x+y+y=2V+y,PN=Vx+x-3}+y+y-2}=V(2x-3}+(2y-2} 由三角形的三边关系，得PM-PN≤MN, 且当点P、MN共线且点M在线段PN上时取等号， 此时PM-PW=MN=V(-x+x-3)}'+(-y+y-2=13. 故答案为：V3 4.(25-26九年级上广东东莞期中)如图，长方形ABCD中，AB=3,BC=4,E为BC上一点，且 BE=1,F为AB边上的一个动点，连接EF,将EF绕着点E顺时针旋转45°到EG的位置，连接FG和 CG,则CG的最小值为 D B 3V2 【答案】1 2 【详解】解：如图，将线段BE绕点E顺时针旋转45°得到线段ET,连接DE交CG于J. 43/71 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D G F 四边形 是矩形， T E C ABCD ∴AB=CD=3,∠B=∠BCD=90°， :∠BET=∠FEG=45°， ∴.∠BEF=∠TEG, .EB=ET,EF=EG. :.AEBF≌AETG(SAS), ∴.∠B=∠ETG=90°， “点G的在射线TG上运动， 当CG⊥TG时，CG的值最小， BC=4,BE=1,CD=3, ∴.CE=BC-BE=3=CD. ∴∠CED=45°=∠BET,DE=VCE2+CD2=V32+32=3√2， .∠TEJ=90°=∠ETG=∠JGT=90°， 四边形ETG是矩形， .DE GT,GJ=TE BE =1, ∴.CJ⊥DE .JE=JD, CJ-IDE= 2, ∴.CG=CJ+GJ=1+ 3v2 2 :CG的最小值为1+ √2 2. 故答案为：1+ 3V2 2· 5.(25-26九年级上北京期中)如图，平面直角坐标系中，点O(0,0),A(0,3),B(m,5),连接4B,并 44171 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 将线段AB绕点A顺时针旋转90°，点B旋转到点B,连接OB.则△AOB周长的最小值为一· B 【答案】8 【详解】解：过点B作BC⊥x轴于点C,过点B作B'D1y轴于点D,如图， x=2 B E 则∠ACB=∠ADB=90° 由旋转知：∠BAB=90°，AB=AB, .∠CAB+∠ABC=∠CAB+∠DAB'=90°， .∠ABC=∠DAB', .△ABC≌△B'AD, .DB'=AC. :A(0,3),B(m,5); .0A-3,0C=5. .DB=AC=5-3=2」 ·点B在直线x=2上运动， 当AB+OB最小时，△AOB的周长最小， 作点O关于直线x=2的对称点0(4,0)，连接A0交直线x=2于点E,连接OE, 则OE=OE, .AE+OE=AE+O'E. 45/71 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 当点B与点E重合时，AB+OB最小，且最小值为AO的长度， :00=4,0A=3, ∴.由勾股定理得A0=VO+002=5, 即AB+OB的最小值为5， :.△AOB周长的最小值为3+5=8， 故答案为：8， 6.(25-26九年级上广东东莞期中)在矩形ABCD中，AB=2,BC=1,以点A为旋转中心，逆时针旋转 矩形ABCD,旋转角为a(O°<a<180),得到矩形AEFG,点B、点C、点D的对应点分别为点E、点 F、点G. 图1 图2 图3 (1)如图1，当点E落在DC边上时，写出线段DE的长度为 (2)如图2，当点E落在线段CF上时，AE与DC相交于点H,连接AC, ①求证：△ACD≌aCAE: ②计算线段AH的长度. (3)如图3，设点P为边FG的中点，连接PB,PE,在矩形ABCD旋转过程中，△BEP的面积是否存在最大 值？并说明理由。 【详解】(1)解：：四边形ABCD是矩形，BC=1, ,∴.AD=BC=1,∠D=90°， ,AB=2,逆时针旋转矩形ABCD得到矩形AEFG, ∴.AE=AB=2, .DE=V22-=V3: (2)①证明：，四边形ABCD是矩形，逆时针旋转矩形ABCD得到矩形AEFG, .∠D=∠AEC=90°，AE=AB=DC, 在△ACD与△CAE中， 46/71 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 CD=AE 4C=CA' ·△ACD≌ACAE(HL): ②解：△ACD≌ACAE, ∴.∠ACD=∠CAE, ..AH=CH, .DH=EH, 设DH=x,则AH=CH=2-x, 3 .(2-x)2-x2=12,解得：x= 4 H=2-35 44 3)△BEP的面积存在最大值， P/M 理由如下： D为边 的中点， B FG .PF-FG-1 2 过A作AM⊥PE, ∴，当A,M,B三点共线时高最大，三角形面积最大如图所示， 1 1 SAPE= -PE×AM= .AM Ix2 2 =V2 .AM+AB=V√2+2， .SBBP最大= MB×PE=5+2k五=1+2. 目综合进阶练 (限时：60分钟) 47171 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 1,(25-26九年级上：江西南昌·期中)如图，在等腰直角△ACB中，AB=CB=5,将等腰直角△ACB绕点 A顺时针旋转得到△ADE.连接CE,BE,当△BCE为直角三角形时，则CE的长度是 【答案】5或V5或5V5 【详解】解：①当∠BEC=90°时，过点A作AH⊥BE于点H,如图： ⊙ A 由旋转可得：AE=AB, 又：AH⊥BE, ∴.BH=EH,∠AHB=∠AHE=90°， .∠ABH+∠BAH=90° ,△ABC是等腰直角三角形， .∠ABC=90°， .∠ABH+∠CBE=90°， .∠BAH=∠CBE. 又，∠AHB=∠BEC=90°，AB=CB, :.△BAH≌aCBE(AAS), ∴BH=CE ∴CE=BH=EH, ∴.BE=2CE, 在Rt△BEC中，CE2+BE2=BC2, .CE2+4CE2=52, 解得：CE=V5, 48/71 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ②当∠BCE=90°时，此时C,E,D三点共线，如图： E D 由旋转可知，AE=AB=BC,∠AED=∠ABC=90°， “四边形ABCE是正方形， ..CE=CB=5; ③当∠CBE=90°时，此时B,A,E三点共线，如图： D 由旋转可知，AE=AB=CB, .BE=10 在Rt△CBE中，CE=VCB2+BE2=5?+10=5V5 综上，CE的长度是5或V5或5V5, 故答案为：5或V5或5v5】 2.(25-26九年级上广东广州期中)如图，边长为6的菱形ABCD中，∠BCD=60°，点P是CD边所在 直线EF上一动点，连接PB,将线段PB绕点B顺时针旋转120°，使得P点到达点N,连接CN,则CN的 最小值为 E PD A B 【答案】33 【详解】解：以BC为边向右侧作正△BCG,连结GN并延长，交直线EF于点H, ∠CBG=60°，BC=BG=CG=6, :四边形ABCD是菱形， 49/71 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .BC=CD. :∠BCD=60° ∴△BCD是正三角形， .∠DBC=60°，BD=BC, ∴.∠DBG=120°，BD=BG, :线段PB绕点B顺时针旋转120°，使得P点到达点N, .∠PBN=120°，BP=BN, ∴.∠PBN=∠DBG .∠PBD=∠NBG, ∴.△PBD≌△NBG(SAS), ∴.∠PDB=∠NGB. ∠DBC=60° .∠PDB=180°-60°=120°. .∠NGB=120°， .点N在直线GH上运动， 当CN⊥GH时，CN取最小值， :∠DCB=∠BCG=60°， ∴.∠GCH=180°-60°-60°=60°， ∠NGB=120°，∠BGC=60°， .∠CGH=120°-60°=60°， .∠CHG=180°-60°-60°=60°. ∴.∠GCH=∠CHG=∠CGH=60°. ..CG=GH=CH=6. .△CGH是正三角形， .CN⊥GH, ∴.GN=NH=。GH=3」 2 .CW=VCG-GW2=V62-32=35, 即CN的最小值为35 故答案为：3V3 50171 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 EP D C HF B 3.(25-26九年级上：广东广州期中)如图，正方形ABCD的边长为4，∠BCM=30°，点E是直线CM上 一点，连接BE,线段BE绕点B顺时针旋转45°得到BF,则线段DF长度的最小值等于 M 【答案】2√2-2 【详解】解：由旋转得BF=BE,∠EBF=45o, 连接BD,在BD上截取BG,使BG=BC,连接FG,过点D作DH⊥GF于点H,如图所示： A M H G :四边形ABCD是正方形， .AB=BC=CD=AD=4,∠ADC=∠DCB=∠ABC=∠BAD=90°，∠CBD=45°， ..BD=AB2+AD2=42,BG=BC=4, ..DG=BD-BG=42-4. :∠CBG=∠EBF=45°， .∠CBE=LGBF, 在△CBE和△GBF中 CB=GB ∠CBE=GBF, BE=BF ·.ACBE≌AGBF(SAS). ∴.∠BCE=∠BGF=30° 51171 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 “点F在直线GF上运动，当点F与H重合时，DF的值最小， ·DH⊥GF,∠DGH=∠BGF=30° &DH=)DG=22-2, 故答案为：2V2-2」 4.(25-26九年级上广东潮州期中)【问题提出】 如图1，在正方形ABCD中，点E,F分别在边BC,CD上，∠EAF=45°，连接EF,探究线段 BE,EF,DF之间的数量关系， 【方法感悟】 小明和小亮提供了两种不同的构造辅助线的方法： 小明的方法：如图2，延长CB到点G,使BG=DF,连接AG: 小亮的方法：如图3，将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG 区区 图1 图2 图3 图4 图5 (1)通过以上探究可以得出线段BE,EF,DF之间的数量关系为： 【方法迁移】 (2)如图4，在四边形ABCD中，'AB=AD,∠ABC+∠ADC=I80°，点E,F分别在边BC,CD上，且 LBAD=2∠EAF,，连接EF.探究线段BE,EF,DF之间的数量关系； 【变式应用】 (3)如图5，在四边形ABCD中，AB=AD,∠ABC+∠ADC=I8O°，点E,F分别在边BC,CD的延长 线上，且∠BAD=2∠EAF,连接EF,请直接写出线段BE,EF,DF之间的数量关系： 【详解】解：(1)小明的方法：延长CB到点G,使BG=DF,连接AG, :四边形ABCD是正方形， AD=AB,∠BAD=∠ABC=∠ADF=90°， .∠ABG=180°-∠ABC=90°， 在△ADF和△ABG中， AD=AB ∠ADF=∠ABG=90° DF=BG 52171 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .△ADF≌△ABG(SAS) .AF=AG,∠DAF=∠BAG, ∠EAF=45°， .∠BAE+∠DAF=45°， ∴∠BAG+∠BAE=45°=∠GAE=∠EAF, 在△AGE和△AFE中， AG=AF ∠GAE=∠FAE, AE=AE ∴△AGE≌△AFE(SAS)), :.GE=EF, GE=GB+BE=BE+DF, ..EF BE+DF: 小亮的方法：将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG ·△ADF≌△ABG(SAS) ∴.AF=AG,∠DAF=∠BAG, ∠ABC+∠ABG=180°， ∴G,B,E三点在一条直线上， 同理可证△AGE≌△AFE(SAS), ..GE=EF, GE=GB+BEBE+DF, ∴.EF=BE+DF: 故答案为：EF=BE+DF: (2)延长CB到点G,使BG=DF连接AG, G C,:∠ABG+∠ABC=180°∠ABC+∠ADC=180° ∠ABG=LADC, 又AB=AD,BG=DF ∴.△ABG≌△ADF(SAS). 53171 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴.AG=AF,∠GAB=∠FAD ∠GAB+∠BAE=∠FAD+∠BAE=LGAE, :∠BAD=2∠EAF, ∴.∠FAD+∠BAE=∠EAF, ∴.∠GAE=∠EAF, 又AE=AE, .△AGE≌△AFE(SAS) ..GE=EF, GE BE+BG=BE DF, ..EF BE+DF: (3)如图，在BE上取BG=DF,连接AG, G E:∠ADC+∠B=180°∠ADF+∠ADC=180° ∴∠B=∠ADF, 在△ABG和△ADF中， BG=DF ∠B=∠ADF AB=AD ·△ABG≌△ADF(SAS) .∠BAG=∠FAD,AG=AF, :∠BAD=2∠EAF, .∠GAF=2LEAF, ∠GAE=∠EAF, 在△GAE和△FAE中， AG=AF ∠GAE=∠FAE, AE=AE △GAE≌△FAE(SAS), ..GE=EF, 54171 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .BE-DF=EF 故答案为：EF=BE-DF 5.(25-26九年级上福建福州期中)如图1，将ABCD绕着点C旋转，得到口FECG,且点E落在AD边 上，BG与CE交于点H,连接BE F E E D G G G H 图1 图2 图3 (1)求证：BE平分∠AEC: (2)如图2，若B,E,F三点在同一条直线上，求证：H是EC的中点； (3)如图3，若ABCD是矩形，且FH平分∠EFG.探究线段FH与AE之间的数量关系，并说明理由. 【详解】(1)证明：由旋转得EC=BC ∴.∠CEB=∠CBE :四边形ABCD是平行四边形 .AD∥BC .∠AEB=∠CBE ∴.∠AEB=∠CEB ·BE平分∠AEC: (2)证明：，四边形FECG是平行四边形 :.CG=EF,LECG=ZF :FECG是由ABCD旋转而得到的 AB=EF,CEFG,∠A=∠F B,E,F三点在同一条直线上 ∴.∠CEB=∠F ∴.∠BEH=∠GCH 由(1)可知：∠AEB=∠CEB ∴.∠AEB=∠A ..EB=AB ∴.EB=CG .∠EHB=∠GHC 55171 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴.△BHE≌△GHC(AAS) ∴.EH=CH 即H是EC的中点： (3)解：FH=3N2AE,理由如下： 作BI⊥CE于点I, F G 图3 则∠BIH=∠B1E=90° ~ABCD是矩形 “四边形FECG是矩形 .∠A=∠GCH=90°，AB=EF=CG 由(1)可知∠AEB=∠CEB 又：EB=EB .△AEB≌AIEB(SAS) .IB=AB,IE=AE ∴.IB=CG 又：∠IHB=∠CHG,∠BIH=∠GCH ∴.△BHI≌△GHC(AAS) ∴.IH=CH ,四边形FECG是矩形 ∴.∠EFG=∠FEH=90° 'FH平分∠EFG ∠BEFH=∠EFG=45° 2 :∠EHF=∠EFH=45o ∴.FE=HIE=CG=IB AE=IE=m,IH=CH=n,CE=BC=m+2n,IC=2n,IB=HE=m+n ∠BIC=90° 56/71 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴.(2n)2+(m+n)2=(m+2n)2 ∴.n=2m ∴.IH=2EI ∴.EH=EI+IH=3EI=3AE 在RtEFH中，由勾股定理得：FH=√2EH .FH=√2EH=3√2AE 6.(25-26九年级上·河南驻马店期中)如图，正方形ABCD的点D和正方形EFGH的点E重合，旋转正 方形EFGH同时确保点H在正方形ABCD内部. (1)如图，连接AH,CF后，判断AH和CF的数量关系并证明. D(E H (2)如图，继续旋转EFGH,若AB=2V2,EH=V2,发现A,H,F三点共线时，求AH的长. D(E H B (3)如图，连接AG,BG，当正方形EFGH旋转时，△ABG的形状和面积也随之改变，若AB=2V2, EH=√2，直接写出△ABG的面积的取值范围. DE B 【详解】()AH=CF,连接AH,CF 57171 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D(E H ,证明如下： AH=CF ,正方形ABCD和正方形EFGH, :AD=CD,DH=DF,LADC=∠HDF=90°， .∠ADH=90°-∠HDC=∠CDF, :.△ADH=aCDF(SAS). ∴.AH=CF (2)解：连接AC,CF, DE H B :正方形ABCD和正方形EFGH,∠DHF=∠DFH=45°，AB=22,EH=√2， ∴4c=22+22=4,m=2+V2=2, 由第一步知，△ADH兰aCDF, ,∴.AH=CF,∠CFD=∠AHD=180°-∠DHF=135°， .∠AFC=135°-∠DFH=90°， 设AH=CF=x, 在Rt△AFC中，由勾股定理知AC2=CF2+AF2, 即42=x2+(x+2}2, 解得x=-1±V万， .AH=V7-1. (3)解：设点G到AB的距离为h,则S= 58171 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 DE G 如上图，当点H运动到AD时，高h取得最小值， 最小值=AD-GF=2W2-V2=V2, S4的最小值=号4Bxh=x22x2=2, D(E F H 如上图，当点H运动到CD时，高h取得最大值， 最大值=AD+GH=22+√2=32， 55的最大值方4Bxh=×25x32=-6, 同时点H在正方形ABCD内部， ·.△ABG的面积的取值范围为2<SMRG<6 7.(25-26九年级上·湖北武汉期中)在△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC绕点C逆时针旋转α°得到 △DEC,点A的对应点D落在边AB上，连接BE. B C 图1 图2 (1)如图1，求证：AB⊥BE; (2)如图2，过点E作EF∥AB交AC的延长线于点F. ①有AD=2,EF=3,求AF的长. ②若AB=2V2,当△BDE的面积最大时，直接写出△ACD的面积. 59/71 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【详解】(I)证明：由旋转性质，得CA=CD,CB=CE,∠ACD=∠BCE, ∴∠A=∠CDA=∠CBE=∠CEB=90°- 2a°， .∠ACB=90° .∠EBA=∠ABC+∠CBE=∠ABC+∠A=90°， ∴.AB⊥BE: (2)解：①连接DF, B :EF∥AB ,∴∠A+∠EFA=180°，∠FEB+∠ABE=180°」 :∠A=∠ADC,∠ABE=90°，∠ADC+∠BDC=180°， ∴.LEFC=∠BDC,∠FEB=∠ABE=90°， .∠CBE=∠CEB ∴.∠CBD=∠CEF, 又CB=CE. ·aCBD≌aCEF(AAS), .BD=EF =3. 又AD=2, .'ED=AB=5, 在Rt△EBD中，BE=VED2-BD2=4, ,EF∥AB,EF=BD, ∴.四边形BEFD是平行四边形， 又∠ABE=90°， ∴.四边形BEFD是矩形， .EB=FD=4,∠ADF=∠BDF=90°. 在Rt△ADF中，AF=√AD2+FD2=V22+42=2N5: ②连接BF, 60/71 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B E A :∠DBE=90°，AB=DE=2√2， 六当BD=BE时， ABDE的面积最大，此时BD=BE=2DE=之，BDE二45O 2 ÷∠ADC=A=∠CDE=080-∠BDE)=67.5,AD=AB-BD=25-2 .∠ABC=90°-∠A=22.5°， 由①知ACBD≌ACEF, .CF=CD=CA. 又∠BCF=∠ACB=90°， ∴.BC垂直平分AF, .BF=AB=2√2，则∠ABF=2∠ABC=45°， 过A作AH⊥BF于H 则△ABH是等腰直角三角形， 六AM=BH=24B=2. 则5m65.H=22x2=25, 2 2 5m252=5-1, 2√2 即当△BDE的面积最大时，△ACD的面积是V2-L. 8.(25-26九年级上湖北武汉期中)点D是等边△ABC内一点，点E是边AC的中点，∠ADC=120°，连 接BD、CD、DE. 61/71 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 图1 图2 (1)如图1，若将△ADC绕点C逆时针60°得△BCT(T与D对应)，连接DT, ①直接写出∠BTD=°； ②证明：BD=2DE: 如图2：若R4”直接写出D+)CD+DE的最小值 2 【详解】(1)解：①如图，，△ADC绕点C逆时针60°得△BCT, .CD=CT,∠DCT=60°，∠BTC=∠ADC=120° .△DCT是等边三角形， .∠CTD=60°，CD=DT, ∴.∠BTD=∠BTC-∠DTC=60°， 故答案为：60； ②证明：如图1， 延长DE至F,使EF=DE,连接CF,AF, 图1 AE=CE 62171 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 “.四边形ADCF是平行四边形， .AD=CF,AD∥CF, .∠DCF=180°-∠ADC=60°， 由(1)知：CD=DT,AD=BT,LBTD=60°， ∴.∠BTD=∠DCF,CF=BT, ,aDCF≌aDTB(SAS), ..BD=DF =2DE (2)解：如图2， 取CD的中点W,CE的中点V,连接WV,将BC旋转60°至CX,连接TX,作R⊥XC于R,连接Xy, W B 图2 BC=CX,LBCX=60,ZR=90 :W,V分别是CD,CE中点， :.WV-1DE, 2 :△ABC是等边三角形， .AB=BC=AC=4,∠ACB=60° 由(1)①得CD=CT,∠DCT=60, .∠DCB=∠TCX=60°-∠BCT, CD=CT,BC=CX=4,∠DCB=∠TCX, ·.△BCD2aXCT(SAS), ∴TX=BD, 63171 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ',△CDT是等边三角形，W是CD中点， :.TWLCD.CD-CT-DT,DW-CW-CD, 2 .w-5cr-5cD. 2 2 BD+3 D+DE=XT+w+m≥Xw, :CV=CE=1AC=AB=x4=l,∠CR=180°-∠ACB-∠BCX=60, 2 4 4 4 .cR-jC-RcR 2 2 次=CX+CR=9 .XW=√XR2+R2 ∴.BD+ 3CD+DE的最小值为：2' 21 故答案为：V21 9.(25-26九年级上四川成都期中)如图1，在平面直角坐标系0y中，直线y=x+5与反比例函数 y= 的图象交于A(4,a,B两点. VA B B B 图1 图2 备用图 (1)求点A的坐标及反比例函数的表达式： (2)如图2，点C是x轴上一点，连接AC并延长与反比例函数第四象限图象交于点D,连接BD· 当△ABD为等腰三角形时，求点C的坐标； 64171 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 3)点P为x轴上一动点，连接BP,将线段PB绕点P旋转90°，点B的对应点是点Q,当点Q 在反比例函数第四象限图象上时，求点P的坐标， 【详解】(1)解：：点A-4,0四在直线y=x+5上， 将x=-4代入得a=-4+5=1, 点A的坐标为(4，)： 设反比例函数为y=, 将点《4代入得1=专 解得k=4, ·反比例函数的表达式为y=-4 y=x+5 (2)解：联立 整理得x2+5x+4=0, 解得x=4,3=-1, 将x=-1代入y=x+5得y=4, 点B的坐标为(-1,4)： 连接OA,OB,作AE⊥x轴，BF⊥y轴， 在△OAE,△OBF中， 由勾股定理求得OA=OB=V12+42=√17， 取B中发[，生)间（引 MA-MB 则OM是AB的垂直平分线， 由图知，若△ABD为等腰三角形， 65171 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 当DA=DB时， 则D在AB的垂直平分线上， :D是OM与反比例函数的交点， 艾Oy解新式为，-红代入（引用： 5k= 5 22, k=-1, ∴OM解析式为y=-x, y=-x 联立 、4 x 解得：x=2,x2=-2 :D在第四象限， .D点横坐标为2，将x=2代入y=-x, 得y=-2, D(2,-2) 设AD解析式为y=c+b,代入D(2,-2),A(-4,1), 2k+b=-2 -4k+b=1’ k=- 2 b=-1 AD解析武为y= 21 令v=0,0=-,x1 解得x=-2, C(-2,0): 由于A、B在第二象限，D在第四象限，若AB=AD或AB=BD,则需以A或B为圆心、AB为半径的圆与 反比例函数在第四象限有交点，经分析无解，故只有DA=DB成立， 故C(-2,0): 66171 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (3)解：分两种情况讨论旋转方向： 顺时针旋转90°： 设点P(m,O),点B(-l,4), 过P作HG∥y轴，BH⊥HG,QG⊥HG, ∠H=∠G=90° 由题意∠BPO=90°，BP=Pg 则∠BPH+OPG=90°，LBPH+∠PBH=90°， .∠OPG=∠PBH △BHP≌aPGQ(AAS), ..BH PG,HP=GO, 则BH=PG=-1-m, HP=G0=4. (4+m,1+m), 0在y=上，代入得： (4+m)1+m)=-4, 整理得m2+5m+8=0, 判别式△=25-32=-7<0，无实数解： H B 逆时针旋转90°： 设点P(m,0),点B(-L,4), 过P作HG∥y轴，BH⊥HG,OG⊥HG, .∠H=∠G=90°， 由题意∠BP2=90°，BP=Pg 67171 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 则∠BPH+∠QPG=90°，∠BPH+∠PBH=90°， ·∠OPG=∠PBH, ·.△BHP≌aPGQ(AAS), ..BH PG,HP=GQ, 则BH=PG=m-(-I)=m+1, HP=G0=4, (m-4,-m-), 、4 :Q在y=x上，代入得： (m-4)(-m-1)=-4 整理得m2-3m-8=0, 解得m=3tV4 2， .m>4, :m=3+4 2 G 10.(25-26九年级上湖北期中)如图1，二次函数.y=2+bx-3的图象与x轴交于点4(-1,0)B(6,0), 与y轴交于点C 68/71 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B B 图1 图2 备用图 (1)求二次函数的解析式： (2)如图2，抛物线的对称轴1与x轴交于点G,与BC交于点H,点P为对称轴1上一动点，其纵坐标设为 l ①若动点P在线段GH上（点P不与点G,H重合），PDI‖x轴与BC交于点D,DE∥y轴与抛物线交于点 E,EFI‖x轴与直线I交于点F.求四边形PDEF周长的最大值； ②若点A绕点P旋转90°后的对应点A恰好在抛物线上，求m的值. 【详解】(1)解：抛物线y=+bx-3经过点A(-1,0),B(3,0), a-b-3=0 19a+3b-3=0' a=1 解得1b=-2' ∴.二次函数的解析式为y=x2-2x-3」 (2)解：①：PD‖x轴，EF川x轴，DE∥y轴，直线I∥y轴， ∴.四边形PDEF为矩形， .PD=EF,DE=PF. 对y=x2-2x-3, 令x=0,则y=-3, ÷C0,-3) 设BC解析式为y=a-3, 把B3,0)代入，得3k-3=0, 解得k=1, .y=x-3 :y=x2-2x-3=(x-1)2-4, ∴抛物线的对称轴I的解析式为x=1, 69/71 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .P(1,m). ·H0,-2) :点P在线段GH上（点P不与点G,H重合）， .-2<m<0 .D(m+3,m,Em+3,m2+4m,F1,m2+4m .PD=EF=(m+3)-1=m+2,DE=PF=m-(m2+4m)=-m2-3m “四边形PDEF的周长=2(PD+DE)=-2(m+)2+6. .-2<0,-2<m<0, ∴.当m=-1时，周长有最大值6， 即四边形PDEF周长的最大值为6. ②过点A作AQ11于点Q, 则∠P0A=90°， .∠PAQ+∠APQ=90°. 由旋转知，∠APA=90°， .∠APg+LAPG=90°， .∠PAQ=∠APG .∠AQP=∠PGA=90°，PA=PA, :△A'PO≌aPAG(AAS), A(-1,0),PL,m). .4'Q=PG=m,PO=AG=2 当点A绕点P顺时针旋转90°时，m<0,AQ=PG=-m .GO=PO-PG=2+m,0G+4'O=1-m :AQ川x轴， .A(1-m,m+2). ,点A在抛物线上， :.(1-m-2(1-m)-3=m+2 .m2-m-6=0 解得m=3或m=-2 70171 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 当点A绕点P逆时针旋转90时，m<0,AQ=PG=-m ..Go=PO+PG=2-m,OG-A'O=1+m .A(m+l,m-2) .（m+1)2-2(m+1）-3=m-2 .m2-m-2=0 解得m=2或m=-1 综上，m=-2,-1,2,3 y A G B G B G B C(A') 71171 专题09 旋转全等与旋转函数 01 期中考情透视 02 复习目标锚定 03 知识体系构建 04 核心考点精讲 考点一 旋转全等模型（手拉手 / 共顶点旋转 / 旋转构造全等） 考点二 旋转函数（坐标系中的坐标变换规律与图像旋转） 05 重难题型突破 题型一 旋转与全等填空小压轴 题型二 旋转与最值填空小压轴 题型三 旋转全等（手拉手）证明与求值（应用） 题型四 旋转函数坐标变换与压轴综合（应用·综合） 06 限时分层演练 基础固本练 / 综合进阶练 解答题 7～8分 旋转全等（手拉手）证明与角度/线段求值 应用 重点 压轴题 9～12分 旋转函数：坐标系旋转 + 坐标变换 + 面积/函数结合 应用·综合 区分度最大 识记 能准确复述定义与性质；能在图形中指认旋转中心、旋转角、对应点 理解 能说明“为什么成立”；能由旋转条件独立推出角度与坐标 应用 能独立完成压轴题设问，条理清晰、步骤完整 考点一 旋转全等模型（手拉手 / 共顶点旋转 / 旋转构造全等） ①共顶点旋转：一个图形绕其上一个点（常为顶点）旋转，旋转前后对应边、对应角相等，据此证全等或求值。②手拉手模型：两个等腰/等边三角形共顶点（如△AOB与△COD均绕O旋转），其对应边可组成一对“手拉手”全等三角形，如证△AOC≌△BOD。③旋转构造全等：把分散的线段、角“搬”到同一对全等三角形中，化难为易。 ⚠️概念辨析 手拉手全等的判定多采用SAS：共顶点处的旋转角相等（∠AOC＝∠BOD），两组对应边相等。须先明确“哪两个三角形全等”，再写对应关系。 ⚠️记忆口诀 “见旋转，先标对应；同顶点，手拉手”：找旋转中心→标对应点→证全等(SAS)→转化线段角。 ⚠️易混易错 ①手拉手全等的两个三角形是“跨两边”的组合三角形，不是旋转前后的原三角形；②漏证旋转角相等这一组角。 ⚠️避坑指南 ❌ 把“共顶点的一对角”与“旋转角”区分开；SAS中角必须是两对应边的夹角。 考点二 旋转函数（坐标系中的坐标变换规律与图像旋转） 点P(x,y)绕原点O旋转：顺时针90°得P′(y,−x)；逆时针90°得P′(−y,x)；旋转180°得P′(−x,−y)。旋转中心不在原点时，先平移（把旋转中心移到原点）再套用规律，最后平移回去。 ⚠️概念辨析 顺/逆时针90°的差异只在“变号位置”：顺时针90°是纵坐标变负、横纵互换；逆时针90°是横坐标变负。旋转180°与中心对称等价，坐标都变号。 ⚠️记忆口诀 “绕心转九十，横纵互换、一个变号；转平角，坐标皆反”：90°先互换横纵坐标，再看顺逆定负号；180°两坐标皆反。 ⚠️易混易错 顺时针与逆时针90°的符号混淆；旋转中心不在原点时忘记先平移；坐标变换后不加验证（描点核对）。 ⚠️避坑指南 ❌ 背熟四个结论：绕原点顺90°→(y,−x)、逆90°→(−y,x)、180°→(−x,−y)、原点对称→(−x,−y)；复杂情形先画草图。 题型一 旋转与全等填空小压轴 典例1-1 （25-26九年级上·江西宜春·期中）如图，正方形的边长为3，E，F分别是边上的点，且，将绕点D逆时针旋转，得到，下列结论正确的是________ （填序号）． ①；②；③；④． 典例1-2 （（25-26九年级上·河南洛阳·期中）如图，在中，，点是线段AB上一点，连接，把绕点逆时针旋转到，连接，当时，则__________． 迁移应用 1．（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，正方形的对角线相交于点O，正方形与正方形的边长相等，在正方形绕点O旋转的过程中，当重叠部分为四边形且面积为时，则正方形的边长为___________． 2．（25-26九年级上·四川南充·期中）如图，已知点的坐标为，点的坐标为，将线段绕点顺时针旋转得到，则点坐标是______． 3．（25-26九年级上·福建厦门·期中）如图，在矩形中，，．将矩形绕点顺时针旋转得到矩形，点，，的对应点分别为，，．当，，三点在同一条直线上时，与交于点，则的面积为______． 4．（25-26九年级上·天津·期中）如图，O是等边内一点，，，，将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转得到线段，连接． （1）线段的长为__________； （2）四边形的面积为__________． 题型二 旋转与最值填空小压轴 典例2-1 （25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，在等边中，，是边上的高线，点是线段上的动点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，则线段的最小值为___________． 典例2-2 （25-26九年级上·安徽阜阳·期中）如图，在等边中，，点是边上一动点，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接． （1）若点是中点，则_______； （2）若点是边的中点，连接，则的最小值是_______． 迁移应用 1．（25-26九年级上·广东东莞·期中）如图，在中，，，，内部有一点，连接，，，求最小值________ 2．（25-26九年级上·湖北襄阳·期中）如图，平面直角坐标系中，已知点，点为轴正半轴上一个动点，将线段绕点P逆时针旋转，点A的对应点为Q， （1）若点P的坐标为，则点Q的坐标为_____； （2）在点P运动过程中，线段BQ的最小值是_____． 3．（25-26九年级上·湖北荆州·期中）如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点为，当点在上时，， （1）的度数为___________度， （2）为上一点，且，若，则在旋转一周的过程中，线段长度的最大值为___________． 4．（25-26九年级上·安徽芜湖·期中）如图，为等边三角形，P为边上一动点（不与点B，C重合），将线段绕点A逆时针旋转至线段，M是边的中点，连接，若，的长为整数． （1）______．（填“＞”“＜”或“＝”） （2）的长有最小值，最小值为______． 题型三 旋转全等（手拉手）证明与求值（应用） 典例3-1 （25-26九年级上·四川广元·期中）如图，中，，，将绕A点逆时针旋转得到，连接交于点F，E． (1)求证：． (2)求的度数； (3)若，四边形是菱形，求的长度． 典例3-2 （25-26九年级上·陕西西安·期中）探究以下问题： 【探索求知】 (1)如图1，在四边形中，连接，，以为边在左侧作等边，连接． ①判断能否由旋转得到，并说明理由； ②求的长； 【实践运用】 (2)如图2，步道将等腰广场分为三部分，用于规划不同的功能区，经测量，，，，，求的长． 典例3-3 （25-26九年级上·安徽芜湖·期中）如图1，在等腰直角三角形中，，点分别为的中点，为线段上一动点（不与点重合），将线段绕点逆时针方向旋转得到，连接． (1)证明：； (2)如图2，连接交于点． ①证明：在点的运动过程中，总有； ②若，当的长度为多少时，为等腰三角形？请直接写出答案． 💡破题要诀 “四步走”：①找旋转中心并标对应点；②证“跨两边的组合三角形”全等（手拉手，用SAS）；③把待求线段/角转化为全等三角形对应边/角；④结合勾股定理、特殊角或相似求值。 迁移应用 1．（25-26九年级上·贵州遵义·期中）如图，在菱形中，，E是边上一点（不与点C，D重合），将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接． (1)求证：； (2)求证：； (3)连接，若，求线段的长． 2．（25-26九年级上·河南洛阳·期中）（1）问题发现如图1，和均为等腰直角三角形，在一条直线上．填空：线段之间的关系为__________． （2）拓展探究如图2，和均为等腰直角三角形，，请判断的关系，并说明理由． （3）解决问题如图3，线段，点是线段外一点，，连接，将绕点逆时针旋转．得到线段，随着点的位置的变化，直接写出的取值范围． 3．（25-26九年级上·江苏南通·期中）如图，已知四边形是正方形，将线段绕点逆时针旋转得到线段，旋转角为，连接，． (1)若，则 ； (2)过点作，交的延长线于点，连接． 如图，若，求的长； 在图中，取的中点，作射线交的延长线于点，连接．请探究线段、、之间的数量关系，并给出证明． 题型四 旋转函数坐标变换与压轴综合（应用·综合） 典例4-1 （24-25九年级上·广西南宁·期中）阅读以下材料，并解决相应问题： 小明在课外学习时遇到这样一个问题： 定义：如果二次函数（，，，是常数）与（，，，是常数）满足，，，则称这两个函数互为“旋转函数”．求函数的“旋转函数”，小明是这样思考的，由函数可知，，，，根据，，，求出，，就能确定这个函数的“旋转函数”． 请思考小明的方法解决下面问题： (1)写出函数的“旋转函数”； (2)若函数与互为“旋转函数”，求的值； (3)已知函数的图象与轴交于A，B两点，与轴交于点C，点A，B，C关于原点的对称点分别是，，，试证明：经过点，，的二次函数与互为“旋转函数”． 典例4-2 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点，点的横坐标为． (1)①b的值为 ； ②关于x的不等式的解集为 ； (2)若点在轴上，且的面积为，求点的坐标； (3)如图，若点坐标是，将线段绕点顺时针旋转至线段，且当线段与反比例函数在第三象限的图象有交点时，求的取值范围． 迁移应用 1．（25-26九年级上·广东江门·期中）如图1，抛物线分别与x轴，y轴交于A，两点，M为的中点． (1)求抛物线的表达式； (2)连接，过点M作的垂线，交于点C，交抛物线于点D，连接，求的面积； (3)点E为线段上一动点（点A除外），将线段绕点O顺时针旋转得到．当时，求点F的坐标，并判断点F是否在抛物线上，说明理由． 2．（23-24九年级上·浙江金华·期中）已知平面直角坐标系中，直线AB与反比例函数的图象交于点和点，与x轴交于点，与轴交于点． (1)求反比例函数的表达式及的值； (2)将沿直线翻折，点落在第一象限内的点处，与反比例函数的图象交于点． ①请求出点的坐标； ②将线段绕点B旋转，在旋转过程中，求线段的最大值． 3．（25-26九年级上·广东江门·期中）如图，二次函数的图象与x轴交于点，，与y轴交于点C． (1)填空：a的值为________；点C的坐标是________． (2)若点是y轴上的点，将点绕着点P按照顺时针方向旋转得到点E，当点E恰好落在二次函数图像上时，求t的值； (3)将二次函数的图像沿x轴翻折得到，设与组成的图形为M，直线与M有公共点，写出：L与M的公共点为3个时，m的值． 4．（25-26九年级上·浙江金华·期中）定义：将函数的图像绕点旋转，得到新的函数的图像，我们称函数是函数关于点的相关函数．例如：当时，函数关于点的相关函数为． (1)当时，①二次函数关于点的相关函数为________________． ②点在二次函数关于点的相关函数的图像上，求的值． (2)函数关于点的相关函数是，求点的坐标． (3)当时，二次函数的相关函数的最小值为3，求n的值． 基础固本练（限时：20分钟） 1．（25-26九年级上·湖北·期中）如图，正方形的边长为，将边 绕点 顺时针旋转至，连接， ， 若， 则线段的长为________． 2．（25-26九年级上·北京海淀·期中）如图，在平面直角坐标系中，点．将线段绕点顺时针旋转得到线段，则点的坐标为___________． 3．（25-26九年级上·四川泸州·期中）在平面直角坐标系中，已知点，对于点P的“变换线段”给出如下定义：点P关于原点O的对称点为M ，将点M 分别向上平移2个单位长度，向右平移3个单位长度得到点N，称线段为点P的“变换线段”．已知线段是点P的“变换线段”，则的最大值为___________． 4．（25-26九年级上·广东东莞·期中）如图，长方形中，，，为上一点，且，为边上的一个动点，连接，将绕着点顺时针旋转到的位置，连接和，则的最小值为__________． 5．（25-26九年级上·北京·期中）如图，平面直角坐标系中，点，，，连接，并将线段绕点A顺时针旋转，点B旋转到点，连接．则周长的最小值为______． 6．（25-26九年级上·广东东莞·期中）在矩形中，，以点A为旋转中心，逆时针旋转矩形，旋转角为，得到矩形，点B、点C、点D的对应点分别为点E、点F、点G． (1)如图1，当点E落在边上时，写出线段的长度为________； (2)如图2，当点E落在线段上时，与相交于点H，连接， ①求证：； ②计算线段的长度． (3)如图3，设点P为边的中点，连接，在矩形旋转过程中，的面积是否存在最大值？并说明理由． 综合进阶练（限时：60分钟） 1．（25-26九年级上·江西南昌·期中）如图，在等腰直角中，，将等腰直角绕点顺时针旋转得到．连接，当为直角三角形时，则的长度是______． 2．（25-26九年级上·广东广州·期中）如图，边长为6的菱形中，，点P是边所在直线上一动点，连接，将线段绕点B顺时针旋转，使得P点到达点N，连接，则的最小值为______． 3．（25-26九年级上·广东广州·期中）如图，正方形的边长为4，，点E是直线上一点，连接，线段绕点B顺时针旋转得到，则线段长度的最小值等于_______． 4．（25-26九年级上·广东潮州·期中）【问题提出】 如图1，在正方形中，点E，F分别在边上，，连接探究线段之间的数量关系． 【方法感悟】 小明和小亮提供了两种不同的构造辅助线的方法： 小明的方法：如图2，延长到点G，使，连接； 小亮的方法：如图3，将绕点A顺时针旋转90°得到． （1）通过以上探究可以得出线段之间的数量关系为：______； 【方法迁移】 （2）如图4，在四边形中，，，点E，F分别在边上，且，连接．探究线段之间的数量关系； 【变式应用】 （3）如图5，在四边形中，，，点E，F分别在边的延长线上，且，连接，请直接写出线段之间的数量关系：______． 5．（25-26九年级上·福建福州·期中）如图1，将绕着点C旋转，得到，且点E落在边上，与交于点H，连接． (1)求证：平分； (2)如图2，若B，E，F三点在同一条直线上，求证：H是的中点； (3)如图3，若是矩形，且平分．探究线段与之间的数量关系，并说明理由． 6．（25-26九年级上·河南驻马店·期中）如图，正方形的点D和正方形的点E重合，旋转正方形同时确保点H在正方形内部． (1)如图，连接，后，判断和的数量关系并证明． (2)如图，继续旋转，若，，发现A，H，F三点共线时，求的长． (3)如图，连接，，当正方形旋转时，的形状和面积也随之改变，若，，直接写出的面积的取值范围． 7．（25-26九年级上·湖北武汉·期中）在中，，将绕点逆时针旋转得到，点的对应点D落在边AB上，连接BE． (1)如图1，求证：； (2)如图2，过点E作交的延长线于点F． ①有，求的长． ②若，当的面积最大时，直接写出的面积． 8．（25-26九年级上·湖北武汉·期中）点是等边内一点，点是边的中点，，连接、、． (1)如图1，若将绕点逆时针得（与对应），连接， ①直接写出______°； ②证明：； (2)如图2，若，直接写出的最小值______． 9．（25-26九年级上·四川成都·期中）如图 1，在平面直角坐标系 中，直线 与反比例函数 的图象交于，B 两点． (1)求点 A 的坐标及反比例函数的表达式； (2)如图2，点 C 是 x 轴上一点，连接 并延长与反比例函数第四象限图象交于点 D ，连接 ．当 为等腰三角形时，求点 C 的坐标； (3)点 P 为 x 轴上一动点，连接 ，将线段 绕点 P 旋转，点 B 的对应点是点 Q ，当点 Q 在反比例函数第四象限图象上时，求点 P 的坐标． 10．（25-26九年级上·湖北·期中）如图1，二次函数．的图象与x轴交于点，与y轴交于点C． (1)求二次函数的解析式； (2)如图2，抛物线的对称轴l与x轴交于点G，与交于点H，点P为对称轴l上一动点，其纵坐标设为m． ①若动点P在线段上(点P不与点G，H重合)，轴与交于点D，轴与抛物线交于点E，轴与直线l交于点F．求四边形周长的最大值； ②若点A绕点P旋转后的对应点恰好在抛物线上，求m的值． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $