专题11 解直角三角形模型之实际应用模型（几何模型讲义）（北京专用）2026年中考数学一轮复习几何模型系列

专题11 解直角三角形模型之实际应用模型 目录 1 模型1.背靠背模型 1 模型2.母子模型 6 模型3.拥抱模型 11 16 模型1.背靠背模型 背靠背模型：如图，若三角形中有已知角时，则通过在三角形内作高CD，构造出两个直角三角形求解，其中公共边（高）CD是解题的关键。 图1 图2 图3 图4 图5 重要等量关系：如图1，CD为公共边，则AD+BD=AB；如图2，CE=DA，CD=EA，则CE+BD=AB； 如图3，CD=EF，CE=DF，则AD+CE+BF=AB；如图4，DE=BF，BD=EF，则AE+EF=AF； 如图5，BE=CF，CE=BF，则AE+EB=AB。 例1．（24-25九年级下·北京海淀·开学考试）如图，热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为，看这栋高楼底部的俯角为，热气球与高楼的水平距离为120m，这栋高楼的高度（   ） A．m B．m C．m D．m 【答案】D 【分析】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 过点作，垂足为，根据题目中的数据和锐角三角函数，可以求得和的长从而可以得到的长． 【详解】解：过点作，垂足为，由题意可得， ∵， ， 在中，（m）， 在 中，（m）， ∴（m）， 故选：D． 例2．（2025·河南驻马店·三模）如图，在一次数学实践活动中，张老师带领学生去测量学校新建的理化实验楼的高度，小凡从实验楼底部的点处前行到达斜坡的底部点处，然后沿着斜坡前行到达最佳测量点处，在点处测得实验楼顶端点的仰角为，已知斜坡与水平地面的夹角为，且点在同一平面内，则该实验楼的高度为（   ）． A． B． C． D．17 【答案】A 【分析】本题考查了解直角三角形的应用一仰角俯角问题，解决此类问题要了解仰角和俯角的定义，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决，也考查了坡度与坡角． 过点作于点，先计算出，进而得到，易得四边形为矩形，根据矩形的性质求出，，再利用等腰直角三角形的性质求解． 【详解】解：过点作于点，如图， 根据题意得， 在中，， ∴， ∴． ∵， ∴四边形为矩形， ∴，． 在中， ∵， ∴， ∴， 即该实验楼的高度为． 故选：A． 例3．（25-26九年级上·北京平谷·期末）无人机低空遥感技术已广泛应用于农作物监测．如图，平谷区某农业特色品牌示范基地用无人机对一块试验田进行监测作业时，在距地面高度为的处测得试验田右侧边界处俯角为，无人机垂直下降至处．又测得试验田左侧边界处俯角为，则，之间的距离为 （结果保留根号）． 【答案】/ 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．根据题意可得：，，，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再利用线段的和差关系求出的长，最后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得：，，， 在中，， ， ， ， 在中，， ， 即，之间的距离为． 故答案为：． 例4．（24-25九年级上·北京·期末）如图，从热气球上测得两建筑物底部的俯角分别为和．如果这时气球的高度为，且点在同一直线上， (1)求与，与． (2)求建筑物间的距离． 【答案】(1)；；； (2) 【分析】本题考查了三角函数的实际应用，熟练掌握三角函数的比值关系是解题的关键． （1）利用平行线的性质可求出和的度数，再利用三角函数的比值关系求出和即可． （2）由运算即可． 【详解】（1）解：由题意可得： ∴， ∵ ∴，， 解得：，； （2）解：∵，， ∴． 模型2.母子模型 图1 图2 图3 图4 母子模型：若三角形中有已知角，通过在三角形外作高BC，构造有公共直角的两个三角形求解，其中公共边BC是解题的关键。 重要等量关系：如图1，BC为公共边，AD+DC=AC；如图2，BC为公共边，DC- BC= DB； 如图3，DF=EC，DE=FC，BF+DE=BC，AE+DF=AC；如图4，AF=CE，AC=FE，BC+AF= BE。 图5 图6 图7 图8 图9 如图5，BE+EC= BC；如图6，EC- BC= BE；如图7，AC=FG，AF=CG，AD+DC=FG，BC+AF= BG； 如图8，BC=FG，BF=CG，AC+BF=AG，EF+ BC= EG； 如图9，BC=FG，BF=CG，EF+BC=EG，BD+DF= BF，AC+ BD+ DF=AG。 例1．（2025·北京东城·二模）《海岛算经》是中国古代测量术的代表作，原名《重差》，这本著作建立了从直接测量到间接测量的桥梁，直至近代，重差测量法仍有借鉴意义．某实践小组利用重差法测量海岛上一座山峰的高度，分别在，两点观察山顶点，测得仰角分别为，，同时测得长为200米，则山峰的高度约为 米．(，，) 【答案】200 【分析】本题考查了解直角三角形的应用——俯仰角．熟练掌握解直角三角形的应用是解题的关键． 根据正切的定义得出，，从而得到，，继而得解． 【详解】解：由题意得， ∵在，两点观察山顶点，测得仰角分别为，， ∴，， ∴，， ∴， ∴ ∴的高度约为． 故答案为：200． 例2．（25-26九年级上·北京通州·期末）港珠澳大桥是连接香港、珠海、澳门的跨海桥隧工程，全长55千米，2018年通车，以“三地三检”模式助力粤港澳大湾区互联互通，创下多项世界之最．港珠澳大桥主桥为三座大跨度钢结构斜拉桥，其中九洲航道桥主塔造型取自“风帆”，寓意“扬帆起航”，某校九年级学生为了测量该主塔的高度，站在B处看塔顶A，仰角为60°，在距B处160米的C处看塔顶A，仰角为30°，求该主塔的高度． 【答案】米 【分析】本题考查解直角三角形的应用，过点A作于点D，设米，在中，利用三角函数值得，进而得，在中，利用三角函数值得，进而求解即可． 【详解】解：过点A作于点D，设米， 由题意得，，， 在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 答：该主塔的高度为米． 例3．（25-26九年级上·北京·单元测试）学校运动场的四角各有一盏探照灯，其中一盏探照灯的位置如图所示，已知坡长，坡角为，灯光受灯罩的影响，最远端的光线与地面的夹角为，最近端的光线恰好与地面交于坡面的底端处，且与地面的夹角为，、、、在同一平面上．（结果精确到．参考数据：，，，．） (1)求灯杆的高度； (2)求的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用，掌握直角三角形的性质，三角函数的定义是解题的关键． （1）延长交于点，根据直角三角形的性质和正切的定义求出，，结合正切的定义求出，即可求解； （2）结合正切的定义求出，即可求解． 【详解】（1）解：延长交于点，则， 在中，，， ∴，， 在中，， ∴， ∴． （2）解：在中，， ∴， ∴． 例4．（2025·贵州贵阳·一模）某综合实践活动小组，尝试通过利用无人机（无人机限高120米）测算某山体的海拔，设计了如下两种方案． 测量示意图 方案说明 方案一 无人机位于海拔为60米的C处，测得与山顶A处的仰角为，与山脚D处的俯角为． （参考数据：，，） 方案二    当无人机位于海拔为60米的C处时，测得与山顶A处的仰角为；当无人机垂直上升到海拔为113米的G处时，测得与山顶处A的仰角为．（参考数据：，，） (1)请你选择其中一种可行的测算方案是__________；（填“方案一”或“方案二”） (2)在（1）的条件下，计算该山体的海拔（的长）．（结果精确到1米） 【答案】(1)方案二 (2)160米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形是解题的关键． （1）根据题意分析方案可行性即可求解； （2）由题意得四边形和四边形都是矩形，则，，，利用即可求解出的长度，最后再求出即可． 【详解】（1）方案一：无人机位于海拔为60米的C处，由于无法计算无人机到山脚D的水平距离等关键信息，无法准确计算山顶A 海拔，存在缺陷； 方案二：无人机在C（海拔60米 ）和G（海拔113米 ） 处，可通过构建直角三角形，利用仰角和已知海拔高度，建立方程求解山顶A 相对高度，进而求出山体海拔，方案可行，所以选择方案二； 故答案为：方案二； （2）（2）由题意得四边形和四边形都是矩形， ，，， ，， ， ，， ， ， ， ， 该山体的海拔约为160米． 模型3.拥抱模型 拥抱模型：如图，分别解两个直角三角形，其中公共边BC是解题的关键。 图1 图2 图3 图4 重要等量关系：如图1，BC为公共边；如图2，BF+ FC+CE=BE；如图3，BC+ CE= BE； 如图4，AB=GE，AG=BE，BC+CE=AG, DG+AB= DE。 例1．（2026·辽宁阜新·一模）如图，小莹在数学综合实践活动中，利用所学的数学知识对某小区居民楼的高度进行测量．先测得居民楼与之间的距离为，后站在M点处测得居民楼的顶端D的仰角为，居民楼的顶端A的仰角为，已知居民楼的高度为，求居民楼的高度．（精确到） （参考数据：，，，，，） 【答案】居民楼的高度约为 【分析】本题考查解直角三角形．在中，有，进而，从而在中，即可求解． 【详解】解：由题意可得，， ∴， ∵在中，，， ∴， ∵， ∴， ∵在中，， ∴． 答：居民楼的高度约为． 例2．（2025·安徽·模拟预测）小杰要用自己学过的知识，测量自家居住的居民楼高度．在居民楼前方有一斜坡，坡长米，斜坡的坡比，小杰在C点处测得楼顶端A的仰角为，在D点处测得楼顶端A的仰角为，求楼高．（点A，B，C，D在同一平面内，结果精确到， 【答案】居民楼的高度约为 【分析】本题考查了解直角三角形的应用－仰角俯角问题，坡度坡角问题，勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 过点作，垂足为，设，则，在中，由勾股定理求得，求得，据此得出，过点作，垂足为，根据题意可得：，然后设，则，分别在 和中，利用锐角三角函数定义求出和的长，从而列出关于的方程，进行计算即可解答． 【详解】解：过点作，垂足为， ∵斜坡的坡比， ， 设，则， 在中，， ， ， 解得：， ， 过点作，垂足为， 由题意得：， 设， ， ， 在中，， ， 在中，， ， ， ， 解得：， ， ∴居民楼的高度约为． 例3．（2024·安徽·模拟预测）如图，无人机在A点测得飞行物B的仰角和水平地面上的小明同学C的俯角均为，且米，小明在C处测得飞行物B的仰角为．求飞行物B的高度．(结果精确到0.1米)参考数据：，，，，，． 【答案】飞行物B的高度约为36.9米． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用．过点A作于点D，过点A作于点E，则四边形是矩形．在中，解直角三角形求得．设，用含x的式子表示出其他线段的长，利用等量关系列方程求解． 【详解】解：如图，过点A作于点D，过点A作于点E， , 则四边形是矩形． ∴, 由题意可得，． 在中，，， ∴． 设，则，， 在中，， ∵， ∴． 解得， ∴． 答：飞行物B的高度约为36.9米． 例4．（23-24九年级上·安徽·期末）如图，塔前有一座高为的山坡，已知，，点，，在同一条水平直线上．某学习小组在山坡处测得塔顶部的仰角为，在山坡处测得塔顶部的仰角为． (1)求的长． (2)求塔的高度．（参考数据：，，，，结果取整数） 【答案】(1)的长为 (2)塔的高度约为 【分析】本题主要考查仰俯角解直角三角形的运用， （1）根据含角的直角三角形的性质即可求解； （2）根据含角的直角三角形的性质可得，设，根据等腰直角三角形的性质可得，，如图，过点作．垂足为，在中，，根据角的正切值可得，由此即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，在中，，， ∴, ∴的长为． （2）解：由题意得，在中，，， ∴， 在中，设， ∵， ∴， ∴， 如图，过点作．垂足为， 由题意得，， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， 解得， ∴， 答：塔的高度约为． 一、单选题 1．（2026·全国·模拟预测）如图，，两景点相距，景点位于景点A北偏东方向上，位于景点北偏西方向上，则，两景点相距（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可得，，根据三角形的内角和定理可得，由角所对的直角边和斜边的关系，可得，根据勾股定理即可得． 【详解】解：∵景点位于景点A北偏东方向上，位于景点北偏西方向上， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，两景点相距， ∴． ∴，两景点相距． 故选：B． 2．（2025·广东深圳·模拟预测）某数学兴趣小组用无人机测量园博园“福塔”的高度，测量方案如图：先将无人机垂直上升至距水平地面的P点，测得“福塔”顶端A的俯角为，再将无人机面向“福塔”沿水平方向飞行到达Q点，测得“福塔”顶端A的俯角为，则“福塔”的高度约为（　　）（参考数据： ，，） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】题目主要考查解直角三角形的应用，理解题意，作出辅助线是解题关键．过点A作于点C，证明为等腰直角三角形，得出，设，则，在中，根据，求出即可得出答案． 【详解】解：过点A作于点C，如图所示： 则， 由题意得，，， ∵在中，， ∴为等腰直角三角形， ∴， 设，则， 在中，， 解得：， ∴， ∴． 故选：D． 3．（2018·辽宁抚顺·模拟预测）如图，学校环保社成员想测量斜坡旁一棵树的高度，他们先在点C处测得树顶B的仰角为，然后在坡顶D测得树顶B的仰角为，已知斜坡的长度为，，则树的高度是（  ）m． A．30 B． C． D．40 【答案】A 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，三角形外角的性质，平行线的性质， 作，先求出，可得，再根据三角形外角的性质求出，然后根据，求出，接下来根据可得答案. 【详解】解：过点D作于点F， 在中，， . ∵， ∴. 在中，. ∵是的外角， ∴， ∴. 在中，， 则， 即. 在中，， 则， 即. 故选：A. 4．（2024·山东德州·二模）如图，区域为驾驶员的盲区，驾驶员视线与地面的夹角，视线与地面的夹角，点A，F为视线与车窗底端的交点，，，．若A点到B点的距离，则盲区中的长度是（    ）（结果保留到小数点后一位，参考数据：，，，）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先证明四边形是矩形，得到，然后分别在和中，利用三角函数关系求出和即可．本题考查解直角三角形的应用，涉及到矩形的判定和性质，利用好这个桥梁是解题的关键． 【详解】解：，， ，， ， 四边形是矩形， ， ∵和均为直角三角形 在中， ，， ， ， 在中， ，， ， ， 故选：A． 5．（2025·海南·模拟预测）在广场上矗立着一尊铜像．某校数学兴趣小组利用热气球开展综合实践活动，测量铜像的高度．如图，在点处，探测器显示，热气球到铜像底座底部所在水平面的距离为，从热气球看铜像顶部A的俯角为，看铜像底部的俯角为．已知底座的高度为，求铜像的高度为（    ）（结果保留整数．参考数据：，，，） A．10 B．12 C．14 D．16 【答案】C 【分析】本题考查三角函数的实际应用——测量高度，根据题意可得，从而求出，再求出即可求解． 【详解】解：由题意得：，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴三角形是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴铜像的高度是； 故选：C． 二、填空题 6．（2024·湖南·模拟预测）洪江市深入贯彻落实习近平总书记关于“三农”工作重要论述，推进农村人居环境升级；按照湖南省委、省政府“千万工程”部署，积极促进农村人居环境整治与乡村旅游深度融合，推动“美丽乡村”向“美丽经济”转变．如图是某地对A地和地之间的一处垃圾填埋场进行改造，把原来A地去往地需要绕行到地的路线，改造成可以直线通行的公路．如图，经勘测，千米，，，则改造后公路的长是 千米（精确到千米；参考数据：，，，）． 【答案】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，过点C作于D，解可得的长度，解可得的长，据此可得的长度． 【详解】解：如图所示，过点C作于D， ∴， 在中，千米，， ∴千米，千米， 在中，千米， ∴千米， 故答案为：． 7．（2025·内蒙古·模拟预测）暑假期间，小明与小亮相约到某旅游风景区登山．他们由山底A处先步行到达B处，再由B处乘坐登山缆车到达山顶D处．已知点A、B、D、E、F在同一平面内，山坡的坡角为，缆车行驶路线与水平面的夹角为，经工作人员介绍知山顶D处与B处的水平距离约为（换乘登山缆车的时间忽略不计）则山的高度为 m．（参考数据：，，） 【答案】750 【分析】本题考查解直角三角形的应用、矩形的判定与性质，理解题意，构造直角三角形是解答的关键． 根据题意得到过点B作，则四边形是矩形，根据含30度角的直角三角形得到，再根据正切值的计算得到，由此即可求解． 【详解】解：根据题意，，，，， 如图所示，过点B作于G，则四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：750． 8．（2025·黑龙江绥化·模拟预测）如图，小明为了测量小河对岸大树的高度，他在点测得大树顶端的仰角是，沿斜坡走米到达斜坡上点，在此处测得树顶端点的仰角为，且斜坡的坡比为．则大树的高度约为 米．（结果保留整数，参考数据：）． 【答案】8 【分析】本题考查了勾股定理，仰俯角解直角三角形，坡比解直角三角形的运用，掌握解直角三角形的计算是解题的关键． 根据题意得到是等腰直角三角形，如图所示，过点作于点，作于点，则四边形是矩形，由坡比得到米，则米，米，在中，由列式求解即可． 【详解】解：点测得大树顶端的仰角是，， ∴，即是等腰直角三角形， ∴， 如图所示，过点作于点，作于点，则四边形是矩形， ∴， ∵斜坡的坡比为，米， ∴，则， ∵， ∴， 解得，，负值舍去， ∴米， ∴米，则米， 设米，则米， ∴米， ∵， 在中，， ∴， 解得，， ∴的高度约为米， 故答案为：8 ． 9．（2025·青海西宁·三模）某校学生开展综合实践活动，测量一建筑物CD的高度，如图，在建筑物旁边有一高度为20米的小楼房AB，小王同学在小楼房楼底B处测得建筑物的顶部C处的仰角为，在小楼房楼顶A处测得建筑物的顶部C处的仰角为（在同一平面内，B，D在同一水平面上），则该建筑物CD的高为 （参考数据：，，）． 【答案】36米 【分析】过点A作，垂足为E，根据题意可得：米，，然后设米，分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，从而列出关于x的方程，进行计算即可解答． 本题考查了解直角三角形的应用—仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 【详解】解：过点A作，垂足为E， 由题意得：米，， 设米， 在中，， 米， 在中，， 米， ， ， 解得：， 米， 该建筑物的高约为36米， 故答案为：36米． 10．（2025·宁夏银川·模拟预测）如图，小明在大楼米高即米的窗口处进行观测，测得山坡上处的俯角为，山脚处的俯角为，已知该山坡的坡度即为，点，，，，在同一个平面上，点、、在同一条直线上，且丄则山坡坡角即的度数等于 度；、两点间的距离等于 结果精确到米，参考数据：． 【答案】 米 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用、坡度，根据山坡的坡度，利用正切即可求出的度数；根据俯角的度数可以求出，从而可知是等腰直角三角形，即，在直角三角形中求出的长度，即为、两点间的距离． 【详解】解：山坡的坡度即为， ， ， 故答案为：； 解：如下图所示，过点作， 由题意可知，，， ， ， ，， ， ，， ，， ， ， 米， 米． 故答案为：米． 三、解答题 11．（2026·陕西西安·一模）如图，山坡长为26米，坡度为，底端A在地面上，山坡与对面的山之间有一条小河，对面山顶D处立有高15米的铁塔．数学实践小组的同学欲测量山高，他们在B处测得塔顶C的仰角，又测得塔底D的仰角．已知点C，D，E在同一条直线上，与水平线垂直，图中点A，B，C，D，E，F均在同一平面内，请计算山高．（测倾器的高度忽略不计，结果精确到1米．参考数据：，，） 【答案】山高为米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-俯角仰角，解直角三角形的应用-坡角坡度，正确地作出辅助线是解题的关键．过作于，于，则四边形是矩形，，由坡度为，求出，，再根据，，得到，，最后根据，求出，最后根据计算即可． 【详解】解：过作于，于，则四边形是矩形，， ∵山坡长为26米，坡度为， ∴设，， ∵， ∴， 解得（负值舍去）， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 解得， ∴（米）， 答：山高为米． 12．（2024·河南周口·二模）为了响应国家“双减”政策，适当改变作业的方式，某校内数学兴趣小组组织了一次测量探究活动．如图，大楼的顶部竖有一块广告牌，同学们在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为，沿坡面向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为，已知山坡的坡度，米，米，求广告牌的高度．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米）参考数据：，，，，） 【答案】广告牌的高约米 【分析】本题考查解直角三角形的应用，仰角和俯角问题，坡度问题，掌握直角三角形的边角关系是解决问题的前提，理解坡度的意义是解决问题的关键． 在中求出，，进而求出，即，再在中，得出，在中由边角关系求出，最终求出，取近似值得出答案． 【详解】解：如图，过点B作，，垂足分别为M、N， 由题意可知，，，，米，米， ∵， ∴， ∴（米）， ∴（米）， ∴（米）， ∴（米）， ∴（米）， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴（米）， ∴（米）， 在中，，米， ∴（米）， ∴（米） 答：广告牌的高约米． 13．（2026·上海长宁·一模）如图，已知水平地面上方有一水平的平台，该平台上有一个竖直的建筑物，满足．从到处的斜坡的坡度，且米．已知在处测得建筑物顶端的仰角为，在处测得的仰角为．假设在同一竖直平面内． (1)求平台的高度． (2)求建筑物的高度．（结果保留根号） 【答案】(1)20米 (2)建筑物的高度为米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）过点C作于点M，根据已知可设米，则米，然后在中，利用勾股定理进行计算，即可解答； （2）过点E作于点N，交于点F，分别在和中，由三角函数的定义求出，再进行计算即可解答． 【详解】（1）解：过点C作于点M，则， ∵斜坡的坡度， ∴， 设米，则米， 在中，由勾股定理得：， 又米， ∴， 解得， ∴米， 所以，平台的高度为20米； （2）解：过点E作于点N，交于点F，设米，则：米，， ∴， ∵米， ∴米， ∴， 在中，，则； 在中，，则：， ∴ 解得：， 所以，建筑物的高度为米． 14．（23-24九年级上·湖南邵阳·期末）江西庐山素有“匡庐奇秀甲天下山”之美称．早在一千二百多年前，唐代诗人李白曾这样赞美庐山：“予行天下，所游山水甚富，俊伟诡特，鲜有能过之者，真天下之壮观也”．庐山景区为给游客提供更好的游览体验，拟在如图1景区内修建观光索道．设计示意图如图2所示，以山脚A为起点，沿途修建、两段长度相等的观光索道，最终到达山顶D处，中途设计了一段与平行的观光平台．索道与的夹角为，与水平线夹角为，点B的垂直高度为，垂足为点F．（图中所有点都在同一平面内，点A，E，F在同一水平线上．） (1)求索道的长；（结果精确到） (2)求山顶点D到水平地面的距离的长（结果精确到）．（参考数据：，，，） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查直角三角形的实际应用问题． （1）中，利用即可求解； （2）在中，，先求出的高度，再加的高度即可求解． 【详解】（1）解：在中， 由题意得， ； 即索道的长约为． （2）解：如图，延长交直线于点，易得， 在中， 由题意得， 即山顶点到水平地面的距离的长约为． 15．（2026·四川遂宁·一模）江六桥是全国首座复杂曲线荷花瓣形钢混组合索塔斜拉桥，也是遂宁首座双塔五跨混凝土梁斜拉桥．某数学活动小组预测量主桥塔顶到江面的距离，设计了如下的测量方案： 课题 测量桥塔顶到江面的距离AB 实物图 测量工具 卷尺、测角仪… 测量示意图 测量方案及数据 在江边一点F处观测桥塔顶端，测得仰角为，然后向桥塔方向前进49m到达点，点处有一高为 2m的观测台，在观测台顶端处测得桥塔顶端的仰角为45° 测量说明 点在同一水平直线上，且 均垂直于 参考数据 … … 请帮助该小组的同学根据上表中的测量数据，计算出主桥塔顶到江面的距离．(结果精确到0.1m) 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，，则，继而求得，再用的正切值建立方程求解即可． 【详解】解：由题意，得，， 设，则． ， 在中， ∴ 在中， ，即 解得 ∴主桥塔顶到江面的距离为． 16．（2024·广东·模拟预测）如图是某货站传送货物的平面示意图，为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角，使其由改为．已知原传送带长为． (1)求新传送带的长度； (2)如果需要在货物着地点C的左侧留出的通道，试判断距离B点的货物是否需要挪走，并说明理由．（结果精确到，已知，，） 【答案】(1) (2)需要挪走，理由见解析 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）先根据三角函数的定义求出，然后在中，解直角三角形求即可； （2）先求出，的长，即可求得及的长，即可判断答案． 【详解】（1）解：（1）在中，（m）， 在中，， （m）， 答：新传送带的长度约为； （2）解:在中，（m）， 在中，（m）， （m）， ， 货物需要挪走． 17．（2025·河北沧州·模拟预测）如图，某校学生开展综合实践活动，测量某建筑物的高度．在建筑物附近有一斜坡，坡长米，坡度为，小华在处测得建筑物顶端的仰角为，在处测得建筑物顶端的仰角为．（已知点，，，在同一平面内，，在同一水平线上） (1)坡角________度，________度； (2)求点到地面的距离； (3)求该建筑物的高度． 【答案】(1)30，30 (2)点到地面的距离为5米 (3)该建筑物的高度为15米 【分析】（1）根据坡度为，得到，过点D作于点F，根据三角形的内角和定理得到结论； （2）过点作，交的延长线于点E，根据三角函数的定义得到的长度； （3）根据题意及（1）中的结论，可得，再根据，利用正切值求解三角形，得出，在中，利用正弦值求即可求出的长度． 【详解】（1）解：坡度为， ， ， 过点D作于点F， ， ， ， ， ， ， 故答案为：30，30； （2）解：如图，过点作，交的延长线于点，则（米）， 即点到地面的距离为5米； （3）解：，，． 又，（米）， （米）． 在中，（米）， 即该建筑物的高度为15米． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题、坡度坡角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键． 18．（2025·贵州黔东南·二模）【新情境·素材改编】如图①所示，假设某居民楼地处北半球某地，窗户朝南，窗户的高度为h．此地一年中正午时刻，太阳光线与地平面的最小夹角为，最大夹角为．请你为该窗户设计一个遮阳篷，要求它既能最大限度地遮挡夏天炎热的阳光，又能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内． 如图②，小明家住贵阳，测得他家窗户高，即．小明根据所学知识自己设计了一个遮阳篷，在冬至时最大限度地使阳光照入室内，测量得太阳光线与地平面的最小夹角为；在夏至最大限度遮挡阳光，测量得太阳光线与地平面的最大夹角为．请你求出，的长．（精确到，参考数据：，，，，，） 【答案】， 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形是解题的关键． 根据题意，结合图形，在中表示出，再在中表示出，得到方程，解方程得到结果． 【详解】解： 如图，， ， 设的长为， ∵在中，， ， ， ∵在中，， ， ， 解得, 即, , 即, ∴， 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题11解直角三角形模型之实际应用模型 目录导航 目录 例题讲模型 模型1.背靠背模型 模型2.母子模型 6 模型3.拥抱模型 …11 习题练模型 .....16 例题讲模型 模型1.背靠背模型 模型解读 背靠背模型：如图，若三角形中有已知角时，则通过在三角形内作高CD,构造出两个直角三角形求解，其 中公共边（高）CD是解题的关键。 图1 图2 图3 图4 图5 重要等量关系：如图1，CD为公共边，则AD+BD=AB;如图2，CE=DA,CD=EA,则CE+BD=AB; 如图3，CD=EF,CE=DF,则AD+CE+BF=AB;如图4，DE=BF,BD=EF,则AE+EF=AF; 如图5，BE-CF,CE=BF,则AE+EB=AB。 模型运用 例1.(24-25九年级下·北京海淀·开学考试)如图，热气球的探测器显示，从热气球A看一栋高楼顶部B的 1/13 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 仰角为30°，看这栋高楼底部C的俯角为60°，热气球A与高楼的水平距离为120m,这栋高楼BC的高度() B 圃 念 1日日 1日▣ 777777777777777 A.80√3m B.120√3m C.140W5m D.160/3m 例2.(2025河南驻马店·三模)如图，在一次数学实践活动中，张老师带领学生去测量学校新建的理化实 验楼的高度，小凡从实验楼底部的点B处前行5m到达斜坡CD的底部点C处，然后沿着斜坡前行8m到达最 佳测量点E处，在点￡处测得实验楼顶端点A的仰角为45°，已知斜坡与水平地面的夹角为30°，且点 A,B,C,D,E,F在同一平面内，则该实验楼的高度为()m. D E 45.- 307 A.9+4V5 B.9+53 C.10+43 D.17 例3.(25-26九年级上·北京平谷期末)无人机低空遥感技术已广泛应用于农作物监测.如图，平谷区某 农业特色品牌示范基地用无人机对一块试验田进行监测作业时，在距地面高度为130m的A处测得试验田右 侧边界N处俯角为45°，无人机垂直下降40m至B处.又测得试验田左侧边界M处俯角为30°，则M,N之 间的距离为 (结果保留根号)· A 451 30℃ B M 例4.(24-25九年级上·北京期末)如图，从热气球上测得两建筑物A,B底部的俯角分别为30°和60°，如 果这时气球的高度CD为90m,且点A,D,B在同一直线上， 2/13 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E 3061 609 D (1)求∠A与∠B, AD与BD: (2)求建筑物A,B间的距离. 模型2.母子模型 模型解读 D 人2 D D 图1 图2 图3 图4 母子模型：若三角形中有己知角，通过在三角形外作高BC,构造有公共直角的两个三角形求解，其中公共 边BC是解题的关键。 重要等量关系：如图1，BC为公共边，AD+DC=AC;如图2，BC为公共边，DCBC=DB; 如图3，DF=EC,DE=FC,BF+DE=BC,AE+DF=AC;如图4，AF=CE,AC=FE,BC+AF=BE。 B D 图5 图6 图7 图8 图9 如图5，BE+EC=BC;如图6，EC-BC=BE;如图7，AC=FG,AF-CG,AD+DC=FG,BC+AF=BG; 如图8，BC=FG,BF=CG,AC+BF=AG,EF+BC=EG; 如图9，BC=FG,BF=CG,EF+BC=EG,BD+DF=BF,AC+BD+DF=AG。 模型运用 例1.(2025·北京东城二模)《海岛算经》是中国古代测量术的代表作，原名《重差》，这本著作建立了 从直接测量到间接测量的桥梁，直至近代，重差测量法仍有借鉴意义，某实践小组利用重差法测量海岛上 3/13 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 一座山峰AB的高度，分别在C,D两点观察山顶点A,测得仰角分别为45°，26.5°，同时测得CD长为200 米，则山峰AB的高度约为米.(sin26.5°≈0.45，cos26.5°≈0.89，tan26.5°≈0.50) D 例2.(25-26九年级上·北京通州·期末)港珠澳大桥是连接香港、珠海、澳门的跨海桥隧工程，全长55千 米，2018年通车，以“三地三检”模式助力粤港澳大湾区互联互通，创下多项世界之最.港珠澳大桥主桥为 三座大跨度钢结构斜拉桥，其中九洲航道桥主塔造型取自“风帆”，寓意“扬帆起航”，某校九年级学生为了测 量该主塔的高度，站在B处看塔顶A,仰角为60°，在距B处160米的C处看塔顶A,仰角为30°，求该主 塔的高度。 4 777777777777777777777 例3.(25-26九年级上·北京·单元测试)学校运动场的四角各有一盏探照灯，其中一盏探照灯B的位置如图 所示，已知坡长AC=12m,坡角0为30°，灯光受灯罩的影响，最远端的光线与地面的夹角B为27°，最近 端的光线恰好与地面交于坡面的底端C处，且与地面的夹角为60°，A、B、C、D在同一平面上.（结果 精确到0.1m.参考数据：sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.51，√5≈1.73.) B a G (I)求灯杆AB的高度； (2)求CD的长度. 例4.(2025·贵州贵阳·一模)某综合实践活动小组，尝试通过利用无人机（无人机限高120米)测算某山 体的海拔，设计了如下两种方案 方案说明 测量示意图 4/13 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 无人机位于海拔为60米的C处，测得与山顶 方 A处的仰角a为45°，与山脚D处的俯角B为 案 .dE 65°. 0海拔基准 (参考数据：sin65°≈0.90，c0s65°≈0.42， D tan65°≈2.14) 当无人机位于海拔为60米的C处时，测得与 方 山顶A处的仰角Y为45°；当无人机垂直上升 .H 案 到海拔为113米的G处时，测得与山顶处A E -0海拔基准 的仰角0为25°.（参考数据：sin25°≈0.42， D c0s25°≈0.90，tan25°≈0.47) (I)请你选择其中一种可行的测算方案是 (填“方案一”或“方案二”) (2)在(1)的条件下，计算该山体的海拔(AB的长)·（结果精确到1米） 模型3.拥抱模型 模型解读 拥抱模型：如图，分别解两个直角三角形，其中公共边BC是解题的关键。 图1 图2 图3 图4 重要等量关系：如图1，BC为公共边；如图2，BF+FC+CE=BE;如图3，BC+CE=BE; 如图4，AB=GE,AG=BE,BC+CE=AG,DG+AB=DE。 模型运用 例1.(2026辽宁阜新·一模)如图，小莹在数学综合实践活动中，利用所学的数学知识对某小区居民楼 AB的高度进行测量.先测得居民楼AB与CD之间的距离BC为5Sm,后站在M点处测得居民楼CD的顶端 D的仰角为40°，居民楼AB的顶端A的仰角为55°，己知居民楼CD的高度为21m,求居民楼AB的高度， 5/13 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (精确到1m) (参考数据：sin40°≈0.46，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，sin55°≈0.82，c0s55°≈0.57，tan55°≈1.43) 0 55入人40° B M C 例2.(2025·安徽模拟预测)小杰要用自己学过的知识，测量自家居住的居民楼高度AB.在居民楼前方 3 有一斜坡，坡长CD=15米，斜技的坡比i-,小杰在C点处测得楼顶端A的仰角为60°，在D点处测得 楼顶端A的仰角为30°，求楼高AB.(点A,B,C,D在同一平面内，结果精确到01， √2≈1.414，V3≈1.732) 301s D 60°入 R 例3.(2024安徽模拟预测)如图，无人机在A点测得飞行物B的仰角和水平地面MN上的小明同学C的 俯角均为36.9°，且AC=25米，小明在C处测得飞行物B的仰角为76.1°.求飞行物B的高度BH,(结果精 确到0.1米)参考数据：sin36.9°≈0.60，c0s36.9°≈0.80，tan36.9°≈0.75，sin76.1°≈0.97，c0s76.1°≈0.24， tan76.1°≈4.0. B M 6. C H 例4.(23-24九年级上·安微期末)如图，塔AB前有一座高为DE的山坡，已知CD=8m,∠DCE=30°， 点A,C,E在同一条水平直线上.某学习小组在山坡C处测得塔顶部B的仰角为45°，在山坡D处测得塔 顶部B的仰角为27°. 6/13 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D 27 30 人451 E A (I)求DE的长。 (2)求塔AB的高度.（参考数据：tan27°≈0.5，sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，√5≈1.7，结果取整数） 习题练模型 一、单选题 1.(2026全国模拟预测)如图，A,B两景点相距15km,景点C位于景点A北偏东60°方向上，位于景 点B北偏西30°方向上，则A,C两景点相距() 北 30 60 A.7.5km 15、J3km B c.片am D.10√3km 2.(2025广东深圳模拟预测)某数学兴趣小组用无人机测量园博园“福塔”AB的高度，测量方案如图：先 将无人机垂直上升至距水平地面142m的P点，测得“福塔”顶端A的俯角为37°，再将无人机面向“福塔”沿 水平方向飞行210m到达Q点，测得“福塔”顶端A的俯角为45°，则“福塔”AB的高度约为()（参考 数据： tan37°3 ’sin37≈3 ’c0s37°≈ P文370 的 A.48m B.50m C.51m D.52m 3.(2018·辽宁抚顺模拟预测)如图，学校环保社成员想测量斜坡CD旁一棵树AB的高度，他们先在点C 处测得树顶B的仰角为60°，然后在坡顶D测得树顶B的仰角为30°，已知斜坡CD的长度为20， 7/13 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 sin ZDCE=7 1 则树AB的高度是()m. [30 60 C A A.30 B.20W5 C.305 D.40 4.(2024山东德州·二模)如图，△ABC、aFED区域为驾驶员的盲区，驾驶员视线PB与地面BE的夹角 ∠PBE=43°，视线PE与地面BE的夹角∠PEB=20°，点A,F为视线与车窗底端的交点，AF∥BE, AC⊥BE,FD⊥BE.若A点到B点的距离AB=1.8m,则盲区中DE的长度是()（结果保留到小数 点后一位，参考数据：sin43°≈0.7，tan43°≈0.9，sin20°≈0.3，tan20°≈0.4) F E D B D C B A.3.15m B.3.2m C.2.57m D.3.1m 5.(2025海南模拟预测)在广场上矗立着一尊铜像.某校数学兴趣小组利用热气球开展综合实践活动， 测量铜像的高度.如图，在点C处，探测器显示，热气球到铜像底座底部所在水平面的距离CE为32m,从 热气球C看铜像顶部A的俯角为45°，看铜像底部B的俯角为63.4°，己知底座BD的高度为4m,求铜像 AB的高度为()（结果保留整数.参考数据：sin63.4°≈0.89，cos63.4°≈0.45，tan63.4°≈2.00， √2≈1.41) G C 45oC 63.4° F A.10 B.12 C.14 D.16 二、填空题 6.(2024湖南模拟预测)洪江市深入贯彻落实习近平总书记关于“三农”工作重要论述，推进农村人居环 8/13 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 境升级；按照湖南省委、省政府“千万工程”部署，积极促进农村人居环境整治与乡村旅游深度融合，推动“美 丽乡村”向“美丽经济”转变.如图是某地对A地和B地之间的一处垃圾填埋场进行改造，把原来A地去往B地 需要绕行到C地的路线，改造成可以直线通行的公路AB.如图，经勘测，AC=6千米，∠CAB=60°， ∠CBA=37°，则改造后公路AB的长是 _千米（精确到0.1千米；参考数据：sin37°≈0.60， c0s37°≈0.80，tan37°≈0.75，√5≈1.73). 7.(2025·内蒙古模拟预测)暑假期间，小明与小亮相约到某旅游风景区登山.他们由山底A处先步行 300m到达B处，再由B处乘坐登山缆车到达山顶D处.己知点A、B、D、E、F在同一平面内，山坡AB的 坡角为30°，缆车行驶路线BD与水平面的夹角为53°，经工作人员介绍知山顶D处与B处的水平距离BE约 为450m(换乘登山缆车的时间忽略不计)则山的高度DF为 m.(参考数据：sin53°≈4， 51 3 4 cos53°*写，tan53°*3) 3 O BK53 30° A 8.(2025·黑龙江绥化模拟预测)如图，小明为了测量小河对岸大树BC的高度，他在点A测得大树顶端B 的仰角是45°，沿斜坡走V5米到达斜坡上点D,在此处测得树顶端点B的仰角为31°，且斜坡AF的坡比 为1：2.则大树BC的高度约为」 米.（结果保留整数，参考数据： sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60). F D319 45o E A田C 9.(2025·青海西宁·三模)某校学生开展综合实践活动，测量一建筑物CD的高度，如图，在建筑物旁边 有一高度为20米的小楼房AB,小王同学在小楼房楼底B处测得建筑物的顶部C处的仰角为66，在小楼房 9/13 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 楼顶A处测得建筑物的顶部C处的仰角为45(AB,CD在同一平面内，B,D在同一水平面上)，则该建筑 物CD的高为】 (参考数据：sin66°≈0.9，cos66°≈0.41，tan66°≈2.25)· 00 00 00 45 00 00 00 66X▣m▣ D B 10.(2025·宁夏银川模拟预测)如图，小明在大楼30米高（即PH=30米）的窗口P处进行观测，测得山坡 上A处的俯角为15°，山脚B处的俯角为60°，己知该山坡的坡度X即tanZABC)为1：√3，点P,H,B, C,A在同一个平面上，点H、B、C在同一条直线上，且PH⊥HC.则山坡坡角（即∠ABC)的度数等于 度；A、B两点间的距离等于（结果精确到0.1米，参考数据：√5≈1.732). 609 三、解答题 11.(2026陕西西安一模)如图，山坡AB长为26米，坡度i为5：12，底端A在地面上，山坡与对面的山 之间有一条小河，对面山顶D处立有高15米的铁塔CD.数学实践小组的同学欲测量山高DE,他们在B 处测得塔顶C的仰角∠CBF=54.6°，又测得塔底D的仰角∠DBF=45°.已知点C,D,E在同一条直线上， CD与水平线AE垂直，图中点A,B,C,D,E,F均在同一平面内，请计算山高DE.(测倾器的高度忽 略不计，结果精确到1米.参考数据：sin54.6°≈0.82，cos54.6°≈0.58，tan54.6°≈1.40) E 12.(2024河南周口·二模)为了响应国家“双减”政策，适当改变作业的方式，某校内数学兴趣小组组织了 一次测量探究活动.如图，大楼的顶部竖有一块广告牌CD,同学们在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D 10/13