精品解析：湖南省桃源县第一中学2025-2026学年高三上学期12月模考数学试题

2025年桃源县第一中学高三年级12月模块考试 数学试题 时量：120分钟 总分：150分 命题教师：高三数学组 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，是方程的两个虚根，则为（ ） A. 4 B. 2 C. 0 D. 3. 已知，在上的投影向量为，则（ ） A. 0 B. 2 C. 3 D. 7 4. 已知，则下列式子成立的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数，则（ ） A. 的图象关于直线对称 B. 的图象关于点对称 C. 的图象关于点对称 D. 的图象关于直线对称 6. 设抛物线的焦点为，不经过的直线与交于、两点，与轴交于点.点的坐标为，且与、的面积之比是，则（ ） A. B. C. D. 7. 设集合，那么集合中满足条件“”的元素个数为（ ） A. 15 B. 35 C. 40 D. 45 8. 已知函数，若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分. 9. 若，则下列正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知椭圆：的焦点分别为，，设直线与椭圆交于，两点，且点为线段的中点，则下列说法正确的是（ ） A. 椭圆的离心率为 B. 椭圆上存在点，使得 C. 直线的方程为 D. 的周长为 11. 在长方体中，分别为AB、D的中点，经过C，E，F三点的平面将已知长方体分成两部分，则（ ） A. 截面的形状为四边形 B. 截面面积为 C. 点A到截面的距离为 D. 截面分长方体所得两部分中，较小部分与较大部分的体积之比为7:29 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知等差数列的各项均为正数，若，则_______. 13. 已知双曲线右支上有一点，它关于原点的对称点为，双曲线的右焦点为，满足，且，则双曲线的离心率的值是______． 14. 已知，则__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知某品牌新能源汽车的电池使用寿命（单位：年）服从正态分布，其质保政策规定：电池寿命低于年可免费更换. （1）求任意一辆该品牌汽车享受免费更换电池的概率（精确到）； （2）某出租车公司购买了辆该品牌汽车，记为免费享受更换的车辆数，利用（1）的结果，求的分布列和数学期望. 附：若随机变量服从正态分布，则. 16. 如图，在四面体中，，，，、分别为、的中点. （1）证明：； （2）若二面角为，求直线与平面所成角的正弦值. 17. 已知函数，其中为常数. （1）当时，求在区间上的最值； （2）若在区间上有且仅有一个极值点，求的取值范围. 18. 已知分别是椭圆的左､右顶点，动点满足，过作于，线段交椭圆于点；过作，交椭圆于点． （1）设直线的斜率分别为，求的值； （2）求证：直线过定点． 19. 设数列的前项和为，已知. （1）求的通项公式； （2）在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在3项（其中成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项，若不存在，请说明理由； （3）已知函数，其中表示不超过的最大整数，设，数列的前项和为，求除以16的余数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年桃源县第一中学高三年级12月模块考试 数学试题 时量：120分钟 总分：150分 命题教师：高三数学组 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据并集的定义即可求解. 【详解】因为，， 所以. 故选：C 2. 已知复数，是方程的两个虚根，则为（ ） A. 4 B. 2 C. 0 D. 【答案】A 【解析】 【分析】解出方程的两个虚根和，可求. 【详解】复数，是方程的两个虚根，则，， 所以复数. 故选：A. 3. 已知，在上的投影向量为，则（ ） A. 0 B. 2 C. 3 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】先设向量与的夹角为，根据向量在上的投影向量为，可求得，再由，即可求解. 【详解】设向量与的夹角为， 因为向量在上的投影向量为，所以， 又，解得， 因此 又，， 所以. 故选：B 4. 已知，则下列式子成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用同角的三角函数关系式，首先切化弦，然后利用平方关系化简，可得答案. 【详解】由， 则，整理得， 所以， 则， 即. 故选：C 5. 已知函数，则（ ） A. 的图象关于直线对称 B. 的图象关于点对称 C. 的图象关于点对称 D. 的图象关于直线对称 【答案】C 【解析】 【分析】根据对称性定义计算判断各个选项． 【详解】对于A选项，若的图象关于直线对称，则，而，，二者不相等，故A错误； 对于B选项，若的图象关于点对称，则， 而，故B错误” 而， 所以的图象关于点对称，C选项正确，D选项错误． 故选：C． 6. 设抛物线的焦点为，不经过的直线与交于、两点，与轴交于点.点的坐标为，且与、的面积之比是，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作出图形，结合图形得出，求出的值，即可求出的值. 【详解】由题意可知，抛物线的焦点为，准线为直线，如下图所示： ，又因为，故， 故选：B. 7. 设集合，那么集合中满足条件“”的元素个数为（ ） A. 15 B. 35 C. 40 D. 45 【答案】D 【解析】 【分析】设中，有个，个，则可得，再分、及进行讨论即可得. 【详解】设中，有个，个，则有个， 则需，解得， 则当时，，共有种情况； 则当时，，共有种情况； 则当时，，共有种情况； 故共有种情况， 即集合中满足条件“”的元素个数为. 故选：D. 8. 已知函数，若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，由题设易得，则，令，利用导数分析其单调性，进而求解即可. 【详解】由，可得，即， 同理由，可得， 设，易知， 代入上述式子可得，则， 令，则， 易知在上单调递增，且， 则当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 则，即的最小值为. 故选：D 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分. 9. 若，则下列正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】对于ABC，利用赋值法分别判断即可；对于D，对等式两边同时求导，再赋值即可求解判断. 【详解】对于A，令，则，故A正确； 对于BC，令，则， 令，则， 则，，故B错误，C正确； 对于D，由两边同时求导可得： ， 令，则， 所以，故D错误. 故选：AC 10. 已知椭圆：的焦点分别为，，设直线与椭圆交于，两点，且点为线段的中点，则下列说法正确的是（ ） A. 椭圆的离心率为 B. 椭圆上存在点，使得 C. 直线的方程为 D. 的周长为 【答案】BD 【解析】 【分析】对于，根据椭圆性质求得椭圆方程，计算离心率即可；对于，利用以为直径的圆与椭圆的位置关系进行判断；对于，利用点差法求直线的斜率，继而求得方程；对于，根据焦点三角形的性质直接求周长. 【详解】因为椭圆：的焦点分别为，， 可得焦点在轴，且， 即，所以， 则椭圆的方程为， 则其离心率 故错误； 对于,由椭圆方程可知， 以为直径的圆与椭圆有四个交点， 所以椭圆上存在点，使得， 则正确； 对于，设， 因为的中点为， 则， 又在椭圆上， 则， 两式相减可得： 即 所以直线的斜率为， 又直线过点， 则直线为， 即，故错误； 对于直线过点， 则的周长为， 故正确， 故选： 11. 在长方体中，分别为AB、D的中点，经过C，E，F三点的平面将已知长方体分成两部分，则（ ） A. 截面的形状为四边形 B. 截面面积为 C. 点A到截面的距离为 D. 截面分长方体所得两部分中，较小部分与较大部分的体积之比为7:29 【答案】ABD 【解析】 【分析】结合长方体的底面长方形的性质，作出截面，判断A；根据三角形面积公式及相似三角形面积关系，求得截面的面积，判断B；根据等体积法求得点A到截面的距离，判断C；根据三棱锥的体积公式及相似求得截面分得的较小部分（棱台）的体积，利用长方体的体积求得较大部分的体积，从而得到体积之比，以判断D. 【详解】对于A，如图所示，分别延长，交于点G，因为，所以，. 连接，并延长，分别交于点,连接，则四边形是经过C，E，F三点的长方体的截面，形状为四边形，故A正确； 对于B，因为，所以. 由A，得,且. 取的中点，连接，则为梯形的中位线，所以. 所以. 所以. ，. 所以， 所以. 所以. 所以截面的面积等于，所以选项B正确； 对于C，由B得，. 因为，所以点A到截面的距离，所以C错误； 对于D，由C知. 因为长方体的体积为，所以较大部分的体积等于. 故截面分长方体所得两部分中，较小部分与较大部分的体积之比为7:29，所以D正确. 故选：ABD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知等差数列的各项均为正数，若，则_______. 【答案】 【解析】 【分析】设公差，借助等差数列基本量计算即可得. 【详解】设等差数列的公差为， 则有，即， 化简得，解得或， 又等差数列的各项均为正数，故，故， 则. 故答案为：. 13. 已知双曲线右支上有一点，它关于原点的对称点为，双曲线的右焦点为，满足，且，则双曲线的离心率的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】运用三角函数的定义可得，，取左焦点，连接，可得四边形为矩形，由双曲线的定义和矩形的性质，可得，由离心率公式可得结果． 【详解】 ，可得，在中，，， 在直角三角形中，， 可得，， 取左焦点，连接 ，可得四边形为矩形， ， ，故答案为． 【点睛】本题考查双曲线的离心率的求法以及双曲线的应用，属于中档题．离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出;②构造的齐次式，求出;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解． 14. 已知，则__________. 【答案】##-0.5 【解析】 【分析】根据三角恒等变换可得函数，其中，由可得，再结合切化弦公式与诱导公式得的值. 【详解】由题知当时，函数取得最大值， 函数，其中， 函数在处取得最大值，则有， ，所以，即 则. 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知某品牌新能源汽车的电池使用寿命（单位：年）服从正态分布，其质保政策规定：电池寿命低于年可免费更换. （1）求任意一辆该品牌汽车享受免费更换电池的概率（精确到）； （2）某出租车公司购买了辆该品牌汽车，记为免费享受更换的车辆数，利用（1）的结果，求的分布列和数学期望. 附：若随机变量服从正态分布，则. 【答案】（1） （2） 分布列为. 【解析】 【分析】（1）由已知得出，结合正态分布可得出任意一辆该品牌汽车享受免费更换电池的概率； （2）分析可知，由二项分布的期望公式可得出的值，利用二项分布的分布列可得出随机变量的分布列. 【小问1详解】 因为，，则， 所以任意一辆该品牌汽车享受免费更换电池的概率为 . 【小问2详解】 因为每辆车是否更换相互独立，且概率为，由题意可知， 由二项分布的期望公式可得， 分布列为. 16. 如图，在四面体中，，，，、分别为、的中点. （1）证明：； （2）若二面角为，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）取的中点，连接、， 因为、分别为、的中点，所以， 因为，即，所以，同理可证， 因为，、平面，故平面， 因为平面，故. （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接、，证明出平面，即可证得结论成立； （2）构造直棱柱，以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴，平面内过点且垂直于的直线为轴建立空间直角坐标系，由二面角的定义可得，利用空间向量法可求得直线与平面所成角的正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 构造直棱柱如图所示，则，因为，则， 因为，，、平面，所以平面， 以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴， 平面内过点且垂直于的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 因为平面平面，，， 所以二面角的平面角为，则， 因为，，则， 又因为，所以， 所以、、、， 因为、分别为、的中点，所以、， 所以， 设平面的一个法向量为，，， 则，取，可得， 所以， 因此直线与平面所成角的正弦值为. 17. 已知函数，其中为常数. （1）当时，求在区间上的最值； （2）若在区间上有且仅有一个极值点，求的取值范围. 【答案】（1）最大值为，最小值为 （2） 【解析】 【分析】（1）当时，利用导数分析函数在区间上的单调性，即可求出函数在区间上的最小值和最大值； （2）由题意得在上有且只有一个变号零点，由可得，设，其中，分析函数在上的单调性，并求其值域，即可得出实数的取值范围. 【小问1详解】 当时，，则， 当时，， 当时，，则，可得， 当时，，则，可得， 所以，函数在上单调递减，在上单调递增， 所以， 因为，，故. 因此在区间上的最大值为，最小值为. 【小问2详解】 由题意得在上有且只有一个变号零点， 由可得， 设，其中， 因为 ， 因为，则， 因为内层函数在上单调递减，外层函数在上单调递增， 所以函数在上单调递减， 当时，，故，即实数的取值范围是. 18. 已知分别是椭圆的左､右顶点，动点满足，过作于，线段交椭圆于点；过作，交椭圆于点． （1）设直线的斜率分别为，求的值； （2）求证：直线过定点． 【答案】（1）2 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用已知条件求出点的轨迹方程，设点坐标，利用垂直关系构造方程求解； （2）设直线方程，联立直线方程与椭圆方程，结合韦达定理构造方程求出直线方程，进而证明结论． 【小问1详解】 ，则， 点的轨迹方程为， 设点，则， 已知点､， ，， ， ． 【小问2详解】 设点､，设直线的方程为， 设直线的方程为，则， 则直线的方程为，则， 不重合，故，则， 由得， 可得， 即①， 联立得， 由韦达定理可得，， 代入①式得， 即，解得（舍去）或， 即直线的方程为， 直线过定点． 19. 设数列的前项和为，已知. （1）求的通项公式； （2）在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在3项（其中成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项，若不存在，请说明理由； （3）已知函数，其中表示不超过的最大整数，设，数列的前项和为，求除以16的余数. 【答案】（1） （2）不存在，理由见解析 （3）10 【解析】 【分析】（1）利用和等比数列的定义即可求解； （2）先利用等差数列的通项公式求得，假设在数列中存在3项（其中成等差数列）成等比数列，然后利用等差数列和等比数列的定义及反证法即可求解； （3）利用函数新定义及二项式定理得当为奇数时，，当为偶数时，，然后利用等比数列求和和分组求和思想求得，最后再利用二项式定理求解余数即可. 【小问1详解】 当时，，得； 当时，，作差得， 即， 所以是以2为首项，6为公比的等比数列， 所以. 【小问2详解】 因为，由题意知：， 所以. 假设在数列中存在3项（其中成等差数列）成等比数列， 则，即， 化简得：， 又因为成等差数列，所以， 所以，即， 又，所以， 即，所以，这与题设矛盾. 所以在数列中不存在3项（其中成等差数列）成等比数列. 【小问3详解】 由（1）可知， 因为 ， 所以当为奇数时，，当为偶数时，， 所以 ， 而， 考虑到当时，能被16整除， 也能被16整除， 所以除以16的余数等于除以16的余数， 而， 所以除以16的余数等于10. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $