精品解析：江苏宿迁市宿城区2025-2026学年八年级上学期2月期末数学试题

八年级数学 答题注意事项： 1．本试卷共6页，满分150分，考试时间120分钟． 2．答案全部写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔，在答题卡上对应题号的答题区域书写答案．注意不要答错位置，也不要超界． 4．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚． 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上．） 1. 下列四个数中，属于无理数的是（ ） A 0 B. C. D. 2. 若点在第二象限，则点的坐标可能是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各式中，属于勾股数一组是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 4. 正比例函数的图象经过第二、四象限，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 火爆全网的“苏超”已圆满落幕，据江苏省赛事组委会官方公布，截至11月1日决赛，85场现场观众总数达到万人次，数据万精确到（ ） A. 十分位 B. 百位 C. 千位 D. 万位 6. 如图，在中，，，将折叠，使点与的中点重合，折痕为，那么的周长为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 7. 如图，内部有一点，若点到边、的距离相等，且，则点是（ ） A. 的角平分线与的垂直平分线的交点 B. 的角平分线与的垂直平分线的交点 C. 的角平分线与的垂直平分线的交点 D. 的角平分线与的垂直平分线的交点 8. 如图，光点从处发出，沿所示的方向运动，每当碰到长方形的边界时反弹，反弹时反射角等于入射角（遵循光的反射原理）．当光点第次碰到长方形的边界时，光点的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上．） 9. 若等腰三角形的顶角是，则这个三角形的底角度数是______． 10. 点关于轴对称的点的坐标为____________ ． 11. 如图，△ABC和△ABD中，∠C=∠D=90°，要证明△ABC≌△ABD，还需要的条件是______．（只需填一个即可） 12. 如图，数轴上的点A表示的数是1，OB⊥OA，垂足为O，且BO＝1，以点A为圆心．AB为半径画弧交数轴于点C，则C点表示的数为_______． 13. 某函数图象与正比例函数的图象平行，且经过点，则这个函数的表达式是______． 14. 如图，将直角三角尺放置在刻度尺上，斜边上三个点A，D，B对应的刻度分别为1，4，7，则CD的长度为_________． 15. 在弹性限度内，弹簧长度是所挂物体质量的一次函数．若弹簧原长为，每挂重物弹簧伸长，则与的函数表达式是______． 16. 已知点，都在函数图象上，则，的大小关系是______． 17. 如图，在四边形中，平分，，，垂足为M．若，，则的长为______． 18. 如图，直线与分别交轴于点，，两直线相交于点，则不等式的解集是______． 三、解答题（本大题共10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 19. 计算：． 20. 已知y与x成正比例，当时，，求y与x的函数表达式． 21. 如图，在平面直角坐标系中． （1）描出下列各点，，； （2）请画出关于原点对称的； （3）若点是内部一点，则内部的对应点的坐标为______． 22. 如图，，于点E，于点D． （1）求证：； （2）若点D为的中点，求的度数． 23. 如图，在中，． （1）用无刻度直尺和圆规作的平分线，交于点D（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，若，，求的长． 24. 如图，在中，边上的垂直平分线与、分别交于点D、E，且． （1）求证：； （2）若，，求的长． 25. 小聪和小明沿同一条路同时从学校出发到宁波天一阁查阅资料，学校与天一阁的路程是4千米．小聪骑自行车，小明步行，当小聪从原路回到学校时，小明刚好到达天一阁．图中折线和线段分别表示两人离学校的路程（千米）与所经过的时间（分钟）之间的函数关系，请根据图象回答下列问题： （1）小聪在天一阁查阅资料的时间为________分钟，小聪返回学校的速度为________千米/分钟； （2）请你求出小明离开学校路程（千米）与所经过的时间（分钟）之间的函数关系式； （3）当小聪与小明迎面相遇时，他们离学校的路程是多少千米？ 26. 如图，为的斜边上的高，设，，． （1）若，，求h的值； （2）求证：． 27. 【探究与证明】折纸，常常能为证明提供思路和方法． 【动手操作】如图1，将长方形纸片对折，使与重合，展平纸片，得到折痕．折叠纸片，使点B落在上，并使折痕经过点A，得到折痕，点B的对应点为，展平纸片，连接，． （1）求证：等边三角形； （2）若，，连接，求的面积； 【类比操作】 （3）如图2，N为长方形纸片的边上的一点，连接，在上取一点P，折叠纸片，使B，P两点重合，展平纸片，得到折痕；折叠纸片，使点B，P分别落在，上，得到折痕l，点B，P，E的对应点分别为，，，展平纸片，连接，，．求证：，是的三等分线． 28. 如图，一次函数与轴交于点，与轴交于点． （1）点的坐标是______，点的坐标是______； （2）若将直线绕点逆时针旋转，求旋转后直线的函数表达式； （3）若点为轴上一点，以点为直角顶点，为腰作等腰直角，连接，点坐标为，连接．是否存在点，使最大．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学 答题注意事项： 1．本试卷共6页，满分150分，考试时间120分钟． 2．答案全部写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔，在答题卡上对应题号的答题区域书写答案．注意不要答错位置，也不要超界． 4．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚． 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上．） 1. 下列四个数中，属于无理数的是（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了无理数识别．无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有：①π类，如，等；②开方开不尽的数，如，等；③具有特殊结构的数，如（两个1之间依次增加1个0），（两个2之间依次增加1个1），根据无理数定义逐项判断即可． 【详解】解：A、0是整数，属于有理数，故该选项不符合题意； B、是分数，属于有理数，故该选项不符合题意； C、是小数，属于有理数，故该选项不符合题意； D、是无理数，故该选项符合题意． 故选：D． 2. 若点在第二象限，则点的坐标可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平面直角坐标系中第二象限内点的坐标特征，熟记平面直角坐标系中各个象限点的坐标特征是解决问题的关键． 由平面直角坐标系中第二象限内点的坐标特征：第二象限点的横坐标、纵坐标，逐项判断即可得到答案． 【详解】解：∵平面直角坐标系中，第二象限内的点横坐标为负数，纵坐标为正数， ∴A、横、纵坐标均为负，属于第三象限，不符合题意； B、横坐标为负、纵坐标为正，符合第二象限点的坐标特征，符合题意； C、横坐标为正、纵坐标为负，属于第四象限，不符合题意； D、横、纵坐标均为正，属于第一象限，不符合题意； 故选：B． 3. 下列各式中，属于勾股数的一组是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股数的定义，关键是熟练应用定义解题； 根据勾股数的定义（三个正整数满足 ），检查各选项是否均为正整数且满足勾股定理． 【详解】解：∵ 勾股数需为正整数且满足 ； 选项A：, , ， 和 不是整数，∴ 不是勾股数； 选项B：均为正整数，且 ，∴ 是勾股数； 选项C：均为正整数，但 ，∴ 不是勾股数； 选项D：不是正整数，∴ 不是勾股数； 故答案选：B． 4. 正比例函数的图象经过第二、四象限，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查正比例函数的性质，根据正比例函数图象经过第二、四象限的性质，列不等式求解的取值范围即可，熟练掌握正比例函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵正比例函数的图象经过第二、四象限， ∴， ∴， 故选：A． 5. 火爆全网的“苏超”已圆满落幕，据江苏省赛事组委会官方公布，截至11月1日决赛，85场现场观众总数达到万人次，数据万精确到（ ） A. 十分位 B. 百位 C. 千位 D. 万位 【答案】C 【解析】 【分析】判断带单位的近似数的精确位数，需先将数还原为原数，再确定末位有效数字所在的数位． 【详解】解：∵万 ∴原数中末位有效数字3位于千位 ∴万精确到千位， 故选：C． 6. 如图，在中，，，将折叠，使点与的中点重合，折痕为，那么的周长为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查求三角形周长，数形结合是解决问题的关键． 先由中点定义得到，再由折叠性质得到，数形结合表示出的周长，代值计算即可得到答案． 【详解】解：点是的中点，， ， 由折叠性质可知， 又， ， 故选：C． 7. 如图，内部有一点，若点到边、的距离相等，且，则点是（ ） A. 的角平分线与的垂直平分线的交点 B. 的角平分线与的垂直平分线的交点 C. 的角平分线与的垂直平分线的交点 D. 的角平分线与的垂直平分线的交点 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查角平分线判定、垂直平分线的判定等知识，熟记角平分线判定、垂直平分线的判定是解决问题的关键． 根据题中条件，由角平分线判定、垂直平分线的判定即可得到答案． 【详解】解：点到边、的距离相等，如图所示： 即，，且， 是的角平分线， ，如图所示： 点在边的垂直平分线上， 则点是的角平分线与的垂直平分线的交点， 故选：A． 8. 如图，光点从处发出，沿所示的方向运动，每当碰到长方形的边界时反弹，反弹时反射角等于入射角（遵循光的反射原理）．当光点第次碰到长方形的边界时，光点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查坐标规律，读懂题意，按照规则画出图形，得出规律是解决问题的关键． 根据题中规则，作出图形，得到规律：光点每经过六次就重新回到，由，结合规律求解即可得到答案． 【详解】解：如图所示： 光点从处发出，第一次碰壁在、第二次碰壁在、第三次碰壁在、第四次碰壁在、第五次碰壁在、第六次碰壁回到，则光点每经过六次就重新回到， ， 当光点第次碰到长方形的边界时，在第四次碰壁的位置，则光点的坐标为， 故选：B． 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上．） 9. 若等腰三角形的顶角是，则这个三角形的底角度数是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形性质、三角形内角和定理等知识，熟记等腰三角形性质、三角形内角和定理是解决问题的关键． 利用等腰三角形两底角相等和三角形内角和为计算即可得到答案． 【详解】解：等腰三角形的顶角是， 这个三角形的底角度数是， 故答案为：． 10. 点关于轴对称的点的坐标为____________ ． 【答案】 【解析】 【分析】根据“关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”解答；“关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”解答． 【详解】解：点关于轴对称的点的坐标为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了关于轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律． 11. 如图，△ABC和△ABD中，∠C=∠D=90°，要证明△ABC≌△ABD，还需要的条件是______．（只需填一个即可） 【答案】AC=AD 【解析】 【分析】根据∠C=∠D=90°利用HL定理推出两三角形全等即可． 【详解】添加的条件是AC=AD，理由是： ∵∠C=∠D=90°， ∴在Rt△ACB和Rt△ADB中 ， ∴Rt△ACB≌Rt△ADB（HL）． 故答案为AD=AC． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，注意两直角三角形全等的方法有SAS，ASA，AAS，SSS，HL，此题是一道开放性的题目，答案不唯一． 12. 如图，数轴上的点A表示的数是1，OB⊥OA，垂足为O，且BO＝1，以点A为圆心．AB为半径画弧交数轴于点C，则C点表示的数为_______． 【答案】## 【解析】 【分析】利用勾股定理求出AB的长，可得AB=AC=，推出OC=-1即可解决问题． 【详解】解：在Rt△AOB中，AB==， ∴AB=AC=， ∴OC=AC-OA=-1， ∴点C表示的数为1-． 故答案为：1-． 【点睛】本题考查实数与数轴、勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考基础题． 13. 某函数图象与正比例函数的图象平行，且经过点，则这个函数的表达式是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正比例函数的图象和性质，待定系数法求一次函数解析式，理解两直线平行值相等是解题的关键．设该函数表达式为，由函数图象平行可得斜率，再代入已知点求出值． 【详解】解：设该函数表达式为， ∵图象与平行， ，将点代入得， 解得， ∴函数表达式为． 故答案为：． 14. 如图，将直角三角尺放置在刻度尺上，斜边上三个点A，D，B对应的刻度分别为1，4，7，则CD的长度为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查直角三角形斜边中线的性质，掌握直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，据此结合线段长度求解是解题的关键． 先根据刻度尺刻度求出的长度，再利用直角三角形斜边中线的性质求出的长度． 【详解】解：由题意可知，． 在中，，是斜边上的中线， ． 故答案为：． 15. 在弹性限度内，弹簧长度是所挂物体质量的一次函数．若弹簧原长为，每挂重物弹簧伸长，则与的函数表达式是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一次函数解决实际问题，读懂题意，准确理解题中一次函数关系是解决问题的关键． 由弹簧长度是所挂物体质量的一次函数，根据弹簧原长和挂重后伸长部分之和即可确定与的函数表达式． 【详解】解：每挂重物弹簧伸长， 弹簧长度是所挂物体质量满足， 故答案为：． 16. 已知点，都在函数图象上，则，的大小关系是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一次函数图象与性质比较函数值大小，熟记一次函数图象与性质是解决问题的关键． 根据一次函数的性质，由得到随的增大而增大，比较点，横坐标的大小即可得到函数值的大小． 【详解】解：由函数中，得随的增大而增大， 点，都在函数图象上，且， ， 故答案为：． 17. 如图，在四边形中，平分，，，垂足为M．若，，则长为______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质．作交延长线于点，利用角平分线的性质求得，再利用证明和，得到和，据此求解即可． 【详解】解：作交延长线于点， ∵平分，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：3． 18. 如图，直线与分别交轴于点，，两直线相交于点，则不等式的解集是______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查由函数图象解不等式，数形结合是解决问题的关键． 先由得到或，再由直线与分别交轴于点，，得到当时，；当时，；当时，；当时，；解不等式组即可得到答案． 【详解】解：不等式， 或， 直线与分别交轴于点，， 当时，；当时，； 当时，；当时，； 则对于不等式组，解集为；对于不等式组，解集为； 综上所述，或， 故答案为：或． 三、解答题（本大题共10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，算术平方根、立方根、绝对值．先求解算术平方根、立方根、化简绝对值，然后进行加减运算即可． 【详解】解： ． 20. 已知y与x成正比例，当时，，求y与x的函数表达式． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求正比例函数解析式．利用成正比例的定义可设，然后把已知的一组对应值代入求出即可． 【详解】解：设， 把，代入得， 解得， 即与的函数表达式为． 21. 如图，在平面直角坐标系中． （1）描出下列各点，，； （2）请画出关于原点对称的； （3）若点是内部一点，则内部的对应点的坐标为______． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查坐标与原点对称，熟练掌握原点对称的性质是解题的关键． （1）根据各点坐标依次找准位置即可； （2）根据关于原点对称的性质，先分别找出点A，B，C关于原点对称的点，连接即可； （3）根据关于原点对称的点的横纵坐标都互为相反数，即可求出的坐标． 【小问1详解】 解：如图，点A，B，C即为所求； 小问2详解】 解：如图，即为所求； 【小问3详解】 解：点是内部一点，则内部的对应点的坐标为， 故答案为：． 22. 如图，，于点E，于点D． （1）求证：； （2）若点D为的中点，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2）． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线性质． （1）利用证明，即可证明； （2）连接，证明是等边三角形，即可得到． 【小问1详解】 证明：∵，， ∴． 在和中，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：连接． ∵，点D为的中点， ∴，， ∴． 又∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴． 23. 如图，在中，． （1）用无刻度直尺和圆规作的平分线，交于点D（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）3 【解析】 【分析】本题考查作图—角平分线、角平分线的性质、勾股定理， （1）以点A为圆心，适当长度为半径作弧，分别交、于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长度为半径作弧，交于点O，连接交于点D即可求解； （2）过点D作，交于点E，由角平分线的性质得，利用勾股定理求，再根据，列方程求解即可． 【小问1详解】 解：如图，射线即为所求． 【小问2详解】 解：过点D作，交于点E． ∵平分，，， ∴． 在中，， ∵， ∴， ∴． 24. 如图，在中，边上的垂直平分线与、分别交于点D、E，且． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析； （2）． 【解析】 【分析】（1）连接，根据线段垂直平分线的性质和勾股定理的逆定理即可求解； （2）设，则，在中，根据列出方程计算即可求解． 【小问1详解】 证明：连接， ∵边上的垂直平分线为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：设，则， 在中，， ∴， 解得：， ∴的长为． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，勾股定理的逆定理，勾股定理，注意方程思想的运用． 25. 小聪和小明沿同一条路同时从学校出发到宁波天一阁查阅资料，学校与天一阁的路程是4千米．小聪骑自行车，小明步行，当小聪从原路回到学校时，小明刚好到达天一阁．图中折线和线段分别表示两人离学校的路程（千米）与所经过的时间（分钟）之间的函数关系，请根据图象回答下列问题： （1）小聪在天一阁查阅资料的时间为________分钟，小聪返回学校的速度为________千米/分钟； （2）请你求出小明离开学校的路程（千米）与所经过的时间（分钟）之间的函数关系式； （3）当小聪与小明迎面相遇时，他们离学校的路程是多少千米？ 【答案】（1）， （2） （3）当小聪与小明迎面相遇时，他们离学校的路程是千米． 【解析】 【分析】本题考查了函数的图象，一次函数的应用以及待定系数法求函数的解析式； （1）根据两个函数图象，结合题意，即可求解； （2）根据函数图象可得分钟走了4千米，即可求解； （3）联立的解析式与的解析式组成的方程组，解中的值就是相遇时，离学校的距离． 【小问1详解】 解：根据图象可以得到：表示小聪的路程与时间的关系． 表示从学校到宁波天一阁，段表示查阅资料的时间，从第分钟，到分钟，则共用了分钟， 段表示从宁波天一阁到学校，时间是从第分钟到第分钟，共用了分钟，路程是千米，则速度是千米分钟， 【小问2详解】 表示小明的路程与时间的关系，分钟走了千米，速度是千米分钟，则路程与时间的关系式是： 【小问3详解】 设的函数关系式是，代入点 解得： 联立 解得： 当小聪与小明迎面相遇时，他们离学校的路程是千米． 26. 如图，为的斜边上的高，设，，． （1）若，，求h的值； （2）求证：． 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．（1）先根据勾股定理求出的长，再根据等面积公式即可求出h的值；（2）利用、和利用勾股定理表示三边关系，即可求证结果． 【小问1详解】 解：在中，，即， ∴． ∵， ∴，∴． 【小问2详解】 证明：（解法一） 在中，根据勾股定理，得， 在中，根据勾股定理，得， 在中，根据勾股定理，得． ∵， ∴， ∴． （解法二）取中点O，连接， 则， ∵，O是中点，∴． 在中，， ∴，化简得． 27. 【探究与证明】折纸，常常能为证明提供思路和方法． 【动手操作】如图1，将长方形纸片对折，使与重合，展平纸片，得到折痕．折叠纸片，使点B落在上，并使折痕经过点A，得到折痕，点B的对应点为，展平纸片，连接，． （1）求证：是等边三角形； （2）若，，连接，求的面积； 【类比操作】 （3）如图2，N为长方形纸片的边上的一点，连接，在上取一点P，折叠纸片，使B，P两点重合，展平纸片，得到折痕；折叠纸片，使点B，P分别落在，上，得到折痕l，点B，P，E的对应点分别为，，，展平纸片，连接，，．求证：，是的三等分线． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析 【解析】 【分析】（1）由折叠的性质可知，，然后可得，则有是等边三角形，进而问题可求证； （2）过点作，垂足为N，在中，利用勾股定理列式计算，求得，，进而根据三角形面积公式可求解； （3）连接，根据等腰三角形性质证明，根据平行线的性质证明，证明，得出，即可证明． 【详解】（1）证明：由折叠可得，是的垂直平分线，是的垂直平分线， ∴，， ∴， ∴是等边三角形； （2）过点作，垂足为N． ∵，是的垂直平分线， ∴． ∵是等边三角形， ∴． 又∵， ∴． 又∵， ∴． 在中，， ∴， ∴， ∴． （3）证明：连接， 由折叠可得，，， ，， ∵垂直平分， ∴， ∴． 又∵是的中点， ∴． ∵，，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，是的三等分线． 【点睛】本题主要考查折叠的性质、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质与判定及矩形的性质，三角形全等的判定和性质，作出辅助线，熟练掌握折叠的性质，证明是解题的关键． 28. 如图，一次函数与轴交于点，与轴交于点． （1）点的坐标是______，点的坐标是______； （2）若将直线绕点逆时针旋转，求旋转后的直线的函数表达式； （3）若点为轴上一点，以点为直角顶点，为腰作等腰直角，连接，点坐标为，连接．是否存在点，使最大．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2） （3）存在，点坐标为 【解析】 【分析】（1）令，得：；令，得：，可得答案； （2）设将线段绕点顺时针旋转，点的对应点为点C，过点C作轴，垂足为，过点、作直线，证明得，，得到，再用待定系数法确定直线的函数表达式即可； （3）分两种情况：①当点在的右侧时，②当点在的左侧时，分别画图求解即可． 【小问1详解】 解：∵一次函数与轴交于点，与轴交于点， 当时，，解得：；当时， ∴点的坐标是，点的坐标是， 故答案为：；； 【小问2详解】 解：设将线段绕点顺时针旋转，点的对应点为点C，过点C作轴，垂足为，过点、作直线， ∴，，， ∴，， ∵点的坐标是，点的坐标是， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， 设直线的函数表达式为， ∵直线过点，， ∴， 解得：， ∴直线的函数表达式为， ∴将直线绕点逆时针旋转，旋转后的直线的函数表达式为； 【小问3详解】 解：①如图，当点在的右侧时，连接， 此时，不存在的最大值； ②如图，当点在左侧时，当点在的延长线上时，有最大值， 设点的坐标为，过点作轴于点， ∵为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， 又∵， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， 设直线的函数表达式为，过点，， ∴， 解得：， ∴直线的函数表达式为， ∵点为在直线上， ∴， ∴， ∴点的坐标为， ∴存在点，当点的坐标为时，的值最大． 【点睛】本题是一次函数与几何图形的综合题，考查了旋转的性质，待定系数法确定一次函数的解析式，一次函数与坐标轴的交点，全等三角形的判定与性质等知识点，利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $