精品解析：福建漳州市漳浦县2025-2026学年九年级第一学期期末监测数学试卷

2025-2026学年第一学期期末考试样卷1 九年级数学 （考试时间：120分钟 满分：150分） 友情提示：请把所有答案填写（涂）到答题卡上！请不要错位、越界答题！！ 注意：在解答题中，凡是涉及到画图，可先用铅笔画在答题纸上，然后必须用黑色签字笔重描确认，否则无效． 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题纸的相应位置填涂． 1. 如图：正方形的对角线与相交于点O，则下列说法不正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列方程中无实数根是（ ） A. B. C. D. 3. 甲，乙两人玩“剪刀、石头、布”游戏，两人出相同手势算平手，则两人玩一次恰好平手的概率是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，，若，，则长为（ ） A. 4 B. 6 C. D. 5 5. 近视镜镜片焦距y（米）是镜片度数x（度）的某种函数，下表记录了一些数据： x（度） … 100 250 400 500 … y（米） … 1.00 0.40 0.25 0.20 … 利用表格中的数据关系计算：当镜片度数为200度时，镜片焦距为（ ）米. A. B. 1 C. D. 2 6. 如图，已知四边形是平行四边形，下列结论中正确的是（ ） A. 当时，它是矩形 B. 当时，它是矩形 C. 当时，它是矩形 D. 当时，它是正方形 7. 如图，在中，D，E是边的两个“黄金分割”点，若的面积为1，则的面积为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，，，则的长为（ ） A. 4 B. C. 9 D. 9. 已知抛物线，下列结论错误的是（ ） A. 抛物线的开口向下 B. 抛物线的对称轴为直线 C. 当时，y取最大值2 D. 抛物线与y轴交点是 10. 下列选项中，阴影部分面积最小的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．请将答案填入答题纸的相应位置． 11. 写出一个两个实数根分别为2和一元二次方程：______． 12. 若，则的值为______． 13. 如图，矩形的对角线、相交于点，，，若，则的长为______． 14. 已知一个三角形的面积为1，一边的长为x，这边上的高为y，则y关于x的函数关系式为______． 15. 如图，在平面直角坐标系中，用12个以点O为公共顶点的相似三角形组成形如海螺的图案，若，，则点G的坐标为________ 16. 已知点，是抛物线上不同的两点，当时，y的取值范围是，则m的取值范围是___________． 三、解答题：本题共9题，共86分．解答过程应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请在答题纸的相应位置解答． 17. 解方程：． 18. 甲、乙两人用两颗骰子玩游戏．这两颗骰子的一些面标记字母A，而其余的面则标记字母B．两个人轮流掷骰子，游戏规则如下：两颗骰子的顶面字母相同时，甲赢；两颗骰子的顶面字母不同时，乙赢．已知第一颗骰子的6个面的标记为，回答下列问题： （1）若第二颗骰子各面的标记为，求甲、乙两人获胜的概率各是多少？ （2）若要使两人获胜概率相等，则第二颗骰子要有______个面标记字母A． 19. 某市某楼盘准备以每平方米元的均价对外销售，近期市民购房意愿不高，持币观望．为了加快资金周转，房地产开发商对价格两次下调后，决定以每平方米元的均价开盘销售． （1）求平均每次下调的百分率； （2）某人准备以开盘均价购买一套平方米的房子，开发商还给予以下两种优惠方案以供选择： ①打折销售； ②不打折，送五年物业管理费，物业管理费是每平方米每月元． 请问哪种方案更优惠？ 20. 已知四边形是矩形，点是边上的中点，请仅用无刻度的直尺完成下列作图，不写作法，保留作图痕迹． （1）如图①中，过点E作线段，使得，交于点F； （2）如图②中，在线段上找一点G，使得． 21. 如图，在中，，于点D，M在边上，与交于点E，作交于点N． （1）求证：； （2）求证：． 22. 如图，已知点A在正比例函数图象上，过点A作轴于点B，以为边作正方形，点D在反比例函数的图象上． （1）当点A的横坐标为2时，求反比例函数的表达式； （2）若正方形的面积为m，试用含m的代数式表示k的值． 23. 图①是某红色文化纪念馆中一座名为《长征》的雕塑，为弘扬革命文化，传承红色基因，某校综合与实践小组开展了测量《长征》雕塑高度的实践活动，请你帮他们完成下面的实践报告． 活动课题 测量《长征》雕塑高度 活动目的 运用三角函数知识解决实际问题 活动工具 测角仪、皮尺等测量工具 方案示意图 测量步骤 如图②，该小组同学已经测得人物主体，，，，，，底座，，，，图中所有点在同一平面内． （1）该小组还想继续测量的度数和的长，小明认为这两个数据可以直接计算得到，无需测量．请你判断是否能通过计算得到，如果可以，请帮助小明计算出这两个数据； （2）根据该报告中的数据，测算与水平线的夹角（图中）的度数（精确到°）； （3）根据该报告中的数据，计算雕塑的高（即点A到FG的距离）． （参考数据：，，，，，，结果保留小数点后一位） 24. 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线图象交x轴于，两点，交y轴于点C．点M是线段上一个动点，过点M作x轴的垂线，交抛物线于点E，交直线于点F． （1）求抛物线和直线的表达式； （2）求线段的最大值； （3）如图2，是否存在以点C，E，F为顶点的三角形为直角三角形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 25. 在中，，，设．若点关于直线的对称点为，连接，． （1）如图①，与是否全等，请说明理由． （2）如图②，若，求证：． （3）如图③，若，点在的延长线上，则等式还能成立吗？请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期期末考试样卷1 九年级数学 （考试时间：120分钟 满分：150分） 友情提示：请把所有答案填写（涂）到答题卡上！请不要错位、越界答题！！ 注意：在解答题中，凡是涉及到画图，可先用铅笔画在答题纸上，然后必须用黑色签字笔重描确认，否则无效． 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题纸的相应位置填涂． 1. 如图：正方形的对角线与相交于点O，则下列说法不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，正方形的对角线互相垂直平分且相等，正方形的一条对角线平分正方形的一组对角，据此可得答案． 【详解】解：∵正方形的对角线与相交于点O， ∴，，， ∴， ∴说法不正确的只有D选项， 故选：D． 2. 下列方程中无实数根的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程．通过直接开平方求解每个方程，判断是否有实数根，平方数为负时无实数根，即可解题． 【详解】解：对于A： ∵， ∴，有实数根，不符合题意； 对于B： ∵， ∴， 解得，是实数，有实数根，不符合题意； 对于C： ∵， ∴，，是实数，有实数根，不符合题意； 对于D： ∵， ∴，平方数不能为负， ∴无实数根，符合题意； 故选：D． 3. 甲，乙两人玩“剪刀、石头、布”游戏，两人出相同手势算平手，则两人玩一次恰好平手的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比，列表得出所有等可能的情况数，找出两人玩一次恰好平手的情况数，即可求出所求概率． 【详解】解：设剪刀、石头、布分别A、B、C，列表如下： 甲 乙 A B C A B C ∴共有9种可能结果，其中两人玩一次恰好平手的有3种， ∴P（两人玩一次恰好平手）． 故选：C． 4. 如图，在中，，若，，则的长为（ ） A. 4 B. 6 C. D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，由，得到，证明，得到，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 5. 近视镜镜片焦距y（米）是镜片度数x（度）的某种函数，下表记录了一些数据： x（度） … 100 250 400 500 … y（米） … 1.00 0.40 0.25 0.20 … 利用表格中的数据关系计算：当镜片度数为200度时，镜片焦距为（ ）米. A. B. 1 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，求函数值，正确求出函数的解析式是解题的关键． 根据表格数据可得近视镜镜片的焦距（单位：米）与度数（单位：度）成反比例，依此即可求解；将代入解析式，求出即可． 【详解】解：根据表格数据可得，， 所以近视镜镜片的焦距（单位：米）与度数（单位：度）成反比例， 所以关于的函数关系式是． 将代入， 得． 故选：A． 6. 如图，已知四边形是平行四边形，下列结论中正确的是（ ） A. 当时，它是矩形 B. 当时，它是矩形 C. 当时，它是矩形 D. 当时，它是正方形 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查平行四边形的性质，矩形的判定，正方形的判定，解题关键在于掌握判定法则．根据已知及各个四边形的判定对各个选项进行分析从而得到最后答案． 【详解】解：A． ∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是菱形，该项错误，不符合题意； B． ∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是菱形，该项错误，不符合题意； C． ∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是矩形，该项正确，符合题意； D． ∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是矩形，该项错误，不符合题意； 故选：C． 7. 如图，在中，D，E是边的两个“黄金分割”点，若的面积为1，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查黄金分割，根据黄金分割点的定义结合等高三角形的面积比等于底边比，进行求解即可． 【详解】解：∵在中，D，E是边的两个“黄金分割”点， ∴， ∴， ∵的面积为1， ∴的面积为． 故选：A． 8. 如图，在中，，，，则的长为（ ） A. 4 B. C. 9 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，理解余弦的定义是解题的关键．根据余弦的定义回答即可． 【详解】解：在中，，， ， ， ． 故选：A． 9. 已知抛物线，下列结论错误的是（ ） A. 抛物线的开口向下 B. 抛物线的对称轴为直线 C. 当时，y取最大值2 D. 抛物线与y轴交点是 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，包括开口方向、对称轴、最值以及与坐标轴的交点，熟练掌握二次函数（）的图象与性质是解题的关键． 根据二次函数的解析式，依次分析抛物线的开口方向、对称轴、最值以及与y轴的交点，逐一判断各选项的正误． 【详解】解：已知抛物线解析式为，其中，，． 选项A： ∵， ∴抛物线开口向下，故A项正确，不符合题意． 选项B： ∵对称轴公式为， ∴，故B项错误，符合题意． 选项C： ∵抛物线开口向下，顶点在对称轴处， 将代入解析式得， ∴当时，取最大值2，故C项正确，不符合题意． 选项D： ∵当时，， ∴抛物线与y轴交点是，故D项正确，不符合题意． 故选：B． 10. 下列选项中，阴影部分面积最小的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数系数k的几何意义，根据反比例函数系数k的几何意义对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A、M、N两点均在反比例函数的图象上，所以； B、M、N两点均在反比例函数的图象上，所以； C、如图所示，分别过点作轴，轴，则； D、M、N两点均在反比例函数的图象上，所以． ∵， ∴C中阴影部分的面积最小． 故选：C． 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．请将答案填入答题纸的相应位置． 11. 写出一个两个实数根分别为2和的一元二次方程：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握若方程的两根为、，则方程可表示为是解题的关键． 利用一元二次方程根与系数的关系，先求出两根之和与两根之积，再代入一般式（），取即可构造出满足条件的方程． 【详解】解：∵一元二次方程的两个实数根分别为和， ∴两根之和，两根之积． 设一元二次方程为， ∵，， ∴，， ∴所求方程为． 故答案为：． 12. 若，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了比例的性质和分式的运算，熟练掌握分式拆分及比例倒数的计算是解题的关键．先将所求分式拆分为，再利用已知的求出的值，代入计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 13. 如图，矩形的对角线、相交于点，，，若，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质、平行四边形的判定以及菱形的判定与性质，熟练掌握矩形的对角线相等且互相平分是解题的关键． 先根据矩形的性质得到对角线相等且互相平分，再由两组对边分别平行判定四边形是平行四边形，最后结合矩形性质得出，从而判定该平行四边形为菱形，进而得到，求出的长度． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴． ∵，， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴平行四边形是菱形， ∴． 故答案为：． 14. 已知一个三角形的面积为1，一边的长为x，这边上的高为y，则y关于x的函数关系式为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了根据实际问题列反比例函数关系式，熟练掌握三角形的面积公式以及反比例函数的定义是解题的关键．根据三角形面积公式，代入已知的面积、边长和高，通过代数变形得到函数关系式，并根据实际意义确定自变量的取值范围． 【详解】解：∵三角形的面积为，一边长为，这边上的高为， ∴， ∴， ∴． ∵三角形的边长， ∴函数关系式为． 故答案为：． 15. 如图，在平面直角坐标系中，用12个以点O为公共顶点的相似三角形组成形如海螺的图案，若，，则点G的坐标为________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质、解直角三角形和点的坐标规律探求；先求得，然后解直角三角形分别求出，，，得到规律，再根据规律计算即可. 【详解】解：∵图案是用12个以点O为公共顶点的相似三角形组成形如海螺的图案， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 同理：， 依次类推：； 则点G的坐标为； 故答案为：. 16. 已知点，是抛物线上不同的两点，当时，y的取值范围是，则m的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了抛物线的对称性与二次函数的最值，解题的关键是利用抛物线的对称性确定对称轴，再结合函数取值范围分析自变量的范围． 先根据点、纵坐标相同，确定抛物线对称轴；代入顶点式得到最小值，再结合的取值范围，求出对应的值，进而确定的范围． 【详解】解：∵点、在抛物线上且纵坐标相同， ∴抛物线对称轴为，即，得． ∴抛物线为，其最小值为（当时取得）． 当时，，解得或． ∵当时，的取值范围是， ∴需满足． 故答案为：． 三、解答题：本题共9题，共86分．解答过程应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请在答题纸的相应位置解答． 17. 解方程：． 【答案】，， 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解法，熟练掌握因式分解法（或配方法、公式法）解一元二次方程是解题的关键． 观察方程，可通过因式分解法或配方法、求根公式法求解，这里选择因式分解法，将方程左边分解为两个一次因式的乘积，再令每个因式为0，得到方程的解． 【详解】解：， ， 或， ，， 故答案为：， 18. 甲、乙两人用两颗骰子玩游戏．这两颗骰子的一些面标记字母A，而其余的面则标记字母B．两个人轮流掷骰子，游戏规则如下：两颗骰子的顶面字母相同时，甲赢；两颗骰子的顶面字母不同时，乙赢．已知第一颗骰子的6个面的标记为，回答下列问题： （1）若第二颗骰子各面的标记为，求甲、乙两人获胜的概率各是多少？ （2）若要使两人获胜概率相等，则第二颗骰子要有______个面标记字母A． 【答案】（1）甲获胜的概率为，乙获胜的概率为 （2） 【解析】 【分析】本题考查列表法求概率，掌握知识点是解题的关键． （1）列出表格，得到共有36种等可能性结果，再根据概率公式逐个求解即可； （2）若要使两人获胜概率相等，则第二颗骰子要有3个面标记字母A，即可解答． 【小问1详解】 解：(1)如下表所示，列出所有可能出现的结果． A A B B B B A A A A B B 由上表可知，共有36种等可能性结果． 其中“两颗骰子的顶面字母相同”记为事件M，结果有16种，； “两颗骰子的顶面字母不同”记为事件N，结果有20种，． 所以甲、乙两人获胜的概率分别是，． 【小问2详解】 解：若要使两人获胜概率相等，则第二颗骰子要有3个面标记字母A． 如下表所示，此时甲获胜的概率为，乙获胜的概率为． A A A B B B A A A A B B 故答案为：3． 19. 某市某楼盘准备以每平方米元的均价对外销售，近期市民购房意愿不高，持币观望．为了加快资金周转，房地产开发商对价格两次下调后，决定以每平方米元的均价开盘销售． （1）求平均每次下调的百分率； （2）某人准备以开盘均价购买一套平方米的房子，开发商还给予以下两种优惠方案以供选择： ①打折销售； ②不打折，送五年物业管理费，物业管理费是每平方米每月元． 请问哪种方案更优惠？ 【答案】（1） （2）方案①更优惠 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用、有理数的混合运算，熟练掌握根据增长率问题列方程并求解，以及根据实际问题计算优惠金额是解题的关键． （1）设平均每次下调的百分率为，根据原价下调百分率²现价列一元二次方程求解． （2）分别计算两种方案的优惠金额，比较金额大小判断哪种方案更优惠． 【小问1详解】 解：设平均每次下调的百分率为． ， ， ， ， 解得，（舍去）， 答：平均每次下调的百分率为． 小问2详解】 解：方案①： （元）， 方案②： （元）， 因为， 所以方案①更优惠． 答：方案①更优惠． 20. 已知四边形是矩形，点是边上的中点，请仅用无刻度的直尺完成下列作图，不写作法，保留作图痕迹． （1）如图①中，过点E作线段，使得，交于点F； （2）如图②中，在线段上找一点G，使得． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查作图-复杂作图、矩形的性质，相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例，平行线的判定与性质，正确理解题意是解题的关键： （1）连接对角线和，交于点O，连接并延长交于点F，线段即为所求； （2）连接，分别交于点M，N，连接直线，与的交点即为点G． 【小问1详解】 解：线段即为所求， 【小问2详解】 解：如图，点即为所求． 理由如下： ∵四边形为矩形，点E为的中点， ∴，，，即， ∴， 即 同理可得，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 21. 如图，在中，，于点D，M在边上，与交于点E，作交于点N． （1）求证：； （2）求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键： （1）根据同角的余角相等即可得证； （2）根据同角的余角相等，得到，结合（1）中的结论，即可得证． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又由（1）可知：， ∴． 22. 如图，已知点A在正比例函数图象上，过点A作轴于点B，以为边作正方形，点D在反比例函数的图象上． （1）当点A的横坐标为2时，求反比例函数的表达式； （2）若正方形的面积为m，试用含m的代数式表示k的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数图象上点的坐标特征，利用正方形的边长相等来表示各个点坐标是解题的关键． （1）先求A的横坐标，就可以得到D的坐标，即可求k的值； （2）由正方形的面积为m，得边长为，可表示出D和A的纵坐标为，进而求出D的坐标，代入反比例函数即可． 【小问1详解】 解：∵点A在正比例函数的图象上， ∴当时，， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴ ∴ ∴． ∵点D在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数的表达式为． 【小问2详解】 解：∵正方形的面积为m， ∴， ∴点D和点A的纵坐标为， 把点A的纵坐标为代入得， ， 解得，， ∴点A的坐标为， ∴， ∴点D的坐标为． 将点D的坐标代入，得． 23. 图①是某红色文化纪念馆中一座名为《长征》的雕塑，为弘扬革命文化，传承红色基因，某校综合与实践小组开展了测量《长征》雕塑高度的实践活动，请你帮他们完成下面的实践报告． 活动课题 测量《长征》雕塑高度 活动目的 运用三角函数知识解决实际问题 活动工具 测角仪、皮尺等测量工具 方案示意图 测量步骤 如图②，该小组同学已经测得人物主体，，，，，，底座，，，，图中所有点在同一平面内． （1）该小组还想继续测量的度数和的长，小明认为这两个数据可以直接计算得到，无需测量．请你判断是否能通过计算得到，如果可以，请帮助小明计算出这两个数据； （2）根据该报告中的数据，测算与水平线的夹角（图中）的度数（精确到°）； （3）根据该报告中的数据，计算雕塑的高（即点A到FG的距离）． （参考数据：，，，，，，结果保留小数点后一位） 【答案】（1）cm． （2）． （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、矩形的判定及性质、解直角三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定定理和三角函数的定义是解题的关键． （1）由，，，，，可得，．进而证明．利用相似三角形的性质可求和的长； （2）过作于，证明四边形是矩形得，在中，求出，进而即可得解； （3）过作于，过作于，则四边形为矩形，故．先求，进而求得，在中解出，进而得，从而的解． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， 又， ∴． ， ． 【小问2详解】 解：由题意可得， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∵， ． 【小问3详解】 解：过点作于，作于点， 由（）得四边形是矩形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 在中，，，， ∴ ． 雕塑的高约为． 24. 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线图象交x轴于，两点，交y轴于点C．点M是线段上一个动点，过点M作x轴的垂线，交抛物线于点E，交直线于点F． （1）求抛物线和直线的表达式； （2）求线段的最大值； （3）如图2，是否存在以点C，E，F为顶点的三角形为直角三角形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）抛物线的表达式为，直线的解析式为 （2） （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，一次函数的图像与性质，勾股定理，利用分类讨论思想解答是解题的关键． （1）利用待定系数法解答，即可求解； （2）设，则，，可得到用m表示的长，再根据二次函数的性质，即可求解； （3）先求出，分类讨论：①当时，②当时，③当时， 【小问1详解】 解：把点代入，得： ， 解得： 抛物线的表达式为； 设直线解析式为， ∵直线经过点，， ∴， 解得． ∴直线的解析式为． 答：抛物线表达式为，直线的解析式为． 【小问2详解】 解：如图 设，则， ∵抛物线与轴相交于点， ∴． ∵， ∴； ∴当时，取得最大值； 【小问3详解】 解：由（2），得 ，， ∴． ①当时，如图 ∵， ∴由勾股定理，得 ． 即， ， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴． ②当时，如图 ∵， ∴由勾股定理，得 ． 即， 整理，得 ， ， ， 解得或（不符合题意，舍去）或（不符合题意，舍去）， ∴． ③当时，如图， ∵轴于点M， ∴， ∴， 即， ∴当时，不符合题意，舍去． 综上，存在满足条件的点M，其坐标为或． 25. 在中，，，设．若点关于直线的对称点为，连接，． （1）如图①，与是否全等，请说明理由． （2）如图②，若，求证：． （3）如图③，若，点在的延长线上，则等式还能成立吗？请说明理由． 【答案】（1），理由见解析 （2）见解析 （3）等式 仍然成立，理由见解析 【解析】 【分析】（1）利用轴对称性质得到、，结合推出，再根据，用判定． （2）先由(1)全等得到、，结合推出，再由轴对称得，最后在中用勾股定理证明． （3）先证得到、，结合推出，再由轴对称得，在中用勾股定理证明等式仍成立． 【小问1详解】 解：，理由如下： ∵点关于直线的对称点为， ∴，． ∵， ∴． ∴，即． ∵，， ∴（）． 【小问2详解】 证明：由（）得， ∴，． ∵，， ∴． ∴． ∴． ∵点关于直线的对称点为， ∴． 在中，， ∵，， ∴． 【小问3详解】 解：等式仍然成立，理由如下： 如图， ∵点关于直线的对称点为， ∴，． ∵， ∴． ∴，即． ∵，， ∴（）． ∴，． ∵，， ∴． ∴． ∴． ∵点关于直线的对称点为， ∴． 在中，， ∵，， ∴． 【点睛】本题主要考查了轴对称的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识点，熟练掌握轴对称性质转化线段和角，并结合全等三角形与勾股定理进行推理论证是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $