精品解析：山东聊城市东昌府区2025-2026学年九年级上学期2月期末数学试题

山东聊城市东昌府区2025-2026学年 九年级上学期2月期末数学试题 时间：120分钟　分值：120分 一、选择题（本大题共10个小题共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意） 1. 斗拱是中国古典建筑上的重要部件．如图是一种斗形构件“三才升”的示意图及其主视图，则它的左视图为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，利用三视图的定义是解题关键． 主视图：从正面看到的物体的形状图；左视图：从左面看到的物体的形状图；俯视图：从上面看到的物体的形状图．根据三视图的定义求解，注意看不见的线应当画虚线，即可． 【详解】解：从左面看，上面部分是矩形，下面部分是梯形，矩形部分有一条看不见的线，应该画虚线，形状如图所示： 故选：C． 2. 点P1（﹣1，），P2（3，），P3（5，）均在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】∵， ∴对称轴为x=1，P2（3，），P3（5，）在对称轴的右侧，y随x的增大而减小， ∵3＜5， ∴， 根据二次函数图象的对称性可知，P1（﹣1，）与（3，）关于对称轴对称， 故， 故选：D． 3. 如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点，若，则点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】依题意，到的位似比为2，从图中确定点与点在位似中心的同侧，因此坐标变换时符号不变，最后将点的横、纵坐标分别乘以位似比即可求解． 【详解】解：位似中心为原点，且位似比， ， 点的坐标为，由图可知，与在位似中心的同侧， 坐标符号保持一致， ， ， 点的坐标为． 故选：B． 4. 若关于的一元二次方程没有实数根，则直线不经过的象限为（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程根与判别式的关系，以及一次函数图象与系数的关系，解题的关键是熟练掌握以上性质． 根据一元二次方程根与判别式的关系，求得的取值范围，再根据一次函数的图象与系数的关系求解即可． 【详解】解：根据题意得，， 解得， 则直线，随着的增大而减小，且直线与轴交于正半轴， 所以，直线经过第一、第二和第四象限，不经过第三象限， 故选：C． 5. 如图，在中，弦，连接交半径于点．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查圆周角，平行线的性质，掌握知识点是解题的关键． 先求出，再由，得到，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故选A． 6. 如图，E是矩形的边上一点，连接，作于点F，，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题重点考查矩形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识，证明∽是解题的关键． 由矩形的性质得，，因为，所以，由于点F，得，推导出，可证明∽，则，所以，代入计算即可得到问题的答案． 【详解】解：四边形是矩形，E是边上一点，，，， ，， ， 于点F， ， ，， ， ∽， ， ， 故选：A． 7. 在同一坐标系内，一次函数与二次函数的图像可能是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】x=0，求出两个函数图像在y轴上相交于同一点，再根据抛物线开口方向向上确定出a＞0，然后确定出一次函数图像经过第一、三象限，从而得解． 【详解】x=0时，两个函数的函数值y=b， 所以，两个函数图像与y轴相交于同一点，故B、D选项错误； 由A、C选项可知，抛物线开口方向向上， 所以，a＞0， 所以，一次函数y=ax+b经过第一三象限， 所以，A选项错误，C选项正确． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数图像，一次函数的图像，熟练掌握一次函数和二次函数图像特征和系数的关系是解题的关键． 8. 如图①是卧室门锁的局部图，图②是其示意图，其中点到门框的距离为，且，当开门时，提起门把手绕点顺时针旋转点到达点的位置，此时点到门框的距离为，则门把手划过的区域面积为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查矩形的性质与判定，旋转的性质，含30度直角三角形的性质及扇形面积公式，熟练掌握矩形的性质与判定，旋转的性质，含30度直角三角形的性质及扇形面积公式是解题的关键；过点B分别作，，垂足分别为点C，D，则有四边形是矩形，然后可得，进而根据扇形面积公式可进行求解． 【详解】解：过点B分别作，，垂足分别为点C，D，如图所示： 由题意得：，， ∴四边形是矩形， ∴， 由旋转的性质可知：， ∴， ∴， ∴； 故选B． 9. 如图，小区物业规划在一个长，宽的矩形场地上，修建一个小型停车场，阴影部分为停车位所在区域，两侧是宽的道路，中间是宽的道路．如果阴影部分的总面积是，那么x满足的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 根据矩形场地的长、宽及道路的宽度，可得出停车位（即阴影部分）可合成长为，宽为的矩形，结合阴影部分的总面积是，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：∵矩形场地的长为长，宽，且所修建停车位的两侧是宽x m的道路，中间是宽的道路， ∴停车位（即阴影部分）可合成长为，宽为的矩形． 根据题意，得， 化简，得． 故选：A． 10. 已知二次函数的部分图象如图所示，图象经过点，其对称轴为直线．下列结论：①；②若点，均在该二次函数的图象上，则；③关于x的一元二次方程有两个相等的实数根；④满足的x的取值范围为．其中正确的结论是（ ） A. ①②④ B. ②③ C. ②④ D. ②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质、二次函数与一元二次方程的关系、二次函数图象与系数的关系等知识点，掌握二次函数的性质成为解题的关键． 根据抛物线开口向下可得，根据抛物线的对称轴可推得，根据时，，即可得到，推得，故①错误；根据点的坐标和对称轴可得点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离，根据抛物线的对称性和增减性可得，故②正确；根据抛物线的图象可知二次函数与直线有至少有一个交点，推得关于x的一元二次方程至少有一个实数根，故③错误；根据抛物线的对称性可得二次函数必然经过点，即可得到时，的取值范围，故④正确． 【详解】解：①∵抛物线开口向下， ∴． ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， 由图象可得时，，即， ∵， ∴．故①错误； ②∵抛物线开口向下，抛物线的对称轴为直线． 故当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小， ∵，， ∴点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离， ∴，故②正确； ③∵图象经过点，对称轴为， ∴二次函数与直线有两个交点， ∴关于x的一元二次方程有两个不等的实数根，故③错误； ④∵图象经过点，对称轴为直线， ∴二次函数必然经过点， ∴时，的取值范围，故④正确； 综上，②④正确， 故选：C． 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，满分15分，只要求填写最后的结果） 11. 反比例函数y=（2m﹣1），在每个象限内，y随x的增大而增大，则m的值是________． 【答案】﹣1 【解析】 【分析】根据反比例函数的定义列出方程求解，再根据它的性质决定解的取舍． 【详解】解：根据题意得： ， 解得：m=-1． 故答案为-1． 【点睛】本题考查了反比例函数的定义与性质．对于反比例函数y=，当k＞0时，在每一个象限内，函数值y随自变量x的增大而减小；当k＜0时，在每一个象限内，函数值y随自变量x的增大而增大． 12. 已知，是关于的一元二次方程的两个根，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系以及代数式求值，先求出根与系数的关系，将代数式变形后代入计算即可． 【详解】解：，是关于的一元二次方程的两个根， ， ， 故答案为：． 13. 如图，在中，，，是的外接圆，则的半径为________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了三角形外接圆与外心、等腰三角形的性质、勾股定理、垂径定理．过点作，垂足为，连接、，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，过点作，垂足为，连接、， ，， 垂直平分， ， 点在的垂直平分线上，即在上， ， ， 在中，，， ， 设，则． 在中，， ，即． 解得， 即的半径为． 故答案为：． 14. 如图，在平面直角坐标系中，已知四边形为菱形，边在轴上，点在反比例函数的图象上，点坐标为，连接，则的面积是______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质、反比例函数的几何意义、勾股定理，由反比例函数的几何意义得出，求出，结合菱形的性质可得，由勾股定理得出，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵点坐标为， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∵， ∴， ∵四边形为菱形， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 如图，在矩形中，，，是边上一个动点，连接，是上的一个动点，连接，，且，则线段的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质、圆周角定理、勾股定理，由矩形的性质可得，证明得出，即点在以为直径的上，连接交于，此时最短，为，再由勾股定理计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵在矩形中，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点在以为直径的上，如图所示，连接交于，此时最短，为， ， 则，， ∴线段的最小值为， 故答案为：． 三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出必要的文字说明、推理过程或演算步骤） 16. （1）解方程：； （2）计算：． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算、特殊角的三角函数值、因式分解法解一元二次方程． （1）整理后，利用因式分解法求解即可； （2）先计算负整数指数幂、零指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值，再计算加减即可得解． 【详解】解：（1）， 整理得， 因式分解得， ∴或， 解得； （2） ． 17. 如图，在中，点D，E分别在边上且，连接，． （1）求证：． （2）若点E为中点，，若，求的长． 【答案】（1）证明：∵， ∴， 又∵， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，三角形中线的性质，证明是解题的关键． （1）根据已知条件得到，再根据两边对应成比例且它们的夹角相等的两三角形相似进行证明即可； （2）先求出，再根据，求出，根据，求出，即可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵点E为中点，， ∴， ∵， ∴， 根据解析（1）可知：， ∴， 解得：， ∴． 18. 近年来，雪豹已成为西宁的城市新名片．某文创店内以“雪豹”为主题的文创产品琳琅满目．数学兴趣小组的同学想要调查全校学生对其中四类文创产品的喜爱情况，设计了调查问卷． 调查问卷 年 月 在下面四类文创产品中，你最喜爱的是( )(单选) A．玩偶 B．冰箱贴 C．创意摆件 D．手机挂件 【数据的收集与整理】 数学兴趣小组的同学从收集到的调查问卷中随机抽取了部分问卷进行整理，绘制了如下两幅不完整的统计图．根据图中信息，请回答下列问题∶ (1)本次抽样调查的样本容量是________； (2)扇形图中“玩偶”对应扇形的圆心角的度数是________； 【做出合理估计】 (3)若全校共有1800名学生，请你估计全校最喜爱手机挂件的学生人数是多少？ 【解决概率问题】 (4)文创店负责人为了宣传以“雪豹”为主题的文创产品，端午节期间设置了抽奖活动∶在一个不透明的盒子中装有四个完全相同的小球，它们分别写有A，B，C，D(A玩偶、B冰箱贴、C创意摆件、D手机挂件)，摸出哪个小球就获得相应的文创产品．甲随机摸出一个小球后，放回并摇匀，乙再随机摸出一个．请用画树状图或列表的方法求出甲，乙两人恰好获得同一类文创产品的概率． 【答案】(1)120；(2)；(3)600人；(4)． 【解析】 【分析】本题考查条形图和扇形图的综合利用，树状图法求概率，从统计图中有效的获取信息是解题的关键； （1）用喜爱冰箱贴的人数除以所占的比例，求出样本容量即可； （2）用360度乘以喜爱玩偶的人数所占的比例求出圆心角的度数即可； （3）利用样本估计总体的思想进行求解即可； （4）画出树状图，利用概率公式进行计算即可． 【详解】解：(1)； 故答案为：120； (2)喜爱玩偶的人数为， ； 故答案为：； (3)(人) 答：估计全校最喜爱手机挂件的学生有600人． (4)根据题意，可以画出如下树状图： 由树状图可以看出，所有可能出现的结果共有16种，即，这些结果出现的可能性相等，其中甲，乙两人恰好获得同一类文创产品的结果共有4种，即． 所以，P(甲，乙两人恰好获得同一类文创产品)． 19. 如图，已知内接于，于点D，且线段、的长恰好是方程的两个实数根． （1）求线段的长； （2）若线段的长为10，求的半径． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了解一元二次方程、勾股定理、圆周角定理的推论、相似三角形的判定和性质等知识 （1）先求出，则，解方程得，即可得到，根据勾股定理即可求出； （2）连接并延长交于点E，则是的直径，连接，证明，则，得到，解得，即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵于点D， ∴， ∴， ∴， 解得， ∵线段、的长恰好是方程的两个实数根． ∴， ∴； 【小问2详解】 连接并延长交于点E，则是的直径，连接， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴的半径为． 20. 在有毒、缺氧或浓烟等危险环境开展侦查、搜救是消防救援的核心工作之一，救援人员常面临人身安全威胁，关键时刻需要可靠伙伴——消防机器狗，它能深入室内高危区，打通室内室外壁垒进行搜救，搭载的远距通讯模块，可实现远程操控与实时传图，为救援决策提供可视化信息． 图1是被困人员所处的楼梯横断面示意图．楼梯斜坡用表示，转角平台用表示，地面用表示．已知，垂足为米，米，米． （1）求斜坡的坡比； （2）如图2，当机器狗爬到斜坡上点处时，探测仪测得被困人员头顶的仰角为，继续前行到点处，恰好能搜集到被困人员全身的影像，此时探测仪在线段的延长线上，记作点．图2示意图中所有点均处于同一平面，，垂足分别为米，米，求的长．（参考数据：） 【答案】（1）斜坡的坡比为； （2）的长米． 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，解直角三角形，勾股定理等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）过点作，交于点，根据矩形的性质得到，进而得到，根据勾股定理求出，即可求解； （2）过点作交于点，作交延长线于点，根据题意可知，解直角三角形得到米，进而得到米，根据坡比得到，在中，示得米，即可求解． 【小问1详解】 解：过点作，交于点，如图： ， ∴， ∴四边形是矩形， ， ，， ， 在中，， ∴斜坡的坡比为； 【小问2详解】 解：过点作交于点，作交延长线于点，如图： 根据题意可知： ， 在中，， 米， 米， 由， ， ， 在中，米， 米， ∴的长米． 21. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点． （1）求、的值； （2）直线过点，与反比例函数图象交于点，与轴交于点，连接． ①求的面积； ②点在反比例函数的图象上，点在轴上，若以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出所有符合条件的点坐标． 【答案】（1）， （2）①10；②或 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的综合，待定系数法求函数解析式，平行四边形的性质，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式，以及平行四边形的性质运用．并利用图像的平移找到点与点之间的关系，从而求解． （1）将点代入一次函数解析式可求出的值，再将坐标代入反比例函数解析式可求出的值； （2）①利用点，点求出直线的函数解析式，从而求出点的坐标，利用割补法即可求解； ②分两种情况：以和为对角线时，由可以看作先向右平移到点与原点重合，再向上平移2个单位得到，可知点的纵坐标为6，从而可得点的坐标；以和为对角线时，由可以看作先向下平移2个单位，再向左平移到点与点重合，可知点的纵坐标为2，从而可得点的坐标． 【小问1详解】 解：把代入得，， 解得， ∴点的坐标为， 把代入得，， 解得， ∴，． 【小问2详解】 解：设直线函数解析式为， 把，代入得， ， 解得， ∴直线函数解析式为， 由得，，， ∴点的坐标为， ∵一次函数的图象与轴交于点， ∴点的坐标为， 如图，过点作轴于点，过点作于点，过点作轴于点，与的延长线交于点， ∴． ②设点，， ∵，，点、、、构成平行四边形， 当和为对角线时，有，如下图： 点可看作是将点先向右平移个单位，再向上平移2个单位得到， 故点也是相应关系，即点是点向右平移个单位，再向上平移2个单位得到， ∴点的纵坐标为6，即， ∴， ∴点的坐标为； 当和为对角线时，有，如下图： 点可看作是将点先向下平移2个单位，再向左平移个单位得到， 故点也是相应关系，即点是点向下平移2个单位，再向左平移个单位得到， ∴点的纵坐标为2，即， ∴， ∴点的坐标为． 综上，点的坐标为或． 22. 综合与实践 问题情境：青蛙腾空阶段的运动路线可看作抛物线．我国某科研团队根据青蛙的生物特征和运动机理设计出了仿青蛙机器人，其起跳后的运动路线与实际情况中青蛙腾空阶段的运动路线相吻合． 实验数据：仿青蛙机器人从水平地面起跳，并落在水平地面上，其运动路线的最高点距地面，起跳点与落地点的距离为． 数学建模：如图，将仿青蛙机器人的运动路线抽象为抛物线，其顶点为N，对称轴为直线l，仿青蛙机器人在水平地面上的起跳点为O，落地点为M．以O为原点，所在直线为x轴，过点O与所在水平地面垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系． （1）请直接写出顶点N的坐标，并求该抛物线的函数表达式； 问题解决：已知仿青蛙机器人起跳后的运动路线形状保持不变，即抛物线的形状不变． （2）如图1，若仿青蛙机器人从点O正上方的点P处起跳，落地点为Q，点P的坐标为，点Q在x轴的正半轴上．求起跳点P与落地点Q的水平距离的长； （3）实验表明：仿青蛙机器人在跃过障碍物时，与障碍物上表面的每个点在竖直方向上的距离不少于，才能安全通过．如图，水平地面上有一个障碍物，其纵切面为四边形，其中，．仿青蛙机器人从距离左侧处的地面起跳，发现不能安全通过该障碍物．若团队人员在起跳处放置一个平台，仿青蛙机器人从平台上起跳，则刚好安全通过该障碍物．请直接写出该平台的高度（平台的大小忽略不计，障碍物的纵切面与仿青蛙机器人的运动路线在同一竖直平面内）． 【答案】（1），；（2）起跳点P与落地点Q的水平距离的长为；（3） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，读懂题意，正确的列出函数关系式，是解题的关键： （1）根据起跳点与落地点的距离为，得到对称轴为直线，根据运动路线的最高点距地面，得到顶点纵坐标为，写出顶点坐标，列出顶点式，把代入，求出函数解析式即可； （2）根据抛物线的形状不变，利用平移思想，写出新的函数解析式，令，求出的值，进而求出的长即可； （3）设该平台的高度为，根据题意，得到新的抛物线的解析式为：，根据仿青蛙机器人从平台上起跳，则刚好安全通过该障碍物，得到抛物线过点，代入求解即可； 【详解】解：（1）由题意，得：抛物线的对称轴为直线，顶点纵坐标为， ∴顶点坐标为， 设抛物线的函数解析式为：， ∵图象过原点， ∴，解：， ∴； （2）∵抛物线的形状不变，点， 故第二次的函数图象可以看作由（1）的抛物线向上平移75个单位长度，得到的， ∴新的抛物线的解析式为：， 当时，， 解得：，（舍去）； 故起跳点P与落地点Q的水平距离的长为； （3）设该平台的高度为，由题意，设新的函数解析式为：， ∵，仿青蛙机器人从距离左侧处的地面起跳， 由题意，仿青蛙机器人经过正上方处，即抛物线经过点，即：， ∴把代入，得：，解得：； 故设该平台的高度为． 23. 问题提出 （1）如图①，中，点D在边上，且，过D作，交于点E，若，则 ； 问题解决 （2）如图②，矩形中，点E、F分别在边上，且，过E作，交于点G，连接，交于点M．若，求的最大值； 问题探究 （3）如图，正方形中，点E、F、G、H分别在边上，且，相交于点M，，已知正方形的边长为16，长为20，的面积是否存在最大值？若存在，请求出的面积的最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）4（2）（3）存在，32 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，二次函数求最值．熟练掌握相似三角形的性质，利用二次函数的性质求最值，是解题的关键． （1）证明，利用相似比，进行求解即可； （2）根据，设，证明，利用相似比用含的式子表示，转化为二次函数求最值即可得解； （3）过点作于点，交于点，先根据．设，，证明四边形为矩形得到，再证明和，进一步求出，最后根据，得到，进一步应用二次函数的性质得到答案． 【详解】解：（1）∵， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）∵， ∴设，，，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为； （3）的面积存在最大值，理由如下： 如图，过点作于点，交于点， ∵， ∴设，， ∵四边形是正方形，边长为， ∴，，， ∴四边形为矩形， ∴； ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为32． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山东聊城市东昌府区2025-2026学年 九年级上学期2月期末数学试题 时间：120分钟　分值：120分 一、选择题（本大题共10个小题共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意） 1. 斗拱是中国古典建筑上的重要部件．如图是一种斗形构件“三才升”的示意图及其主视图，则它的左视图为（　　） A. B. C. D. 2. 点P1（﹣1，），P2（3，），P3（5，）均在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点，若，则点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 若关于的一元二次方程没有实数根，则直线不经过的象限为（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 5. 如图，在中，弦，连接交半径于点．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，E是矩形的边上一点，连接，作于点F，，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 7. 在同一坐标系内，一次函数与二次函数的图像可能是 A. B. C. D. 8. 如图①是卧室门锁的局部图，图②是其示意图，其中点到门框的距离为，且，当开门时，提起门把手绕点顺时针旋转点到达点的位置，此时点到门框的距离为，则门把手划过的区域面积为（　　） A. B. C. D. 9. 如图，小区物业规划在一个长，宽的矩形场地上，修建一个小型停车场，阴影部分为停车位所在区域，两侧是宽的道路，中间是宽的道路．如果阴影部分的总面积是，那么x满足的方程是（ ） A. B. C. D. 10. 已知二次函数的部分图象如图所示，图象经过点，其对称轴为直线．下列结论：①；②若点，均在该二次函数的图象上，则；③关于x的一元二次方程有两个相等的实数根；④满足的x的取值范围为．其中正确的结论是（ ） A. ①②④ B. ②③ C. ②④ D. ②③④ 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，满分15分，只要求填写最后的结果） 11. 反比例函数y=（2m﹣1），在每个象限内，y随x的增大而增大，则m的值是________． 12. 已知，是关于的一元二次方程的两个根，则________． 13. 如图，在中，，，是的外接圆，则的半径为________． 14. 如图，在平面直角坐标系中，已知四边形为菱形，边在轴上，点在反比例函数的图象上，点坐标为，连接，则的面积是______． 15. 如图，在矩形中，，，是边上一个动点，连接，是上的一个动点，连接，，且，则线段的最小值为______． 三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出必要的文字说明、推理过程或演算步骤） 16. （1）解方程：； （2）计算：． 17. 如图，在中，点D，E分别在边上且，连接，． （1）求证：． （2）若点E为中点，，若，求的长． 18. 近年来，雪豹已成为西宁的城市新名片．某文创店内以“雪豹”为主题的文创产品琳琅满目．数学兴趣小组的同学想要调查全校学生对其中四类文创产品的喜爱情况，设计了调查问卷． 调查问卷 年 月 在下面四类文创产品中，你最喜爱的是( )(单选) A．玩偶 B．冰箱贴 C．创意摆件 D．手机挂件 【数据的收集与整理】 数学兴趣小组的同学从收集到的调查问卷中随机抽取了部分问卷进行整理，绘制了如下两幅不完整的统计图．根据图中信息，请回答下列问题∶ (1)本次抽样调查的样本容量是________； (2)扇形图中“玩偶”对应扇形的圆心角的度数是________； 【做出合理估计】 (3)若全校共有1800名学生，请你估计全校最喜爱手机挂件的学生人数是多少？ 【解决概率问题】 (4)文创店负责人为了宣传以“雪豹”为主题的文创产品，端午节期间设置了抽奖活动∶在一个不透明的盒子中装有四个完全相同的小球，它们分别写有A，B，C，D(A玩偶、B冰箱贴、C创意摆件、D手机挂件)，摸出哪个小球就获得相应的文创产品．甲随机摸出一个小球后，放回并摇匀，乙再随机摸出一个．请用画树状图或列表的方法求出甲，乙两人恰好获得同一类文创产品的概率． 19. 如图，已知内接于，于点D，且线段、的长恰好是方程的两个实数根． （1）求线段的长； （2）若线段的长为10，求的半径． 20. 在有毒、缺氧或浓烟等危险环境开展侦查、搜救是消防救援的核心工作之一，救援人员常面临人身安全威胁，关键时刻需要可靠伙伴——消防机器狗，它能深入室内高危区，打通室内室外壁垒进行搜救，搭载的远距通讯模块，可实现远程操控与实时传图，为救援决策提供可视化信息． 图1是被困人员所处的楼梯横断面示意图．楼梯斜坡用表示，转角平台用表示，地面用表示．已知，垂足为米，米，米． （1）求斜坡的坡比； （2）如图2，当机器狗爬到斜坡上点处时，探测仪测得被困人员头顶的仰角为，继续前行到点处，恰好能搜集到被困人员全身的影像，此时探测仪在线段的延长线上，记作点．图2示意图中所有点均处于同一平面，，垂足分别为米，米，求的长．（参考数据：） 21. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点． （1）求、的值； （2）直线过点，与反比例函数图象交于点，与轴交于点，连接． ①求的面积； ②点在反比例函数的图象上，点在轴上，若以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出所有符合条件的点坐标． 22. 综合与实践 问题情境：青蛙腾空阶段的运动路线可看作抛物线．我国某科研团队根据青蛙的生物特征和运动机理设计出了仿青蛙机器人，其起跳后的运动路线与实际情况中青蛙腾空阶段的运动路线相吻合． 实验数据：仿青蛙机器人从水平地面起跳，并落在水平地面上，其运动路线的最高点距地面，起跳点与落地点的距离为． 数学建模：如图，将仿青蛙机器人的运动路线抽象为抛物线，其顶点为N，对称轴为直线l，仿青蛙机器人在水平地面上的起跳点为O，落地点为M．以O为原点，所在直线为x轴，过点O与所在水平地面垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系． （1）请直接写出顶点N的坐标，并求该抛物线的函数表达式； 问题解决：已知仿青蛙机器人起跳后的运动路线形状保持不变，即抛物线的形状不变． （2）如图1，若仿青蛙机器人从点O正上方的点P处起跳，落地点为Q，点P的坐标为，点Q在x轴的正半轴上．求起跳点P与落地点Q的水平距离的长； （3）实验表明：仿青蛙机器人在跃过障碍物时，与障碍物上表面的每个点在竖直方向上的距离不少于，才能安全通过．如图，水平地面上有一个障碍物，其纵切面为四边形，其中，．仿青蛙机器人从距离左侧处的地面起跳，发现不能安全通过该障碍物．若团队人员在起跳处放置一个平台，仿青蛙机器人从平台上起跳，则刚好安全通过该障碍物．请直接写出该平台的高度（平台的大小忽略不计，障碍物的纵切面与仿青蛙机器人的运动路线在同一竖直平面内）． 23. 问题提出 （1）如图①，中，点D在边上，且，过D作，交于点E，若，则 ； 问题解决 （2）如图②，矩形中，点E、F分别在边上，且，过E作，交于点G，连接，交于点M．若，求的最大值； 问题探究 （3）如图，正方形中，点E、F、G、H分别在边上，且，相交于点M，，已知正方形的边长为16，长为20，的面积是否存在最大值？若存在，请求出的面积的最大值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $