精品解析：江西赣州市瑞金市2025年冬八年级上学期数学期末练习题

2025年冬八年级数学期末练习题 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项） 1. 下列图形中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 以下列各组数据为边长，能够组成三角形的是（ ） A. 2，4，8 B. 4，4，8 C. 5，6，9 D. 5，6，11 3. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列说法正确的是（ ） A. 代数式是分式 B. 分式中都扩大3倍，分式的值不变 C. 分式是最简分式 D. 分式的值为0，则的值为 5. 如图，，添加下列条件后仍不能判定的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在等腰中，于D，的平分线分别交AC、AD于E、F两点，M为EF的中点，延长AM交BC于点N，连接DM、NE，下列结论：①；②；③是等边三角形；④；⑤．其中正确的结论有（ ） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 清代袁枚的一首诗苔中的诗句“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开”若苔花的花粉直径约为米，则数据用科学记数法表示为______． 8. 分解因式：____________． 9. 已知，，则的值是______． 10. 如图所示，在中，，平分，交于点，且，则的面积是_____． 11. 如图，在中，，，垂直平分线段，P是直线上的任意一点，则周长的最小值是______． 12. 已知等式成立，则实数的值为_____． 三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）计算：． （2）解分式方程：． 14. 如图，在中，是边上的高，，． （1）求的度数； （2）若是的角平分线，交于点，求的度数． 15. 如图，点在同一条直线上，，且． （1）求证：； （2）若，求的值． 16. 先化简：，再从，0，1，2中选择一个合适的x的值代入求值． 17. 如图1，图2都是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．如图，线段的两端点均在格点上，在给定的网格中，按下列要求用无刻度的直尺画等腰，使点在格点上． （1）在图1中，画以为腰的三角形； （2）在图2中，画以为底的三角形． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 【教材回顾】如图1，将两个含角的三角尺摆放在一起，可以证得是等边三角形，于是我们得到：在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半． （1）【结论应用】在直角中，，若，则______； （2）【变式探究】如图2，在直角中，，求证：． 19. 阅读材料：把代数式因式分解，可以如下分解： （1）探究：请你仿照上面的方法，把代数式因式分解； （2）拓展：若代数式，则的值_____． 20. 近年来空气质量问题备受人们关注．某单位计划在室内安装空气净化装置，需购进、两种设备．花万元购买种设备和花万元购买种设备的数量相同．每台种设备价格比每台种设备价格多万元， （1）求种、种设备每台各多少万元？ （2）根据单位实际情况，需购进、两种设备共台，总费用不高于万元．求种设备至少要购买多少台？ 五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 如图，中，是边的垂直平分线交边于点，过点作于点，交延长线于点，且，连接． （1）求证：； （2）若，求的度数． 22. 【课本134页活动1：个位数字是5的两位数平方的规律】 我们在过去的学习中已经发现了如下的运算规律： ； ； ； …… （1）填空：__________ （2）设个位数字是5的两位数中十位上数字为，请用含的式子表示题中等式蕴含的一般规律，并证明得到的规律： （3）小航同学在上面探究的基础上，发现十位上的数字相同，个位上的数字之和等于10的两位数的积也存在一定的规律，如：．．．．设第一个因数十位数上数字为，个位数上数字为，请你用含的式子表示这个规律_____，并用这个规律计算：． 六、（本大题共12分） 23. 综合与实践：八年级某学习小组围绕“等边三角形”开展主题学习活动． 问题情境：等边中，是的中点，是射线上一点（不与点、重合），连接，作等边（点和点在边的同侧），连接并延长交直线于点． 【特例分析】 （1）如图1，当点与点重合时，发现，请证明； 【拓展探究】 （2）如图2，当点在线段上（不与端点重合），证明； 【推广应用】 （3）当点在射线上运动时，请直接写出线段之间的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年冬八年级数学期末练习题 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项） 1. 下列图形中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 根据轴对称图形的定义判断轴对称图形即可． 【详解】解：A、不是轴对称图形，不符合题意； B、不是轴对称图形，不符合题意； C、不是轴对称图形，不符合题意； D、是轴对称图形，符合题意； 故选D． 2. 以下列各组数据为边长，能够组成三角形的是（ ） A. 2，4，8 B. 4，4，8 C. 5，6，9 D. 5，6，11 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三角形的三边关系，掌握三角形的三边关系是解决本题的关键． 利用三角形的三边关系判定即可． 【详解】解：A、，不能组成三角形，不符合题意； B、，不能组成三角形，不符合题意； C、∵， ∴能组成三角形，符合题意； D、，不能组成三角形，不符合题意； 故选C． 3. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了运用完全平方公式进行运算，运用平方差公式进行运算，幂的乘方运算等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 根据平方差公式、完全平方公式及幂的乘方法则，对四个式子逐一分析，再作判断． 【详解】解：，故A错误； ，故B错误； ，故C错误； ，故D正确， 故选：D． 4. 下列说法正确的是（ ） A. 代数式是分式 B. 分式中都扩大3倍，分式的值不变 C. 分式是最简分式 D. 分式的值为0，则的值为 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分式的识别，分式的基本性质，最简分式，分式的值为零的条件，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．根据分式的定义，分式的基本性质，最简分式，分式的值为零的条件逐项分析即可． 【详解】解：A．代数式是整式，故不正确； B．分式中都扩大3倍得，分式的值改变，故不正确； C．分式是最简分式，正确； D．分式的值为0，则且，则的值为，故不正确． 故选：C． 5. 如图，，添加下列条件后仍不能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键，全等三角形的判定定理有． 【详解】解：添加条件，结合条件，，可以利用证明，故A不符合题意； 添加条件，结合条件，，不可以利用证明，故B符合题意； 添加条件，结合条件，，可以利用证明，故C不符合题意； 添加条件，结合条件，，可以利用证明，故D不符合题意； 故选：B． 6. 如图，在等腰中，于D，的平分线分别交AC、AD于E、F两点，M为EF的中点，延长AM交BC于点N，连接DM、NE，下列结论：①；②；③是等边三角形；④；⑤．其中正确的结论有（ ） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 【答案】B 【解析】 【分析】根据等腰直角三角形的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边一半以及角平分线的性质计算得出∠ABE＝∠CBE＝22.5°，∠AFE＝∠BFD＝∠AEB＝67.5°，结合等腰三角形的性质可判断①②③；利用ASA证明△FBD≌△NAD，判断④；利用SAS证明△EBA≌△EBN，判断⑤；从而得到结论． 【详解】解：∵∠BAC＝90°，AC＝AB，AD⊥BC， ∴∠ABC＝∠C＝45°，AD＝BD＝CD，∠ADN＝∠ADB＝90°， ∴∠BAD＝45°＝∠CAD， ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE＝∠CBE＝∠ABC＝22.5°， ∴∠BFD＝∠AEB＝90°﹣22.5°＝67.5°， ∴∠AFE＝∠BFD＝∠AEB＝67.5°， ∴AF＝AE，故①正确，③错误； ∵M为EF的中点， ∴AM⊥EF，故②正确； ∵AM⊥EF， ∴∠AMF＝∠AME＝90°， ∴∠DAN＝90°﹣67.5°＝22.5°＝∠MBN， 在△FBD和△NAD中， ， ∴△FBD≌△NAD（ASA）， ∴DF＝DN，故④正确； ∵∠BAM＝∠BNM＝67.5°， ∴BA＝BN， 又∵∠EBA＝∠EBN，BE＝BE， ∴△EBA≌△EBN（SAS）， ∴∠BNE＝∠BAE＝90°， ∴∠ENC＝∠ADC＝90°， ∴，故⑤正确． 综上所述，①②④⑤正确，共4个． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形外角性质、等腰三角形的判定与性质以及直角三角形斜边上中线性质的应用，主要考查学生的推理能力，能灵活运用全等三角形的判定与性质是解题的关键． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 清代袁枚的一首诗苔中的诗句“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开”若苔花的花粉直径约为米，则数据用科学记数法表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：， 故答案为：． 8. 分解因式：____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式因式分解，能用平方差公式进行因式分解的式子的特点是：两项平方项，符号相反．该题直接利用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 9. 已知，，则的值是______． 【答案】 12 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法法则的应用，逆用同底数幂的乘法法则进行计算可得解. 【详解】解：，， 故答案为：. 10. 如图所示，在中，，平分，交于点，且，则的面积是_____． 【答案】 【解析】 【分析】首先作，利用角平分线的性质可得，利用三角形的面积公式可得结果． 【详解】解：过点作， ∵平分，， ∴， ∴， 故答案为5． 【点睛】此题考查了角平分线的性质，解题的关键是掌握角平分线的性质． 11. 如图，在中，，，垂直平分线段，P是直线上的任意一点，则周长的最小值是______． 【答案】17 【解析】 【分析】本题考查了三角形三边的关系，线段垂直平分线的性质，解决本题的关键是熟练掌握线段的垂直平分线的性质． 如图，连接，求出的最小值可得结论． 【详解】解：如图，连接． ∵垂直平分线段， ∴， ∴， ∴的最小值为10， ∴的周长的最小值为， 故答案为：17． 12. 已知等式成立，则实数的值为_____． 【答案】 5或3或 【解析】 【分析】此题考查了零指数幂的性质以及有理数的乘方，正确分类讨论是解题关键．考虑等式成立的三种情况：底数且指数为任意实数；底数且指数为偶数；指数且底数，分别求解对应方程． 【详解】解：情况一：当底数时，解得，此时指数，有，等式成立； 情况二：当底数时，解得，此时指数，为偶数，有，等式成立； 情况三：当指数时，解得，此时底数，有，等式成立； 综上，实数的值为5或3或． 故答案为：5或3或． 三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）计算：． （2）解分式方程：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）分别根据算术平方根、零指数幂、负整数指数幂以及绝对值的性质对各项进行化简，然后再进行加减运算． （2）先去分母将分式方程化为整式方程，然后求解整式方程，最后对所得的根进行检验． 【详解】解：（1） （2） 方程两边同时乘以得： ， 解得, 检验：当时，． ∴是原方程的解． 【点睛】本题主要考查了实数的运算（包括算术平方根、零指数幂、负整数指数幂、绝对值的运算）以及分式方程的求解，熟练掌握相关运算法则和分式方程的求解步骤（去分母化为整式方程、求解整式方程、检验）是解题的关键． 14. 如图，在中，是边上的高，，． （1）求的度数； （2）若是的角平分线，交于点，求的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查三角形的内角和定理，三角形的外角： （1）三角形的内角和定理，求出的度数，高线，得到，再根据直角三角形的两个锐角互余进行计算即可； （2）根据角平分线的定义结合三角形的外角，进行求解即可． 【小问1详解】 解：在中，，， ∴ ∵是边上的高， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵，是的角平分线， ∴ ∵是的一个外角， ∴． 15. 如图，点在同一条直线上，，且． （1）求证：； （2）若，求的值． 【答案】（1）见解析 （2）3 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质和全等三角形的判定和性质，属于常见题型，熟练掌握全等三角形的和性质是解题的关键． （1）根据平行线的性质可得，，然后根据可证； （2）根据全等三角形的性质可得，即得，再根据线段的和差即得答案． 【小问1详解】 解：，， ，， ， ； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ． 16. 先化简：，再从，0，1，2中选择一个合适的x的值代入求值． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值． 先化简原分式，再根据分式有意义的条件选取合适的值代入计算即可． 【详解】解： ， 根据分式有意义的条件可知且， 当时，原式． 17. 如图1，图2都是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．如图，线段的两端点均在格点上，在给定的网格中，按下列要求用无刻度的直尺画等腰，使点在格点上． （1）在图1中，画以为腰的三角形； （2）在图2中，画以为底的三角形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了在网格中画等腰三角形， （1）根据题意画出以为腰的三角形； （2）根据题意画出以为底的三角形． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求， 【小问2详解】 解：如图所示，即为所求， 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 【教材回顾】如图1，将两个含角的三角尺摆放在一起，可以证得是等边三角形，于是我们得到：在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半． （1）【结论应用】在直角中，，若，则______； （2）【变式探究】如图2，在直角中，，求证：． 【答案】（1）4 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了含角的直角三角形的性质，等边三角形判定与性质，解题的关键是熟练掌握含角的直角三角形中边与角的特殊关系． （1）直接运用含角的直角三角形的性质求解； （2）通过延长至点，使，连接，构造，利用等边三角形和等腰三角形的性质来证明角的度数． 【小问1详解】 解：在直角中，，， ； 【小问2详解】 解：延长至点，使，连接， 是线段的垂直平分线， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ． 19. 阅读材料：把代数式因式分解，可以如下分解： （1）探究：请你仿照上面的方法，把代数式因式分解； （2）拓展：若代数式，则的值_____． 【答案】（1） （2）1或7 【解析】 【分析】本题考查的是利用完全平方公式与平方差公式分解因式，两数之积为0，则至少有1个数为0的含义； （1）把化为，再进一步求解即可； （2）由（1）可得，再根据两数之积为0，则至少有1个数为0，从而可得答案． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴或， 解得：或； 20. 近年来空气质量问题备受人们关注．某单位计划在室内安装空气净化装置，需购进、两种设备．花万元购买种设备和花万元购买种设备的数量相同．每台种设备价格比每台种设备价格多万元， （1）求种、种设备每台各多少万元？ （2）根据单位实际情况，需购进、两种设备共台，总费用不高于万元．求种设备至少要购买多少台？ 【答案】（1）种设备每台万元，种设备每台万元 （2）种设备至至少要购买台 【解析】 【分析】本题考查了分式方程和一元一次不等式的应用，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）设每台种设备万元，则每台种设备万元，根据题意列方程求解检验即可． （2）设购买种设备台，则购买种设备台，根据题意列一元一次不等式，求解后结合为整数，即可求解． 【小问1详解】 解：设每台种设备万元，则每台种设备万元， 根据题意得：， 解得：．经检验，是原方程的解， ∴． 答：种设备每台万元，种设备每台万元． 【小问2详解】 解：设购买种设备台，则购买种设备台， 根据题意得：，解得：． ∵为整数， ∴． ∴种设备至少要购买台． 五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 如图，中，是边的垂直平分线交边于点，过点作于点，交延长线于点，且，连接． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据是的垂直平分线，得到，，再证，即可求解． （2）连接，根据是的垂直平分线，得到，再求得，根据是等腰三角形，即可求解． 【小问1详解】 证明：是的垂直平分线， ，， ， ， 在和中，， ， ， ． 【小问2详解】 解：如图，连接， 是的垂直平分线， ， ， 在中，， ， ， 在中，， ． 22. 【课本134页活动1：个位数字是5的两位数平方的规律】 我们在过去的学习中已经发现了如下的运算规律： ； ； ； …… （1）填空：__________ （2）设个位数字是5的两位数中十位上数字为，请用含的式子表示题中等式蕴含的一般规律，并证明得到的规律： （3）小航同学在上面探究的基础上，发现十位上的数字相同，个位上的数字之和等于10的两位数的积也存在一定的规律，如：．．．．设第一个因数十位数上数字为，个位数上数字为，请你用含的式子表示这个规律_____，并用这个规律计算：． 【答案】（1）， （2）；证明见解析 （3）（，为正整数）， 【解析】 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，完全平方公式，多项式乘以多项式： （1）根据运算规律发现个位数字为5的数的平方，其结果为这个两位数的十位数字与其十位数字加1的数字相乘的结果的100倍再加上25，据此求解即可； （2）利用完全平方公式把展开即可； （3）证明，再利用该结论计算求解即可． 【小问1详解】 解：； ； ； ……， 以此类推可知， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：由（1）可得（，为正整数）， 证明： （，为正整数）； 【小问3详解】 解： ， ∴． 故答案为：（，为正整数）． 六、（本大题共12分） 23. 综合与实践：八年级某学习小组围绕“等边三角形”开展主题学习活动． 问题情境：等边中，是的中点，是射线上一点（不与点、重合），连接，作等边（点和点在边的同侧），连接并延长交直线于点． 【特例分析】 （1）如图1，当点与点重合时，发现，请证明； 【拓展探究】 （2）如图2，当点在线段上（不与端点重合），证明； 【推广应用】 （3）当点在射线上运动时，请直接写出线段之间的数量关系． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）当点D在线段上时，；当点D在线段上时，；当点D在线段的延长线上时，． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质和判定等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）证明，根据等角对等边可得结论； （2）如图2，连接，证明和，即可得结论； （3）分三种情况：当点在线段上时，当点在线段上时，当点在线段的延长线上，根据线段的和与差可解答． 【详解】（1）证明：如图，∵等边中，点O是的中点， ∴，． ∵等边， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． （2）证明：如图，连接． ∵和是等边三角形， ∴，，． ∴． ∴． ∴，． ∴． ∴． ∵点O是的中点， ∴． 又∵， ∴． ∴． ∴． （3）解：①当点在线段上时，如图3，连接 ， ∵是等边三角形， ， 是的中点， ， ， 由（2）同理知：， ，， ； ②当点在线段上时，如图2， 由①知：， 由（2）知：， ， ； ③当点在线段的延长线上时，如图4，连接， 由①知：， 由（2）知：， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $