8.1平行四边形（第1课时平行四边形的概念与性质一）同步练习2025-2026学年苏科版八年级数学下册

8.1平行四边形 （第1课时平行四边形的概念与性质一）同步练习 一、单选题 1．已知在中，，，则的周长为（    ） A．11cm B．28cm C．22cm D．44cm 2．在中，下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 3．如图，在中，于点E，若，则为（   ） A． B． C． D． 4．平行四边形具有不稳定性，当一个平行四边形的形状发生改变时，发生变化的是（ ） A．平行四边形的外角和 B．平行四边形的边长 C．平行四边形的周长 D．平行四边形某些角的大小 5．如图，在中，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 6．如图，直线，，，，E，G为垂足．下列结论不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 7．如图，平行四边形，根据图中尺规作图的痕迹，判断下列结论中不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 8．已知在平行四边形中，的度数之比为，则的值为（   ） A． B． C． D． 9．如图，在平行四边形中，的平分线交于点E，交的延长线于点F，连接．下列说法错误的是（   ） A． B． C． D． 10．已知四边形是平行四边形，，的平分线，分别交边于点E，F．若，，则的长为（　　） A．5 B．5或6 C．6或7 D．5或7 二、填空题 11．在中，与的度数之比为，则的度数是 ． 12．在中，已知，平分交边于点E，点E将分为两部分，则的长为 ． 13．如图，在平行四边形中，，于点E，M是的中点，，则 ． 14．如图，在中，点在边上，且于点，平分．若，，则的长为 ． 15．如图，在平行四边形中，，，的平分线交于点，则平行四边形的周长为 ． 16．如图，平行四边形中，P是形内任意一点，，，，的面积分别为5，4，3，则的面积为 ． 17．如图，在中，若，于点，于点，与交于点，则 ． 18．如图，在中,为边上的高，点F和点G分别为高和边上的动点，且．若，则的最小值为 ． 三、解答题 19．如图，在中，比大．求这个平行四边形各个内角的度数．    20．如图，中，点E，F分别是对角线上的两点，且．求证：． 21．如图，在中，E，F是对角线上两点且，连接，． 求证：． 22．如图，在中，E是的中点，的延长线与的延长线相交于点F．求证：． 23．如图，平行四边形中，的平分线交于的平分线交于点．求证：． 24．如图，在中，，，，过的中点作，垂足为点，与的延长线相交于点． (1)求证； (2)求的面积． 25．如图，在中，，，的面积为36，动点P在上（点P不与点B、C重合），作点B关于直线的对称点，连接、． (1)点A到边的距离是_____． (2)当点B'落在内部时，则的取值范围为______． (3)当是以为腰的等腰三角形时，求的长． (4)当和重新拼成的图形为三角形时，直接写出的长． 26．阅读下列材料，完成相应的任务． 当平行四边形的一边是邻边的两倍时，平行四边形可以分割成两个等腰三角形和一个直角三角形．小明发现了一种分割方法，其思考、探究过程如下： 已知：如图1，在▱中，，点是边的中点，连接． 求证：． 证明：四边形为平行四边形， （依据：①___________） 点是边的中点， ． 又， ． ． 中，， ． 同理． 四边形为平行四边形， ②___________． 任务： (1)分析论证：补全上述分析过程中空缺的部分：①___________；②___________． (2)问题解决： ①将图1中的某个三角形进行适当的全等变换，可以将平行四边形变形为一个等腰三角形．请写出该三角形变换的过程，并在图2中画出变换后的图形； ②如图1，边上还存在不同于点的点，使得．请用尺规在图3的边上作出点．（保留作图痕迹，不写作法） (3)联系拓广： 已知：在中，的角平分线交边于点的角平分线交边于点，若．请直接写出的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．C 【分析】本题考查平行四边形的性质，掌握对边相等是解题的关键. 根据平行四边形对边相等的性质，直接计算周长即可. 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴周长. 故的周长为. 故选：C. 2．D 【分析】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 由平行四边形的性质可知，，，，，，即可得出结论． 【详解】解：如图，四边形是平行四边形， ，，，，， 观察四个选项，选项D符合题意． 故选：D． 3．A 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，平行线的性质，直角三角形的性质，灵活运用所学知识是解题的关键．根据平行四边形的性质得到，进而求出，再由垂直的定义得到，则． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 4．D 【分析】本题考查了平行四边形的不稳定性． 平行四边形具有不稳定性，形状改变时，内角的大小发生变化，但外角和、边长和周长均不变． 【详解】解：∵多边形的外角和恒为， ∴外角和不变； ∵变形时边长不变， ∴周长不变； ∵平行四边形的不稳定性源于角度的变化， ∴某些角的大小发生变化． 故选：D． 5．B 【分析】本题考查了平行四边形的性质，解题的关键是利用平行四边形对角相等、邻角互补的性质来建立角度关系进行计算． 利用平行四边形“对角相等”的性质，得出，再根据“邻角互补”的性质，计算出． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴，， ∴． 故选：B． 6．D 【分析】本题考查了平行线的性质、平行四边形的判定与性质，结合平行四边形性质推导线段关系是解题的关键． 结合平行与垂直的已知条件，通过判定平行四边形、利用平行线间距离相等的性质，逐一分析每个选项的推导逻辑，判断结论是否一定成立，从而找出不一定成立的选项． 【详解】解：A、由题意可证得四边形是平行四边形，所以，故A选项成立，不符合题意． B、由两条平行线间的平行线段相等可知，故B选项成立，不符合题意． C、，， ； ， ∴四边形是平行四边形， ，故C选项成立，不符合题意． D、与的大小关系不确定，故D选项不一定成立，符合题意． 故选：D． 7．D 【分析】本题考查了作图-基本作图：作已知角的角平分线，等腰三角形性质和判定，平行四边形的性质，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 根据角平分线定义，等腰三角形性质和判定，平行四边形的性质对各选项进行逐一分析判断，即可解题． 【详解】解：由尺规作图可知，平分， ，故A选项一定成立，不符合题意； ， 四边形为平行四边形， ，，， ， ，故B选项一定成立，不符合题意； ， ， ，故C选项一定成立，不符合题意； 根据已有条件推不出， 故D选项不一定成立，符合题意； 故选：D． 8．C 【分析】此题主要考查了平行四边形的判定定理，熟知两组对角分别相等的四边形是平行四边形是解题的关键． 要判定四边形是平行四边形，则其两组对角需要分别相等，即且，结合角度比例即可求解. 【详解】解：设，，，. 要判定四边形是平行四边形，则其两组对角需要分别相等，即且， 由可得，解得； 由可得，解得 此时. ∴当时，能判定四边形是平行四边形， 故选：C． 9．D 【分析】本题考查平行四边形的性质，角平分线的性质，等角对等边，掌握知识点是解题的关键． 根据平行四边形的性质，角平分线的性质，等角对等边，逐项分析求解即可． 【详解】解：∵在平行四边形中，的平分线交于点E， ∴， ∴， ∴， ∴，，， 在平行四边形中，无法判断出． 故选D． 10．D 【分析】本题考查平行四边形的性质、角平分线的定义、平行线的性质以及等腰三角形的判定．通过角平分线和平行线得到，，再根据点E和F在上的位置关系分类讨论，求出的长． 【详解】四边形是平行四边形， ∴，，， ，， ，的平分线，分别交边于点E，F， ，， ，， ，， 如图所示，当点E靠近点D，点F靠近点C时，顺序为D、E、F、C， ∴； 当点F靠近点D，点E靠近点C时，顺序为D、F、E、C， ∴． 综上所述，的长为5或7． 故选：D． 11．/60度 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，先根据平行线的性质及求出与的度数，再根据平行四边形对角相等可得的度数． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ， ． ， ，， ． 故答案为：． 12．8或24 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，以及等角对等边．由角平分线的定义以及平行四边形的性质，求得，点E将分为两部分，可得或两种情况，分别讨论即可求解． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵点E将分为两部分， ∴或， ∴当时，； 当时，； 故答案为：8或24． 13．/30度 【分析】先延长与的延长线交于点F，连接，然后根据题目中的条件，可以求得，再根据等腰三角形的性质和直角三角形的性质可以求得的度数． 【详解】解：延长与的延长线交于点F，连接，如图所示， ， ， 是的中点， ， ∵四边形是平行四边形，， ， ， 在和中 ， ， ， ∴点M为的中点， ， ∴， ， ， 又∵M为中点，， ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理是解题的关键． 14．1 【分析】本题考查了平行四边形的性质，含度角的直角三角形，平行线的定义，等腰三角形的判定，掌握以上知识点是解题的关键． 通过平行四边形的性质，结合角平分线的定义可得到，由等角对等边得到，最后根据在直角三角形中，度角所对的直角边等于斜边的一半即可求出的长． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ，，， ，． 平分， ， ， ， ． ， ． 又， ，， ． 故答案为：． 15．32 【分析】本题考查了平行四边形的性质、角平分线的定义．由平行四边形的性质可得，，由平行线的性质和角平分线的定义可得，即可求解． 【详解】∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形的周长为：， 故答案为：32． 16．4 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解此题的关键．由四边形是平行四边形可知，，于是有，，即有，由此即可求解． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ，， ， 又，，，的面积分别为5，4，3， ， ． 故答案为：4． 17．62° 【分析】本题考查平行四边形的性质、直角三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 直接利用平行四边形的性质以及结合三角形内角和定理得出答案． 【详解】解：， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ， ， ， ． 故答案为：． 18． 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．作辅助线构造全等三角形是解题的关键； 过点D作，且，分别连接；证明，则有，故，当点G在上时，取得最小值，且最小值为线段的长，在中，由勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，过点D作，且，分别连接； 则， ∴； 在▱中，， ∴； ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， 当点G在上时，取得最小值，且最小值为线段的长； 在中，由勾股定理得：， 即的最小值为． 故答案为：． 19．，． 【分析】此题考查了平行四边形的性质，熟记平行四边形的性质是解题的关键． 由四边形是平行四边形，可得对边平行，对角相等，根据平行线的性质即可求出这个平行四边形其余各内角的度数． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵比大， ∴ ∴ ∴， ∴， ∴． 20．见解析 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，平行线的性质与判定，由平行四边形的性质得到，再由平行线的性质得到，，则可证明，得到． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 21．见解析 【分析】此题重点考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，由平行四边形的性质得，，则，而，即可根据证明，则． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 22．见解析 【分析】此题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质等知识．又由平行四边形的性质得到，证明，则，即可证明结论． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 又∵点E是的中点， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∴． 23．证明见解析 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，等角对等边．由平行四边形的性质得到，，再由角平分线的定义和平行线的性质得到，则，同理可得，由此即可证明结论． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∴， ∴，即． 24．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据题意得到，可证明，即可得到结论； （2）根据题意得到，，，求出，得到，，得到． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，， ∴， 在和中， ， ， ； （2）解：四边形是平行四边形， ，，， 为中点， ， ，， ， ， 在中，由勾股定理得； ， ， 由（1）知， ， ， ，， ∴． 25．(1)4 (2) (3)的长为5或6 (4)的长为3或 【分析】（1）根据点到直线的距离及平行四边形的面积公式计算即可； （2）当时，点恰好在边上，可求得；当平分时，点恰好在边上，根据平行四边形及轴对称的性质，可得；根据这两个临界值即可求得答案； （3）当时，根据轴对称的性质可推得的值；当时，过点A作于点H，根据勾股定理及等腰三角形的三线合一性质，可求得的值； （4）当时，点恰好在边上，和重新拼成的图形为，由（1）知；当B、A、三点共线时，和重新拼成的图形为，过点A作于点H，设，根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）解：设点A到边的距离为h， 则， ， ， 点A到边的距离是4． 故答案为：4． （2）解：当时，点恰好在边上， ，， ； 当平分时，点恰好在边上， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ； 的取值范围为； 故答案为：． （3）解：当时， 又由已知得，， ； 当时， 过点A作于点H， ， ， ， 在中，，， ， ； 综上所述，的长为5或6； （4）解：当时，点恰好在边上，和重新拼成的图形为， 由（1）知，； 当B、A、三点共线时，和重新拼成的图形为， ， 与关于直线轴对称， ， 过点A作于点H， 设， 由（2）知，，， ， 根据勾股定理可得， ， 解得， ； 综上所述，的长为3或． 【点睛】本题考查了图形轴对称的性质，点到直线的距离，平行四边形的性质，等腰三角形的判定，勾股定理等知识，在点P运动过程中正确画出符合条件的图形是解题的关键． 26．(1)①平行四边形的对边相等；② (2)①见解析；②见解析 (3)或 【分析】（1）根据平行四边形及，即可解答； （2）如图；将绕点顺时针旋转，可得是等腰三角形，即可证； （3）设 ，根据图形不同，分类讨论分析即可解答. 【详解】（1）证明：四边形为平行四边形， （依据：①平行四边形的对边相等） 点是边的中点， ． 又， ． ． 中，， ． 同理． 四边形为平行四边形， ②． 故答案为：①平行四边形的对边相等；②； （2）①∵ ∴ 如图；将绕点顺时针旋转， ∵ ∴ ∴是等腰三角形 ②如图，为直径，交于点；则 （3）设 ∵平分 ∴ ，则 同理，平分 有两种情况： ①若在的右边，如图； ∴ ∵ ∴ ，解得：， ∴； ②若在的左边，如图； ∴ ∵ ∴ ，解得：， ∴； 综上所述：的值为或 【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定，角平分线的性质，平行线的性质，分类讨论的方法，解题关键在于熟练掌握各个知识点的内容和辅助线的解题技巧. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $