1.7正方形课后培优提升训练 2025—2026学年湘教版数学八年级下册

1.7正方形课后培优提升训练湘教版2025—2026学年八年级下册 一、选择题 1．正方形具有而菱形不一定具有的性质是（   ） A．对角线相等 B．对角线互相垂直 C．对角线平分一组对角 D．对角线互相平分 2．下列说法中，正确的是（   ） A．有一组邻边相等的四边形是正方形 B．有一个角是直角的平行四边形是正方形 C．有一组邻边相等的平行四边形是正方形 D．有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形 3．如图，E是正方形内一点，将绕点B顺时针旋转与重合，若，则EF长为（   ） A．2 B． C． D． 4．如图，在正方形和正方形中，点在上，点在同一条直线上，，，是的中点，连接，则的长是（    ）． A．6 B． C． D．10 5．如图，四边形为正方形，点在对角线上，，，．小红以的速度沿路线行走到处，小明以小红速度的1.25倍沿行走到处．若小红行走的路程为，则小明行走的时间为（    ） A． B． C． D． 6．如图，在正方形中，点、分别在，上，连接，，．若，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 7．如图，在正方形中，，将沿折叠至，延长交于点G．若点G刚好是的中点，则的长是（    ） A．1 B． C． D．3 8．如图，四边形是正方形，是的中点，将正方形折叠，使点与点重合，折痕为，若正方形的边长为，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 9．如图，点E是正方形内部一点，连接，，若，，则的度数为 ． 10．如图，在正方形中，，点分别是边的中点，连接，则四边形的面积为 ． 11．如图，直线上有三个正方形、、，若正方形、的面积分别是和，则正方形的面积为 ．    12．如图，正方形中，，分别交、于、，连、，下列结论：①；②；③且；④若为中点，则为三等分点．其中正确的是 三、解答题 13．如图，正方形的边长为6，分别是边上的点，且，将绕点顺时针旋转，得到． (1)求证：． (2)若，求的长． 14．（1）如图1，在正方形中，点，分别在边，上，，垂足为点．求证：． （2）如图2，在正方形中，点，分别在边，上，，延长到点，使，连接．求证：． 15．如图，已知正方形中，E为延长线上一点，且，M、N分别为、的中点，连接交于O，交于H点． (1)求证：； (2)求证：； (3)过A作于P点，连接，则的值． 16．如图，在正方形中，点E在边上，交于点F，将线段绕点E顺时针旋转到，连接，，． (1)求证：； (2)判断四边形的形状并证明； (3)在点E的运动过程中，的度数是否变化？若不变，请求出这个角的度数，若变化，请说明你的理由． 17．如下图，在正方形中，为边上一点，为延长线上一点，且．连接，交于点，连接． (1)猜想与之间的关系？并说明理由； (2)若，求的度数； (3)如图2，延长交于点，连接，与交于点，与交于点，连接，若，猜想，的数量关系，并证明． 18．如图，四边形ABCD为正方形，E为射线AC上一点，连接DE，过点E作，交射线BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG． (1)如图①，当点E在线段AC的延长线上时，求证：矩形DEFG是正方形． (2)如图②，当点E在线段AC上时， ①若，，求CG的长度； ②当线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是时，直接写出的度数：__________． 参考答案 一、选择题 1．A 2．D 3．B 4．C 5．D 6．D 7．B 8．C 二、填空题 9．64 10．9 11． 12．①②③④ 三、解答题 13．【详解】（1）证明：∵四边形为正方形， ∴， ∵， ∴， 由旋转的性质，可得， ∴． ∴， ∵， ∴（）． （2）解：∵四边形为正方形， ∴， ∴． 由旋转的性质，可得． ∵． ∴， 设，则． ∴， 在中，， 即， 解得． ∴的长为． 14．【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴； （2）证明：四边形是正方形， ，，， ， ， ， 又， ， 点在的延长线上， ， ， ， ， ， . 15．【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ， ， ， ， ， ． （2）证明：延长至，且使，连接， ∴， 则， ∵四边形是正方形， ， 在和中， ， ， ， ， ∴为的中点， 又∵为的中点， ∴为的中位线， ， ． （3）解：过点作交于， 则， ， ， ， ， ， ∴， ∴， ， 在和中， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ． 16．【详解】（1）证明：∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：四边形为平行四边形，证明如下： ∵将线段绕点E顺时针旋转到， ∴，， 由（1）可得：， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形为平行四边形； （3）解：的度数不变， ∵四边形为正方形， ∴，， ∵将线段绕点E顺时针旋转到， ∴，， ∴， ∵， ∴， 如图，作交的延长线于点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 即的度数不变，为． 17．【详解】（1）解： 且理由如下： ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， 即， ∴， ∴且． （2）解：如图，过E点作交于H点， 则，， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵中， ∴， ∴， ∵正方形中，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． （3）解：，理由如下： ∵，， ∴，且， ∴，， ∴， ∵和中，，， ∴， ∴， ∴ 即， 在和中 ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 18．【详解】（1）证明：如图①，过点E作，交DC的延长线于点P，，交BC的延长线于点Q，则四边形为矩形， ∴． ∵， ∴，， ∴四边形为正方形，． ∵， ∴， ∴． 在和中: ∴， ∴， ∴矩形是正方形． （2）解：①如图②，在中，由勾股定理，得， ∵， ∴， ∴点F与点C重合，此时是等腰直角三角形， ∴矩形是正方形，． ②分以下两种情况讨论：①如图③，当与的夹角为时，． ∵， ∴． ∵， ∴； ②如图④，当与的夹角为时， ∵， ∴． 综上所述，当线段与正方形的某条边的夹角是时，的度数为或． 学科网（北京）股份有限公司 $