精品解析：山东省德州市庆云县2025-2026学年第一学期期末考试八年级数学试题

山东省德州市庆云县2025-2026学年第一学期期末考试 八年级数学试题 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分） 1. 下列4个汉字中，从数学的角度可以看作轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C D. 3. 一副标准直角三角板 (分别含 角与 角)，如图所示叠放，则图中 的度数是 （ ） A. B. C. D. 4. 准备一把剪刀和一张正方形纸片，记正方形纸片的边长为a，现在进行以下操作： （1）从正方形纸片中剪去一个边长为b的小正方形，如图1，再沿线段把纸片剪开． （2）把剪成的两张纸片拼成如图2的长方形．从上述活动中，你可以得到的代数结论是（ ） A. B. C. D. 5. 两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，如图，四边形是一个筝形，，，下列说法：①；②；③：④．其中正确的是（ ） A. ①④ B. ①②③ C. ①③④ D. ①②③④ 6. 已知是方程的解，那么实数的值为（ ） A. B. 2 C. D. 4 7. 如图，等边，点，，分别在边，，上，且，将沿直线翻折，恰使点与点重合，下列结论中错误的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，大正方形与小正方形的面积之差是48，则阴影部分的面积是（ ） A 12 B. 18 C. 24 D. 30 9. 如图，在中，，是的平分线．若分别是和上的动点，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，△ABC、△CDE 都是等腰三角形，且CA＝CB, CD＝CE,∠ACB＝∠DCE＝α,AD,BE相交于点O，点M,N分别是线段AD,BE的中点，以下4个结论:①AD＝BE;②∠DOB＝180°－α;③△CMN是等边三角形；④连OC,则OC平分∠AOE.正确的是（ ） A ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ①②③④ 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11. 写出使分式有意义的的一个值______． 12. 因式分解____________． 13. 如图，中，是边上的高，是的平分线，则的度数是______． 14. 在中，，点在射线上，，连接，，则_____度． 15. 如图，在中，，过点C作，且，连接，，则的长为____． 三、解答题（本大题共8小题，共90分） 16. 计算： （1）先化简，然后在中选一个你认为合适的的值，代入求值； （2）． 17. 如图，已知，点，在线段上，且． 请从①；②；③中．选择一个合适的选项作为已知条件，使得． 你添加的条件是：__________（只填写一个序号）． 添加条件后，请证明． 18. 如图所示，三个顶点的坐标分别为． （1）作关于x轴的对称图形； （2）在x轴上存在点P，使得面积，求出点P的坐标． 19. 如图，电信部门要在S区修建一座电视信号发射塔E．按照设计要求，发射塔与两个城镇A，B的距离相等，到两条高速公路和的距离也相等．发射塔E应修建在什么位置？在图上标出发射塔E的位置．（保留作图痕迹，不写作法） 20. 如图，在等边中，，、相交于点． （1）求证； （2）过点作，垂足为．若，，求的长． 21. 9月25日8时44分，中国人民解放军火箭军向太平洋相关公海海域，成功发射1发携载训练模拟弹头洲际弹道导弹，准确落入预定海域．某校的一个数学兴趣小组看到新闻后，产生浓厚的兴趣，参加了学校科技节比赛，制作了如图1所示航天火箭模型，为了向全校同学宣传自己的科技作品，用板制作了如图2所示的宣传版画，它是由一个三角形，两个梯形组成，已知板（阴影部分）的尺寸如图2所示． （1）用含a、b的代数式表示图2的板模型的总面积（结果需化简）； （2）若，，求板总面积． 22. 下面是嘉淇学习“分式方程的应用”时的课堂笔记，请认真阅读并解决相应的问题． 题目：某商店准备购进甲、乙两种商品，甲种商品每件的进价比乙种商品每件的进价多20元，用2000元购进甲种商品和用1200元购进乙种商品的数量相同，求甲、乙两种商品每件的进价各是多少元？ 方法 分析问题 列出方程 解法一 设…… 等量关系：甲商品数量乙商品数量 解法二 设…… 等量关系：甲商品进价乙商品进价 （1）解法一所列方程中的x表示 （填序号），解法二所列方程中的x表示 （填序号）； ①甲种商品每件进价x元；②乙种商品每件进价x元；③甲种商品购进x件． （2）请你选择其中的一种解法，写出完整的解答过程． 23. 已知：平面直角坐标系中，点A在y轴的正半轴上，点B在第二象限，，与x轴正方向的夹角为． （1）________，为________三角形； （2）如图1，若，，点D为的中点，交于E，求证：； （3）如图2，若点E为y轴的正半轴上一动点，以为边作等边，延长交x轴于点P，问：与之间有何数量关系，试证明你的结论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山东省德州市庆云县2025-2026学年第一学期期末考试 八年级数学试题 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分） 1. 下列4个汉字中，从数学的角度可以看作轴对称图形的是（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 根据轴对称图形的意义，对四个汉字逐一分析，再作判断． 【详解】解：不能看作轴对称图形，故A不符合； 不能看作轴对称图形，故B不符合； 能看作轴对称图形，故C符合； 不能看作轴对称图形，故D不符合， 故选：C． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了整式的运算，包括幂的乘方、合并同类项、积的乘方和平方差公式．根据同底数幂乘法、合并同类项，单项式的乘法运算，积的乘方，平方差公式逐一计算各选项的正确性即可． 【详解】A．，故选项A计算错误，不合题意； B．与是不同类项，无法合并为，故选项B计算错误，不合题意； C．，选项运算正确，符合题意； D．，故选项D计算错误，不合题意； 故选C． 3. 一副标准直角三角板 (分别含 角与 角)，如图所示叠放，则图中 的度数是 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三角形外角，掌握相关知识是解决问题关键．由三角形外角可知． 【详解】解：， 故选：C． 4. 准备一把剪刀和一张正方形纸片，记正方形纸片的边长为a，现在进行以下操作： （1）从正方形纸片中剪去一个边长为b的小正方形，如图1，再沿线段把纸片剪开． （2）把剪成的两张纸片拼成如图2的长方形．从上述活动中，你可以得到的代数结论是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了平方差公式与几何图形，根据两个图形面积相等，即可得出结果． 【详解】解：图1的面积为：， 图2的面积为：， ∵两个图形面积相等， ∴，故A正确． 故选：A． 5. 两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，如图，四边形是一个筝形，，，下列说法：①；②；③：④．其中正确的是（ ） A. ①④ B. ①②③ C. ①③④ D. ①②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，利用证明即可判断①；根据与不一定相等即可判断②；证明，得出，即可判断③；求出，结合，，，即可判断④；熟练掌握全等三角形的判定与性质是解此题的关键． 【详解】解：在和中， ， ∴，故①正确； ∵与不一定相等， ∴无法证明，故②错误； ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，，故③正确； ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴，故④正确； 综上所述，正确的有①③④， 故选：C． 6. 已知是方程的解，那么实数的值为（ ） A. B. 2 C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】将代入方程，即可求解． 【详解】解：将代入方程，得 解得： 故选：B． 【点睛】本题考查分式方程的解，解题的关键是将代入原方程中得到关于的方程． 7. 如图，等边，点，，分别在边，，上，且，将沿直线翻折，恰使点与点重合，下列结论中错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，折叠的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理；根据等边三角形的性质与折叠的性质，含30度角的直角三角形的性质得出，，连接，交于点，得出是等腰直角三角形，得出，即可判断C，设，则，分别求得的长，即可判断D选项． 【详解】解：∵等边， ∴ ∵， ∴ ∴，故A正确； 连接，交于点， 将沿直线翻折，恰使点与点重合， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴，故B错误，符合题意； ∵将沿直线翻折，恰使点与点重合 ∴ 又∵ ∴，即，故C正确， 设，则， ∴ ∴， ∴ 又∵ ∴， ∴ ∴ ∴ ∴，故D正确， 故选：B． 8. 如图，大正方形与小正方形的面积之差是48，则阴影部分的面积是（ ） A. 12 B. 18 C. 24 D. 30 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查正方形的面积，三角形的面积与平方差公式的运用，理解图形中阴影部分面积的计算方法，掌握平方差公式的运用是解题的关键．根据题意，设大正方形的边长为，小正方形的边长为，可得，从图示可知阴影部分的面积，由此即可求解． 【详解】解：设大正方形的边长为，小正方形的边长为， ∴，， ∵大正方形与小正方形的面积之差是48， ∴， 根据图示可得，， ∴，， ∴阴影部分的面积 ， 故选：C． 9. 如图，在中，，是的平分线．若分别是和上的动点，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可以把关于对称到的点，如此的最小值问题即变为与线段上某一点的最短距离问题，最后根据垂线段最短的原理得解． 【详解】解：如图，作关于的对称点，则，连接，过点作于点，所以、、三点共线时，，此时有可能取得最小值， 当垂直于即移到位置时，的长度最小， 的最小值即为的长度， ， ，即的最小值为． 故选：B． 【点睛】本题考查了轴对称最短路径问题，垂线段最短，通过轴对称把线段和最小的问题转化为线段外一点到线段某点连线段最短问题是解题关键． 10. 如图，△ABC、△CDE 都是等腰三角形，且CA＝CB, CD＝CE,∠ACB＝∠DCE＝α,AD,BE相交于点O，点M,N分别是线段AD,BE的中点，以下4个结论:①AD＝BE;②∠DOB＝180°－α;③△CMN是等边三角形；④连OC,则OC平分∠AOE.正确的是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ①②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】①根据全等三角形的判定定理得到△ACD≌△BCE（SAS），由全等三角形的性质得到AD=BE；故①正确； ②设CD与BE交于F，根据全等三角形的性质得到∠ADC=∠BEC，得到∠DOE=∠DCE=α，根据平角的定义得到∠BOD=180°-∠DOE=180°-α，故②正确； ③根据全等三角形的性质得到∠CAD=∠CBE，AD=BE，AC=BC根据线段的中点的定义得到AM=BN，根据全等三角形的性质得到CM=CN，∠ACM=∠BCN，得到∠MCN=α，推出△MNC不一定是等边三角形，故③不符合题意； ④过C作CG⊥BE于G，CH⊥AD于H，根据全等三角形的性质得到CH=CG，根据角平分线的判定定理即可得到OC平分∠AOE，故④正确． 【详解】解：①∵CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=α， ∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD， ∴∠ACD=∠BCE， 在△ACD和△BCE中 ∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴AD=BE；故①正确； ②设CD与BE交于F， ∵△ACD≌△BCE， ∴∠ADC=∠BEC， ∵∠CFE=∠DFO， ∴∠DOE=∠DCE=α， ∴∠BOD=180°-∠DOE=180°-α，故②正确； ③∵△ACD≌△BCE， ∴∠CAD=∠CBE，AD=BE，AC=BC 又∵点M、N分别是线段AD、BE的中点， ∴AM=AD，BN=BE， ∴AM=BN， 在△ACM和△BCN中 ∴△ACM≌△BCN（SAS）， ∴CM=CN，∠ACM=∠BCN， 又∠ACB=α， ∴∠ACM+∠MCB=α， ∴∠BCN+∠MCB=α， ∴∠MCN=α， ∴△MNC不一定等边三角形，故③不符合题意； ④过C作CG⊥BE于G，CH⊥AD于H， ∴∠CHD=∠ECG=90°，∵∠CEG=∠CDH，CE=CD， ∴△CGE≌△CHD（AAS）， ∴CH=CG， ∴OC平分∠AOE，故④正确， 故选：B． 【点睛】本题综合考查了全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，等边三角形的性质和判定等知识点的应用，解此题的关键是根据性质进行推理，此题综合性比较强，有一定的代表性． 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11. 写出使分式有意义的的一个值______． 【答案】1（不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查了分式有意义条件，掌握分式有意义的条件为分母不等于零是解题的关键． 先根据分式有意义的确定x的取值范围，然后确定x的可能取的值即可． 【详解】解：∵分式有意义， ∴，解得：． ∴的取值可以为． 故答案为：1（不唯一）． 12. 因式分解____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了综合运用提公因式以及公式法分解因式，先提取公因式，再利用完全平方公式进行因式分解． 【详解】解： 故答案为： 13. 如图，中，是边上的高，是的平分线，则的度数是______． 【答案】##100度 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和以及外角性质、角平分线的定义．先求出，结合高的定义，得，因为角平分线的定义得，运用三角形的外角性质，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∵是边上的高， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴． 故答案为：． 14. 在中，，点在射线上，，连接，，则_____度． 【答案】40 或60 【解析】 【分析】题目主要考查等腰三角形的性质及三角形内角和定理，理解题意，作出相应图形求解是解题关键． 根据题意分两种情况，当点D在射线上时，当点D在线段上时，作出图形，然后根据等腰三角形的性质得出，再由三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：当点D在射线上时，如图所示： ∵，， ∴， ∵点D在射线上，且在点B之外， ∴，即， ∴， ∴； 当点D在线段上时，如图所示： ∵，， ∴， ∵点D在线段上，且在点B之内， ∴， ∴； 故答案为：40 或60． 15. 如图，在中，，过点C作，且，连接，，则的长为____． 【答案】4 【解析】 【分析】过点D作交的延长线于点M，证明，根据三角形的面积公式，开平方解答即可． 本题考查了互余的性质，平角定义，三角形全等的判定和性质，三角形面积公式，平方根，熟练掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：过点D作交的延长线于点M， ∵，，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴（舍去）， 故答案为：4． 三、解答题（本大题共8小题，共90分） 16. 计算： （1）先化简，然后在中选一个你认为合适的的值，代入求值； （2）． 【答案】（1）； （2）原方程的解为． 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值、解分式方程．熟练掌握运算顺序和法则，分式有意义条件，是解本题的关键． （1）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，根据分式有意义的条件把代入计算即可求出值． （2）先去分母化为整式方程，再解整式方程，检验即可． 【小问1详解】 解： ∴当时， 原式 【小问2详解】 解：， ， 解得：， 检验：当时，， ∴原方程的解为 17. 如图，已知，点，在线段上，且． 请从①；②；③中．选择一个合适的选项作为已知条件，使得． 你添加的条件是：__________（只填写一个序号）． 添加条件后，请证明． 【答案】①（或②） 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质及平行线的判定，解答的关键是熟记全等三角形的判定定理与性质并灵活运用．利用全等三角形的判定定理进行分析，选取合适的条件进行求解，再根据全等三角形的性质及平行线的判定证明即可． 【详解】解：可选取①或②（只选一个即可）， 证明：当选取①时， 在与中， ， ， ， ， ， ， 在与中， ， ， ， ； 证明：当选取②时， 在与中， ， ， ，， ， ， 在与中， ， ， ， ； 故答案为：①（或②） 18. 如图所示，三个顶点的坐标分别为． （1）作关于x轴的对称图形； （2）在x轴上存在点P，使得的面积，求出点P的坐标． 【答案】（1）见详解 （2）或 【解析】 【分析】本题考查了作轴对称图形，利用网格求三角形面积等知识 （1）根据三个顶点的坐标分别为可以得到关于x轴的对称图形的三个顶点坐标为，再顺次连接即可； （2）先求出，设点P坐标为，则，根据列方程得，即可求出或，问题得解． 【小问1详解】 解：如图，记为所求作的三角形； 【小问2详解】 解：由题意得， 设点P坐标为，则， ∵ ∴， ∴， ∴或， ∴点P的坐标为或． 19. 如图，电信部门要在S区修建一座电视信号发射塔E．按照设计要求，发射塔与两个城镇A，B的距离相等，到两条高速公路和的距离也相等．发射塔E应修建在什么位置？在图上标出发射塔E的位置．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图作角平分线，尺规作图作垂直平分线． 分别作的垂直平分线，的角平分线，交点处即为发射塔E的位置． 【详解】解：发射塔E的位置如图所示． 20. 如图，在等边中，，、相交于点． （1）求证； （2）过点作，垂足为．若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）7 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）利用等边三角形的性质可得，，由可得出，最后利用全等三角形判定定理即可证明； （2）利用全等三角形的性质可得，，利用三角形的外角的性质得出，利用含角直角三角形的性质可得，最后利用线段的和差关系即可求出的长． 【小问1详解】 证明：等边， ，， ， ，即， 在和中， ， ． 【小问2详解】 解：由（1）得，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 的长为7． 21. 9月25日8时44分，中国人民解放军火箭军向太平洋相关公海海域，成功发射1发携载训练模拟弹头的洲际弹道导弹，准确落入预定海域．某校的一个数学兴趣小组看到新闻后，产生浓厚的兴趣，参加了学校科技节比赛，制作了如图1所示航天火箭模型，为了向全校同学宣传自己的科技作品，用板制作了如图2所示的宣传版画，它是由一个三角形，两个梯形组成，已知板（阴影部分）的尺寸如图2所示． （1）用含a、b的代数式表示图2的板模型的总面积（结果需化简）； （2）若，，求板总面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算、完全平方公式的运用，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）根据板模型的总面积为上面的三角形的面积中间梯形的面积下面梯形的面积，列式计算即可得解； （2）先利用完全平方公式得出，再代入（1）中所求的式子即可得解． 【小问1详解】 解：由图可得： 板模型的总面积为： ； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴板模型的总面积为． 22. 下面是嘉淇学习“分式方程的应用”时的课堂笔记，请认真阅读并解决相应的问题． 题目：某商店准备购进甲、乙两种商品，甲种商品每件的进价比乙种商品每件的进价多20元，用2000元购进甲种商品和用1200元购进乙种商品的数量相同，求甲、乙两种商品每件的进价各是多少元？ 方法 分析问题 列出方程 解法一 设…… 等量关系：甲商品数量乙商品数量 解法二 设…… 等量关系：甲商品进价乙商品进价 （1）解法一所列方程中的x表示 （填序号），解法二所列方程中的x表示 （填序号）； ①甲种商品每件进价x元；②乙种商品每件进价x元；③甲种商品购进x件． （2）请你选择其中的一种解法，写出完整的解答过程． 【答案】（1）①，③ （2）甲种商品每件的进价为50元，乙种商品每件的进价为30元，过程见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）根据所列方程和题意即可得到答案； （2）解法一，设甲种商品每件进价x元，则乙种商品每件进价元，根据用2000元购进甲种商品和用1200元购进乙种商品数量相同，建立方程求解即可；解法二，设甲种商品购进x件，根据每种商品的单价等于总价除以数量，再结合甲种商品每件的进价比乙种商品每件的进价多20元建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得，解法一中x表示甲种商品每件进价x元， 解法二中x表示甲种商品购进x件， 故答案为：①，③； 【小问2详解】 解：解法一，设甲种商品每件进价x元，则乙种商品每件进价元， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：甲种商品每件的进价为50元，乙种商品每件的进价为30元； 解法二，设甲种商品购进x件， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：甲种商品每件的进价为50元，乙种商品每件的进价为30元． 23. 已知：平面直角坐标系中，点A在y轴的正半轴上，点B在第二象限，，与x轴正方向的夹角为． （1）________，为________三角形； （2）如图1，若，，点D为的中点，交于E，求证：； （3）如图2，若点E为y轴的正半轴上一动点，以为边作等边，延长交x轴于点P，问：与之间有何数量关系，试证明你的结论． 【答案】（1）；等边 （2）见解析 （3），理由 【解析】 【分析】（1）根据与x轴正半轴夹角为，可得，根据等边三角形的判定即可证明是等边三角形； （2）在上截取，可得，根据等边三角形与等腰三角形及各角之间的数量关系可得，由全等三角形的判定及性质可得为等边三角形，再由各线段之间的数量关系即可证明； （3）根据等边三角形的性质及各角之间的关系可得，再利用全等三角形的判定与性质及各角之间的等量关系可得，再由角所对的直角边是斜边的一半即可得出结论． 【小问1详解】 解：∵OB与x轴正半轴夹角为150°， ∴， ∵， ∴为等边三角形； 故答案为：；等边； 【小问2详解】 解：如图所示：在上截取，可得，即， ∵为等边三角形，为等腰直角三角形， ∴， ∵D为的中点， ∴BD平分，即， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴ ∴为等边三角形， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：，理由为： ∵与都为等边三角形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵为的外角，且， ∴， 在中，， 则． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形外角定理，角的直角三角形的性质等，综合运用各个性质定理是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $