第二十一章四边形单元验收卷 2025-2026学年人教版数学八年级下册（重庆适用）

弈泓共享数学 单元验收卷03 第二十一章四边形 （考试时间：120分钟，分值：150分） 第Ⅰ卷 一﹑选择题：本题共10小题，每小题10分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列图形中不具有稳定性的是（    ） A． B． C． D． 【详解】解：A、该图形包含未被三角形完全分割的四边形结构，不具有稳定性，此选项符合题意； B、图形由多个三角形组成，三角形具有稳定性，此选项不符合题意； C、四边形被对角线分隔为两个三角形，三角形具有稳定性，此选项不符合题意； D、图形是三角形，三角形具有稳定性，此选项不符合题意． 故选：A． 2．如图， 矩形的对角线， 相交于点O，若， 则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【分析】本题考查矩形的性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．利用矩形的性质得出，，即可解答． 【详解】解：∵四边形是矩形，对角线、相交于点， ∴，， ∴， 故选：C． 3．如图，在中，是边上的中线，且，则的长是（     ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】D 【分析】本题考查斜边上的中线，根据斜边上的中线等于斜边的一半，即可得出结果． 【详解】解：∵是边上的中线，且， ∴； 故选D． 4．一个正六边形的内角和为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了多边形内角和，解题关键是掌握多边形的内角和公式，其中为边数．利用多边形的内角和公式计算即可． 【详解】解：一个正六边形的内角和为， 故选：A． 5．如图，某公园计划建造一个菱形的郁金香花坛，若菱形花坛的两条对角线、的长分别为6米和10米，则菱形花坛的面积为（    ） A．60平方米 B．50平方米 C．40平方米 D．30平方米 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的性质，熟知菱形的面积等于对角线长乘积的一半是解题的关键．根据菱形的面积等于对角线长乘积的一半计算即可． 【详解】解：∵菱形花坛的两条对角线的长分别为6米和10米， ∴菱形花坛的面积为（平方米）， 故选：D． 6．下列命题中，是假命题的是（   ） A．四个角相等的四边形是矩形 B．对角线互相平分的四边形是平行四边形 C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形 【答案】D 【分析】本题考查命题，特殊四边形的判定，根据矩形、平行四边形、菱形、正方形的判定定理，逐一判断各命题的真假即可． 【详解】解：A、∵四边形内角和为，四个角相等的四边形每个内角为， ∴四个角相等的四边形是矩形，A是真命题； B、∵对角线互相平分的四边形是平行四边形是平行四边形的判定定理， ∴B是真命题； C、∵对角线互相垂直的平行四边形是菱形是菱形的判定定理， ∴C是真命题； D、∵对角线互相垂直平分的四边形是菱形，只有对角线垂直平分且相等的四边形才是正方形， ∴D是假命题． 故选：D． 7．如图，点是正方形的中心（对角线的交点），以点为直角顶点作，的两直角边，分别交，于点，，若正方形的边长为8，则重叠部分四边形的面积为（    ） A．6 B．9 C．12 D．16 【答案】D 【分析】本题考查了正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质. 先过点E分别作，，证明四边形是正方形，再得出，故重叠部分四边形的面积为，则，即可作答． 【详解】解：过点E分别作，，如图所示： ∵四边形是正方形，正方形的边长为8， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∵点E是正方形的中心， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∵的两直角边分别交于点M，N， ∴ ∴ ∵，， ∴ ∴ 则重叠部分四边形的面积为， ∴， 即重叠部分四边形的面积为， 故选：D． 8．如图，平行四边形中，对角线于点，点为的中点．若平行四边形的周长为40，则的长为（   ） A．10 B． C． D．5 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、菱形的判定和性质、三角形中位线定理，证明四边形是菱形是关键． 证明四边形是菱形，则,再根据三角形中位线定理即可求出答案． 【详解】解：∵平行四边形中，对角线于点， ∴四边形是菱形， ∴ ∵平行四边形的周长为40， ∴, ∵是中点，是中点， ∴. 故选：D． 9．如图，将矩形纸片按如图所示的方式折叠，为折痕，AB=，．折叠后，点B落在边上的B1处，点C落在边上的C1处．则（    ） A． B．2 C．3 D．2 【答案】C 【分析】和对折，两三角形全等，和对折，两三角形也全等，根据含30°角的直角三角形的性质，勾股定理可证明是等边三角形，即可求出． 【详解】解：∵和对折， ∴， ∴， ∵， ∴ 又即 ∴（负值舍去），， ∵， ∴ 又， ∴ 又 ∴， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 10．如图，正方形的边长是3，点是边上一点，，是边上一点，，连接，，点是的中点，连接，于点，则的长为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【详解】解：连接，， ∵正方形的边长是3， ∴，， ∵， ∴， ∴，，， ∵点是的中点， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 第Ⅱ卷 二﹑填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。 11．如图，正六边形与正方形的两邻边相交，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是对顶角的性质，多边形和正多边形的内角和．熟练掌握正多边形每个内角的求解公式是解题的关键．先根据正多边形每个内角为，得到正六边形和正方形每个内角的度数，再结合四边形的内角和以及对顶角的性质可得答案． 【详解】解：如图， 由多边形内角和、外角和定理可知，， ∵， ∴． ∵，， ∴． 故答案为． 12．如图，小驰用四根木条钉成一个木框，推动得到．现测得，，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了平行四边形的性质，根据平行四边形的性质结合题意得到，由，代入计算即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为： ． 13．一个直角三角形斜边上的中线长度为5，则斜边的长度为 ． 【答案】10 【分析】本题考查直角三角形斜边上中线的性质，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，直接计算斜边长度． 【详解】解：∵直角三角形斜边上的中线长度为5， ∴斜边的长度为． 故答案为：10． 14．如图，两个正六边形的边长都为，将它们的一边重合在一起，顶点，之间的距离为 ． 【答案】 【分析】本题考查了六边形的性质，作出右边正六边形的对角线，三条对角线交于点，根据正六边形的性质可得是等边三角形，根据等边三角形的性质可得：，利用线段之间的关系即可求出的长度． 【详解】解：如下图所示，连接正六边形的对角线，三条对角线交于点， 可得：， 正六边形是轴对称图形， ， 是等边三角形， 正六边形的边长都为， ， ． 故答案为： ． 15．如图，在正方形中，，，交于点，点为的中点，连接，则的长为 ．    【答案】 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴，即是直角三角形， ∵点为的中点， ∴， 故答案为：． 16．如图所示正方形的边长为16，为中点，连接，把沿翻折至，延长，交于点，连接．则下列结论正确的有 ．（填序号即可） ①；②；③；④；⑤ 【答案】①②④⑤ 【详解】在正方形中，， ， ， ， ，故①正确； ，， ， ， ， ，故②正确； 设， 又， ， 在中，， 在中，， ， ，故③错误； ， ，设， ， 在中，由勾股定理得：， ， 解得:， ，故④正确； 点为中点， ， ， 在中，， ， 由三角形内角和定理得:， ， ， 即， ，故⑤正确． 故答案为：①②④⑤． 三﹑解答题：（本题共9小题，17和18题每题8分，19-25题每题10分，共86分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．如果一个多边形的边数为n，就说这个多边形为n边形．多边形所有内角的度数和就是多边形的内角和． (1)求四边形和五边形的内角和； (2)如果一个n边形的内角和为，求n的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了多边形内角和公式，解题的关键是熟练掌握边形内角和公式为． （1）直接根据多边形内角和公式求解即可； （2）由多边形内角和公式得到方程，即可求解． 【详解】（1）解：四边形的内角和为；五边形的内角和为； （2）解：由题意得，， 解得． 18．如图，在四边形中，点为的中点，连接，并延长交的延长线于点，已知． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查全等三角形的判定，平行四边形的性质和判定，熟练掌握全等三角形、平行四边形的判定方法是解题的关键． （1）由点为的中点可得，由两直线平行，内错角相等，得出，利用即可证明； （2）由两组对边分别平行的四边形是平行四边形，得出四边形是平行四边形，从而得到，由点为的中点可得，即可求得的长． 【详解】（1）证明：点为的中点， ， ， ， 在和中， ， ； （2）解：，， 四边形是平行四边形， ， 点为的中点，， ， ． 19．探究小组在研究平行四边形时发现：过平行四边形两条对角线的交点作其中一条对角线的垂线，与一组对边所在直线相交所得的两点和该对角线的两个端点连成的四边形是菱形．现在你作为小组成员，请根据以上思路，完成以下作图和填空： 第一步：画垂线（不写作法，保留作图痕迹） 如图，在中，点为对角线，的交点．用尺规过点作的垂线，分别交直线，于点，，连接，． 第二步：证明四边形是菱形． 证明：四边形是平行四边形， ． ， 垂直平分， ①______． 四边形是平行四边形， ， ②______． ， ， ③______． ， ④______． 又， 四边形是菱形． 【答案】图见解析；；；；四边形是平行四边形 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、菱形的判定定理、全等三角形的判定与性质，根据题意画出图形即可，由平行四边形的性质可得，证明垂直平分，得出，再证明得出，再证明四边形是平行四边形，结合即可得证，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：图形如图所示： ， 证明：四边形是平行四边形， ． ， 垂直平分， ． 四边形是平行四边形， ， ． ， ， ． ， 四边形是平行四边形． 又， 四边形是菱形． 20．如图，在中，于点E，延长至点F，使，连接，与交于点O． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)2.4 【分析】本题考查矩形的判定和性质，平行四边形的性质，勾股定理的逆定理，关键是由平行四边形的性质推出，由勾股定理的逆定理判定是直角三角形， （1）由平行四边形的性质推出，，得到，判定四边形是平行四边形，而，即可证明四边形是矩形． （2）由勾股定理的逆定理判定是直角三角形，由三角形面积公式得到，即可求出． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形． （2）解：由（1）知：四边形是矩形，又， ∴， ∵，， ∴， ∴是直角三角形， ∴的面积， ∴， ∴． 21．在学习了《平行四边形》之后，小颖同学和小慧同学对平行四边形进行了更为深入的探究． 【初步探究】 如图1，小颖同学连接了的对角线，并发现当时，与之间存在一定的数量关系，请直接写出这个数量关系； 【深入探究】 在小颖同学发现的基础上，小慧同学大胆提出一个猜想：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．如图2，是（）斜边上的中线，请根据小慧同学的猜想写出中线与斜边的数量关系，并证明这个数量关系； 【拓展延伸】 如图3，小颖同学和小慧同学在图2中的基础上又作了，使（点在斜边所在直线的同侧），且平分．连接，请帮助小颖同学和小慧同学判断与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】【初步探究】：；【深入探究】：；【拓展延伸】，理由见解析． 【分析】本题考查了平行四边形的性质、三角形全等的判定与性质、直角三角形斜边中线的性质、角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质；解题的关键是熟练掌握判定全等三角形的条件与直角三角形斜边中线的性质，结合角平分线的性质推导角的关系． [初步探究]由 ,结合平行四边形的性质可证，从而得到； [深入探究]延长至点，使，连接、，先证四边形是平行四边形，仿照[初步探究]证明，从而得到，进而推出； [拓展延伸]根据深入探究的结论，得到，，故，结合平分，推出． 【详解】[初步探究]数量关系： 解： 四边形是平行四边形， ∴, ∴, ∵， ∴, ∴, 又, ， ． [深入探究]数量关系： 证明：如图，延长到点，使，即，连接， 是斜边上的中线， ． 四边形为平行四边形． ， 又， ，在和中， ， ． [拓展延伸] 解：理由如下：取和的斜边的中点，连接交于点， 由[深入探究]得， ， ， ， 平分， ， ，即， ， ， ， 所在的直线是线段的垂直平分线， ， ． 22．如图，在四边形中，，．点P从点A出发，以1/秒的速度向点B运动；同时点Q从点C出发，以2/秒的速度向点D运动．规定其中一个动点到达终点时另一个动点也随之停止运动．设点Q运动的时间为t秒． (1)当四边形是矩形时，直接写出t的值为 ； (2)在点P，Q运动过程中，若四边形能够成为菱形，求的长． 【答案】(1)； (2)4 【分析】（1）利用时间路程速度，可确定t的取值范围，当运动时间为t（）时，，，，，根据四边形是矩形（即），可列出关于t的一元一次方程，解之可得出t的值； （2）根据四边形是菱形（即），可列出关于t的一元一次方程，解之可得出t的值，将其代入中，可求出的长，再利用勾股定理，即可求出的长． 【详解】（1）解：（秒），（秒）． 当运动时间为t（）时，，，，， 根据题意得：， 解得：t， ∴当四边形是矩形时，t的值为． 故答案为：； （2）解：当四边形为菱形时，， ∴， 解得：， ∴， ∴． 答：的长为． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用、勾股定理、菱形的性质以及矩形的性质，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 23．【感知】如图1，在中，对角线，相交于点O，过点O的直线分别交边，于点E，F．易证：（不需要证明）． (1)【探究】如图2，在中，对角线，相交于点O，过点O的直线分别交边，的延长线于点E，F．求证：． (2)【应用】如图3，在中，对角线，相交于点O，过点O的直线分别交边，的延长线于点E，F．连接，，若，的面积为1，则的面积为______，四边形的面积为______． 【答案】(1)见解析 (2)3，12 【分析】本题考查平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质得到，证得，进而得到； （2）根据题意易得，进而得到，由（1）知，则，同理可得，再利用解答即可． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形 、 在和中 ； （2）解：、 由（1）知 同理可得 故答案为：3；12． 24．在正方形中，是上一动点（不与点，重合），是点关于直线的对称点，连接，，过点作于点，延长交的延长线于点． (1)依题意补全图形．若，求的大小（用含的式子表示）； (2)用等式表示线段与的数量关系，并证明． 【答案】(1)图形见解析； (2)，证明见解析 【分析】本题重点考查了正方形的性质，轴对称的性质，三角形全等的判定与性质，结合题中条件，与图形，灵活运用所学知识是解题的关键． （1）利用轴对称的性质，证明，推出，再由，得； （2）过点H，作，交延长线于点M，先在中，推出，再证明，推出，代入化简即可 【详解】（1）如图1所示： 四边形为正方形， ， 点关于的对称点F在的延长线上， 由对称性可知，，， 又， ， ， ， 又， ， ． （2），理由如下： 设，由（1）知，， 又， ， ， 如图2，过点H，作，交延长线于点M，则， 四边形为正方形， ， 又， ， 由勾股定理得， ， ， ， 又，， ， ， ，． 25．已知，在中，点在边上，过点作于点，点在边上，在边上，且是等边三角形，连接，． (1)如图，若，，，求的长； (2)如图，若平分，，且，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定： （1）证得，设，在中，根据勾股定理可知，求解即可求得答案； （2）过点作交于点，交于点，过点作交于点．证得，依据，，可求得，证明，得到，再证明，得到，即可求得答案． 【详解】（1）解：∵，四边形是平行四边形， ∴． ∵， ∴． ∵是等边三角形， ∴． ∵， 设，那么． 在中，根据勾股定理可知，即 ． 解得 或（舍去）． ∴． （2）证明：过点作交于点，交于点，过点作交于点． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵是等边三角形， ∴，． ∴． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴ ． ∵，， ∴． ∴． ∵，， ∴，，． ∴． ∴． ∴． ∵平分， ∴， ∴． 在中，． ∵， ∴． ∵，，， ∴． ∴． ∵，且，，， ∴． 精选考题刷题捷径第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $弈泓共享数学 单元验收卷03 第二十一章四边形 （考试时间：120分钟，分值：150分） 第Ⅰ卷 一﹑选择题：本题共10小题，每小题10分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列图形中不具有稳定性的是（    ） A． B． C． D． 2．如图， 矩形的对角线， 相交于点O，若， 则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 3．如图，在中，是边上的中线，且，则的长是（     ） A．3 B．6 C．9 D．12 4．一个正六边形的内角和为（   ） A． B． C． D． 5．如图，某公园计划建造一个菱形的郁金香花坛，若菱形花坛的两条对角线、的长分别为6米和10米，则菱形花坛的面积为（    ） A．60平方米 B．50平方米 C．40平方米 D．30平方米 6．下列命题中，是假命题的是（   ） A．四个角相等的四边形是矩形 B．对角线互相平分的四边形是平行四边形 C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形 7．如图，点是正方形的中心（对角线的交点），以点为直角顶点作，的两直角边，分别交，于点，，若正方形的边长为8，则重叠部分四边形的面积为（    ） A．6 B．9 C．12 D．16 8．如图，平行四边形中，对角线于点，点为的中点．若平行四边形的周长为40，则的长为（   ） A．10 B． C． D．5 9．如图，将矩形纸片按如图所示的方式折叠，为折痕，AB=，．折叠后，点B落在边上的B1处，点C落在边上的C1处．则（    ） A． B．2 C．3 D．2 10．如图，正方形的边长是3，点是边上一点，，是边上一点，，连接，，点是的中点，连接，于点，则的长为（   ） A．2 B． C． D． 第Ⅱ卷 二﹑填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。 11．如图，正六边形与正方形的两邻边相交，则 ． 12．如图，小驰用四根木条钉成一个木框，推动得到．现测得，，则的度数为 ． 13．一个直角三角形斜边上的中线长度为5，则斜边的长度为 ． 14．如图，两个正六边形的边长都为，将它们的一边重合在一起，顶点，之间的距离为 ． 15．如图，在正方形中，，，交于点，点为的中点，连接，则的长为 ．    16．如图所示正方形的边长为16，为中点，连接，把沿翻折至，延长，交于点，连接．则下列结论正确的有 ．（填序号即可） ①；②；③；④；⑤ 三﹑解答题：（本题共9小题，17和18题每题8分，19-25题每题10分，共86分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．如果一个多边形的边数为n，就说这个多边形为n边形．多边形所有内角的度数和就是多边形的内角和． (1)求四边形和五边形的内角和； (2)如果一个n边形的内角和为，求n的值． 18．如图，在四边形中，点为的中点，连接，并延长交的延长线于点，已知． (1)求证：； (2)若，，求的长． 19．探究小组在研究平行四边形时发现：过平行四边形两条对角线的交点作其中一条对角线的垂线，与一组对边所在直线相交所得的两点和该对角线的两个端点连成的四边形是菱形．现在你作为小组成员，请根据以上思路，完成以下作图和填空： 第一步：画垂线（不写作法，保留作图痕迹） 如图，在中，点为对角线，的交点．用尺规过点作的垂线，分别交直线，于点，，连接，． 第二步：证明四边形是菱形． 证明：四边形是平行四边形， ． ， 垂直平分， ①______． 四边形是平行四边形， ， ②______． ， ， ③______． ， ④______． 又， 四边形是菱形． 20．如图，在中，于点E，延长至点F，使，连接，与交于点O． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，，，求的长． 21．在学习了《平行四边形》之后，小颖同学和小慧同学对平行四边形进行了更为深入的探究． 【初步探究】 如图1，小颖同学连接了的对角线，并发现当时，与之间存在一定的数量关系，请直接写出这个数量关系； 【深入探究】 在小颖同学发现的基础上，小慧同学大胆提出一个猜想：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．如图2，是（）斜边上的中线，请根据小慧同学的猜想写出中线与斜边的数量关系，并证明这个数量关系； 【拓展延伸】 如图3，小颖同学和小慧同学在图2中的基础上又作了，使（点在斜边所在直线的同侧），且平分．连接，请帮助小颖同学和小慧同学判断与之间的数量关系，并说明理由． 22．如图，在四边形中，，．点P从点A出发，以1/秒的速度向点B运动；同时点Q从点C出发，以2/秒的速度向点D运动．规定其中一个动点到达终点时另一个动点也随之停止运动．设点Q运动的时间为t秒． (1)当四边形是矩形时，直接写出t的值为 ； (2)在点P，Q运动过程中，若四边形能够成为菱形，求的长． 23．【感知】如图1，在中，对角线，相交于点O，过点O的直线分别交边，于点E，F．易证：（不需要证明）． (1)【探究】如图2，在中，对角线，相交于点O，过点O的直线分别交边，的延长线于点E，F．求证：． (2)【应用】如图3，在中，对角线，相交于点O，过点O的直线分别交边，的延长线于点E，F．连接，，若，的面积为1，则的面积为______，四边形的面积为______． 24．在正方形中，是上一动点（不与点，重合），是点关于直线的对称点，连接，，过点作于点，延长交的延长线于点． (1)依题意补全图形．若，求的大小（用含的式子表示）； (2)用等式表示线段与的数量关系，并证明． 25．已知，在中，点在边上，过点作于点，点在边上，在边上，且是等边三角形，连接，． (1)如图，若，，，求的长； (2)如图，若平分，，且，求证：． 精选考题刷题捷径第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $