第十九章二次根式单元验收卷 2025-2026学年人教版数学八年级下册（重庆适用）

弈泓共享数学 单元验收卷01 第十九章二次根式 （考试时间：120分钟，分值：150分） 第Ⅰ卷 一﹑选择题：本题共10小题，每小题10分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．代数式有意义，则实数x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件、分式有意义的条件等知识点，掌握二次根式的被开方数为非负数、分式的分母不等于零是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件（被开方数为非负数）和分式有意义的条件（分母不为0）列出不等式组求解即可． 【详解】解：∵代数式有意义． ∴， 解得：． 故选C． 2．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的运算，熟练掌握其运算法则是解题的关键． 根据相关运算法则逐项判断即可． 【详解】解：A：与不是同类二次根式，不能合并，故该选项不合题意； B：，故该选项符合题意； C：，故该选项不合题意； D：，故该选项不合题意． 故选：B． 3．估计的值应在（    ） A．3到4之间 B．4到5之间 C．5到6之间 D．6到7之间 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的乘法、无理数的估算，熟练掌握无理数的估算是解题的关键． 根据二次根式的乘法化简式子，然后再估算结果的范围即可． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， ∴估计的值应在5到6之间． 故选：C． 4．已知为实数，且满足，下列运算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平方的非负性，算术平方根的非负性，正确掌握非负性的性质得到a、b的值是解题的关键． 先根据，得出，再逐项分析，即可作答． 【详解】解：∵，且， ∴， 解得， A．∵，∴，此时算式无意义，故不正确； B．∵，∴，，故不正确； C．∵，∴，故正确； D．∵，∴，∴无意义，故不正确； 故选：C． 5．若，，，其中，，为连续整数，且，则，，的大小关系是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查比较二次根式的大小，由m，n，k为连续整数且，设，（），代入表达式计算a，b，c，再比较大小． 【详解】解：∵m，n，k为连续整数，且， ∴，（）． ∴， ， ， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 6．已知是正整数，是整数，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的化简及完全平方数的性质，关键是熟练应用知识点解题；先将化简，再根据结果为整数的条件确定的最小值. 【详解】解：∵， 又∵是整数，是正整数， ∴必须是整数，即为完全平方数， ∴最小为时，是完全平方数， ∴的最小值是， 故选：C． 7．根据以下程序，当输入时，输出结果为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】本题考查了程序框图的循环计算与根式运算，解题的关键是按照程序框图的逻辑，逐步代入计算，直到满足输出条件． 先将输入的代入表达式计算，判断结果是否小于2，若不满足则将该结果作为新的再次代入计算，直至结果小于2时输出． 【详解】解：当输入时， 第一次计算：，不成立，将作为新的； 第二次计算：，成立，输出结果． 故选：C． 8．实数，对应的点在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的性质与绝对值的化简，掌握二次根式化简，及根据数的符号化简绝对值是解题的关键． 先从数轴确定的符号及的正负，再利用二次根式的性质化简，最后结合绝对值的化简规则计算式子结果． 【详解】解：由数轴可知，，且，因此， 故， ∵， ∴ 原式 ． 故选：A． 9．计算的结果是（    ） A． B． C．－3 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了积的乘方逆用及二次根式的混合运算．把原式变形为，逆用积的乘方计算即可． 【详解】解： ． 故选：B． 10．算术平方根有如下运算：，故化简：可得或两种不同结果．给出下列说法： ①化简：，一共有4种不同的形式； ②化简：，一共有4种不同的结果； ③若（n为正整数），则当时，． 以上说法中正确的个数为（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】本题考查了算术平方根的性质，掌握其性质是关键； 根据算术平方根的性质化简表达式，说法①有4种结果，说法②结果有3种，说法③先计算出，计算当时，即可判断． 【详解】解：① ∵，，， ∴， 由于a和b符号组合，有4种结果：， 故①正确； ② ∵要求，即， ∴原式， 当时，原式， 当时，原式， 当时，原式， 结果有3种不同结果，故②错误； ③ ∵， ∴， 当时，均为负，均为正， ， 当时，， 故③错误； 综上，①正确； 故选B． 第Ⅱ卷 二﹑填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。 11．计算： ． 【答案】6 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算．利用二次根式的乘法法则，将两个二次根式相乘转化为被开方数相乘的算术平方根，即可作答． 【详解】解：， 故答案为：6． 12．已知，，则代数式的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．利用平方差公式进行计算，即可解答． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， 故答案为： 13．若实数x，y满足，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了二次根式的非负性、代数式求值、负整数次幂等知识点，掌握二次根式的非负性是解题的关键． 由二次根式的非负性可求得 x 的值；再代入求得 y的值，然后代入求值即可． 【详解】解：∵，且 ， ∴，即， 将代入，得，解得：． ∴． 故答案为：． 14．已知，n是m的整数部分，则n的值为 ． 【答案】 5 【分析】本题考查了无理数整数部分的计算，二次根式的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先根据二次根式的性质得到，再把这个无理数夹在相邻的两个整数之间，则较小的整数就是这个数的整数部分，据此即可解答． 【详解】解：∵， ，，， ∴m的整数部分为 5，即． 故答案为：5． 15．已知，则的值为 ． 【答案】15 【分析】本题主要考查了分母有理化、完全平方公式等知识点，掌握分母有理化成为解题的关键． 先分母有理化可得、，则、，再运用完全平方公式可得，然后整体代入即可解答． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴． 故答案为：15． 16．若一个四位自然数，且M满足则称这个四位数M为“蛟龙数”，规定．则最小的“蛟龙数”是 ；若式子的结果是整数，则满足条件的最大“蛟龙数”是 ． 【答案】 1001 【分析】本题考查整式的混合运算，化简二次根式，二元一次方程的解，熟练掌握新定义是解题的关键，根据新定义，结合，得到，根据最小的“蛟龙数”得到，得到，进而得到时，最小，求出最小的“蛟龙数”，求出，进而得到，根据式子的结果是整数，得到为完全平方数，根据，推出，根据，，得到，根据，得到蛟龙数最大时，，此时只能为0，得到的最大值为9，进而求出此时的值，即可得出结果． 【详解】解：∵是蛟龙数，且M满足， ∴， ∴， ∴， ∵蛟龙数最小， ∴， ∴， ∴当时，蛟龙数最小，为； ∵ ， ∴， ∵式子的结果是整数， ∴为完全平方数， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴当蛟龙数最大时，，此时只能等于0， ∵， ∴最大为9， ∴， ∴， ∴最大的蛟龙数为：； 故答案为：1001，． 三﹑解答题：（本题共9小题，17和18题每题8分，19-25题每题10分，共86分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．化简下列各式： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的乘除化简，关键是先确定根式有意义的条件(判断字母的符号)，再运用根式的乘除法则合并根号，最后化简并注意符号与有理化． 【详解】（1）解：由和有意义，得，． 原式 ； （2）由和有意义，得，， 原式 ． 18．计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先根据完全平方公式，二次根式的除法计算，再算加减法即可； （2）先根据二次根式的乘法法则、平方差公式计算，再算加减法即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 19．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查的是分式的化简求值，分母有理化，先计算括号内分式的加法运算，再计算分式的除法运算，再把代入计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 20．在计算时，小敏的解题过程如下： 解：原式  第一步   第二步     第三步 ．  第四步 (1)小敏从第________步开始出现错误． (2)正确的答案是______________． 【答案】(1)二 (2) 【分析】本题考查的是二次根式的加减法，熟知二次根式的加减法则是解题的关键． （1）小敏在第二步去括号时，错误地将减号分配，导致符号错误； （2）正确计算需先化简根式，再去括号并合并同类项即可． 【详解】（1）解：小敏在第二步去括号时，对减号后的括号内各项未全部变号， 故从第二步开始出现错误． （2）解：正确解题过程： 原式 ． 正确的答案是． 21．阅读材料： 在学习二次根式时，小明发现一些含根号的式子可以化成另一式子的平方．如： 【类比归纳】 （1）填空： ① ② （2）请你仿照小明的方法，将化成一个式子的平方； 【拓展提升】 （3）如图，从一个大正方形中裁去两个小正方形和，若两小正方形的面积分别为和，求剩余部分的面积． 【答案】（1）①；；②；；（2）；（3） 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，完全平方公式，解决本题的关键是熟记完全平方公式． （1）结合题目给的例子，利用完全平方公式解答即可； （2）结合题目给的例子，利用完全平方公式解答即可； （3）设小正方形的边长为，大正方形的边长为，根据题意得：，，即可得x、y的值，再根据剩余部分的面积为，代值计算即可． 【详解】解：（1）①； ②； 故答案为：①；；②；； （2）； （3）设小正方形的边长为，大正方形的边长为， 根据题意得：，， ∴，， 剩余部分的面积为：． 22．阅读下面问题：， ， ， 【问题探究】 （1）根据以上信息，化简：______________________________． 【应用结论】 （2）利用以上规律，计算： 【拓展应用】 （3）如果有理数a，b满足，试求： 的值． 【答案】（1）；（2）2025；（3） 【分析】本题考查了分母有理化，平方差公式，二次根式的混合运算，熟练掌握分母有理化是解题的关键． （1）根据所给等式解答即可； （2）根据规律，化简计算即可． （3）根据，得，再求出，然后化简计算即可． 【详解】解：（1） ． 故答案为：； （2） ． （3）∵， ∴且， 解得， 故， 解得． ∴原式． ∵ ∴原式 ． 23．综合与应用 【阅读材料】小东和小明在学习了三角形之后，两人对“已知三边长的三角形的面积问题”进行了探究．他们首先各自查找了相关问题的资料． 小东找到的资料如下： 《数书九章》是我国南宋著名数学家秦九韶的著作，书中记载了：如果一个三角形的三边长分别为，，，则这个三角形的面积计算公式（秦九韶公式）为： ． 小明找到的资料如下： 古希腊几何学家海伦（Heron），在数学史上以解决几何测量问题而闻名，在他的著作《度量》著作中记载了：如果一个三角形的三边长分别为，，，记，则三角形的面积计算公式（海伦公式）为：． 根据以上信息，回答以下问题： 【学以致用】（1）已知一个三角形的三边长分别为5，6，7． 若利用小明提供的资料求这个三角形的面积，请直接写出和的值； ②请利用小东提供的资料求这个三角形的面积． 【拓展应用】（2）请你试用秦九韶给出的三角形面积公式推导出海伦公式． 【答案】（1）①和的值分别为9和；②；（2）推导见解析 【分析】本题考查代数式代入求值，二次根式的运算，因式分解，掌握相关知识是解决问题即可． （1）①运用海伦公式代入数据计算即可；②运用秦九韶公式代入数据计算即可； （2）对秦九韶公式利用完全平方公式，平方差公式进行因式分解，然后将代入变形即可． 【详解】解（1）①， ； ② ； （2） ． 24．阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．善于思考的小明进行了以下探索：（其中均为整数）． 则有．，．这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： (1)当均为整数时，若，用含的式子分别表示，得：___________，___________． (2)利用所探索的结论，找一组正整数填空___________ （______）． (3)若，且均为正整数，求a的值？ 【答案】(1)， (2)4，2，1，1（答案不唯一） (3)的值为或 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）利用完全平方公式将展开，再对应相等即可得解； （2）令，，则，，由此即可得解； （3）由（1）可得：，，从而得出，且，为正整数，计算可得，或，，再分情况求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，； （2）解：令，，则，， ∴； （3）解：由（1）可得：，， ∵， ∴，且，为正整数， ∴，或，， ∴当，时，； 当，时，； 综上所述，的值为或． 25．嘉琪根据学习“数与式”的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．下面是嘉琪的探究过程，请补充完整： (1)具体运算，发现规律： 特例1：， 特例2：， 特例3：， 特例4：______（填写一个符合上述运算特征的式子）． (2)观察、归纳，得出猜想： 如果n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律为：______． (3)证明你的猜想； (4)应用运算规律： ①化简：______； ②若（a，b均为正整数），则的值为______． 【答案】(1)；（答案不唯一） (2) (3)见解析 (4)①；②18 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，掌握其运算法则是解题的关键． （1）根据材料提示计算即可； （2）由材料提示，归纳总结即可； （3）运用二次根式的性质，二次根式的混合运算法则计算即可； （4）根据材料提示的方法代入运算即可． 【详解】（1）解：根据材料提示可得，特例 4 为：， 故答案为：； （2）解：由上述计算可得，如果为正整数，上述的运算规律为：， 故答案为：； （3）解：， 等式左边等式右边； （4）①解： ． ②， ， ， ． 精选考题刷题捷径第 1 页 共 20 页 学科网（北京）股份有限公司 $弈泓共享数学 单元验收卷01第十九章二次根式 (考试时间：120分钟，分值：150分) 第I卷 一、选择题：本题共10小题，每小题10分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1.代数式十5有意义，则实数x的取值范围是（） A.x>5 B.x≥5 C.x>-5 D.x2-5 2.下列计算正确的是() A.√2+V3=V5 B.V⑧-√2=√2 C.√2x√5=6 D.12÷√3=4 3.估计V535-2的值应在() A.3到4之间B.4到5之间 C.5到6之间 D.6到7之间 4.己知a,b为实数，且满足√a-2+(b+3=0,下列运算结果正确的是() A.2va+3b=5va+b B.Vb-a2=±b-a C.√8a÷√2a=2 D.Va-4(b-9)=Va-4×vb-9 5.若a=n2-mn,b=√2-2n,c=Vm,其中m,n,k为连续整数，且0<m<n<k,则a,b,c的 大小关系是() A.b<a<c B.a<c<b C.c<b<a D.c<a<b 6.己知n是正整数，√27n是整数，则的最小值是() A.0 B.1 C.3 D.27 7.根据以下程序，当输入√5时，输出结果为() 输入x 计算vx2-1 结果<2 输出结果 否 A.1 B.√2 C.5 D.2 8.实数a,b对应的点在数轴上的位置如图所示，则化简a-a+b的结果是（） a 精选考题刷题捷径 第1页共6页 弈泓共享数学 A.2a+b B.-2a+b C.b D.2a-b 9.计算(i0+3)（10-3)的结果是() A.V10-3 B.V10+3 C.-3 D.3 o.算术平方根有如下运组：匠O@=aQ20,改化而：+6可将a+6成-a+B两 种不同结果.给出下列说法： ①化简：√a2+√b+(C)2,一共有4种不同的形式： ②化简：√(x+1)2+(x-1)2+V(x-4)2+Vx-8)2,一共有4种不同的结果； ③若a,=√(2n-17列，Sn=a+a,++a,(n为正整数)，则当S=780时，n=36. 以上说法中正确的个数为() A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。 11.计算：√3×12=一 12.己知m=√5+1，n=√5-1，则代数式m2-n2的值是 13.若实数x,y满足x-2=-√2-x,x-3引+y=0,则x的值为 14.已知m=2万，n是m的整数部分，则n的值为」 15.已知252百则++少的馆为 1 16.若一个四位自然数M=abcd,且M满足(a+b)2=b2-a2+2c+2d则称这个四位数M为“蛟龙数”，规定 G(M)=-2(b2+b+c-1+2(b+d)(b-d.则最小的"蛟龙数"是一；若式子√-G(M)-2d2的结果是 整数，则满足条件的最大“蛟龙数”是一 三、解答题：（本题共9小题，17和18题每题8分，19-25题每题10分，共86分）解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤。 精选考题刷题捷径 第2页共6页 弈泓共享数学 17.化简下列各式： 5m. 3 2\2m*V3n m 18.计算： (1)1+5)2-√24÷√8 a网-}x6-(5-5+回 19.先化简，再求值 + a+1 其中a=V5+2. 20.在计算 压-写石小说商架超过程面下 解：原式= 6-96 第一步 -26-22+V6第二步 24 =26+6-22 第三步 24 =3v6-2 第四步 4 (1)小敏从第 步开始出现错误， (2)正确的答案是】 21.阅读材料： 在学习二次根式时，小明发现一些含根号的式子可以化成另一式子的平方，如： 5+2w6=(2+3)+22x3=(N2+(5+22×5=(V2+5) 7+210=(2+5)+2W2x5=(2+(5)+22x5=(V2+V5 【类比归纳】 (1)填空： ①4-2√3=(1+3)-2W1×3=12+(-)2-2×1×V5=(-V3)2 精选考题刷题捷径 第3页共6页 弈泓共享数学 ②a+b±2Vab=(a)2+(b)2±2√ax√B=(-±-)2(a≥0，b≥0) (2)请你仿照小明的方法，将9+24化成一个式子的平方； 【拓展提升】 (3)如图，从一个大正方形ABCD中裁去两个小正方形DHFM和BEFG，,若两小正方形的面积分别为5Cm2 和(32-65)cm2,求剩余部分的面积. E 22.阅读下面问题：1 1-2 1+√2(1+√2)1-√2) =-1+√2， √2-5 =-V2+√5， √2+5(W2+5)2-V5) 1 5-4 3+V4(3+V43-V④ =-V3+2…, 【问题探究】 (1)根据以上信息，化简： 1 √n+n+1 【应用结论】 1 1 (2)利用以上规律，计算： 1 1+V5+2+5+5+N4+…+V2025+V226 1+√2026) 【拓展应用】 (3)如果有理数a,b满足ab-2=√b-1+V-b,试求： 1 1 aVb+bVa(a+1)Wb+1+(b+1)Wa+1(a+2)Wb+2+(b+2)Wa+2(a+2024)Wb+2024+(b+2024)Wa+2024 的值. 23.综合与应用 【阅读材料】小东和小明在学习了三角形之后，两人对“已知三边长的三角形的面积问题”进行了探究.他们 首先各自查找了相关问题的资料， 精选考题刷题捷径 第4页共6页 弈泓共享数学 小东找到的资料如下： 《数书九章》是我国南宋著名数学家秦九韶的著作，书中记载了：如果一个三角形的三边长分别为Q,b, C,则这个三角形的面积计算公式（秦九韶公式）为： w a2+b2- 2 小明找到的资料如下： 古希腊几何学家海伦(Hon),在数学史上以解决几何测量问题而闻名，在他的著作《度量》著作中记载 了：如果一个三角形的三边长分别为a,,C,记p=a+b+C,则三角形的面积计算公式（海伦公式）为： 2 S=p(p-a)(p-b)(p-c). 根据以上信息，回答以下问题： 【学以致用】(1)已知一个三角形的三边长分别为5,6,7. 若利用小明提供的资料求这个三角形的面积，请直接写出p和S的值； ②请利用小东提供的资料求这个三角形的面积. 【拓展应用】(2)请你试用秦九韶给出的三角形面积公式推导出海伦公式： 24.阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如 3+22=(1+√2.善于思考的小明进行了以下探索：a+b2=(m+n2(其中a、b、m、n均为整数). 则有a+b√2=m2+2n2+2mn√2..a=m2+2n2,b=2mn.这样小明就找到了一种把类似a+b√2的式子 化为平方式的方法.请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： (1)当a、b、m、n均为整数时，若a+bW3=(m+5,用含m、n的式子分别表示a、b,得：a= b= (2)利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n填空+√5=（+√5)2. 3)若a+45=(m+m5',且a、m、n均为正整数，求a的值？ 25.嘉琪根据学习“数与式”的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律.下面是嘉 琪的探究过程，请补充完整： (1)具体运算，发现规律： 特例1： 3+1 1 特例2： 2+ 精选考题刷题捷径 第5页共6页 弈泓共享数学 特例3： 特例4： (填写一个符合上述运算特征的式子). (2)观察、归纳，得出猜想： 如果n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律为： (3)证明你的猜想： (4)应用运算规律： ①化简： /2023+1 ×V4050=_: 2025 ②若a+=96 1 6 (a,b均为正整数)，则a+b的值为 精选考题刷题捷径 第6页共6页