精品解析：江苏南通市海门区2025-2026学年八年级上学期2月期末数学试题

八年级数学 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项： 1．本试卷共6页，满分为150分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回． 2．答题前，请务必将自己的姓名、考试证号用0．5毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷及答题卡上指定的位置． 3．答案必须按要求填涂、书写在答题卡上，在试卷、草稿纸上答题一律无效． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列图形中，一定是轴对称图形的是（ ） A 三角形 B. 等腰三角形 C. 四边形 D. 五边形 【答案】B 【解析】 【分析】根据轴对称图形的定义逐一判断即可． 【详解】解：三角形不一定是轴对称图形，故A不符合题意； 等腰三角形沿底边中线折叠，两旁部分能够完全重合，所以是轴对称图形，故B符合题意； 四边形不一定是轴对称图形，故C不符合题意； 五边形不一定是轴对称图形，故D不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方、同底数幂的除法法则依次计算即可． 【详解】解：，故A选项错误； ，故B选项错误； ，故C选项错误； ，故D选项正确； 故答案为：D． 【点睛】本题考查同底数幂的乘除运算法则和幂的乘方、积的乘方运算法则．同底数幂相乘（除）时，底数不变，指数相加（减）；计算幂的乘方时，底数不变，指数相乘；计算积的乘方时，先把每一个因式乘方，再把得到的幂相乘． 3. 生物学家发现了一种病毒，其长度约为，将数据用科学记数法表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：． 故选：D． 【点睛】本题考查用科学记数法表示较小数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 4. 下列二次根式中，化简后能与合并的是　　 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式的性质把各选项的二次根式化简，再根据能合并的二次根式是同类二次根式解答． 【详解】、，不能与合并，故本选项错误； 、，能与合并，故本选项正确； 、，不能与合并，故本选项错误； 、，不能与合并，故本选项错误． 故选． 【点睛】本题考查同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式． 5. 如图，在中，平分交边于点E，，，则的周长是（ ） A. 14 B. 16 C. 28 D. 32 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质、角平分线的定义、等角对等边，由角平分线的定义可得，由平行四边形的性质可得，，，再结合平行线的性质可得，由等角对等边得出，求出，即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵平分交边于点E， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的周长是， 故选：C． 6. 如果将分式中的和都扩大到原来的4倍，那么分式的值（　　） A. 不变 B. 扩大到原来的4倍 C. 扩大到原来的8倍 D. 扩大到原来的16倍 【答案】B 【解析】 【分析】x，y都扩大成原来的4倍就是分别变成原来的4倍，变成和．用和代替式子中的x和y，看得到的式子与原来的式子的关系即可得到答案． 【详解】解：将和分别替换原分式中的x， y得， ∴分式的值扩大到原来的4倍， 故选B． 【点睛】本题主要考查分式的基本性质，解题的关键是抓住分子、分母变化的倍数；解此类题首先把字母变化后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，最终得出结论． 7. 中，、、的对边分别是、、，下列条件不能判定是直角三角形的（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，注意在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．由三角形内角和定理及勾股定理的逆定理进行判断即可． 【详解】解：A、，， ， 能判定为直角三角形，不符合题意； B、，， ，，， 不是直角三角形，符合题意； C、， ，符合勾股定理的逆定理， 是直角三角形，不符合题意； D、设，则，，， 是直角三角形，不符合题意； 故选：B． 8. 如图，已知，用直尺和圆规按以下步骤作出． （1）画射线，以点为圆心，长为半径画弧，与交于点； （2）分别以，为圆心，线段，长为半径画弧，两弧相交于点； （3）连接，． 则能用于证明的依据是（ ） A. SSS B. SAS C. ASA D. AAS 【答案】A 【解析】 【分析】根据作图方法可知，，，，由此可解． 【详解】解：根据作图的步骤（1）知，由步骤（2）知，， 根据三组边对应相等（SSS），可证． 故答案为：A． 【点睛】本题考查尺规作图和全等三角形的判定，根据作图的方法判断出两个三角形的三条边对应相等是解题的关键． 9. 为迎接建党一百周年，某校举行歌唱比赛．901班啦啦队买了两种价格的加油棒助威，其中荧光棒共花费40元，缤纷棒共花费30元，缤纷棒比荧光棒少20根，缤纷棒单价是荧光棒的1.5倍．若设荧光棒的单价为元（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】若设荧光棒的单价为元，根据等量关系“缤纷棒比荧光棒少20根”可列方程求解． 【详解】解：设荧光棒的单价为元，则缤纷棒单价是元，由题意可得： 故选：B． 【点睛】考查了由实际问题抽象出分式方程，应用题中一般有三个量，求一个量，明显的有一个量，一定是根据另一量来列等量关系的．本题分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键． 10. 如图，在中，，过点C作于点D，过点B作于点M，连接，过点D作，交于点N．与相交于点E，若点E是的中点，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质是解决问题的关键． A、证明是等腰直角三角形得，再证明，，进而可依据“”判定和全等得，，由此得等腰直角三角形，则； B、根据可依据“”判定和全等得，据此可对该结论进行判断； C、过点D作于点H，先证明和全等得，，再根据是等腰直角三角形得，进而得，据此可对该结论进行判断； D、根据点N在上，不一定是的中点得与不一定相等，再根据和全等得，由此得与不一定相等，据此可对该结论进行判断，综上所述即可得出答案． 【详解】解：A、∵于点D， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，交于点N， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵于点M， ∴， ∴是直角三角形， ∴， 在中，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，故选项A正确； B、∵于点D， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，故选项B正确； C、过点D作于点H，如图所示： ∴， ∵于点M， ∴， ∵点E是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴，故选项C正确； D、∵点N在上，不一定是的中点， ∴与不一定相等， ∵， ∴， ∴与不一定相等，故选项D不正确． 故选：D． 二、填空题（本大题共6小题，第11~12题每小题3分，第13~16题每小题4分，共22分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 11. 若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件，被开方数必须大于或等于零，计算即可得出结果，熟练掌握二次根式有意义的条件是解此题的关键． 【详解】解：∵代数式在实数范围内有意义， ∴， 解得：， 故答案为：． 12. 分解因式：_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了综合提公因式法和公式法分解因式，先提取公因式，再利用平方差公式计算即可得出结果，熟练掌握平方差公式是解此题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 13. 已知，，则的值为________． 【答案】12 【解析】 【分析】先把进行变形，得到，再把x，y的值代入即可求出答案． 【详解】，， ； 故答案为：12． 【点睛】本意考查了完全平方公式及运用，熟练掌握知识点是解题的关键； 14. 如图，以Rt的两边为边向外所作正方形的面积分别是，则以另一边为直径向外作半圆的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，正方形的面积公式，根据题意得出的值，再根据半圆面积公式求解即可． 【详解】解：以的两边，为边向外所作正方形的面积分别是，，， ， 以另一边为直径向外作半圆的面积为， 故答案为：． 15. 如图，，，点E在边上，，若，则的面积为_________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理，作于点，由等腰三角形的性质可得，设，则，，从而可得，表示出，，由勾股定理表示出，再由三角形面积公式计算即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，作于点， ， ∵，， ∴， 设，则，， ∵， ∴， ∴，， 由勾股定理可得：， ∴， 整理可得：， ∴， 故答案为：． 16. 如图，中，，，，点D是边上一动点，以为边作等边，连接，取的中点F． （1）的长为________； （2）若点D从点C运动至点A，在此过程中，点F运动的路径长为________． 【答案】 ①. ②. 2 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用、等边三角形的性质及含30度的角的直角三角形，熟知等边三角形的性质及含角的直角三角形各边的关系是解题的关键． （1）根据含角的直角三角形各边的关系即可解决问题； （2）取的中点M，得出点E的运动规律是经过点M且与垂直的线，进一步得出点F的规律，据此可解决问题． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴． 在中，, ∴， 解得， ∴； 故答案为：； （2）取的中点M，连接， ∵，点M为中点， ∴． ∵， ∴是等边三角形， ∴． ∵是等边三角形， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴， ∴点E在经过点M且与垂直的直线上． 当点D在点C处时，点E在点M处，当点D在点A处时，点E在以为边的等边三角形的顶点处． ∵， ∴， ∴． ∵点和点分别为和的中点， ∴， 即点F运动的路径长为2． 故答案为：2． 三、解答题（本大题共9小题，共98分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）计算：； （2）． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，完全平方公式，平方差公式，正确计算是解题的关键： （1）根据二次根式的混合运算法则求解即可； （2）根据完全平方公式，平方差公式求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 18. （1）解方程：； （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）；（2）， 【解析】 【分析】本题考查解分式方程，分式的化简求值，正确计算是解题的关键： （1）根据解分式方程的方法解方程即可，注意要检验； （2）先根据分式的加减乘除混合运算进行化简，再将代入计算即可． 【详解】解：（1）， ， ， ， 检验：当时，， ∴； （2） ， 当时，原式． 19. 绿化队原来用漫灌方式浇绿地，a天用水，现在改用喷灌方式，可使这些水多用3天，现在比原来每天节约用水多少吨？ 【答案】吨 【解析】 【分析】根据题意列出喷灌方式的每天用水量，减去漫灌方式用水量，根据分式的加减法计算可得． 【详解】依题意，用漫灌方式每天用水，喷灌方式的每天用水量， ． 现在比原来每天节约用水吨． 【点睛】本题考查了分式的加减的应用，理解题意，列出喷灌方式的每天用水量是解题的关键． 20. 如图，在中，，点是边的中点，点在上． 求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】根据等腰三角形三线合一，得出∠BAE=∠CAE，根据SAS证明△ABE≌△ACE． 【详解】证明：∵，点是的中点， ∴， 在和中， ， ∴． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和全等三角形的判定，解题的关键是利用等腰三角形三线合一的性质证明∠BAE=∠CAE． 21. 如图，在中，，，． （1）求的长； （2）作的平分线交于点D，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，角平分线的性质，三角形的面积，关键是掌握勾股定理，由角平分线的性质推出，由三角形的面积公式得到关于的方程． （1）由勾股定理求出； （2）过D作于H，由角平分线的性质推出，由勾股定理得到，即可求出的长． 【小问1详解】 解：， ． ，， ． 【小问2详解】 解：过点D作，E垂足． 平分， ． 又，， ． ． 设，则，，． 在中，， ． ． 解得， 即的长为． 22. 求证：顺次连接四边形各边的中点，所得的四边形是平行四边形． （答题要求：根据题意画出图形，写出“已知”，“求证”，再进行证明） 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了三角形中位线定理，平行四边形的判定与性质，连接，由三角形中位线定理得出，且，同理，，且，从而得出，，即可得证，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】已知：如图，四边形中，E，F，G，H分别是边，，，的中点． 求证：四边形是平行四边形． 证明：连接， ∵是边的中点，是边的中点， ∴，， ∴，且， 同理，，且， ∴，， 四边形是平行四边形． 23. 2025年江苏省城市足球超级联赛深受广大学生球迷喜爱．学校决定在某商场购买甲、乙两种不同类型的足球，相关信息如下： 甲种足球 乙种足球 购买费用：2000元 购买费用：1400元 单价：x元/个 单价：元/个 数量：_________个 数量：_________个 （1）在上表中用含x的代数式分别表示购买甲、乙两种足球的数量； （2）若本次购买甲种足球的数量是购买乙种足球数量的2倍，求甲、乙两种足球在此商场的销售单价． 【答案】（1）； （2）甲种足球的单价为50元/个，乙种足球的单价为70元/个 【解析】 【分析】本题考查了列代数式和分式方程及其应用，关键是根据题意正确列代数式列方程求解． （1）根据“购买数量=购买费用÷单价”列代数式即可； （2）根据本次购买甲种足球的数量是购买乙种足球数量的2倍，可列方程求解，可得甲、乙两种足球在此商场的销售单价． 【小问1详解】 解：甲种数量：，乙种数量：． 故答案为：；； 【小问2详解】 解：根据题意得：， 解得， 检验：当时，， 原分式方程解为， ， 答：甲种足球的单价为50元/个，乙种足球的单价为70元/个． 24. 先阅读下题的解答过程，然后解答后面的问题． 若多项式有一个因式是，求m的值． 解法一：设， 则， 比较系数得，解得． 解法二：设（A为整式）， 由于上式为恒等式，为方便计算取，，故． 根据上面材料，请选择恰当的方法解答下列各题： （1）若多项式有一个因式是，则m的值为_________； （2）若多项式有因式和，求m，n的值； （3）若是多项式的一个因式，请将该多项式分解因式． 【答案】（1）1 （2）， （3） 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的应用，读懂阅读材料中的分解方法是解此题的关键． （1）设另一个因式为，从而得出，对应相等可得，，计算即可得出结果； （2）设，由于上式为恒等式，分别取，得，求解即可得出结果； （3）设，则，比较系数得，解得，从而可得该多项式为，最后分解因式即可得出结果． 小问1详解】 解：∵设另一个因式为， ∴， ∴，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：设， 由于上式为恒等式，分别取，得， 解得，． 【小问3详解】 解：设， 则， 比较系数得， 解得， 该多项式为， ． 25. 如图，在等边三角形中，点D在边上（与点B，C不重合），的垂直平分线交的延长线于点E，交边于点M． （1）当点D为中点时，连接，，求证四边形是平行四边形； （2）探究线段与的数量关系，并说明理由； （3）若，求四边形的面积． 【答案】（1）见解析 （2），见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）先证明，是等边三角形，再证明，即可得证； （2）设的垂直平分线交于点F．先求得，再证即可得出结果； （3）过点D作，垂足为G．根据，计算即可得出结果． 【小问1详解】 解：是等边三角形，D是的中点， ，． 垂直平分， ，． ，是等边三角形． ． ． ． 四边形是平行四边形． 【小问2详解】 解：． 理由如下：如答图2，设的垂直平分线交于点F． 由（1）可知是等边三角形， ，． ． ，， ． ． ． 是等边三角形， ． ，即． ； 【小问3详解】 解：如答图3，过点D作，垂足为G．则，． 由（1）得， ，， ． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，平行四边形的判定定理、含有角的直角三角形的性质等知识点，熟练掌握相关知识点是解此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项： 1．本试卷共6页，满分为150分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回． 2．答题前，请务必将自己的姓名、考试证号用0．5毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷及答题卡上指定的位置． 3．答案必须按要求填涂、书写在答题卡上，在试卷、草稿纸上答题一律无效． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列图形中，一定是轴对称图形的是（ ） A. 三角形 B. 等腰三角形 C. 四边形 D. 五边形 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 生物学家发现了一种病毒，其长度约为，将数据用科学记数法表示正确的是（ ） A B. C. D. 4. 下列二次根式中，化简后能与合并的是　　 A. B. C. D. 5. 如图，在中，平分交边于点E，，，则的周长是（ ） A. 14 B. 16 C. 28 D. 32 6. 如果将分式中的和都扩大到原来的4倍，那么分式的值（　　） A. 不变 B. 扩大到原来的4倍 C. 扩大到原来的8倍 D. 扩大到原来的16倍 7. 中，、、的对边分别是、、，下列条件不能判定是直角三角形的（　　） A. B. C. D. 8. 如图，已知，用直尺和圆规按以下步骤作出． （1）画射线，以点为圆心，长为半径画弧，与交于点； （2）分别以，为圆心，线段，长为半径画弧，两弧相交于点； （3）连接，． 则能用于证明的依据是（ ） A. SSS B. SAS C. ASA D. AAS 9. 为迎接建党一百周年，某校举行歌唱比赛．901班啦啦队买了两种价格的加油棒助威，其中荧光棒共花费40元，缤纷棒共花费30元，缤纷棒比荧光棒少20根，缤纷棒单价是荧光棒的1.5倍．若设荧光棒的单价为元（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，过点C作于点D，过点B作于点M，连接，过点D作，交于点N．与相交于点E，若点E是的中点，则下列结论错误的是（ ） A B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，第11~12题每小题3分，第13~16题每小题4分，共22分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 11. 若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是_________． 12. 分解因式：_________． 13. 已知，，则的值为________． 14. 如图，以Rt的两边为边向外所作正方形的面积分别是，则以另一边为直径向外作半圆的面积为______． 15. 如图，，，点E在边上，，若，则的面积为_________． 16. 如图，中，，，，点D是边上一动点，以为边作等边，连接，取的中点F． （1）的长为________； （2）若点D从点C运动至点A，在此过程中，点F运动的路径长为________． 三、解答题（本大题共9小题，共98分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）计算：； （2）． 18. （1）解方程：； （2）先化简，再求值：，其中． 19. 绿化队原来用漫灌方式浇绿地，a天用水，现在改用喷灌方式，可使这些水多用3天，现在比原来每天节约用水多少吨？ 20. 如图，在中，，点是边的中点，点在上． 求证：． 21. 如图，在中，，，． （1）求的长； （2）作的平分线交于点D，求的长． 22. 求证：顺次连接四边形各边的中点，所得的四边形是平行四边形． （答题要求：根据题意画出图形，写出“已知”，“求证”，再进行证明） 23. 2025年江苏省城市足球超级联赛深受广大学生球迷喜爱．学校决定在某商场购买甲、乙两种不同类型的足球，相关信息如下： 甲种足球 乙种足球 购买费用：2000元 购买费用：1400元 单价：x元/个 单价：元/个 数量：_________个 数量：_________个 （1）在上表中用含x的代数式分别表示购买甲、乙两种足球的数量； （2）若本次购买甲种足球的数量是购买乙种足球数量的2倍，求甲、乙两种足球在此商场的销售单价． 24. 先阅读下题的解答过程，然后解答后面的问题． 若多项式有一个因式是，求m的值． 解法一：设， 则， 比较系数得，解得． 解法二：设（A整式）， 由于上式恒等式，为方便计算取，，故． 根据上面材料，请选择恰当的方法解答下列各题： （1）若多项式有一个因式是，则m的值为_________； （2）若多项式有因式和，求m，n的值； （3）若是多项式的一个因式，请将该多项式分解因式． 25. 如图，在等边三角形中，点D在边上（与点B，C不重合），的垂直平分线交的延长线于点E，交边于点M． （1）当点D为中点时，连接，，求证四边形平行四边形； （2）探究线段与的数量关系，并说明理由； （3）若，求四边形的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $