精品解析：湖南湘潭市岳塘区2025-2026学年八年级上学期期末考试数学试卷

2025年下学期期末八年级数学学科试题卷 时量：120分钟 满分：120分 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列各式是分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的定义，分母中必须含有字母的代数式是分式．据此可得答案． 【详解】解：根据分式的定义可知，四个式子中，只有是分式， 故选：D． 2. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式，准确熟练地进行计算是解题的关键． 根据最简二次根式的定义，逐一判断即可解答． 【详解】解：A、，可化简，不是最简二次根式，不符合题意； B、是最简二次根式，符合题意； C、，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意； D、，可化简，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：B． 3. 二次根式有意义的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据被开方数是非负数列不等式求解即可． 详解】解：∵二次根式有意义， ∴， ∴． 故选D． 4. 下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查因式分解的定义，即把一个多项式化为几个整式的积的形式．根据定义，逐一判断各选项即可． 【详解】解： A．右边为 ，不是积的形式，故错误，不符合题意； B． ∵ ，故错误，不符合题意； C．左边是积的形式，右边是多项式，是整式乘法，不是因式分解，故错误，不符合题意； D．，符合因式分解的定义并分解正确，符合题意． 故选：D． 5. 下列命题中，是真命题的是（ ） A 过一点有且只有一条直线与已知直线平行 B. 两边及一角分别相等的两个三角形全等 C. 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查命题与定理，平行线的基本事实，全等三角形的判定，等边三角形的判定，平方根定义，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．结合平行线的基本事实、三角形全等的判定定理、等边三角形的判定、平方根的定义，逐一判断各选项命题的真假，进而确定真命题 ． 【详解】解：∵过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，若点在已知直线上则无法作出平行线，∴选项A是假命题； ∵只有两边及夹角分别相等的两个三角形才全等，SSA不能判定三角形全等，∴选项B是假命题； ∵分两种情况：①若等腰三角形顶角为，则底角为，三个角均为；②若等腰三角形底角为，则顶角为，三个角均为，∴该三角形是等边三角形，选项C是真命题； ∵若，则，并非只有，∴选项D是假命题； 综上，真命题是选项C． 故选：C． 6. 我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数中，是“勾股数”的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查勾股数，三个正整数，两个较小数的平方和等于较大数的平方，这三个正整数构成一组勾股数，熟练掌握勾股数的定义是解题关键．根据勾股数的定义逐一进行判定即可． 【详解】解：A．，，，故该选项不是勾股数，不符合题意； B．，，，故该选项不是勾股数，不符合题意； C．，，，故该选项是勾股数，符合题意； D．，，，故该选项不是勾股数，不符合题意． 故选：C． 7. 若等腰三角形有一个内角为，则这个等腰三角形的底角是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质及三角形内角和定理；解答此题时要注意的角是顶角和底角两种情况，不要漏解，分类讨论是正确解答本题的关键．由于不明确的角是等腰三角形的底角还是顶角，故应分的角是顶角和底角两种情况讨论即可． 【详解】解：分两种情况： ①当的角为等腰三角形的顶角时， 底角的度数； ②当的角为等腰三角形的底角时，其底角为， 综上，这个等腰三角形的底角是或． 故选：D． 8. 用直尺和圆规作已知角的平分线的示意图如图所示，则说明的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，涉及尺规作图作已知角的平分线的作法步骤，熟记两个三角形全等的判定定理是解决问题的关键． 根据尺规作图作已知角的平分线的作法步骤，由两个三角形全等的判定定理得到，再由全等性质即可得到，从而确定答案． 【详解】解：如图所示： 由尺规作图作已知角的平分线的作法步骤，可知，， ， ， ， 即的依据是， 故选：A． 9. 已知直角三角形的两边长分别为4、5，那么第三边的长为（ ） A. 3 B. C. 3或 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是对已知两边长进行分类讨论，明确哪条边是斜边，避免漏解． 分两种情况讨论，当5为直角边时，第三边为斜边，利用勾股定理计算；当5为斜边时，第三边为直角边，再利用勾股定理计算，得到两种可能的结果． 【详解】解：当5为直角边时，第三边为斜边，； 当5为斜边时，第三边为直角边，． 所以第三边的长为3或． 故选：C． 10. 对于正数，规定，例如：，，则的值为（ ） A. B. 2023 C. 2024 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式的运算，根据题意找到规律是解题的关键． 利用函数性质 ，将求和中的项配对，每对和为1，最后单独计算 即可． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴有 ， 即， ， ， ， ， 这样的组合共有 对， 又 ， ∴ 原式 = ． 故选：A． 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11. 甲流病毒变异株的直径大约在纳米之间，纳米是非常小的长度单位，，用科学记数法表示数为__________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查科学记数法，熟练掌握科学记数法的表示方法是解题的关键． 将用科学记数法表示，需确定系数和指数，进行解答即可． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 分式与的最简公分母是_________ 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了最简公分母，熟练掌握最简公分母的定义是解题的关键．取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，即可求解． 【详解】解：分式与的最简公分母是， 故答案为：． 13. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了提公因式法分解因式和利用完全平方公式分解因式，难点在于需要进行二次分解因式． 先提取公因数y，再利用完全平方公式进行二次分解． 【详解】解： ， 故答案为：． 14. 如图，点B，E，C，F在同一条直线上，，．只需添加一个条件即可证明，这个条件可以是_________．(写出一个即可) 【答案】(答案不唯一) 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定定理，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 首先根据已知条件，再结合全等三角形的判定方法来添加合适的条件，使得两个三角形全等即可． 【详解】解：∵点B，E，C，F在同一条直线上，，，即已知一组等边和一组等角， ∴若添加，即可满足， 故答案：(答案不唯一)． 15. 如图，在中，垂直平分线段，交于点E，交于点D．若，的周长为15，则的周长为_______． 【答案】25 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，解题的关键是熟记线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等． 根据线段垂直平分线的性质，可得，再由的周长为15，可得，即可求解． 【详解】解：∵垂直平分线段， ∴， ∵的周长为15， ∴， ∴， ∵， ∴的周长为． 故答案为：25 16. 若分式方程无解，则k的值是 _______． 【答案】1或2 【解析】 【分析】本题考查了分式方程无解问题，正确理解分式方程无解与其增根关系是解题的关键．先把k看作已知，解分式方程得出x与k的关系，再根据分式方程无解，进一步即可求出k的值． 【详解】解：原方程两边同乘（需），得， 化简得，即， 当即时，方程变为，无解； 当时，解为， 若此解为增根，则， 解得， 故或时方程无解， 故答案为：1或2． 三、解答题（8小题，共72分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了负整数指数幂、零指数幂、积的乘方、绝对值以及二次根式的化简等知识点，解题的关键是熟练掌握各运算的运算法则，准确进行每一步的化简与计算． 先根据负整数指数幂法则计算，再利用积的乘方逆运算计算，接着根据零指数幂法则计算，然后化简绝对值和二次根式，最后进行加减运算． 【详解】解： 18. 先化简，再求值：，请从,，1,2四个数中选取一个你喜欢的a代入求值． 【答案】，或 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值、分式有意义的条件以及因式分解等知识点，解题的关键是先对括号内的分式进行通分合并，再将除法转化为乘法并进行因式分解和约分，同时要注意选取使原分式有意义的值代入计算． 先对括号内的分式进行通分，合并分子并因式分解；再将除法运算转化为乘法运算，对分子分母进行因式分解后约分，得到最简分式；最后根据分式有意义的条件排除、，选取或代入求值． 【详解】解： ， ， 当时代入，得：； 当时代入，得：． 19. 为提升社区居民的幸福感，某小区准备将辖区内的一块平地，如图所示的四边形进行改建，将四边形全部铺设具有耐磨性和防滑性的运动型塑胶地板，已知运动型塑胶地板每平方米元．经测量．求购买运动型塑胶地板的费用． 【答案】17100元 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理以及三角形和四边形的面积计算等知识点，解题的关键是通过连接对角线，将不规则四边形的面积转化为两个直角三角形和的面积之和． 先在中，利用勾股定理求出的长度；再根据、、的长度，利用勾股定理的逆定理判断为直角三角形；然后分别计算和的面积，求和得到四边形的总面积；最后根据每平方米地板的价格，计算出总费用． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴四边形的面积 ， ∵运动型塑胶地板每平方米元， ∴购买运动型塑胶地板的费用为（元）， 答：购买运动型塑胶地板的费用为元． 20. 如图，约定：上方相邻两整式之和等于这两个整式下方箭头共同指向的整式． （1）求整式M，P； （2）将整式P因式分解． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意可得，移项化简可得M的值，再由，可得P的值； （2）算出P的值，先提取公因数，再用公式法即可因式分解． 【小问1详解】 解：由题意可知，， 解得：， ， ∴； 【小问2详解】 由（1）可知，． 【点睛】本题考查多项式的加减、因式分解的计算，熟练掌握多项式的加减运算规则和因式分解的方法是解决本题的关键． 21. 如图，在中，已知点D在线段的反向延长线上，过的中点F作线段交的平分线于E，交于G，且． （1）求证：等腰三角形； （2）若，，，求的周长． 【答案】（1）见解析 （2）32 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的定义、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由平行线的性质并结合角平分线的定义得出，即可得证； （2）由（1）知，，再证明得出，最后求出，即可得解． 【小问1详解】 证明：∵， ∴，． ∵平分， ∴． ∴， ∴． ∴是等腰三角形． 【小问2详解】 解：由（1）知，． ∵点F是的中点， ∴． 在和中， ， ∴． ∴． ∵， ∴， ∴． ∴的周长为． 22. “你好！我是豆包，很高兴见到你！我能为你提供多种服务，比如解答各类知识疑问、陪你聊天解闷、协助进行内容创作等”．人工智能从横空出世到与我们日常相伴，成为我们解决问题的“好参谋、好助手”．某设计工作室自使用豆包后，每名设计员每天比原来多设计件作品，且每名设计员使用豆包设计件作品所用时间与原来设计件作品所用时间相等． （1）问该工作室使用豆包后每名设计员每天能设计多少件作品？ （2）该工作室共有设计员人，由于工作需要，该设计工作室只有一部分成员使用豆包设计作品，要使每天设计作品总数不少于件，则该工作室至少有多少人使用豆包设计作品？ 【答案】（1）该工作室使用豆包后每名设计员每天能设计件作品 （2）该工作室至少有人使用豆包设计作品 【解析】 【分析】本题主要考查分式方程的实际应用和一元一次不等式的实际应用．根据题目问题设恰当的未知数，并根据已知条件列出方程和不等式是解题的关键． （1）通过“工作时间＝工作总量÷工作效率”，结合“使用豆包设计件的时间＝原来设计件的时间”这一等量关系，设未知数列分式方程求解． （2）根据“使用豆包的人数×使用后的效率＋未使用的人数×原来的效率”这一不等关系，列一元一次不等式求解最小值． 【小问1详解】 解：设该工作室使用豆包后每名设计员每天能设计件作品， 根据题意得：， 解得：， 经检验：当时，， ∴原分式方程的解为； ∴该工作室使用豆包后每名设计员每天能设计件作品； 【小问2详解】 解：∵该工作室使用豆包后每名设计员每天能设计件作品， ∴该工作室使用豆包前每名设计员每天能设计件作品， ∴设该工作室有人使用豆包设计作品， 根据题意得：， 解得：． ∴该工作室至少有人使用豆包设计作品． 23. 阅读材料： 小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2＝（1+）2．善于思考的小明进行了以下探索： 设a+b＝（m+n）2（其中a、b、m、n均为整数），则有a+b＝m2+2n2+2mn．∴a＝m2+2n2，b＝2mn．这样小明就找到了一种把类似a+b的式子化为平方式的方法． 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： （1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b＝（m+n）2，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a＝　 　，b＝　 　； （2）利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n填空：　 　+　 　＝（　 　+　 　 ）2； （3）若a+6＝（m+n）2，且a、m、n均为正整数，求a的值？ 【答案】（1）m2+3n2，2mn；（2）7，4，2，1（答案不唯一）；（3）12或28． 【解析】 【分析】（1）利用完全平方公式展开得到（m+n）2＝m2+3n2+2mn，从而可用m、n表示a、b； （2）先取m＝2，n＝1，则计算对应的a、b的值，然后填空即可； （3）利用a＝m2+3n2，2mn＝6和a、m、n均为正整数可先确定m、n的值，然后计算对应的a的值． 【详解】解：（1）（m+n）2＝m2+3n2+2mn， ∴a＝m2+3n2，b＝2mn． 故答案为m2+3n2，2mn； （2）m＝2，n＝1，则a＝7，b＝4， ∴7+4＝（2+）2． 故答案为7，4，2，1（答案不唯一）； （3）a＝m2+3n2，2mn＝6， ∵a、m、n均为正整数， ∴m＝3，n＝1或m＝1，n＝3， 当m＝3，n＝1时，a＝9+3＝12， 当m＝1，n＝3时，a＝1+3×9＝28， ∴a的值为12或28． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可，认真读题，理解题意是解题关键． 24. 回答问题： （1）【初步探索】如图1：在四边形中，，E、F分别是上的点，且，探究图中之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长到点G，使．连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是 ； （2）【灵活运用】如图2，若在四边形中，．E、F分别是上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由； （3）【拓展延伸】如图3，已知在四边形中，，若点E在的延长线上，点F在的延长线上，如图3所示，仍然满足，请写出与的数量关系，并给出证明过程． 【答案】（1） （2）仍成立，理由见解析 （3），证明见解析 【解析】 【分析】（1）延长到点G， 使，连接，根据全等三角形判定定理可得，则，根据边之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案． （2）延长到点G， 使，连接，根据角之间的关系可得，根据全等三角形判定定理可得，则，根据边之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案． （3）在延长线上取一点G，使得，连接，根据角之间的关系可得，根据全等三角形判定定理可得，则，根据边之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，再根据角之间的关系即可求出答案． 【小问1详解】 解：延长到点G， 使，连接， 在和中， ， ∴， ， ∵， ， 在和中， ， ∴， ； 故答案为：； 【小问2详解】 解：延长到点G， 使，连接， ∵， ， 在和中， ， ∴， ， ∵， ， 在和中， ， ∴， ； 【小问3详解】 解：，证明如下： 在延长线上取一点G，使得，连接， ∵， 在和中 ， ∴， ， ∵， ， 在和中 ， ∴， ， ∵， ， ∴，即， ∴． 【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定以及全等三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应角相等进行推导变形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年下学期期末八年级数学学科试题卷 时量：120分钟 满分：120分 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列各式是分式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 二次根式有意义的条件是（ ） A B. C. D. 4. 下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列命题中，是真命题的是（ ） A. 过一点有且只有一条直线与已知直线平行 B. 两边及一角分别相等的两个三角形全等 C. 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 D. 若，则 6. 我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数中，是“勾股数”的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 7. 若等腰三角形有一个内角为，则这个等腰三角形的底角是（ ） A. B. C. D. 或 8. 用直尺和圆规作已知角的平分线的示意图如图所示，则说明的依据是（ ） A. B. C. D. 9. 已知直角三角形的两边长分别为4、5，那么第三边的长为（ ） A. 3 B. C. 3或 D. 6 10. 对于正数，规定，例如：，，则的值为（ ） A B. 2023 C. 2024 D. 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11. 甲流病毒变异株的直径大约在纳米之间，纳米是非常小的长度单位，，用科学记数法表示数为__________ 12. 分式与的最简公分母是_________ 13. 因式分解：______． 14. 如图，点B，E，C，F在同一条直线上，，．只需添加一个条件即可证明，这个条件可以是_________．(写出一个即可) 15. 如图，在中，垂直平分线段，交于点E，交于点D．若，的周长为15，则的周长为_______． 16. 若分式方程无解，则k的值是 _______． 三、解答题（8小题，共72分） 17. 计算：． 18. 先化简，再求值：，请从,，1,2四个数中选取一个你喜欢的a代入求值． 19. 为提升社区居民的幸福感，某小区准备将辖区内的一块平地，如图所示的四边形进行改建，将四边形全部铺设具有耐磨性和防滑性的运动型塑胶地板，已知运动型塑胶地板每平方米元．经测量．求购买运动型塑胶地板的费用． 20. 如图，约定：上方相邻两整式之和等于这两个整式下方箭头共同指向整式． （1）求整式M，P； （2）将整式P因式分解． 21. 如图，在中，已知点D在线段的反向延长线上，过的中点F作线段交的平分线于E，交于G，且． （1）求证：是等腰三角形； （2）若，，，求的周长． 22. “你好！我是豆包，很高兴见到你！我能为你提供多种服务，比如解答各类知识疑问、陪你聊天解闷、协助进行内容创作等”．人工智能从横空出世到与我们日常相伴，成为我们解决问题“好参谋、好助手”．某设计工作室自使用豆包后，每名设计员每天比原来多设计件作品，且每名设计员使用豆包设计件作品所用时间与原来设计件作品所用时间相等． （1）问该工作室使用豆包后每名设计员每天能设计多少件作品？ （2）该工作室共有设计员人，由于工作需要，该设计工作室只有一部分成员使用豆包设计作品，要使每天设计作品总数不少于件，则该工作室至少有多少人使用豆包设计作品？ 23. 阅读材料： 小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2＝（1+）2．善于思考的小明进行了以下探索： 设a+b＝（m+n）2（其中a、b、m、n均为整数），则有a+b＝m2+2n2+2mn．∴a＝m2+2n2，b＝2mn．这样小明就找到了一种把类似a+b的式子化为平方式的方法． 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： （1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b＝（m+n）2，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a＝　 　，b＝　 　； （2）利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n填空：　 　+　 　＝（　 　+　 　 ）2； （3）若a+6＝（m+n）2，且a、m、n均为正整数，求a的值？ 24. 回答问题： （1）【初步探索】如图1：在四边形中，，E、F分别是上的点，且，探究图中之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长到点G，使．连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是 ； （2）【灵活运用】如图2，若在四边形中，．E、F分别是上点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由； （3）【拓展延伸】如图3，已知在四边形中，，若点E在的延长线上，点F在的延长线上，如图3所示，仍然满足，请写出与的数量关系，并给出证明过程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $